基于高阶聚类系数的系统性风险评估

（2） 如果图是有向的、加权的和弱连通的，则（1）中的矩阵P（l）变为“P（l）”，其条目为“pij（l）”=“wij（l）”si（l）if j∈\'Ni（l）和\'Ni（l）6=,否则为0，（3），其中：（a）(R)Ni（l）=-→Ni（l），？wi，j（l）=-→wij（l）和'si（l）=-→如果只考虑节点i的外路径，则为si（l）和'P（l）=-→P（l）；（b） 镍（l）=←-Ni（l），？wi，j（l）=←-wij（l）和'si（l）=←-si（l），仅考虑i和'P（l）的路径=←-P（l）；（c） 考虑所有方向时，\'Ni（l）=Ni（l），\'wi，j（l）=wij（l），\'si（l）=si（l），\'P（l）=P（l）。在之前的所有情况下，我们假设P（0）=I。对于（a）、（b）和（c）情况，可以分别定义（2）中l阶的局部聚类系数，如下所示：cin（l）=←-P（l）cin。（4） 库特（l）=-→P（l）cout。（5） 呼叫（l）=P（l）呼叫。（6） 其中cin=[cini]i∈Vand cout=【couti】i∈分别带有Cinian和couti项的变量向量表示节点i的输入和输出加权局部聚类系数，而Calli是图D的局部聚类系数向量（参见[11]）。3系统性风险衡量我们在此提出了一个新的系统性风险指标，该指标基于上一节所述的聚类系数的扩展版本，似乎对我们的目的特别有效。如果是无向图，我们引入向量h=[h（l）]l=0，····，diam（G），使得h（l）=NXi∈Vci（l）。（7） 观察到h（l）提供了关于网络节点如何在特定级别l上聚集在一起的反馈，即l阶聚类系数的平均值。然后，向量h收集所有集群的度量。因此，其要素的分布可以深入了解网络在各个级别的系统性风险，我们将在下一小节中更好地解释这一点。这表明，作为一个非常自然的进一步步骤，使用h的元素来定义系统风险的新度量。

我们定义了指数h？，基于h，取其加权平均值如下：h=直径（G）Xl=0xlh（l），（8），其中Xl∈ [0，1]使得Pdiam（G）l=0xl=1。注意，通过h？我们提供了一个特定的系统性风险指数，该指数考虑了每个节点在网络中的嵌入方式。特别是，该措施考虑了每个节点周围的整个社区结构以及节点在测地距离l处的相互互连水平≥ 1.xl的存在允许在计算h？时引入一些灵活性？。第3.1小节报告了一些关于XLS可能分布的评论。此外，将在数值部分测试不同权重xl的影响。此外，请注意，提出这一衡量标准，我们符合关于如何将网络聚集系数视为系统性风险衡量标准的科学辩论（参见[27]和[31]）。与公式（7）类似，在有向图D的情况下，我们可以定义hin=[hin（l）]l=0，···，diam（G），hout=[hout（l）]l=0，··，diam（G）和hall=[hall（l）]l=0，··，diam（G），其中hin（l）=NXi∈Vcini（l），hout（l）=NXi∈Vcouti（l），hall（l）=NXi∈Vcalli（l），（9），在这种情况下，全局聚类系数为：hin=直径（G）Xl=0xlhin（l），小时=直径（G）Xl=0xlhout（l），霍尔=直径（G）Xl=0xL霍尔（l）。（10） 根据文献表明，聚类系数的高值与系统性风险的高水平相关，我们假设hs在（8）和（10）中，网络的系统性风险最高。3.1关于系统风险度量的一些备注，其中系数xlin（8）和（10）表示在与网络节点相关的整个社区结构分析中分配给h（l）的“权重”。正如前面指出的，h（l）带来了关于l级社区结构的信息。

在这方面，选择x的特定分布会导致在系统风险度量中包括图表外围的不同方式。在特定水平上的高度集中可能表明对更集群化区域的特别关注，揭示了决策者的直觉，即关注风险分散容易扩散的网络部分。例如，如果权重x的质量集中在l的较小值上，则考虑的系统风险度量将主要考虑图中节点附近的社区结构。不同的是，如果X的浓度超过l的大值，则与系统性风险相关，该风险对远离节点的社区更为敏感。角点情况xl=1将向量h减至l阶聚类系数。在这种特殊情况下，系统风险度量h？\'s考虑节点测地距离l处的社区。该分析可能与评估网络的分层社区结构相关。事实上，对转角情况的完整分析xl=1，L=0，1，diam（G）通过评估核心-外围社区的存在，可以描述网络的脆弱性及其吸收冲击的能力。请注意，l=0时xl=1的特殊情况是聚类系数的标准概念化。此外，有向图和无向图之间的区别导致了网络系统风险度量定义的显著差异。在处理无向图时，强群落与形成边的无序节点对之间的高权重值相关（见公式（2）），该属性明确包含在通过公式（8）定义的系统风险度量的定义中。

在有向的情况下，权重应该有一个方向，节点对变得有序。因此，当考虑到输出路径时，节点可以根据输入路径和弱路径与astrong社区相关联（参见（4）和（5））。节点的这种特征代表了“定向”系统风险度量概念的基础（见hin和hout，in（10）），这有助于理解网络的脆弱性。实际上，在节点i处发生的冲击∈ 具有高水平houti的V预计会迅速传播到网络的其他节点，而Hinis的高值与来自外部的冲击可能感染节点i有关。3.2模拟示例为了展示拟议的高阶聚类系数在捕获网络如何在不同层次上聚类方面的有效性，从而导致对系统风险度量的有力定义，如前一节所述，我们提供了12个节点的简单加权和有向图（见图1）。这很容易强调指数h（l）相对于文献中定义的经典加权聚类系数的潜力。我们记得，聚类系数应反映权重和三角形存在的综合影响。请注意，我们将重点放在有向图上，因为可以通过简单地重新缩放D的系数来获得基础图G的高阶聚类系数c（l）的向量（有关详细信息，请参见[10]）。由于图形是有方向的，我们可以参考不同类型的测地线（取决于是否考虑弧的方向）。我们首先计算[11]中提供的向量调用系数。我们要提醒的是，每个系数都包括一个节点所需要的所有类型的三角形。然后，我们通过公式（6）评估l阶聚类系数。

数值见表1。首先，应该对高阶系数的值进行一些说明。查看聚类调用（0），节点1的正值最低（0.028），它是具有低权重的三角形的一部分。这似乎表明节点1在社区环境中并不显著。然而，该值并不反映节点1与最大节点相邻的事实。图1：简单加权有向图D。边的不透明度与权重成比例。节点调用（0）调用（1）调用（2）调用（3）1 0.028 0.204 0.5 02 0.5 0.421 0.232 0.53 0.5 0.421 0.232 0.54 0.5 0.421 0.232 0.55 0.5 0.421 0.232 0.56 0.5 0.421 0.232 0.57 0.5 0.421 0.232 0.58 0.028 0.458 0.59 0.5 0.144 0.396 010 0.167 0.482 0.261011 0.5 0.333 0.300 0.38712 0.5 0.333 0.300 0.387霍尔（l）0.391 0.338 0.300 0.356表1：l级聚类系数和系统风险指标考虑所有路径时的图D（忽略方向）。群集。换句话说，低权重的存在软化了与高集群节点的互连。此外，从节点1开始，我们分两步到达节点11和12，将clusteringequal设置为0.5。1阶和2阶的系数（call（1）=0.204，call（2）=0.5）正在增加，表明更高阶的聚类能够捕获XLHall周围社区的强度，？权重递减0.360均匀权重0.346权重递增0.340表2：全球系统性风险度量值，？对于距离大于1的不同权重的分布节点。节点10具有第二个最低值（call（0）=0.167），但call（1）的值几乎是三倍。这表明该节点与相邻节点形成具有最大集群的社区。值得注意的是节点8的情况。此节点不会形成三角形，则其聚类系数等于零。

然而，它只有一个相邻节点，它与节点1的直接连接意味着级别1的系数完全吸收了节点1的聚类值。此外，由于通过长度为2和3的测地线连接到高聚类节点，因此2和3阶的聚类系数非常高。这些方面允许从完全不同的角度解释该节点的位置，尤其是在传播风险方面。霍尔的价值，*综合网络的整体社区结构，从而提供与之相关的系统性风险的度量。权重xl的选择可以调节公式（10）中测量值h（l）的强度，使该全球网络指标具有高度的灵活性。这里考虑了权重x的三种可能情况：o减少权重xl=（l+1）-1直径（G）l=0（l+1）-1=（l+1）-1hg其中hg是orderdiam（G）+1的调和数均匀权重xl=直径（G）+1o增加权重xl=（l+1）Pdiam（G）l=0（l+1）=2（l+1）（直径（G）+1）（直径（G）+2）例如，假设权重xl减少，当距离l增加时，我们正在减少h（l）对整个系统的影响。在本例中，平均而言，h（l）状态的值表示单个节点周围存在强大的社区结构，以及最大测地距离处的相互互连。因此，平均而言，最近的节点和外围节点对节点的影响相似。在这方面，在这种情况下，权重分布的信息量不大。事实上，不同的权利导致霍尔的价值非常接近，？（见表2）。转到有向情况的分析，我们可以使用公式（4）和（5）分别研究内部或外部聚类的模式。数值分别在表3和表2中报告。根据in-clustering，向量cin（0）考虑节点所属的三角形。

对于1存储，只有两个节点（11和12）可以从集群系数为正的节点（即节点10）访问。请注意，cin（1）是cin（1）的一半，因为该节点也可以从11访问。关于out集群，节点8是感兴趣的；事实上，尽管其聚类系数等于零，但由于其通过输出路径与输出三角形中涉及的节点连接，该节点具有1阶和2阶的正系数。从对输入和输出模式的评估来看，在系统性风险方面出现了不同的行为，这些行为受到衡量指标的影响，？和hout，？。该图的结构似乎对接收风险比扩散风险更为敏感，并且该特征在不同权重的分布中也具有持续性（表4）。尤其是，0级社区结构有利于风险的接收（由最高hin（0）捕获）。少数节点的存在也会将风险传播到外围节点。节点cin（0）cin（1）cin（2）cin（3）cout（0）cout（1）cout（2）cout（3）1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 0.50 0.25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0平均值0.208 0.063 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.048 0.053 0.005 0表3：聚类系数和图D中的系统性风险指标，顺序为l，考虑的是内部路径或外部路径。xlhin，？什么时候，？权重递减0.115 0.036均匀权重0.068 0.026权重递增0.035 0.015表4：全球系统性风险度量值hin，？霍尔呢，？对于【7】、【21】和【27】中所述的不同权重的分布4数值分析，我们使用国际清算银行（BIS）的综合统计数据设计了一个全球银行网络，用于衡量银行对不同国家的风险敞口。

这些统计数据记录了总部位于信息系统报告国的国际活跃银行的全球综合债权。特别是，我们考虑报告国对交易对手国银行的国际索赔。通过这种方式，我们关注国际银行的贷款活动。在这里，节点是国家，加权弧代表积极的跨境风险敞口。我们通过一个单一网络对样本期（2005年第一季度至2017年底）内的每个季度进行建模，每个网络指的是大约200个国家的银行之间的链接。图2描述了四个不同时间段的网络。2005年第4季度密度等于0.046，则网络稀疏。值得注意的是，网络随着时间的推移变得越来越慢（就交易数量而言）：在时间段结束时（2017年第4季度），密度实际上等于0.055。在抽样期间，ARC的数量从1540个增加到2513个，而国家的数量保持稳定。大多数国家由atmost两个步骤隔开。只有极少数国家可以通过三个步骤到达。图2：截至2005、2009、2013和2017年底的跨境全球银行网络。红色箭头表示圆弧。弧的不透明度与权重（即曝光强度）成比例。国家数量因不同时期而异。事实上，在特定的时间内，很少有孤立的节点存在。如图2所示，数据的设计使得最终的网络具有核心-外围结构的特征。核心集团由银行系统在分析的时间段内向国际清算银行报告数据的国家组成，而其他国家则属于外围集团。根据国际清算银行的数据，外围国家仅作为借款人进行分析，因为对于其银行系统而言，只有资金流入的信息可用。

因此，核心的选择严格取决于BIS提供的数据结构。表5显示了向国际清算银行报告国际金融债权传入和传出风险数据的24个核心国家的名单。具体分析还将考虑全球系统重要性银行（GSIB）所在的核心国家的子集。自2011年11月起，金融稳定委员会（FSB）每年根据巴塞尔银行监管委员会（BCBS）的系统性风险评分发布全球系统重要性银行名单（见[2]和[3]）。这些银行被要求持有更多资本（在巴塞尔协议3之上），并受到更严格的监管。特别是，我们将确定GSI国家，即至少存在全球系统重要性银行的国家（GSIB国家列表见表5）。为了了解全球系统重要性银行的作用，我们将把各国分为三个不同的集群。特别是，我们关注GSI国家和其他核心国家（即未归类为GSI的核心国家）。第三个剩余集团考虑外围国家。图3给出了网络中不同国家在两个不同时间段的作用。值得注意的是，特定国家通过增加，尤其是其流出量，在网络的密集部分变得更加一体化。根据这一分类，我们能够根据特定的国家分组计算全球指标。最初，我们计算加权和定向网络的经典局部聚类系数calli（0）（见[11]），并分别对GSI和其他核心国家的这些局部聚类系数进行聚合。

因此，根据两个不同的节点子集，我们得到了霍尔（0）的两个不同估计。在整个时期内，GSI国家的集群系数高于其他核心国家，这证实了总部位于这些国家的银行的重要系统性作用（见图4）。此外，研究结果表明，这两组国家之间存在着不同的模式。特别是，从2008年底开始，GSI国家的集群有所下降。这一减少与[27]中所述2009-2010年整个网络集群的普遍减少一致，并归因于雷曼破产引发的金融市场动荡。值得注意的是，2011年后，金融社区趋于衰弱。根据GSIIn网络理论，核心-外围结构确定了一个设计良好的网络模型，使得一些节点在外围位置紧密相连，而另一些节点则稀疏相连（见[8]）。有关全球系统重要性银行的最新名单，请参见金融稳定委员会网站(http://www.fsb.org/2017/11/fsb-publishes2017-g-sib-list/)有关如何评估系统重要性银行的更多信息，请访问BCBS网站(https://www.bis.org/bcbs/gsib/)澳大利亚（AU）CoreAustria（AT）CoreBelgium（BE）Core GSICanada（CA）CoreChile（CL）CoreChina（CN）GSIChina Taipei（TW）CoreFinland（FI）CoreFrance（FR）Core GSIGermany（DE）Core GSIGreece（GR）CoreIndia（IN）CoreIreland（IE）CoreItaly（IT）Core GSIJapan（JP）Core Gsiinetherlands（NL）Core GSINorway（NO）Core葡萄牙（PT）CoreSingapore（SG）CoreSpain（ES）Core GSISweden（SE）Core Gsi（CH）核心GSITurkey（TR）核心英国（GB）核心GSIUnited States（US）核心GSITable 5：核心国家和至少一家GSIB总部所在国家的列表。国家。