远期转换率

对多州模型的类似结果的期望激发了前向过渡率的概念，我们将在下一节中研究这一概念。3正向方程比率在本节中，我们首先详细阐述了双随机马尔可夫环境下的正向传递率的概念。特别地，我们给出了前向转移率候选对象期望满足的关键属性。受这一论述的启发，我们接下来将介绍正向方程速率的新概念，并在此提供关于将正向死亡率概念推广到多状态模型的可能性的新见解。在下一节中，我们将前向方程速率与文献中先前的前向过渡速率定义进行比较。这是以抽象的方式和残疾保险的详细示例来完成的。3.1前向转移率正如诺伯格（Norberg）[19]所强调的，一个自然问题是，前向死亡率的概念是否能够适应多状态模型，尤其是双随机马尔可夫环境，并在多状态模型中取得成效，或者前一段中调查的结果是否依赖于生存模型的特定结构，在这种情况下，无法进行推广。除了诺伯格（Norberg）[19]的工作外，克里斯汀·安森（Christiansen）、尼迈耶（Niemeyer）[6]和布查德（Buchardt）[4]也对这个问题进行了研究。更具体地说，主要问题是，在估值方面是否可以获得与生存模型类似的替代结果。主要感兴趣的量为（XT=k），（XT-=k） ukl（T），其中T∈ （t，∞) 和k，l∈ S、 l 6=k。为什么这些数量？例如，考虑。

简单累计付款[0，∞) 3秒7→ B（s）由DB（s）给定=bXs（s）ds+Xl∈S（Xs-6=l）bXs-l（s）dNXs-l（s），s∈ (0, ∞),B（0）=0,3.1正向过渡速率，其中Nkl、k、l∈ S、 l 6=k，是计算X从k到l的转换次数的计数过程，bk和bklare连续实值确定性函数分别描述逗留付款和转换时付款。省略技术细节，如下所示[0，∞) 3秒7→ M（s）由M（0）=0和M（s）：=B（s）给出-Z（0，s）Xk公司∈S（Xu=k）bk（u）+Xk，l∈S、 l6=k（Xu-=k） ukl（u）bkl（u）duis a鞅w.r.t.过滤外汇∨ Fu∞. 通过定义预期的总现金流，我们（单独，尤其）对数量1（XT=k）和数量1（XT）感兴趣的原因很明显-=k） ukl（T）。Let（t，∞) 3吨7→ mjk（t，t），j，k∈ S、 k 6=j，为σ（Xt）∨ Fut-可测量的候选菌前进过渡率。为了全面推广生存模型中获得的替代论点，需要存在可微分σ（Xt）∨Fut-可测函数[t，∞) 3吨7→ PmXtk（t，t），令人满意TPmXtk（t，t）=Xl6=kPmXtl（t，t）mlk（t，t）- PmXtk（t，t）Xl6=kmkl（t，t），k 6=Xt（3.1）Xk∈SPmXtk（t，t）=1，PmXtk（t，t）=1（Xt=k），k∈ S、 与Kolmogorov正演方程相比，pmxtk（t，t）=E（XT=k）|σ（XT）∨ Fut, （3.2）PmXtk（t，t）mkl（t，t）=E（XT=k）ukl（T）|σ（XT）∨ Fut, （3.3）保持所有k、l∈ S、 l 6=k。很明显，这归结为两个语句，即（3.1）和（3.2）保持不变，或（3.1）和（3.3）保持不变，或一个更强的组合语句，即（3.1）、（3.2）和（3.3）同时保持不变。当提及第一条声明时，我们通常只会单独提及（3.2）。同样，在提及第二条或合并声明时，我们也没有明确说明（3.1）。身份（3.2）和（3.3）是我们方法的基石，原因如下。

当（3.2）成立时，我们获得了关于跃迁概率的成功替换，而当（3.3）成立时，我们获得了关于跃迁密度的成功替换。因此，当它们同时持有时，预期累计现金流由a（t，t）=E给出B（T）- B（t）FXt公司∨ Fut=Z（t，t）Xk∈SPmXtk（t，s）黑色+Xl∈S、 l6=kmkl（t，S）bkl（S）ds，（3.4）3.2正向方程速率在这里，我们采用了与（2.5）类似的技术，即M是鞅，以及（条件）转移概率的连续性。然后，预期的累计现金流基本上是经典马尔可夫链人寿保险设定中已知的“通常形式”，唯一的区别是随机转移强度已被前向转移率所取代，因此成功地推广了生存模型中获得的置换参数。当m为非负连续时，可以将PmXtk（t，·）视为初始状态为Xt且跃迁强度为m的马尔可夫跳跃过程的跃迁概率，与第2.1小节开头的X构造相比，在所有信息（包括时间t）的条件下。由于远期转换率m通常仅为σ（Xt）∨ Fut-可测量，跃迁强度和跃迁概率取决于当前状态Xt。请注意，我们尚未讨论满足（3.1）、（3.2）和（3.3）的前向转移率候选人的存在性和/或唯一性。这些恒等式仅代表了任何正向转换率定义的理想特性。

在下一小节中，我们将介绍一种直接基于（3.1）和（3.2）的新的前向转移率候选。3.2正向方程速率在下文中，我们引入了正向方程速率的一个新概念，并讨论了该正向转移速率定义的存在性、唯一性和其他性质。每个j、k的定义∈ S辅助Fut-可测函数[t，∞) 3吨7→ Pjk（t，t）byPjk（t，t）=EhPujk（t，t）Futi。我们假设Pjk（t，·）对于所有j，k都是可微的∈ S、 然后，我们有以下正向转换率定义。定义3.1。Let（t，∞) 3吨7→ mjk（t，t），j，k∈ S、 k 6=j，Fut-可测量。如果满足以下方程组，TPjk（t，t）=Xl6=kPjl（t，t）mlk（t，t）- Pjk（t，t）Xl6=kmkl（t，t），j，k∈ S、 k 6=j，（3.5）我们说m是X的正向方程速率。这个定义类似于Norberg[19]提出的定义，但有一个单一但至关重要的区别。Norberg基本上建议将正向转换速率定义为3.2正向方程速率σ（Xt）∨ 方程组的Fut-可测解TE公司（XT=k）|σ（XT）∨ Fut=Xl6=kE（XT=l）|σ（XT）∨ Futmlk（t，t）- E（XT=k）|σ（XT）∨ FutXl6=kmkl（t，t），k 6=Xt，它只是（3.1）与（3.2）的组合。（3.5）所规定的定义可以看作是涉及所有转移概率的延伸，而不仅仅是与被保险人当前状态相关的转移概率Xt。因此，（3.5）是Norberg定义的约束版本，要求方程适用于涵盖所有州的不同存在状态的被保险人投资组合。正如诺伯格所指出的，他的方程组由J（J- 1） 未知但仅限于（J- 1） 方程，通常会得到很多解。

相比之下，（3.5）由J（J）组成-1） 方程，所以我们实际上期望正演方程速率存在且唯一（在适当的正则条件下）。连同（基本满足的）条件xk∈SPjk（t，t）=1，Pjk（t，t）=1（j=k），（3.6）可以表明，正演方程速率的定义精确到（3.1）和（3.2）在为任何j设置PmXtk（t，·）=Pjk（t，·）时保持不变（Xt=j∈ S和所有k∈ S、 根据定义，正向方程速率是Fut可测量的：不允许它们偏离当前状态Xt。之后，当我们研究文献中的前向转移率概念时，我们会回到关于该属性的利弊讨论。一般来说，正演方程速率允许为负：在这种情况下，人们不能将Pjk（t，·）视为某些马尔可夫跳跃过程的转移概率，但必须将其视为类似于Kolmogorov正演方程的微分方程系统的解，即（3.5）和条件（3.6）。关于正向方程速率的存在性和唯一性，我们得到了以下结果，这适用于所谓的减量模型，其中一旦离开状态，就不可能返回到状态。例如，无需恢复的残疾模型，有无投保人行为（免费保单和退保）。定理3.2。假设Pjk（t，·）对于所有j，k都是可微的∈ 当k<j时，Pjk（t，·）=0。那么正演方程速率存在且唯一。如果进一步的pjk（t，·）对于所有j，k是连续可微的∈ S、 然后，正向方程速率是连续的。证据见附录A。关于正向方程速率的进一步性质，我们注意到以下内容。要得出mjk（t，·）=0的结论，不仅需要从j到k的直接转换是不可能的，而且还需要从j到k的间接转换是不可能的。

换句话说，ujk=0并不意味着mjk（t，·）=0，除非更强的要求Pjk（t，·）=0成立。这可以通过考虑无恢复的残疾模型和等于零的活动死亡率来验证。尤其是，（3.3）一般不适用。相反，可获得的最接近的恒等式涉及到分别从每个状态到所有转换的总和之间的差异。严格地说，它遵循可变差异w.r.t.和积分w.r.t.P的假设，即xl6=kPmXtl（t，t）mlk（t，t）-Xl6=kPmXtk（t，t）mkl（t，t）（3.7）=Xl6=kE（XT=l）ulk（T）|σ（XT）∨ Fut-Xl6=kE（XT=k）ukl（T）|σ（XT）∨ Fut,对于k∈ S使用正向方程的定义，对m和X的（条件）Kolmogorov正向方程进行评级。这正好表明（3.3）仅适用于分别与状态k之间的转换和之间的差异。对于某些特定类别的模型，这意味着（3.3）。要了解竞争风险模型的这一点，请注意，对于每个死亡状态，只有一个相关的过渡，即从活状态过渡到该状态，因为与该状态相关的剩余过渡强度为零，因此上述身份与（3.3）相同。由于通常只有（3.2）适用于正向方程速率，生存模型的替换参数不能完全推广。但是，如果保险合同不包含过渡期付款，即如果k、l的bkl=0∈ S、 l 6=k，则只需要（3.2），替换参数一般化。

因此，如果一个人只对逗留付款的估价感兴趣，那么远期方程式利率是一个富有成果的起点。由于正向方程速率直接由（3.2）定义，上述讨论表明，满足（3.2）和（3.3）的正向过渡速率的任何一般定义都不能是Fut可测量的（因此必须允许依赖于当前状态Xt）。这推动了Buchardt[4]的前向转移率定义，我们将在下一节中讨论。4文献中的正向转移率定义我们现在回顾Christiansen和Niemeyer[6]以及Buchardt[4]与正向方程率的比较，这揭示了文献中4.1替代定义的优缺点，每个个体的正向转移率定义，并导致对正向转移率概念本身的新见解。4.1 Christiansen&Niemeyer（Christiansen&Niemeyer）和Niemeyer（Niemeyer）[6]的文献中的替代定义，远期过渡利率的讨论并不独立于金融市场，但这可以通过在其设置中取零利率轻松实现。Christiansen&Niemeyer简单地定义了远期利率，本质上要求他们考虑到与我们的一系列保险产品相当的替代论据。根据他们考虑的特定多州模型和保险产品，这些要求提出了以下定义：对于每个州，k∈ S、 k 6=j，此转换的正向速率为Fut-可测量和非负解（t，∞) 3吨7→ mjk（t，t）toEhe-R（t，t）ujk（s）dsFuti=e-R（t，t）mjk（t，s）ds。（4.1）我们注意到，MJK不取决于被保险人的当前状态：它只取决于迄今为止观察到的过渡率。此外，mjkdoes的定义不涉及跳转过程X的结构：它们是“通用的”。

特别是，（2.3）给出的边际远期死亡率是（4.1）一般定义的特例。要了解这一点，假设X是一个条件马尔可夫跳跃过程，给定u，值为{0，1}，u=0。那么（4.1）只是（2.3）的伪装。因此，我们将（4.1）定义的mjkde称为边际正向转移率，因为它完全依赖于u的概率结构。因此，边际正向过渡率尤其具有限制性和理想性。当边际正向转移率满足（3.2）时，它们与正向方程率一致。要了解这一点，请考虑一个具有transitionactivesurrenderdeadu（·）u（·）的主动投降死亡模型图2：具有转移率u和u的主动投降死亡模型。从现役到投降和现役到死亡的比率如图2所示。然后在（Xt=0）和k=0时，我们可以重述（3.2）ase-R（t，t）（m（t，s）+m（t，s））ds=Ehe-R（t，t）（u（s）+u（s））ds另一方面，通过定义边际正向转移率，即（4.1），即-R（t，t）m（t，s）dse-R（t，t）m（t，s）ds=Ehe-R（t，t）u（s）dsFutiEhe-R（t，t）u（s）dsFuti。4.1替代定义从文献收集中，我们获得了-R（t，t）（u（s）+u（s））dsFuti=Ehe-R（t，t）u（s）dsFutiEhe-R（t，t）u（s）dsFut除非u和u是独立的，否则通常不满足，另见Christiansand Niemeyer[6]第6.2小节，利率为零。这种情况与生物识别风险与金融市场之间存在依赖关系时的远期死亡率和利率的讨论完全相似，参见。

Christiansen和Niemeyer【6】第6.1小节，Miltersen和Persson【16】和Buchardt【2】。Christiansen和Niemeyer[6]考虑了过渡率u的一大类差异过程，并展示了一些多状态模型（包括无恢复的残疾模型）的特定依赖结构与其身份（3.2）和（3.3）之间的等效性。因此，它们表明，如果希望“通用”前向转移率仅依赖于u的概率结构，如边际前向转移率，则必须假设转移率之间存在特定且往往不切实际的依赖结构，参见注释5.5后的Christiansen和Niemeyer【6】段。相反，如果一个人只对逗留付款感兴趣，并且愿意指定跳跃过程X的特定结构，则远期方程式利率提供了一种自然的替代方案，不限于过渡内容之间的特定依赖结构。Buchardt Buchardt[4]研究的前向跃迁率的定义适用于所有实际目的，另见Buchardt[4]引理4.3，相当于设置（t，∞) 3吨7→ mkl（t，t）：=E（XT=k）ukl（T）|σ（XT）∨ FutE（XT=k）σ（Xt）∨ Fut≥ 所有k、l均为0（4.2）∈ S、 l 6=k，只要右侧定义良好。Norberg【19】第6节最后一段已经提出了这一定义。我们观察到，如果ukl=0，那么mkl（t，·）=0。此外，根据Buchardt[4]定理4.4，可以得出（3.2）成立（在一些较小的正则条件下），因此，也可以满足定义和重排（3.3）。另一方面，与正向方程速率和边际正向转移速率相反，根据定义，（4.2）的正向转换率通常不能被视为Fut可测量，但必须允许其取决于当前状态Xt。

因此，我们将MKLD定义为（4.2）状态正向转移率。在竞争风险模型中，国家层面的远期转移率与远期方程利率一致（但通常与边际远期转移率不同，除非假定转移率是独立的）。如果强制实施特定结构4.2残疾保险——“修复”过渡强度的远期方程式费率，则该结果可以扩展到竞争风险模型之外——另请参见第5节末尾的示例）。在下一小节中，在残疾保险的背景下，举例说明了国家层面的前向转移率和前向方程率之间的异同。此外，我们举例说明了适当的状态空间和支付过程“调整”如何允许使用正向方程利率（通过“修复”与转移密度不匹配的情况）对转移支付进行估值。4.2残疾保险–“修复”远期方程式费率将残疾模型考虑在内，无需恢复，如图3所示。保险合同取消了主动死亡u（·）u（·）u（·）图3：无恢复的残疾模型。记住的是o 活跃时的保费支付，融资：–残疾保险，包括：* 从激活状态转换为禁用状态时付款。* 禁用时的逗留付款–过渡到死亡状态时支付的死亡保险。状态速率和正向方程速率考虑（4.2）中的状态正向转换速率。这些取决于被保险人的当前状态，因此我们通过mXt（t，·）来确定。如前所述，（3.2）和（3.3）均满足州层面的正向过渡率。一般来说，m（t，·）和m（t，·）不同。On（Xt=0），即。