远期转换率

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英文标题：
《Forward transition rates》
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作者：
K. Buchardt, C. Furrer, M. Steffensen
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The idea of forward rates stems from interest rate theory. It has natural connotations to transition rates in multi-state models. The generalization from the forward mortality rate in a survival model to multi-state models is non-trivial and several definitions have been proposed. We establish a theoretical framework for the discussion of forward rates. Furthermore, we provide a novel definition with its own logic and merits and compare it with the proposals in the literature. The definition turns the Kolmogorov forward equations inside out by interchanging the transition probabilities with the transition intensities as the object to be calculated.
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中文摘要：
远期利率的概念源于利率理论。它对多状态模型中的转移率有着天然的含义。从生存模型中的正向死亡率推广到多状态模型是不平凡的，已经提出了几种定义。我们为远期利率的讨论建立了一个理论框架。此外，我们还提供了一个具有自身逻辑和优点的新定义，并将其与文献中的建议进行了比较。该定义通过将跃迁概率与跃迁强度互换为待计算对象，将Kolmogorov正演方程从内到外转换。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-11 02:20:56 上传

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关键词：转换率 Mathematical Differential Quantitative Applications

远期过渡率克里斯蒂安·布查德（Christian Buchardt）、克里斯蒂安·弗雷尔（Christian Furrer1,2,3）和莫根斯·斯特夫·恩斯潘（Mogens Ste offensefa Pension），丹麦哥本哈根DK-2100 Sundkrogsgade 4号。丹麦哈根5号哥本哈根大学数学科学系，DK-2100Cop en hagenO。通讯作者。电子邮件：furrer@math.ku.dk.AbstractThe远期利率的概念源于利率理论。它对多状态模型中的转移率有着天然的含义。从生存模型中的远期死亡率推广到多状态模型是非常重要的，已经提出了几个定义。我们为远期利率的讨论建立了一个理论框架。此外，我们提供了一个具有自身逻辑和优点的新定义，并将其与文献中的建议进行比较。定义通过将跃迁概率与跃迁强度互换为待计算对象，将Kolmogorov正演方程从内到外转换。关键词：远期利率；双随机马尔可夫模型；人寿保险；Kolmogorov正向方程2010数学学科分类：60J28；60J75；60J27；91B30；91G40JEL分类：G22；G121简介我们在多状态模型中提供了一个新的前向转移率概念，并将其应用于人寿保险和信用风险。这是一个纯粹的概率概念，专门为以特定方式匹配转移概率而定制，即使在非马尔可夫的状态模型中也是如此。虽然简单且具有建设性，但我们的远期过渡费率与文献中建议的不同，主要是考虑到人寿保险的应用。我们的贡献是三倍的。我们提出了一种新的多状态定义，分析了它的特征，并将这些特征和前面提出的其他定义进行了比较。远期利率在债券市场理论中占有重要地位。

它们允许我们在固定的时间点呈现名义支付价格和未来利率价格，就好像“未来利率已知且等于远期利率”。远期利率曲线甚至被视为具有一定一致性约束的随机有限维过程的基本对象，而不是利率。至少从概率的角度来看，金融和保险的两个密切相关的领域是（简化形式的）信用风险理论和人寿保险数学。Kraft和Steffeensen等已经对这些区域之间的关系进行了探索和开发【14】。在这两个学科中，双随机有限状态马尔可夫链是一种基本的随机模型。被保险人的健康和生命状态（或者，在信用风险理论中，是指企业的信用评级和偿付能力状态）被建模为一个有限的状态链。在双随机马尔可夫环境中，该有限状态链假设为马尔可夫链，条件是转移率。这些利率取决于人口中的宏观人口状况（或者，在信贷风险理论中，取决于市场和政治制度中的宏观经济状况）。在研究这些模型中的转移概率和转移密度时，债券市场理论中与远期利率的关系是惊人的——特别是在simplesurvival模型中，其中只有两种状态，其中一种是吸收状态。米列夫斯基（Milevsky）和普罗米斯洛（Promislow）[15]首先服务和利用了这一点，而米勒森（Miltersen）和佩尔松（Persson）[16]讨论了随机利率的扩展，考虑到了重要性和利率之间的相关性。

在这些年里，多位学者讨论并研究了将其推广到多状态模型的想法，但诺伯格（Norberg）[19]对此停止了讨论，他彻底解释了每一种自然推广定义的缺点。事实证明，这还不足以扼杀这个想法本身。最近，Christiansen、Niemeyer【6】和Buchardt【4】提出了具有个人特征的不同概括。我们在此提出另一个具有自身逻辑和优点的广义定义。它基于一个简单的想法，即认为Kolmogorov正演方程组不是计算给定跃迁概率的手段，而是计算给定跃迁概率的手段。Norberg【19】已经考虑过一个版本的theidea，但由于解的一般非唯一性，即前向跃迁率的非唯一性，该版本被拒绝。但诺伯格的版本确定了给定的初始状态。如果方程必须适用于在开始时间点分布在状态空间中的被保险人投资组合（或信用风险版本中的企业投资组合），我们将获得关于存在性和唯一性的更强的结果。然而，这一定义在保险的具体应用中存在缺陷。在“假设为”马尔可夫集中，由我们的前向转移率产生的转移概率实际上是正确的转移概率——这正是它们的构造方式。然而，在“假定为”马尔可夫环境中，跃迁概率和我们的前向跃迁速率并不会同时形成跃迁密度。这限制了它们在计算相关精算量时的应用。

然而，我们指出了如何通过艺术扩展模型部分弥补这一缺陷。我们的贡献之一是我们的具体提案。我们的另一部分贡献是建立了一个理论框架，用于讨论和比较转运费率的定义。这使我们能够清楚地介绍Christiansen和Niemeyer[6]、Buchardt[4]提出的不同建议与本文之间的关系，并重点说明每个想法的利弊。我们的结论不同于Norberg[19]的否定结论。我们认为，在多状态模型中，前向转移率的整个概念与精算实践相关，并提供了一个实证例子。您应该使用哪种版本的正向转换率在很大程度上取决于您想要使用它的目的。这本身并没有削弱这一概念的威力，但它暴露了对其进行深思熟虑的分析的需求。这就是我们在这里提供的。如上所述，人寿保险是一个应用领域，其中有限状态模型通常被视为表示支付流及其预期（现值）价值的基本工具。然而，远期转移利率的概念也可能适用于信用风险理论。许多信用衍生工具规定了企业财务健康状态转变为不同财务健康状态时的名义支付。如果一家公司的财务状况在未来处于特定状态，其他衍生工具会指定名义支付。这些正是人寿保险中评估的付款，另见卡夫和斯特芬森【14】。人寿保险和信用风险理论之间的一个关键区别是，对于人寿保险，通常可以合理地假设转移率独立于利率。

各种转型率的不确定性主要由社会人口发展驱动，而社会人口发展可能与经济本身没有联系，至少不是一阶关系。因此，Miltersen和Persson[16]指出，生存模型中利息和死亡率之间的相关性所产生的困难在该领域内几乎没有相关性。在信用风险理论中，转换率的不确定性主要由社会经济发展驱动，而社会经济发展与利率的发展密切相关。在这篇论述中，我们很少关注利率。我们的重点不是处理与利率的相关性，而是在与利率没有相关性的情况下，处理从生存模型推广到多状态模型所带来的挑战。因此，它是多状态模型的目标用户，尤其是人寿保险领域的用户。将与利率的相关性包括在内的概括超出了本文的范围，并且与对远期过渡利率曲线动态的讨论一起推迟到未来的研究。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了概率设置。在第3节中，我们定义了远期过渡率的新概念。在第4节中，我们将我们的定义与文献中的其他建议进行比较，并讨论如何部分“修复”与过渡密度不匹配的情况。在第5节中，我们将工作与精算实践联系起来。第6节结束。2设置和背景(Ohm, F、 P）是一些背景概率空间。让J∈ N且设S={0，1，…，J}为某个有限状态空间。在下面的内容中，我们考虑一个双随机马尔可夫设定，其中被保险人的状态由一个值为S的跳跃过程（链）描述。

我们回顾了一个显式的构造，而不是使用满足通常条件的抽象过滤概率空间。详情见Jacobsen【13】。该方法可以被视为具有一定的限制性，但它允许对正向过渡率进行更简单、更简洁的讨论。符号和约定Let（Zt）t≥0是一个随机过程(Ohm, F、 P）在一些可测量空间中的值。我们用FZ表示：=（FZt）t≥0由Z产生并自身适应的自然过滤，即FZt：=σ（Zs:s≤ t） ，t∈ [0, ∞).此外，我们定义FZ∞:= σ[t≥0FZt,FZt+：=σ（Zs:s>t），t∈ [0, ∞).我们解释FZ∞Z和FZt生成的所有信息+作为Z生成的未来信息（时间t之后）。在下文中，除非明确说明，否则所有恒等式几乎以全方位的方式保持w.r.t.概率测度P.2.1每个可能的转移j，k的双随机马尔可夫集∈ S、 k 6=j，考虑一个随机过程[0，∞) 3t 7→ ujk（t）开(Ohm, F、 P）值在[0，∞) 和连续采样路径。利用2.2 PreliminariesIonescu-Tulcea定理和Jacobsen[13]第3章和第7.2节的方法，我们可以构造一个跳跃过程X：=（Xt）t≥0开(Ohm, F、 P）S中的值，具有确定的初始状态x∈ S和，条件为u，是马尔可夫语，具有transitionintentiesu。我们开始吧(Ohm, F、 P）与构造相关的正则概率空间。X在u上有马尔可夫条件意味着对于所有t∈ [0, ∞),FXt公司+⊥⊥ FXt |σ（Xt）∨ Fu∞,式中σ（Xt）∨ Fu∞表示同时包含σ（Xt）和Fu的最小σ-代数∞.

Byconstruction，用于j，k∈ S、 k 6=j，存在（条件）跃迁概率Pujk，因此对于0≤ t<t<∞,P（XT=k | FXt∨ Fu∞) = PuXtk（t，t）。因此，我们所说的“X在u上有条件地具有跃迁强度u”的意思是，对于所有t∈ [0, ∞), 这是因为每个ujk都有连续的采样路径。此外，条件转移概率Pujk满足Chapman-Kolmogorove方程和前后积分和微分方程（所谓的Eller-Kolmogorov方程）。在下文中，我们假设E[ujk（t）]<∞ 对于所有j，k∈ S、 k 6=j，所有t∈ [0, ∞).2.2初步原则一般来说，X不是无条件的马尔可夫。例外情况是u是确定性的；然后X是具有转移强度u的平凡马尔可夫，我们恢复了经典马尔可夫链人寿保险设置，参见Hoem【12】，Norberg【18】。从现在起，确定时间点t∈ [0, ∞). 对于未来负债和养老金及人寿保险定价，利息取决于预期累计现金流，特别是形式E【Z | FX，ut】的表达式，其中Z是一些FX，ut+/Borel可测量的随机变量，其值为R和有限期望值，E【| Z |】∞. 我们认为Z是未来的付款。在本文中，我们忽略了货币的时间价值和市场风险，只关注预期的累计现金流。如果假设市场风险独立于生物特征和行为风险，则以下结果和讨论将立即扩展到考虑货币时间价值的估值。第6节给出了详细信息，其中还简要讨论了市场风险与生物特征和行为风险之间的依赖关系。因为X是条件马尔可夫的，所以我们得到了以下结果：2.3正向致命性风险2.1。

它保持fx，ut+⊥⊥ FXt |σ（Xt）∨ Fut，Fut+⊥⊥ FXt | Fut.证明。参见附录A。作为引理的直接结果，当Z是FX时，ut+/Borel可以用R和E中的值测量[| Z |]<∞, thenE[Z | FX，ut]=E[Z |σ（Xt）∨ Fut]。（2.1）如果Z进一步是Fut+-可测量的，则ne【Z | FX，ut】=E【Z | Fut】。（2.2）因此，我们对形式为E[Z |σ（Xt）的量非常感兴趣∨Fut]或E[Z | Fut]。这些是定义σ（Xt）∨ Fut-可测量或Fut-可测量，因此我们可以将其视为迄今为止观察到的过渡速率的函数，如果Z仅为x，则ut+-可测量，也可以视为被保险人当前状态的函数。2.3远期死亡率我们在下一节中介绍的远期过渡利率的概念是从远期死亡率的概念衍生出来的，远期死亡率的概念同样受到远期利率概念的启发，详情请参阅Norberg【19】第2-4节。为了激发对前向转换率的讨论，我们现在回顾前向死亡率的概念。考虑一个值为{0，1}的跳跃过程X，该过程在u上有条件地是马尔可夫过程，其跃迁强度为u且u=0。该设置对应于具有随机死亡率u的生存模型，另见图1。各种作者，包括Milevskyalivedeadu（·）图1：随机死亡率u的生存模型。Promislow【15】、Dahl【7】和Dahl and Moller【8】现在基本上将正向死亡率定义为Fut可测量的非负溶液（t，∞) 3吨7→ m（t，t）toEhe-R（t，t）u（s）dsFuti=e-R（t，t）m（t，s）ds。（2.3）2.3远期死亡率在下文中，我们称mde为（2.3）边际远期死亡率（率），这是一个术语，随着我们转向远期转换率概念的一般讨论，它将变得清晰。请注意，如果允许我们交换差异w.r.t。

T和积分w.r.T.P在（2.3）中，表达式等效于-R（t，t]u（s）dsu（t）Futi=e-R（t，t）m（t，s）dsm（t，t）。（2.4）现在考虑简单累计付款[0，∞) 3秒7→ B（s）由db（s）=1（Xs=0）B（s）ds+B（s）dXs，s给出∈ (0, ∞),B（0）=0，其中带裸露连续和实值确定性函数。对于未来负债的估值以及养老金和人寿保险的定价，利息取决于预期累计现金流，参见Buchardt和Moller【5】。适用于我们设置的一般定义如下：；这里G指的是对(Ohm, F、 P）包含估价人可获得的所有相关信息，B是假定为有限变化的累计付款，cádlág，且适当可积。定义2.2。给定信息G，时间t的预计累计现金流估值∈ [0, ∞) 与累计付款相关的B定义为（t，∞) 3吨7→ A（t，t）：=E[B（t）- B（t）| Gt]。我们发现，在时间t，相关过滤=外汇的预计累计现金流估值∨ Fu由a（t，t）=E给出EB（T）- B（t）FXt公司∨ Fu∞FXt公司∨ Fut= 1（Xt=0）Z（t，t）Ehe-R（t，s]u（τ）dτ（b（s）+u（s）b（s））Futids=1（Xt=0）Z（t，t）e-R（t，s）m（t，τ）dτ（b（s）+m（t，s）b（s））ds，（2.5）其中我们使用了塔的性质，在u上有条件的X是马尔可夫的，具有跃迁强度u和u=0，方程（2.2），以及msatis fies（2.3）和（2.4）。当u确定时，我们恢复经典设置和预期累计现金流量读数（Xt=0）Z（t，t）e-R（t，s）u（τ）dτ（b（s）+u（s）b（s））ds。（2.6）将（2.5）与（2.6）进行比较，准确地揭示了边际远期死亡率的威力：它允许人们以通常的方式计算预期的累计现金流，而不考虑死亡率是随机的，用标准公式中的边际远期死亡率代替随机死亡率。