远期转换率

当被保险人目前处于活跃状态时，可以在马尔可夫模型中，以m（t，·）作为转移率，对未来逗留付款和转移后付款进行估价，见图4（左）。在（Xt=1）上，即当被保险人目前处于残疾状态时，必须在阿马尔科夫模型中使用不同的过渡率m（t，·）进行估价，见图4（右图）。特别地，4.2残疾保险–“修复”正向方程费率DisabledActiveDeadm（t，·）m（t，·）m（t，·）disableddeadm（t，·）图4：两个具有状态正向转移率的马尔可夫模型取代了无恢复的双随机马尔可夫残疾模型：一个用于被保险人当前处于活动状态时（左），另一个用于被保险人当前处于残疾状态时（右）。需要四个而不是三个非零过渡速率。因此，从实践和实施的角度来看，估值仍然比经典的马尔可夫链人寿保险环境稍微复杂一些。此外，远期转移率对被保险人当前状态的依赖性使其难以解释。现在，我们来考虑用m（t，·）表示的正演方程速率。如前所述，（3.3）通常不满足forwardequations比率，无康复的残疾模型也是如此。但是，可以在马尔可夫模型中，以m（t，·）作为转移率，对未来的逗留付款进行估价，见图5。可以看出，m（t，·）=m（t，·）和thatdisabledactivedeadm（t，·）m（t，·）m（t，·）图5：带正向方程的马尔可夫模型取代了无恢复的双随机马尔可夫残疾模型，用于评估逗留付款。（3.3）确实适用于（Xt=1）上的正向方程，与（3.7）一致。

但一般而言，（3.3）不成立（Xt=0），特别是远期方程利率不允许评估从活跃到残疾或活跃到死亡的过渡付款。综上所述，如果坚持使用远期利率公式，我们脑海中只有部分原始残疾保险合同可以进行估价。另一方面，可以在classicMarkov链人寿保险设置的技术和/或数字框架内处理这些部分，包括激活时的保费支付和禁用时的逗留支付。4.2残疾保险–“修复”远期方程费率“修复”远期方程费率我们在本小节结束时，通过描述略微调整原始模型，扩展了远期方程费率的适用范围。考虑一个新的跳跃过程X通过添加单独的死亡状态从X中定义，如图6所示。出于所有实际目的，具有和不具有单独死亡状态的模型禁用了ActiveDeadDead’u（·）u（·）u（·）图6：没有恢复但具有单独死亡状态的残疾模型。只要在两个死亡状态下的逗留费没有差别，就可以互换。严格来说，新的跳跃过程满足了Xt=1（Xt∈{0,1}）Xt+1（N（t）=1）2+1（N（t）=1）3，其中N是与X相关的多变量计数过程。定义|u作为相应的（条件）跃迁强度，例如|u=u，|u=0和|u=u。那么，如第2.1节中最初所述，X也是有条件的马尔可夫给定|u，但包含残疾后死亡的单独死亡状态。可以看出，虽然状态正向跃迁速率保持不变，但X和X的正向方程速率有所不同。用m（t，·）表示后者。

一般来说，我们不能得出这样的结论，即前向方程速率m（t，·）为零，因为从状态0到状态2的间接过渡仍然是可能的，这导致了图7的马尔可夫模型。通常，（3.3）不起作用（Xt=0）。虽然当k=0且不可恢复时，激活添加（disabledactivedeaddead）’m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）~m（t，·）图7：带正向方程的马尔可夫模型替代了无恢复的双随机马尔可夫残疾模型，用于替代逗留付款的评估。请注意，非零转移率m（t，·），即使|u（·）=0.4.2残疾保险–“修复”远期方程比率l=3，对应于从活跃到死亡转移时的付款估值，（3.3）是令人满意的，参见例如（3.7）。对于被保险人当前处于活动状态时从残疾过渡到死亡的付款估值，我们可以重写（3.7）并获得以下内容（Xt=0）：E（XT=1）u（T）|σ（XT）∨ Fut= Eh（▄XT=1）▄u（T）▄σ（▄XT）∨ F▄uti=▄P▄m▄Xt（t，t）▄m（t，t）+▄P▄m▄Xt（t，t）▄m（t，t）。因此，对于DB（1）（s）=1（Xs）给出的累计付款-=1） b（s）DNX-（s） ，s∈ (0, ∞),B（1）（0）=0，正好对应于从残疾到死亡的过渡期的付款，预期累计现金流（Xt=0）可以写为A（1）（t，t）=Z（t，t）~P▄m（t，s）▄m（t，s）b（s）+~P▄m（t，s）▄m（t，s）b（s）ds。因此，可以在图7的马尔可夫模型中对B（1）给出的付款进行估值，通过对不同的付款流程进行估值，将▄m（t，·）作为转换率，其中付款bupon从禁用转换为死亡，以及付款bupontransition从激活转换为死亡。类似的论点也适用于从主动向禁用过渡时的付款。

此外，还可以在马尔可夫模型中进行评估，通过评估不同的支付流程，将▄m（t，·）作为转移率，支付bupon从主动转移到禁用，以及支付bupon从主动转移到禁用-死亡。因此，我们所想到的原始残疾保险合同的所有部分都可以在马尔可夫模型中进行评估，即图7中的马尔可夫模型，如果（且仅当）有人愿意适当调整设置，则使用正向方程费率。特别是，需要四个而不是三个非零过渡速率。这意味着，从实际和实施的角度来看，过渡期付款的估值仍然比经典的马尔可夫链人寿保险设置稍微复杂一些。此外，由此产生的前向转换速率很难解释。无论是使用状态正向转移率还是使用正向方程率，我们都可以得出结论，对于无恢复的残疾模型，需要四个而不是三个非零转移率。另一方面，上述论点并没有推广到任意（非减量）模型，而是广泛依赖于无恢复的残疾模型的（减量）结构。因此，虽然似乎同样需要在无恢复的残疾模型中实施正向方程比率和状态方面的正向过渡比率（回想图4）进行评估，但只有后者的实施才能自然推广到最先进的模型。4.3总结和模型校准4.3前面小节中讨论的总结和模型校准定义将远期死亡率的概念扩展到了一个多状态框架，并将边际远期死亡率作为特殊情况包含在内。

表1总结了各种正向转换率定义的性质。通用Fut-可测量（3.2）（3.3）边际利率3正向方程利率3状态利率3表1：不同正向转换率定义的性质比较。如果定义不依赖于跳跃过程的特定结构，而只依赖于转移率的概率结构，则该定义被称为“通用”。这些扩展都表达了不同的雄心壮志。边际前向跃迁率的定义需要一种“普遍性”，因为这种定义不依赖于状态空间的特定结构或X的分布，而只依赖于u的概率结构。一般来说，这不会导致成功的替代论点，无论是对于逗留付款，咨询（3.2），还是对合同付款，咨询（3.3）。在正向方程费率的定义中，这一条件被放宽，只需要Fut可测量性，因此费率仍然不取决于被保险人的当前状态XT。然后，对于Sojourn付款来说，替换论点是成功的，但对于过渡后的付款来说，通常不是成功的。最后，各州的远期转移率允许取决于被保险人的当前状态，在这种情况下，替代论点适用于逗留付款和付款转移。定义之间的另一个比较点包括比较校准所需的数量，类似于远期死亡率和远期利率。为了校准边际正向转移率，我们需要数量（t，∞) 3吨7→ Ehe公司-R（t，t）ujk（s）dsFut对于j，k∈ S、 k 6=j。

这些数量与市场上的任何保险合同没有直接联系。为了校准正向方程速率，我们需要量（t，∞) 3吨7→ Pjk（t，t）=EhPujk（t，t）Fut对于j，k∈ S、 假设利率为零，这些数量与由逗留付款组成的保险合同直接相关。为了校准状态正向转移率，我们需要数量（t，∞) 3吨7→ E（XT=k）|σ（XT）∨ Fut= EPuXtk（t，t）|σ（Xt）∨ Fut,（t，∞) 3吨7→ E（XT=k）ukl（T）|σ（XT）∨ Fut= EPuXtk（t，t）ukl（t）|σ（Xt）∨ Fut对于k，l∈ S、 l 6=k。假设利率为零，这些数量与保险合同直接相关，包括逗留付款和过渡付款。5前瞻性思维和精算实践经典精算多国模型的双重随机扩展允许根据Solvency II监管框架纳入系统（不可分散）风险和市场一致性估值，例如，参见Buchardt开头的讨论【2】。就其本身而言，多状态建模会导致计算复杂性，历史上，通过施加适当的马尔可夫结构可以避免这种复杂性，通过求解普通微分方程可以找到转移概率。在经典的马尔可夫链人寿保险环境中，描述被保险人状态的跳跃过程假设为马尔可夫过程，计算任务简化为求解Kolmogorov正演方程组。当考虑双随机扩展时，情况并非如此，因为以前的任何马尔可夫结构通常都会变得无效。换句话说，精算师的老武器对手头的新问题没有威胁。

对正向转移率进行数学上合理的定义，是为了再次为精算师提供有利条件。从概念上讲，我们正在处理旧武器的磨石。实际相关性基本上如下所示。（3.1）（3.3）的替换条件允许两步估价程序：首先，校准远期转换率，然后使用经典的数值方案（求解普通微分方程系统）计算现金流。如果第一步要求不太高，精算师可以避免实施新的高级数值方案，而不是依赖现有的平台。这种方法可以成为在从业者当前的估值软件中实施系统性风险的一种有价值的捷径。当然不需要两步程序；一般的替代方法是求解Kolmogorov正演部分积分微分方程组，参见例如Buchardt【4】。但两步法也显示了其在概念上的优势：它将计算复杂性转化为前向转换率的校准问题。我们相信，这种转变有利于精算师等寻找简单基准模型的人。克里斯汀·森（Christiansen）和尼迈耶（Niemeyer）[6]在略有不同的框架中采用了类似的思维方式。我们在本小节末尾提供了一个实证例子。远期过渡利率的概念源自远期死亡率的概念，远期死亡率的概念又一次受到远期利率概念的启发。在后一种情况下，作为短期利率建模的替代方案，Heath等人[10]提出了一个通用框架，即所谓的Heath-Jarrow-Morton框架，其中利率的建模对象是整个远期利率曲线。

在长寿风险的背景下，Bauer等人[1]开发了一个类似的框架，其中边际正向死亡率曲线而非随机死亡率是感兴趣的建模对象。对于实践者来说，多状态设置建模范式的类似变化也可能证明是有价值的。这需要对前向转移率（我们在这里提供并讨论）进行合理的数学定义，以及开发一个类似于希思·贾罗·莫顿（Heath Jarrow Morton）的双随机多状态马尔可夫模型框架的框架（我们已推迟到未来的研究）。在下面的示例中，我们从概念和计算的角度说明了如上所述的远期过渡率与精算实践的相关性。带有投降和自由政策的生存模型考虑图8所示的双随机模型。我们假设η、ρ、ψ和σ是非负的和连续的，ψ和σ也是确定性的。因此，我们考虑了（可能依赖的）随机死亡率和随机放弃率。

当η和ρ是确定性的，并且是deadactivesurrenderdeadfree policy时，无保单η（·）ρ（·）ψ（·）η（·）ρ（·）+σ（·）图8：具有放弃和转换为自由保单的选项以及随机死亡率和随机基线放弃率的双随机生存模型。σ=0，我们属于Buchardt和Moller[5]所考虑的模型类别，参见其中的第3.2节，其中也详细说明了与精算实践的联系。在某些正则性条件下，直接计算（见附录A）表明，（4.2）给出的状态正向跃迁率的形式为m（t，t）=ψ（t），m（t，t）=m（t，t）=Ehe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsη（t）Fη，ρtiEhe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsFη，ρti，（5.1）m（t，t）=Ehe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsρ（t）Fη，ρtiEhe-R（t，t）（η（s）+ρ（s））dsFη，ρti，（5.2）m（t，t）=m（t，t）+σ（t），其余指数的状态正向转移率为零。以下两步估价程序不言而喻：首先，计算（5.1）和（5.2），然后使用经典方法计算现金流。为了说明本例中两步程序的可能优势，假设（η，ρ）属于一类过程。然后，可以通过求解普通微分方程的简单系统来计算（5.1）和（5.2），参见例如Du ffe等人【9】、Buchardt【3】和Henriksen【11】第5章。相反，一般方法要求要么求解Kolmogorov正演部分积分微分方程组，参见Buchardt【4】，要么应用蒙特卡罗方法。

参考Buchardt[3]在一个可比较的环境中对数值效率的研究，我们得出结论，在一个环境中，两步程序比一般方法更有效。在这个例子中，两步方法的优势用状态正向转移率来说明，然而，结论也适用于正向方程速率。在（5.1）和（5.2）的基础上，存在一个Fη，ρt-可测量的状态正向转移率。特别是，在某些正则条件下，正向方程速率和状态正向跃迁速率必须一致，这表明正向方程速率满足（3.3）。还要注意的是，如果η和ρ是独立的，那么我们得到的正是边际正向跃迁速率。正是模型内跃迁强度的特殊结构使正向方程速率和状态正向跃迁速率一致。描述模型类别。对于这种情况，将推迟到未来的研究6结论性评论在前面的章节中，我们只关注生物特征和行为风险，而不考虑市场风险和货币的时间价值。因此，我们只讨论了预期累计现金流的替代论点。在储备和定价方面，利息取决于预期储备，即未来付款的预期现值。现在，我们使用与市场一致的人寿保险和养老金估值原则进行简短而非正式的讨论，参见Moller和Steffeensen【17】。设r为连续的短期利率。如果短期利率是确定的，则远景储量V简单地由V（t）=Z（t，∞)e-Rstr（u）duA（t，ds），假设存在积分。