基于神经网络的鲁棒风险聚合

第一个数值解通过蒙特卡罗模拟获得，n=100个样本点，以及线性规划和每个固定ρ的平均100次模拟。第二个数值解是通过惩罚和神经网络得到的。将AVaR问题（26）的置信度设置为α=0.7。关于AVaRα（U+V）最大化子之间独立耦合的熵。另一方面，ρ=0.16的中间面板促使我们推导出一个耦合，在AVaRα（U+V）的最大化子中，我们推测到独立耦合的Wasserstein距离最小。该耦合用于推导附录A.4中问题（26）的下界。其他联轴器的一些特征，例如ρ=0.08和ρ=0.12令我们惊讶：例如，在L-Wasserstein问题中，作为支承边界的曲线是不寻常的。4.3. 带距离惩罚的三个正态分布随机变量的方差我们现在离开均匀分布的单变量边缘区域，用距离惩罚代替距离约束。我们分析以下问题χ（f）：=sup（XY）~u∈π（°u，±u）Var（X+X+Y）-rdc（(R)u，u）r=supu∈π（°u，±u）ZR（x+x+y）- m级u（dx，dx，dy）-rd▄c（▄u，u）r，（29），其中成本函数▄c（x，y）=2 | | x-y | |。我们指定参考分布函数如下‘u=N,1 0.8 00.8 1 00 0 1.在这个例子中，有两个新颖之处将在下面进行解释。我们可以认为，成本函数中出现的因子2类似于瓦瑟斯坦球的theradius的ρ的特定选择。ρ=0.00ρ=0.04ρ=0.08ρ=0.12ρ=0.16ρ=0.20图4：优化器u？通过神经网络获得的问题（26）以六个不同层次模糊度的热图形式显示，即。

ρ = 0, 0.04, 0.08, 0.12, 0.16, 0.2.首先，我们设置u∈ π（(R)u，(R)u）意味着我们不仅要筛选标准正态的单变量边缘分布，还要筛选第一个和第二个边缘X和X之间的依赖结构。在这种情况下，我们假设X和X联合正态，相关性为0.8。我们使用|u表示固定的双变量边际。因此，模型模糊性仅涉及第三个边距Y和其他两个边距X和X之间的依赖结构。其次，而不是距离约束dc（(R)u，u）≤ ρ、 现在，我们使用距离惩罚来解释所描述的模型模糊度：我们设置ν（x）=rxrin定理1。该参数说明了惩罚的程度，因此与上述瓦瑟斯坦球的半径ρ不可比。相反，对于r→ ∞ 惩罚越来越接近于我们施加约束dc（(R)u，u）的情况≤ 这两个规范旨在证明定理1在波兰空间选择和歧义建模方面的普遍性价值。尽管第2.2节重点讨论了Wasserstein-ball约束，但基于惩罚和神经网络的求解方法通常适用于（29）等问题。

针对表1中不同的r值，给出问题（29）的最终数值解。为了使这些结果更具体，我们从各自的最坏情况分布u？中抽取了20000个值？并报告相应的经验协方差矩阵^∑u？。值得注意的是，协方差矩阵不能完全表征u？，自u起？不必是联合正态分布。χ（f）RR（x+x+y）du？直流（(R)u，u？）^Σu?无启用4.6 4.6 01 0.8 00.8 1 00 0 1r=1 6.16 8.08 1.920.998 0.801 0.8470.801 1.008 0.8530.847 0.853 1.011r=2 6.50 7.60 1.480.989 0.806 0.7370.806 0.989 0.7360.737 0.736 0.997r=36.57 7.29 1.290.975 0.795 0.6750.795 0.991 0.6820.675 0.682 0.980r=4 6.65 7.19 1.210.976 0.792 0.6520.792 0.970 0.6540.652 0.654 0.986r=∞ 6.76 6.76 1.000.991 0.803 0.5540.803 0.998 0.5510.554 0.551 0.993表1：基于惩罚和神经网络计算的问题（24）不同r值的数值解χ（f）的比较。我们确定了最坏情况分布u？∈ ？（？，？）使得χ（f）=RR（x+x+y）u？（dx，dx，dy）-rd？c（(R)u，u？）兰德公司还报告了经验协方差矩阵∑u？从n=20000u？样本计算得出？。案例r=∞ 对应于约束d？c（(R)u，u）≤1.5. 挪威国家银行案例研究：挪威国家银行（挪威最大的银行）的六个给定风险的聚合SaaS和Puccetti（2014）提供了一个非常说明性的风险聚合案例研究。我们想利用这个例子来展示本文提出的新框架的适用性。DNB面临六种不同类型的风险：信贷、市场、资产、运营、业务和保险风险。让随机变量L，l表示这六种风险的边际风险敞口。根据定义，风险聚合与边际风险分布的计算无关。

因此，我们取相应的边际分布函数F，给出了Fas。在这种特殊情况下，F，Fand Fare经验CDF源自给定样本，而L，Lare假设为具有给定参数的正态分布，见表2。为了进行风险管理，挪威国家银行需要确定所需的资本。根据巴塞尔银行监管委员会（2013年）的规定，这一资本要求应通过这六项损失之和的平均风险价值（AVaR）来计算。在特定置信水平α下，这六项损失之和的AVaR为definedasavarαL+= 最小τ∈Rτ +1 - αE[最大值（L+- τ, 0 )], （30）Aas和Puccetti（2014）专注于风险价值（VaR），而非AVaR。由于巴塞尔银行监管委员会最近将量化风险度量体系从VaR转换为预期短缺（参见Chang、Jim'enez Mart'n、Maasoumi、McAleer和P'erez Amaral，2019），这与AVaR相当，我们在研究中考虑了AVaR。描述250万样本得出的信用风险理论CDF的类型参数/其他详细信息；250万样本得出的市场风险理论CDF的标准偏差|Μσ=644.602Fcdf；250万个样本得出的资产风险理论CDF的标准偏差|Μσ=5562.362Fcdf；操作风险的标准偏差σ=1112.402Fcdf Llonormal cdfmean？m=840.735；业务风险的标准差σ=694.613Fcdf Llognormal cdfmean m=743.345；保险风险的标准差σ=465.064Fcdf Llonormal cdfmean m=438.978；标准偏差|Μσ=111.011参考copulastudent-t copulawith 6 freedomlinking L，土地相关矩阵∑表2：DNB案例研究中参考分布相关信息概述。相关矩阵∑见附录A.5。

Fidenotes边际概率测度的累积分布函数|uifor i=1，6.式中，L+：=Pi=1Li。为了计算表达式（30），L，…，的联合分布，需要Lis。作为L的边际分布，众所周知，DNB依赖于copulas的概念来模拟这些风险之间的依赖结构。从上述描述中可以清楚地看出，L的联合观察，Lare不可用。因此，确定copula的标准技术（例如，通过将copula族和相应参数设置到多变量数据集）不适用。因此，美国国家统计局的一个专家小组选择了一个特定的参考copula c，在这种情况下是一个具有六个自由度和特定相关矩阵的student-t copula。这种方法在实践中很常见，被称为专家意见。从学术角度来看，这种风险聚合方法并不令人满意，因为专家在不同的TRISK类型之间选择参考依赖结构可能非常不准确。因此，我们说依赖结构存在模型模糊性。需要强调的是，根据专家意见选择的该参考copula的规格错误可能会对聚合风险以及所需资本产生重大影响。表3通过比较参考copula Cto隐含的AVaR与其他依赖结构隐含的AVaR来支持这一说法：在没有任何关于六个风险之间依赖结构的信息的情况下，置信水平α=0.95的AVaR的下限（相对上限）为24165.52（相对3641012）百万挪威克朗。Aas和Puccetti（2014）研究了类似的界限。

正如我们在第1.3节的文献综述中所指出的那样，这些界限在文献中已经被量化，因为它们对于实际目的来说相距太远。因此，我们将本文得出的结果应用于计算AVaR的边界，该边界取决于参考copula C的不信任程度ρ。或者，参数ρ可以理解为参考分布|u的模糊程度。infC公司∈CAVaRCα（L+）AVaR∏α（L+）AVaRCα（L+）supC∈CAVaRCα（L+）24165.52 26980.64 30498.94 36410.12表3：注意，我们设置α=0.95。我们使用重排算法（见Aas和Puccetti，2014）来近似infC∈CAVaRCα（L+），而supC∈CAVaRCα（L+）=Pi=1AVaRα（Li）。剩余的两个条目是通过对50次模拟运行进行平均来计算的，其中每次运行都会抽取1000万个样本点。注意∏表示独立copula。因此，AVaR∏α（L+）对应于六个独立损失之和的AVaRof。我们通过以下联合累积分布函数F（x）=C（F（x），F（x），…，定义参考分布的概率度量|||||||||||||||||||||||||||||||||，F（x），对于所有x∈ R、 因此，对于i=1，2，…，Fi（·）给出了边缘的CDF，6、感兴趣的问题可以表示为：ΦC（α，ρ）：=infL+~u∈∏（°u，…，±u），直流（±u，u）≤ρAVaRαL+, （31）ΦC（α，ρ）：=supL+~u∈∏（°u，…，±u），直流（±u，u）≤ρAVaRαL+. （32）确定运输距离dcin问题（31）和（32）的成本函数为settoc（x，y）=dXi=6 | xi- yi |σi，（33），其中σide表示ui的标准偏差，见表2。c定义背后的原因是，我们希望对歧义进行建模，使其仅涉及参考分布的依赖结构。

定义（33）是实现这一目标的简单方法。图5显示了问题（31）和（32）的数值解，它们是根据惩罚和神经网络计算的，作为ρ的函数，α=0.95。作为比较，对于独立耦合∏而不是表2中描述的参考copula cd，同样的问题也得到了解决。阴影区域概述了给定模糊度ρ和两个参考结构的可能风险水平。一方面，ρ中风险水平的演变，结合给定的问题优化器（31）和（32），可以作为一种信息工具，更好地了解DNB面临的风险。另一方面，如果在实践中证明存在一定程度的模糊性，银行可以根据相应的最坏情况值分配其资本。如果确定示例ρ=0.1，则银行必须按照参考结构C的规定，将32490资本分配给30499。应该提到的是，Gao和Kleywegt（2017a）促进定义C（x，y）=Pi=1 | Fi（xi）-Fi（yi）|，这意味着运输距离dcs直接在copulas水平上定义。即使这种方法可以说更加直观，我们仍然坚持定义（33），主要是为了提高计算效率。图5：我们考虑了两种不同的参考依赖结构，表2中定义的student-t copulac和独立copula∏。（31）和（32）中分别定义了相应的鲁棒解ΦC（α，ρ）和ΦC（α，ρ）。将类似定义的Φ∏（α，ρ）和Φ∏（α，ρ）绘制为歧义水平ρ的函数。我们将这些结果与表2中给出的已知AVaRα（L+）值进行了比较，这些结果是根据本文提出的概念计算的。

请注意，我们fixα=0.95。从分析上看，关于Cis的数值解的一个显著特点是：ρ已经达到了绝对上界≈ 0.8，而从参考测量值到科莫诺通关节分布的距离可计算为1.7。这强调了一个事实，即尽管科莫酮分布是最坏情况下AVaR的最大值，但还有几个分布，而且它们在结构上可能比科莫酮分布更合理。总之，本文引入了一个灵活的框架来聚合不同的风险，同时考虑到这些风险之间所选依赖结构的模糊性。所提出的数值方法使我们能够执行这项任务，而无需对聚合函数的特定形式、考虑的分布或解释模型模糊性的特定方式作出限制性假设。A、 附录A。第p阶矩差与p-范数差之间的基本不等式注释2中使用了以下结果。该陈述和证据摘自Norbert（2013）。引理2。让p∈ N和X，Y∈ Lp，然后是KXP- Ypk公司≤ kX公司- Y kpp-1Xk=0kXkkpkY kp-1.-kp。证据对于p=1，不等式显然成立。让p≥ 2，然后是Kxp- Ypk公司=（十）- Y）p-1Xk=0XkYp-1.-k≤ kX公司- Y kpp-1Xk=0|X | kq | Y |（p-1.-k） q1/q.（34）它适用于所有k∈ {0，…，p- 1} 那个|X | kq | Y |（p-1.-k） q≤ kXkkqpkY kp-kqp。（35）对于k∈ {0，p- 1} （35）立即生效。对于0<k<p- 1（35）之后是应用r=p/kq的H¨older不等式。把（34）和（35）放在一起，我们得到了xp- Ypk公司≤ kX公司- Y kpp-1Xk=0kXkkqpkY kp-kqp公司1/季度≤ kX公司- Y kpp-1Xk=0kXkkpkY kp-1.-KP因此提出索赔。A、 2。收敛分析示例4.1本节旨在演示如何评估获得的数值解的质量。我们考虑图1中ρ=0.25的情况。

我们使用抽样测量θprod并比较以下三个参数设置：（i）γ=100，批量=1024，N=15000和N fine=5000。（ii）γ=2500，批量=1024，N=15000，N fine=5000。（iii）γ=2500，批量=16，N=7500，N fine=2500。图6检查了设置（i）和（ii）之间的对比。可以看出，在这两种设置中，算法似乎以稳定的方式收敛。然而，在设置（i）中，双值φθ、γ（f）和原始值rfdu？之间存在明显差异？，使用最坏情况分布u？计算？。因此，我们可以得出结论，惩罚插入（i）不够充分，即惩罚参数γ选择得太低。这显然不是设置（ii）的情况。图7显示，小批量和少量迭代都会导致不良的数值行为。A、 3。第4.1节的证明我们想导出问题（24）的解析解。为此，copulasturns的概念非常有用。我们参考Nelsen（2007）对该主题的介绍。LetC表示所有copula的集合，并将共单调copula表示为M（u，u）=min（u，u），对于所有u，u∈ [0, 1]. 使用此符号，我们可以重写问题（24）并显示以下内容：φ（f）=supC∈C、 直流（M，C）≤ρZ[0,1]max（u，u）dC（u，u）=1+min（ρ，0.5）。图6：在两种设置下，参数设置（i）与γ=100和（ii）与γ=2500的比较，其中批次大小=1024，N=15000，N fine=5000。左上面板显示了双值φθ、γ（f）以及原始值rfdu？。右上角对应。左下面板显示了λresp的收敛性。直流（°u，u？）。右下面板从第一个边缘u？最坏情况分布u？。请注意，该柱状图也代表第二个边缘u？。在这两种情况下，计算时间均为205秒。证据

首先，我们推导出dc（M，C）的上界，其中C∈ C、 由于M位于单位平方的主对角线上，任意copula C的质量的垂直（或水平）投影∈ C到M是可行的运输计划，成本Sr[0,1]| u-u | dC（u）。后一个表达式出现在一个称为Spearman\'sfootrule的一致性度量的定义中，已知它被反单调copula W（u，u）最大化：=max（u+u- 1，0）表示所有u，u∈ [0，1]引用“见”liebscher2014copula。因此，我们得到了Dc（M，C）≤Z[0,1]| u- u | dC（u）≤Z[0,1]| u- u | dW（u）=Z | 2u- 1 | du=0.5。其次，我们证明了这个上界对于dc（M，W）是有参和的。Kantorovich Rubinstein指出- u |是任何点质量C（u，u）到主对角线M（u，u）的距离（以及运输成本）。图7：参数设置的收敛性分析（iii），其中γ=2500，批量=16，N=7500，N fine=2500。左上面板显示了双值φθ、γ（f）以及原始值rfdu？。右上角分别为。左下图显示了λresp的收敛性。直流（°u，u？）。右下面板绘制了第一个边缘u？最坏情况下的分布u？。请注意，此直方图也代表第二个边缘u？。计算时间为45秒。对偶产生的结果是dc（M，W）=sup | h（u）-h（v）|≤c（u，v）Z[0,1]h（u）dM（u）-Z[0,1]h（v）dW（v）≥Z[0,1]u+udM（u）-Z[0,1]v+vdW（v）=1- 0.5=0.5，其中我们只需设置h（u）=u+u来获得不等式。自dc（M，C）≤ 所有C为0.5∈ C、 我们得到dc（M，W）=0.5。结合这两个观测值，ρ>0.5时，φ（f）=supC∈CZ[0,1]max（u，u）dC（u，u）=Z[0,1]max（u，u）dW（u，u）=。因此，我们可以假设ρ≤ 0.5表示证明的剩余部分。让我们将copula Rα定义如下：Rα（u，u）=（W（u，u）if1-α≤ u、 u型≤1+αM（u，u）其他，对于α∈ [0, 1].