基于神经网络的鲁棒风险聚合

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英文标题：
《Robust risk aggregation with neural networks》
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作者：
Stephan Eckstein, Michael Kupper, Mathias Pohl
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider settings in which the distribution of a multivariate random variable is partly ambiguous. We assume the ambiguity lies on the level of the dependence structure, and that the marginal distributions are known. Furthermore, a current best guess for the distribution, called reference measure, is available. We work with the set of distributions that are both close to the given reference measure in a transportation distance (e.g. the Wasserstein distance), and additionally have the correct marginal structure. The goal is to find upper and lower bounds for integrals of interest with respect to distributions in this set. The described problem appears naturally in the context of risk aggregation. When aggregating different risks, the marginal distributions of these risks are known and the task is to quantify their joint effect on a given system. This is typically done by applying a meaningful risk measure to the sum of the individual risks. For this purpose, the stochastic interdependencies between the risks need to be specified. In practice the models of this dependence structure are however subject to relatively high model ambiguity. The contribution of this paper is twofold: Firstly, we derive a dual representation of the considered problem and prove that strong duality holds. Secondly, we propose a generally applicable and computationally feasible method, which relies on neural networks, in order to numerically solve the derived dual problem. The latter method is tested on a number of toy examples, before it is finally applied to perform robust risk aggregation in a real world instance.
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中文摘要：
我们考虑多元随机变量的分布部分不明确的情况。我们假设模糊性取决于依赖结构的水平，并且边际分布是已知的。此外，还提供了当前分布的最佳猜测，称为参考度量。我们使用的分布集在运输距离（如Wasserstein距离）上既接近给定的参考度量，又具有正确的边际结构。目标是找到关于该集中分布的感兴趣积分的上界和下界。所描述的问题自然出现在风险聚合的背景下。当聚合不同的风险时，这些风险的边际分布是已知的，任务是量化它们对给定系统的联合影响。这通常是通过对单个风险的总和应用有意义的风险度量来实现的。为此，需要指定风险之间的随机相关性。然而，在实践中，这种依赖结构的模型受到相对较高的模型模糊性的影响。本文的贡献有两点：首先，我们推导了所考虑问题的对偶表示，并证明了强对偶成立。其次，我们提出了一种普遍适用且计算可行的方法，该方法依赖于神经网络，以数值求解导出的对偶问题。后一种方法在许多玩具示例上进行了测试，然后才最终应用于在真实世界实例中执行稳健的风险聚合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-6-11 02:32:14 上传

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关键词：神经网络 神经网 distribution Mathematical Quantitative

神经网络Stephan-Eckstein的稳健风险聚合*迈克尔·库珀+马蒂亚斯·波尔2020年5月27日摘要。我们考虑多变量变量分布部分不明确的设置。我们假设模糊性取决于依赖结构的水平，并且边际分布是已知的。此外，还提供了当前分布的最佳猜测，称为参考度量。我们使用的分布集在运输距离（如Wasserstein距离）上既接近给定的参考度量，又具有正确的边际结构。目标是找到关于该集中分布的感兴趣积分的上界和下界。所描述的问题自然出现在风险聚合的背景下。当聚合不同的风险时，这些风险的边际分布是已知的，任务是量化它们对给定系统的联合影响。这通常是通过对单个风险的总和应用有意义的风险度量来实现的。为此，需要明确风险之间的随机相关性。然而，在实践中，这种相关性结构的模型具有相对较高的模型模糊性。本文的贡献有两点：首先，我们推导了所考虑问题的对偶表示，并证明了强对偶成立。其次，为了数值求解导出的对偶问题，我们提出了一种普遍适用且计算可行的方法，该方法依赖于神经网络。

后一种方法在许多玩具示例上进行了测试，然后才最终应用于在真实世界实例中执行稳健的风险聚合。*stephan，德国康斯坦茨大学数学系，邮编78464，邮编：10。eckstein@uni-康斯坦茨。德国康斯坦茨大学数学系，kupper@uni-康斯坦茨。de维也纳大学商业、经济与统计学院，Oskar Morgenstern Platz 1，1090 Vienna，Austria，mathias。pohl@univie.ac.at1.引言1.1。激励风险聚合是将企业内多种类型的风险组合在一起的过程。目的是为企业面临的总体风险获取有意义的衡量标准。在这方面，不同风险类型之间的随机相关性至关重要。有各种不同的方法来模拟这些相互依赖关系。人们通常会观察到，这些风险类型之间的依赖结构模型比单个风险类型的模型要不准确得多。我们采取以下方法来解决这个问题：我们假设边际风险的分布是已知和固定的。这一假设在许多实际情况下都是正确的。此外，风险聚合的定义与边际风险分布的计算无关。此外，我们采用了一个概率模型，用于连接给定边缘风险的依赖结构。请注意，文献中至少有两种不同的方法来指定这种参考依赖结构：连接函数和因子模型的构造。该参考模型的特定形式与我们的方法无关，只要它允许我们生成随机样本。

独立于所采用的方法，参考依赖结构的选择通常会受到高度不确定性的影响。我们的贡献是对特定参考模型的模糊性进行建模，同时对边际分布进行拟合。我们在本文中提出以下问题：在聚合不同风险时，我们如何解释特定依赖结构的模型模糊性？我们提出了一种直观的方法来解决这个问题：我们计算特定参考依赖结构周围邻域中最坏情况依赖结构的聚合风险。在这个社区的建设中，我们使用了运输距离（transportationdistance）。概率分布之间的这些距离度量足够灵活，可以捕获不同类型的模型歧义。同时，它们使我们能够通用地驱动数值方法，从而在合理的时间内解决相应的鲁棒风险聚合问题。为了突出我们的方法的一些进一步优点，我们可以确定当前问题的最坏情况依赖结构。因此，我们的稳健风险度量方法可以说也是风险管理的一个有用工具，因为它提供了关于给定系统压力最大的场景的见解。此外，应该强调的是，我们的方法既不局限于特定的风险度量，也不局限于特定的聚合函数。总之，所提出的方法提供了一种灵活的方法，可以在给定参考依赖结构且边缘固定的情况下，包含模型模糊性假设。它具有普遍适用性和计算可行性。在随后的小节中，在讨论相关文献之前，我们将更详细地概述我们的方法。1.2.

概述我们的目标是评估RDFD，还注意到我们的方法可用于解决完全无关的问题，如G.C.P flug和Pohl（2017）中介绍的依赖不确定性下的投资组合选择问题。对于一些f:Rd→ R在概率度量|Μ存在歧义的情况下∈ P（Rd），其中P（Rd）表示Rd上所有Borel概率测度的集合。特别是，我们假设边缘|u，“udof”u是已知的，歧义性与依赖结构的级别有关。此外，我们假设给出了一个参考依赖结构，即参考度量值u所暗示的结构，并且参考度量值u的模糊度可以由下面（2）中定义的传输距离dc建模。因此，我们考虑以下问题φ（f）：=最大u∈∏（°u，…，±ud）直流（±u，u）≤ρZRdf du，（1）其中集合∏（(R)u，…，ud）由所有u组成∈ P（Rd）满足ui=(R)ui对于所有i=1，d、 其中ui∈ P（R）和ui∈ P（R）表示u和u的第i个边缘分布。We fixa连续函数c:Rd×Rd→ [0, ∞) 对于所有x，c（x，x）=0∈ R、 关于成本函数c，在P（Rd）中|u和u之间的运输成本定义为dc（|u，u）：=infπ∈π（°u，u）ZRd×Rdc（x，y）π（dx，dy），（2），其中∏（°u，u）表示边缘u和u的所有耦合集。对于成本函数C（x，y）=| | x-y | | p带p≥ 1，映射d1/pcc对应于p阶的Wasserstein距离。本文发展的求解问题（1）的数值方法建立在问题（1）的以下对偶公式的基础上：infλ≥0，您好∈Cb（R）nρλ+dXi=1ZRhid？ui+ZRdsupy∈Rdhf（y）-dXi=1hi（yi）- λc（x，y）i‘（dx）o，（3），其中Cb（R）所有连续和有界函数的集合h:R→ R、 这种双重配方最初由Gao和Kleywegt（2017a）推导而来。

这些作者证明，对于上半连续函数SF:X，强对偶成立，即问题（1）和（3）重合→ R满足生长条件supx∈Xf（x）c（x，y）<∞ 对于一些y∈ 十、 其中X=X×。。。×xd对于可能的非紧子集X。。。，第二节中的定理1在以下方面扩展了对偶性：首先，函数sf:X→ R不需要满足依赖于成本c的增长条件。我们的结果适用于有界增长的上半连续函数。其次，我们可以考虑一个空间X=X×····×Xd，其中Xican是任意的波兰空间。我们强调，因此，问题设置可以包括一个已知和固定多变量边缘的信息结构。最后，定理1扩展了约束dc（(R)u，u）≤ ρ是关于dc（|u，u）的一般处罚方法。现在我们来讨论如何利用对偶公式（3）来解决问题（1）。一种方法是假设参考分布u为离散分布。在此背景下，Gao和Kleywegt（2017a）表明，对偶问题（3）可以在以下假设下重新表述为线性规划：首先，函数f可以写为函数的最大值。其次，参考分布||Μ由n个点x上的经验分布给出，第三，成本函数c必须是可加分离的，即c（x，y）=Pdi=1ci（xi，yi）。有关更多详细信息，请参阅第2.1节中的推论3。当只有很少的观测值可用于构建参考分布时，这种线性规划方法尤其有用。在这种情况下，通常需要考虑依赖结构的模糊性。然而，假设哪一个问题（3）可以通过线性规划来解决，排除了许多实际感兴趣的情况。

即使在线性规划适用的情况下，线性规划的最终规模在更高的维度上也很快变得难以处理。因此，本文提出了一种使用神经网络数值求解问题（3）的普遍适用且计算可行的方法。其基本思想是使用神经网络对∈ Cb（R），然后解决由此产生的有限维问题。理论上，神经网络的普遍逼近特性证明了这种方法的正确性，例如Hornik（1991）。为了利用神经网络，我们首先将（3）积分中的逐点上确界对偶化。在温和的假设下，这会导致infλ≥0，您好∈Cb（R），g∈Cb（Rd）：g（x）≥f（y）-Pdi=1hi（yi）-λc（x，y）nλρ+dXi=1ZRhid？ui+ZRdg d？uo。由于逐点不等式约束阻止使用神经网络直接实现，该约束将受到惩罚。这是通过引入测度θ来实现的∈ P（R2d），我们称之为抽样度量。此外，我们给出了一系列惩罚函数（βγ）γ>0，这提高了增加γ的惩罚精度，例如βγ（x）=γmax{0，x}。由此产生的优化问题读数为φθ，γ（f）：=infλ≥0，您好∈Cb（R），g∈Cb（Rd）nλρ+dXi=1ZRhid？ui+ZRdg d？u（4）+ZR2dβγf（y）-dXi=1hi（yi）- λc（x，y）- g（x）θ（dx，dy）o。在我们发展数值方法来计算φθ，γ（f）并进而近似φ（f）之前，我们需要研究收敛性φθ，γ（f）→ γ的φ（f）→ ∞. （5） 命题1给出了这种收敛的充分条件。此外，我们还提供了一个满足此导出条件的一般实例。它指出，（5）当成本函数c满足温和增长条件时，保持不变，并且抽样测度θ是参考测度和各自边际之间的乘积测度，即θ=(R)u (u ...

ud）。除了问题（1）的最优值之外，还需要相应的优化器。为此，我们发展了问题（4）的对偶性。这种对偶导致了一个简单的公式，一旦对偶公式（4）得到解决，就可以获得初始问题（1）的近似优化器。它表明，任何优化器（λ？，（h？i）i=1，。。。，d、 g？）of（4）给出了近似的计时器u？通过设置u？等于π？的第二个边缘？，π在哪里？是否由氡Nikodym导数π确定？dθ（x，y）：=βγf（y）- g？（十）-dXi=1h？一（彝语）- λ?c（x，y）. （6） 问题φθ，γ（f）符合标准框架，在该框架中，可以应用神经网络对∈ Cb（R）和g∈ Cb（Rd）。我们通过给出有限神经网络近似误差消失的条件，从理论上证明了这种参数化。在第3节中，我们详细介绍了使用神经网络求解φθ，γ（f）的数值解，包括神经网络结构、超参数和优化方法的选择。这种基于神经网络的方法是推导和研究该问题的主要原因（4）。尽管如此，问题（4）本身还是很有趣的，而且绝不局限于神经网络的应用：可以使用先进的一阶方法有效地解决它，如Nesterov（2012）。我们感谢一位匿名裁判向我们指出了这一点。本文其余部分的结构如下。在随后的第1.3节中，我们对相关文献进行了概述。我们的主要结果可以在第二节中找到，该节由三个部分组成：首先，我们陈述并证明了（1）和（3）之间的对偶的一般形式，并得出了其中的一些含义。在第2节的第二部分中，我们研究了上面等式（4）中引入的惩罚。第三，我们给出了φθ，γ（f）可以用神经网络逼近的条件。

第3节给出了实现细节。第4节介绍了四个玩具示例，旨在阐明已开发的概念。在最后的第5节中，将所获得的技术应用于现实世界的示例。因此，我们将在实践中演示如何使用神经网络实现稳健的风险聚合。1.3. 相关文献有三组不同的文献，它们在当前的背景下是相关的：第一，关于风险聚合的文献；其次，关于模型模糊性的文献，尤其是关于利用瓦瑟斯坦距离构建的模糊集的文献；第三，神经网络在金融和相关优化问题中的最新应用。风险聚合在第5节中，我们从应用的角度出发，解释了为什么对边际分布已知的损失总和的风险边界感兴趣。本主题的理论兴趣始于以下问题：当边际分布固定时，如何计算两个随机变量之和的分布函数的界？1982年，马卡洛夫（1982）和鲁申多夫（1982）解决了这个问题。20多年后，Embrechts和Pucceti（2006）开始研究这个问题的高维版本，因为它与风险管理相关。我们参考Embrechts、Wang和Wang（2015）以及Puccetti和Wang（2015），以了解在依赖性不确定性下风险聚合的发展概况，因为这个问题是杜撰出来的。让我们提到Puccetti和R¨uschendorf（2012）引入了所谓的重排算法，这是一种快速的数值计算感兴趣边界的过程。

将该算法应用于现实世界的例子表明，假设没有关于边际风险依赖性的信息可用，这一假设在概念上存在一个缺陷：聚合风险的隐含下限和上限相距遥远，不切实际。因此，一些作者最近试图克服这个缺点，并通过包含有关依赖结构的部分信息来提出更现实的界限。例如，Puccetti和R–uschendorf（2012）讨论了积极、消极或独立信息如何影响上述风险界限；Bernard、R¨uschendorf和Vandu ffel（2017年）推导出了限制总风险方差的风险边界；Bernard、R¨uschendorf、Vandu ffel和Wang（2017）考虑了依赖结构的部分特定因子模型。感兴趣的读者可参考R¨uschendorf（2017），了解这些方法和相关方法的最新回顾。最后，我们想指出Lux和Papapantoleon（2016）的有趣贡献。这些作者提供了一个框架，如果（a）极值信息可用，（b）连接边缘的copula在其域的子集上是已知的，并且（c）后一个copula位于参考copula的第八位，则允许他们推导VaR边界，这是通过统计距离测量的。由于我们的论文旨在对这一系列文献作出贡献，让我们指出，后一种关于Luxand Papapantoleon（2016）中使用的依赖结构的部分信息在精神上与我们的方法相似。