基于神经网络的鲁棒风险聚合

使用与证明开始时相同的投影参数，它遵循dc（M，Rα）≤Z[0,1]| u- u | dRα（u）=Z（1+α）/2（1-α） /2 | 2u- 1 | du=α/2。因此，dc（M，R√2ρ) ≤ ρ、 这意味着φ（f）≥Z[0,1]最大（u，u）dR√2ρ（u，u）=1+ρ。通过推论1，我们得到φ（f）=infλ≥0，您好∈C（[0,1]）（λρ+Xi=1Zhi（ui）dui+Z[0,1]supv∈[0,1]”最大值（v，v）-Xi=1hi（vi）- λXi=1 | ui- vi |#dM（u））。插入值λ=0.5，设置h（u）=h（u）=u/2，得出φ（f）≤ρ++0.A、 4。第4.2节的证明我们现在导出Φ的解析界，即问题（26）的解，如图3所示。让我们从证明以下上界Φ开始≤ 闵1 + α, 2 -√2.- 2α +ρ2(1 - α), （36）其中Φ在（26）中定义。证据由于推论1，Φ=infτ，λ≥0，您好∈C（[0,1]）（λρ+Xi=1支（ui）对（37）+Z[0,1]supv∈[0,1]\"τ +1 - αmax（v+v- τ, 0) -Xi=1hi（vi）- λXi=1 | ui- vi |#d（u，u））。以下等式（37）中优化器的选择产生了（36）中给出的Φ的上界：λ=2（1- α), τ = τ?:= 2.-√2.- 2α和hi（v）=1- αv-ατ?对于i=1，2。我们现在导出以下下界Φ≥ 闵1 + α, 2 -√2.- 2α +2(-3 + 2√2.- 2α + 3α)ρ3(2 - α)(1 - α)α, （38）其中Φ在（26）中定义。证据可以直接看到Φ在所考虑的瓦塞斯坦球半径ρ内围绕|u凹。这是因为我们通过L-度量定义了运输距离dcs的地面度量c（·，·），即c（x，y）=| | x-y | |。

因此，为了确定下限（38），我们只需要证明ρ？=α(1 - α)(1 - α/2）它认为Φ≥ 1 + α.因此，我们通过以下二元copulaCα（u，u）定义概率测度μα=uuif u∈ [0, α/2]∪ [α/2, α]2-ααuuif u∈ ([0, α/2] × [α/2, α]) ∪ ([α/2, α] × [0, α/2])1-αuuif u∈ [α，1]min（u，u）else。繁琐的计算表明dc（°u，μα）≤ α(1 -α)(1 -α/2) = ρ?, 其中，u是问题中定义的具有独立、标准均匀分布边缘的双变量概率测度（26）。此外，对于VU公司~ uα它认为AVaRα（U+V）=1+α。A、 5。相关矩阵本小节的目的是给出相关矩阵∑。回想一下，∑在Aas和Puccetti（2014）的案例研究中定义了六个自由度的Student-t copula cw作为参考依赖结构，我们在第5节中考虑了这一点。由于Aas和Puccetti（2014）在论文中没有给出该矩阵，我们只需选择以下任意相关矩阵∑=1 0.36 0.35 0.44 0.45 0.300.36 1 0.37 0.36 0.41 0.430.35 0.37 1 0.44 0.32 0.420.44 0.36 0.44 1 0.41 0.290.45 0.41 0.32 0.41 1 0.280.30 0.43 0.42 0.29 0.28 1.确认作者确认，Aas和Puccetti（2014）的文章中提供了支持本研究结果的数据。作者感谢Daniel Bartl、Ludovic Tangpi、Ruodu Wang以及众多会议和研讨会的参与者，在这些会议和研讨会上，作者提出了本文，为他们提供了有益的评论和有趣的讨论。此外，Mathias Pohl感谢PhilippSchmocker的帮助，并感谢奥地利科学基金会（FWF）在P28661拨款项下的支持，Stephan Eckstein衷心感谢Jan Ob l’oj的热情款待。最后，我们感谢两位裁判的有益评论。参考AAS，K.，&Puccetti，G.（2014）。

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