弱收敛条件下效用最大化的连续性

假设假设2.1成立，并且存在连续函数m，m：[0，1）→ R+，m（0）=m（0）=0（连续模量）和非负随机变量ζ∈ L(Ohm, F、 P）对于任何λ∈ （0，1）和v>0U（（1- λ） v，S）≥ (1 - m（λ））U（v，S）- m（λ）ζ。那么假设2.2成立。证据鉴于u是一个非递减函数（根据假设2.1（i）），有必要证明对于任何x>0limα↓0u（（1- α） x）≥ limα↓0u（（1+α）x）。对于任何β，y>0，映射（y，{γt}Tt=0）→ （βy，{βγt}Tt=0）是a（y）和a（βy）之间的双射。因此，limα↓0u（（1- α） x）≥ limα↓01.- m级1.-1.- α1 + αu（（1+α）x）-m级1.-1.- α1 + αEP[ζ]= limα↓0u（（1+α）x）。备注2.8。我们注意到power和log实用程序满足引理2.1的假设。另一方面，对于这些效用函数，假设2.2是向前延伸的。引理2.1的“实际”应用对应于（3.1）给出的效用函数。在这种情况下，如果v≥ST1型-λ然后U（（1-λ） v，S）=U（v，S）=0。如果v<ST1-λ然后| U（（1- λ） v，S）-U（v，S）|≤ λv≤λ1-λST。因此，对于m（λ）：=0，m（λ）：=λ1-λ和ζ：=ST引理2.1的假设成立（前提是EP【ST】<∞).接下来，我们处理假设2.3（ii）。引理2.2。假设存在常数C>0、0<γ<1和q>1-γ满足以下条件。（一） 适用于所有（v，s）∈ (0, ∞) ×D（[0，T]；Rd），（2.4）U（v，s）≤ C（1+vγ）。（二） 对于任意n∈ 存在一个局部鞅测度Qn∈ M（S（n）），使（2.5）supn∈NEQn公司dPndQnq< ∞.那么假设2.3（ii）成立。证据设p=qq-1、Clearlyp>γ。因此，鉴于（2.4），为了证明假设2.3（ii）成立，必须证明对于任何x>0supn∈Nsupπn∈An（x）EPn[（VπnT）1/p]<∞.对于任意n∈ N和πN∈ An（x），{Vπnt}Tt=0是一个Qnsuper-鞅。

因此，从Holder不等式（观察p+q=1）我们得到∈Nsupπn∈An（x）EPn[（VπnT）1/p]=supn∈Nsupπn∈An（x）方程（VπnT）1/pdPndQn≤ supn公司∈Nsupπn∈An（x）（EQn[VπnT]）1/psupn∈NEQndPndQnq1/季度≤ x1/psupn∈NEQndPndQnq1/q<∞,结果如下。假设2.4、2.5、2.63.1的必要性。关于假设2.4的必要性。让我们举例说明为什么消费2.4对于保持下半连续性至关重要。示例3.1。天真的离散化不起作用。设d=1。考虑一个随机效用，对应于执行价格K>0的看涨期权的短缺风险最小化。即，我们设置（3.1）U（v，s）：=-（（sT- K）+- v） +。我们有，u（x）=- infπ∈A（x）EPh（ST- K）+- VπT+i、 考虑Black-Scholes模型ST=SeσWt-σt/2，t∈ [0，T]其中σ>0是一个常数，W={Wt}Tt=0是一个布朗运动（undp）。我们采用朴素离散化，并定义过程S（n），n∈ N、 byS（N）t：=SkTn，kT/N≤ t<（k+1）t/n。设F（n）由S（n）生成的通常过滤。即F（n）t：=σnSTn。。。，SkTn，编号，千吨/吨≤ t<（k+1）t/N其中N是所有空集的集合。我们还设置Pn：=P。很容易看出S（n）=> S和假设2.1-2.3成立（假设2.2见备注2.8）。接下来，我们检查假设2.4。修正n。从假设2.4中回顾过程D（n），J（n）。首先，观察如果J（n）是一个适应的左连续过程，那么对于所有k<n J（n）（k+1），tn是F（n）ktn可测量的。请注意，对于或所有k<n，ess supS（n）（k+1）Tn- S（n）kTn | F（n）kTn= ∞ a、 通常ess sup（Y | G）是最小的随机变量（可以取∞) 这是G可测量的≥ Y a.s.这两个简单的观察结果表明，不存在满足J（n）（k+1）Tn的（有限）适应左连续过程{J（n）t}Tt=0≥D（n）（k+1）Tn。

因此，假设2.4不满足[37]（见第6.1.2节）中的要求，证明了对于过程S（n），n∈ 上述定义和初始资本x：=EP[（ST- K） +]（即黑色-斯科尔斯价格）wehavelim infn→∞infπn∈An（x）EPh（ST- K）+- VπnT+i> 0。显然，x是Black-Scholes价格的事实意味着infπ∈A（x）EPh（ST- K）+- VπT+i=0。We getu（x）=0>lim supn→∞un（x），因此命题2.1不成立。示例3.2。增长率为零的离散近似。考虑一种设置，其中对于任何n，S（n）是形式为（n）t=mnXi=1S（n）τ（n）iIτ（n）i的纯跳跃过程≤t<τ（n）i+1+S（n）TIt=Twhere mn∈ N和0=τ（N）<τ（N）<…<τ（n）mn+1=T是关于{F（n）T}Tt=0的停止时间。假设存在一个确定性序列an>0，n∈ N以至于limn→∞an=0和| S（n）τ（n）i+1- S（n）τ（n）i |≤ an | S（n）τ（n）i | a.S，i、 n.那么假设2.4在processesJ（n）t=anmnXi=1max1时成立≤j≤i | S（n）τ（n）j | iτ（n）i<t≤τ（n）i+1！，n∈ N、 换句话说，如果增长率一致为零，则假设2.4倍成立。这正是波动率有界的扩散模型的二项式近似的情况。3.2. 关于假设2.5的必要性。一个自然的问题是，假设2.5是否可以被一个更简单的假设所取代。在[22]中，作者分析了弱收敛何时意味着期权价格的收敛。粗略地说，主要结果是，在物理测度序列相对于鞅测度的连续性下，衍生证券的价格收敛。连续性假设（具体定义见[22]）比假设2.5更简单，仅处理近似序列。这种假设的主要优点是不需要建立弱收敛（与假设2.5不同）。

然而，这个经典结果假设极限模型是完整的。一般来说，在不完全市场中，“奇怪的现象”可能会发生，我们将在示例3.3中演示。在例3.3中，我们构造了一系列二项（离散）鞅S（n），考虑到它们的自然过滤弱收敛于连续鞅S（连续性假设通常成立）。令人惊讶的是，由鞅S给出的限制模型是一个完全不完全的市场（见[13]中的定义2.1），所有等价鞅测度集在所有鞅测度集中都是密集的（精确公式见[13]中的引理8.1）。我们使用这种结构来说明假设2.5是要做出的“正确”假设。我们构造的基石是在[6]中建立的以下结果（见定理8）。为了读者的方便，我们提供了一个简短的自包含的证明。引理3.1。设ξi=±1，i∈ N为i.i.d.且对称。定义流程W（n）t，^W（n）t，t∈ [0，T]byW（n）T：=qTnPki=1ξi，kTn≤ t<（k+1）Tn，^W（n）t：=qTnPki=1Qij=1ξj，kTn≤ t<（k+1）t其中pi=1≡ 然后，我们有弱收敛性（W（n），^W（n））=> （W，^W），其中W和^W是独立的布朗运动。证据我们应用了文献[43]中定理2.1给出的鞅不变性原理。对于任何n定义，过滤{G（n）t}Tt=0乘以G（n）t=σ{ξ，…，ξk}，对于kT/n≤ t<（k+1）t/n。观察W（n），^W（n）是关于过滤（n）的鞅。因此，仍需在【43】中确定（2）–（3）。很明显，sup0≤t型≤T | W（n）T- W（n）t-| = sup0≤t型≤T |^W（n）T-^W（n）t-| =rTn，因此最大跳跃大小为零，为n→ ∞. 此外，对于kT/n，[W（n）]t=[W（n）]t=kT/n≤ t<（k+1）t/n。因此，[W（n）]t→ t和[^W（n）]t→ t asn公司→ ∞.这有待证明∈ [0，T]（3.2）[W（n），^W（n）]T→ 概率为0。的确，让n∈ N和kT/N≤ t<（k+1）t/n。

显然，[W（n），^W（n）]t=TnkXi=1i-1Yj=1ξj，kTn≤ t<（k+1）Tn，其中qi=1≡ 观察随机变量sqmj=1ξj=±1，m∈ 阿雷伊。i、 d.对称。因此，E[W（n），^W（n）]t=Tnk公司≤T tnand（3.2）如下。这就完成了证明。示例3.3。二项式模型可以弱收敛到完全不完全市场。设d=1。对于任意n∈ 用ν（N）t:=Qki=1定义随机过程{ν（N）t}Tt=0和{S（N）t}Tt=01+qTnξi,kTn公司≤ t<（k+1）Tn，S（n）t：=Qki=11+分钟（ν（n）（i-1） Tn，ln n）qTnQij=1ξj,kTn公司≤ t<（k+1）Tn，式中ξi=±1，i∈ N是i.i.d.和对称。设Pn为相应的概率测度。我们假设n足够大，因此S（n）和min（ν（n），ln n）严格为正。设F（n）是由S（n）生成的过滤，F（n）t：=σnSTn。。。，SkTno，千吨/吨≤ t<（k+1）t/n。观察F（n）t=σ{ξ，…，ξk}，对于kT/n≤ t<（k+1）t/n。此外，支持S（n）（k+1）Tn | S（n）Tn。。。，S（n）kTn正是由两个点组成，因此物理测度pn是S（n）的唯一鞅测度。根据文献[15]中的定理4.3-4.4和引理3.1，我们得到了弱收敛（S（n），ν（n））=> （S，ν），其中（S，ν）是SDEdSt=νtStd^Wt的（唯一强）解，S=1（3.3）dνt=νtdWt，ν=1，其中W和^W是独立的布朗运动（P下）。即，对于完全二项模型S（n），n∈ N我们有弱收敛S（N）=> 其中S是随机波动率模型givenby（3.3）的分布。这是【23】中介绍的Hull–White模型的一个特例。根据[42]中的定理3.3，可以得出{St}Tt=0是真鞅。因此，EP【ST】=S=1=S（n）=EPn【S（n）T】。这与文献[5]中的定理3.6一起给出了随机变量{S（n）T}n∈Nare一致可积。让我们观察一下，假设2.5并不成立。实际上，对于任何n，我们都有等式M（S（n））={Pn}。

因此，（（S，1）；P） 是分布的唯一群集点S（n），dQndPn; Pn, Qn公司∈ M（S（n））。由于集合M（S）不是一个单体，因此显然不满足假设2.5。接下来，让K>0。考虑一个执行价格为K且效用函数为（3.1）的看涨期权。显然，假设2.1（i）和假设2.3（ii）（U+≡ 0）表示满意。我们想证明命题2.2不成立。对于任意n∈ N设Vn为S（N）给出的（完全）模型中上述看涨期权的唯一无套利价格。从弱收敛S（n）=> S与{S（n）T}n的一致可积性∈西北getlimn→∞Vn=EPh（ST- K） +i<S=1。尤其是存在 > 0使得对于足够大的n，我们有Vn<1-.因此，limn→∞un（1- ) = 另一方面，S给出的模型是一个完全不完整的市场（参见[13]中的定义2.1和示例2.5）。在[13，38]中，有证据表明，在完全不完全市场中，超级复制价格高得令人望而却步，并导致购买和持有策略。也就是说，看涨期权的超级对冲价格等于初始股价S=1。因此u（1- ) < 因此，命题2.2不成立。3.3. 关于假设2.6的必要性。示例3.4。非凹面实用程序。设d=1。假设投资者效用函数由u（v，s）：=min（2，max（v，1）），且仅取决于财富。我们注意到函数U不满足第2.6节的要求。对于任意n∈ N考虑由s（N）t给出的二项式模型：=kYi=11+ξ英寸,kTn公司≤ t<（k+1）Tn，式中ξi=±1，i∈ N是i.i.d.和对称。即Pn是第n个模型的唯一鞅测度。显然，对于常数过程S≡ 1我们有弱收敛S（n）=> S、 因此，假设2.1（i）、假设2.3（ii）和假设2.5得到满足。接下来，考虑初始资本x：=1。观察任何n，都有一个setAn∈ σ{ξ，…，ξn}，Pn（An）=1/2。

因此，从二元模型的完备性我们可以得到存在πn∈ （1）使得VπnT=2IAn。特别是un（1）≥ EPn[最小值（2，最大值（2，1））]=3/2，n∈ N、 另一方面，u（1）=1，这意味着命题2.2不成立。本文[41]研究了完全市场中终端财富（分布收敛下）效用最大化问题价值的连续性。作者没有假设效用函数是凹函数。主要结果表明，如果极限概率空间是无原子的，并且模型的原子不邻接序列正在消失（见[41]中的假设2.1），则连续性成立。显然，上述示例3.4中没有满足这一要求，因为限额过程产生的过滤微不足道。一个悬而未决的问题是，是否可以将[41]的连续性结果推广到不完全情况。弱收敛下的下半连续性在本节中，我们证明了命题2.1。我们从建立一般结果开始。对于任何M>0和n∈ N引入从γ（N）t=kXi=1βiIti<t的所有简单可预测被积函数的集合Γ（N）≤ti+1，其中k∈ N、 0=t<t<..<tk+1=T是确定性划分，βi=ψi（S（n）ai，1。。。，S（n）ai，mi），i=1。。。，k、 对于确定性分区0=ai，1<…<ai，mi=t和连续函数ψi：（Rd）mi→ Rd满足ψi≤ M引理4.1。设γ为可预测过程（关于（FSt）0≤t型≤T） 带|γ|≤对于某些常数M，则存在一个序列γ（n）∈ Γ（n）M，n∈ 这样我们的弱收敛性（4.1）{S（N）t}Tt=0，Ztγ（n）udS（n）uTt=0！=>{St}Tt=0，ZtγudSuTt=0！在空间D（[0，T]；Rd）×D（[0，T]；R）上。证据在空间上(Ohm, F、 （FSt）0≤t型≤T、 P），设ΓMbe形式为（4.2）γT=kXi=1βiIti<T的所有被积函数集≤ti+1，其中k∈ N、 0=t<t<。。。。

<tk+1=T是确定性分区，（4.3）βi=ψi（Sai，1，…，Sai，mi），i=1。。。，K对于确定性分区0=ai，1<…<ai，mi=t和连续函数ψi：（Rd）mi→ Rd满足|ψi |≤ M、 根据标准密度参数，任何 > 0我们可以找到γ∈ Γm满足的项目sup0≤t型≤TZtγudSu-ZtγudSu> < .因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设γ∈ ΓM.因此，让γ由（4.2）–（4.3）给出。对于任意n∈ N定义γ（N）∈ Γ（n）Mby（4.4）γ（n）t：=kXi=1ψiS（n）ai，1。。。，S（n）ai，miIti<t≤ti+1，t∈ [0，T]。众所周知，在Skorokhod空间d（[0，T]；Rd）上存在一个度量d，该度量d导出了Skorokhod拓扑，因此d（[0，T]；Rd）在d下是可分离的（有关详细信息，请参见[5]中的第3章）。从弱收敛S（n）=> S和Skorokhod表示定理（见[14]中的定理3]），由此我们可以重新定义随机过程S（n），n∈ N和S在同一概率空间上，使得limn→∞d（S（n），S）=0 a.S.回想一下，如果limn→∞d（z（n），z）=0和z：[0，T]→ RDI是一个连续函数，然后limn→∞sup0≤t型≤T | z（n）T- zt |=0（例如，参见[5]中的第3章）。我们得出结论，（4.5）sup0≤t型≤T | S（n）T- St |→ 0 a.s.接下来，调用分区0=t<t<..<tk+1=T，并通过关系式（4.2）–（4.4）重新定义（在公共概率空间上）被积函数γ，γ（n）。

由于这些被积函数很简单，因此相应的随机积分r tγudSu，r tγ（n）udS（n）u，t∈ [0，T]可以重新定义为固定金额。根据（4.5）和ψi的连续性，i=1。。。，k我们明白了SUP0≤t型≤T |γ（n）T- γt|→ 0 a.s.因此，sup0≤t型≤TZtγ（n）udS（n）u-ZtγudSu= sup0≤t型≤TkXi=1γ（n）ti+1（S（n）ti+1∧t型- S（n）ti∧t）- γti+1（Sti+1∧t型- Sti公司∧t）≤ sup0≤t型≤TkXi=1γ（n）ti+1（S（n）ti+1∧t型- S（n）ti∧t）- （Sti+1∧t型- Sti公司∧t）+ sup0≤t型≤TkXi=1（γ（n）ti+1- γti+1）（Sti+1∧t型- Sti公司∧t）≤ 2Mkd sup0≤t型≤T | S（n）T- St |+2kd sup0≤t型≤T |γ（n）T- γt | sup0≤t型≤T | St |→ 0 a.s.，证明已完成。现在，我们准备证明命题2.1。命题2.1的证明。证明将分两步进行。第一步：对于任何x>0的情况，让A（x） A（x）是所有可容许的投资组合π=（x，γ）的集合，使得γ是可预测的、一致有界的和有界变化的。在这一步中，我们展示了对于任何x>x>0（4.6）u（x）≤ supπ∈A（x）EP[U（VπT，S）]。先验地，（4.6）的左侧和右侧都可以等于∞.设‘π=（x，’γ）∈ A（x）是任意的投资组合。通过应用[2]中定理3.4给出的密度变元，我们得出存在一个有界变差的自适应连续过程▄γ={▄γt}Tt=0，使得SUP0≤t型≤TZtγudSu-ZtγudSu≤x个- xa。s、 我们得出结论，由∧π得出的投资组合：=（x，∧γ）满足（4.7）V∧πt≥ V'πt+x- x个≥x个- x、 t型∈ [0，T]。接下来，对于连续过程▄γ，确定停止时间θn：=T∧ inf{t：|γt |=n}，n∈ Nand交易策略▄γ（n）t：=It≤θnγt，t∈ [0，T]。设置▄πn=（x，▄γ（n））。很明显，|γ（n）|≤ n从（4.7）中，我们得到V|πnt=V|πt∧θn≥x个- x、 t型∈ [0，T]。因此，|πn∈ A（x）。

观察θn↑ T a.s.和solimn→∞V∏nT=limn→∞V|πθn=V|πT。这与Fatou引理一起，假设2.1（注意V|πnT≥x个-x> 0），U是连续的，并且（4.7）给定sep[U（V'πT，S）]≤ EP[U（V∏T，S）]≤ lim信息→∞EP[U（V∏nT，S）]。自'π∈ A（x）是任意的，我们完成了（4.6）的证明。第二步：根据（4.6）和假设2.2，为了证明命题2.1，它足以证明任何初始资本x>0，0< <X和π∈ A（x-2.)存在一个序列πn∈ An（x），n∈ N其中满足（4.8）限制信息→∞EPn[U（VπnT，S（n））]≥ EP[U（VπT，S）]。让0< <x和π=（x- 2., γ) ∈ A（x- 2.). 设M>0，使|γ|≤ M、 引理4.1提供了简单被积函数γ（n）的存在性∈ Γ（n）M，n∈ N满足（4.1）。对于给定的n，投资组合（x，γ（n））可能不可接受，因此需要进行修改。回忆假设2.4和随机过程J（n），n∈ N、 对于任意N∈ N引入停车时间（4.9）ΘN：=T∧ inf公司t:x+Zt-γ（n）udS（n）u< + MdJ（n）t,用γ（n）t定义投资组合πn=（x，’γ（n））：≤Θnγ（n）t.让我们证明vπnt≥  对于所有t∈ [0，T]。实际上，Vπnt=x+Zt∧Θnγ（n）udS（n）u≥ x+Zt∧Θn-γ（n）udS（n）u- M d | S（n）t∧Θn-- S（n）t∧Θn|≥  + MdJ（n）t∧Θn- M d | S（n）Θ- S（n）Θ-| ≥ 根据需要。第一个不等式来自|γ（n）|≤ M、 第二个不等式来自于这样一个事实，即在时间间隔[0，Θn）上，se具有x+R·-γ（n）udS（n）u≥ + MdJ（n）·。最后一个不等式是由J（n）Θ引起的≥ |S（n）Θ- S（n）Θ-|. 我们得出结论，πn∈ An（x）和（4.10）VπnT=x+ZΘnγ（n）udS（n）u≥ .接下来，我们应用斯科罗霍德表示定理。