弱收敛条件下效用最大化的连续性

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英文标题：
《Continuity of Utility Maximization under Weak Convergence》
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作者：
Erhan Bayraktar, Yan Dolinsky, Jia Guo
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this paper we find tight sufficient conditions for the continuity of the value of the utility maximization problem from terminal wealth with respect to the convergence in distribution of the underlying processes. We also establish a weak convergence result for the terminal wealths of the optimal portfolios. Finally, we apply our results to the computation of the minimal expected shortfall (shortfall risk) in the Heston model by building an appropriate lattice approximation.
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中文摘要：
在本文中，我们找到了终端财富效用最大化问题的值连续性与基础过程分布收敛性相关的紧充分条件。我们还建立了最优投资组合的最终财富的弱收敛结果。最后，我们通过构建适当的晶格近似，将我们的结果应用于计算赫斯顿模型中的最小预期短缺（短缺风险）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：效用最大化 最大化 弱收敛 连续性 Mathematical

WEAKCONVERGENCEERHAN BAYRAKTAR、YAN DOLINSKY和JIA GUOAbstract下效用最大化的连续性。在本文中，我们找到了终端财富效用最大化问题的价值连续性与基础过程分布收敛性相关的紧充分条件。我们还建立了最优投资组合最终财富的弱收敛结果。最后，我们通过构建适当的晶格近似，将我们的结果应用于计算赫斯顿模型中的最小预期短缺（短缺风险）。内容1、导言12。预备工作和主要结果32.1。验证假设2.2和假设2.3（ii）73。假设2.4、2.5、2.6的必要性83.1。关于假设2.4 83.2的必要性。关于假设2.5 93.3的必要性。关于假设2.6的必要性124。弱收敛下的下半连续性125。弱收敛下的上半连续性175.1。定理2.2的证明196。赫斯顿模型196.1的基于晶格的近似。离散化206.2。验证假设2.5 227。赫斯顿模型257.1中短缺风险的近似值。数值结果28参考文献321。引言数学金融的一个基本问题是经济主体的问题，经济主体在金融市场上进行投资，以最大化其最终财富的预期效用。效用最大化问题可以追溯到R.Merton（34，35）的最终工作，并在[7，26，28，11，9，21，40，4]中继续讨论。2010年数学学科分类。91G10、91G20。关键词和短语。不完全市场、效用最大化、弱收敛。E、 Bayraktar部分由国家科学基金会DMS1613170资助，部分由Susan M.Smith教授资助。Y

多林斯基获得以色列科学基金会第160/17号拨款的部分资助。本文讨论了以下问题：给定一个效用函数和一个具有标的资产（S（n））n的金融市场序列∈n弱收敛到S，在什么条件下效用最大化问题的值（来自终端财富）收敛到S给出的模型的相应值？本文的动机是以下经济应用。首先，在一般（不完全）金融市场中，效用最大化问题不需要显式解决方案，因此数值方案自然会出现。另一个重要的动机是校准的实际局限性。也就是说，我们想了解效用最大化问题在资产价格规律的小错误下是否稳定。据我们所知，弱收敛下的连续性是在一个完整的市场体系中研究的（见[20，39，41]）。在这项工作中，我们考虑了一般不完全市场模型和连续（作为终端财富的函数）随机效用函数的收敛问题。当我们分别具有上半连续性和下半连续性时，我们将主要结果即定理2.1的证明分为两个主要步骤。我们表明，对于下半连续性，近似序列（S（n））n∈Nhas消失跳跃活动。假设2.4给出了形式条件。其主要思想是证明形式rγdS的容许积分可以用形式rγ（n）dS（n，n）的容许积分在弱意义下近似∈ N

跳跃活动的假设对于近似序列的可容许性至关重要。我们用一个例子证明了这一假设的必要性；见第3.1节。我们想强调的是，在这一步中，效用函数的凹度不是必需的。第二步，即上半连续性更为精细。我们证明，如果效用函数是凹函数，并且limitmodel中的状态价格密度可以用近似序列中的状态价格密度来近似（见假设2.5），那么上半连续性成立。证明依赖于选项分解定理。在第3.2–3.3节中，我们讨论了我们假设的必要性。第3.2节中的示例3.3本身就令人惊讶和感兴趣。在本例中，我们构建了一系列完全市场模型（二项式模型），这些模型弱收敛于不完全市场模型（随机波动率模型）。除了值的收敛性外，我们还证明了最优投资组合的最终财富的弱收敛性；见定理2.2。一个悬而未决的问题是，是否存在最优交易策略的收敛，即被积函数的收敛。在一个完整的市场体系中，最优交易策略的收敛性在[20，39]中得到。这一证明基于对最优交易策略的明确描述。在不完整的市场结构中，我们没有最优投资组合的明确公式。因此，问题更加复杂，需要额外的机械（见备注2.7）。我们应用我们的连续性结果来构建一个近似序列，以验证我们在第6节中对赫斯顿模型的所有假设。我们的方法基于三项式树的重组，因此，出于技术原因，我们以波动率有界的方式截断模型。

我们构造的新颖之处在于，近似序列位于网格上，满足了终端财富效用最大化问题价值连续性所需的假设。网格结构通过动态规划实现了对随机控制问题的高效数值计算。我们的最后一个贡献，即第7节的主题，是在Heston模型中为数值计算构建的近似模型的实现。对于短缺风险度量，我们表明截断误差可以控制，见引理7.1，因此我们的结果适用于未截断的Hestonmodel。众所周知（见[10、17、13、38]），在赫斯顿模型中，超级复制价格高得令人望而却步，并导致买入并持有策略。也就是说，对欧洲看涨期权进行超级对冲最便宜的方法是在初始时间购买一只股票，并将该头寸保持到到期。这就是为什么短缺风险的计算很重要。这无法通过分析来完成，因此数字模式出现了。与本文研究的问题密切相关的一个主题是效用最大化问题在市场参数和投资者偏好下的稳定性。自从研究完全市场以来，在研究不完全市场中效用最大化问题的稳定性方面取得了很大进展（例如，参见[31，30，27，32，3，1，33，36]）。与我们的设置主要不同的是，在这些论文中，随机基础是固定的，而在我们的设置中，每个金融模型都是在其自身的概率空间中定义的。因此，尽管上述论文讨论了模型在小扰动下的稳定性，但我们能够使用离散模型获得数值近似值。论文的其余部分组织如下。

在下一节中，我们将介绍设置并阐述主要结果。在第3节中，我们讨论了假设2.4、2.5、2.6，并证明了它们的必要性。在第四节中，我们证明了下半连续性。在第5节中，我们证明了上半连续性。在第5.1节中，我们建立了定理2.2。第6节致力于构建赫斯顿模型的近似序列。在第7节中，我们对短缺风险最小化进行了详细的数值分析。2、预备工作和主要结果我们考虑了一个证券市场模型，该模型由d个风险资产组成，这些风险资产由S=（S（1）t。。。，S（d）t）0≤t型≤T、 其中T<∞ 是时间范围。我们假设投资者有一个银行账户，为简单起见，该账户没有利息。假设过程S是过滤概率空间上的连续半鞅(Ohm, F、 （FSt）0≤t型≤T、 P）其中过滤（FSt）0≤t型≤这是通常由S生成的过滤。即过滤{FSt}Tt=0是最小过滤，是完整的、正确连续的且满足Ft σ{Su:u≤ t} 。在不损失一般性的情况下，我们取F：=FST。（自融资）投资组合π定义为一对π=（x，γ），其中常数xis为投资组合的初始值，γ=（γ（i））1≤我≤dis是一个可预测的S–可集成流程，指定投资组合中持有的每项资产的金额。相应的投资组合价值过程由vπt给出：=x+ZtγudSu，t∈ [0，T]。观察到S的连续性意味着财富过程{Vπt}Tt=0也是连续的。我们说，如果Vπt，交易策略π是可容许的≥ 0, t型≥ 对于任何x>0，我们用A（x）表示所有可容许交易策略的集合。用M（S）表示所有等价（P）局部鞅测度的集合。我们假设M（S）6=. 这一状况与证券市场上缺乏机会密切相关。

有关精确的陈述和引用，请参见[12]。接下来，我们介绍效用最大化问题。考虑一个连续函数U：（0，∞) ×D（[0，T]；Rd）→ R、 通常，D（[0，T]；Rd）表示所有RCLL（左极限右连续）函数f的空间：[0，T]→ Rdequippedwith the Skorokhod topology（详细信息请参见[5]）。假设2.1。（i） 对于任何s∈ D（[0，T]；Rd）函数U（·，s）为非递减函数。（ii）对于任何x>0，我们有EP[U（x，S）]>-∞ .我们通过U（0，s）：=limv将U扩展到R+×D（[0，T]；Rd）↓0U（v，s）。根据假设2.1（i），存在限制（可能是-∞).对于给定的初始资本x>0，考虑优化问题u（x）：=supπ∈A（x）EP[U（VπT，S）]，其中我们设置-∞ + ∞ = -∞. 即，对于满足以下条件的随机变量X(-十、 [0]=∞ 我们设置EP[X]：=-∞.让我们注意到假设2.1（ii）意味着u（x）>-∞.假设2.2。函数u：（0，∞) → R∪{∞} 是连续的。也就是说，对于任何x>0，我们有u（x）=limy→xu（y），其中先验联合值可以等于∞.接下来，对于任意n，让S（n）=（Sn，1t，…，Sn，dt）0≤t型≤Tbe在某些过滤概率空间上定义的循环半鞅(Ohmn、 F（n），（F（n）t）0≤t型≤T、 Pn）其中过滤（F（n）T）0≤t型≤t符合通常的假设（正确的连续性和完整性）。对于第n个模型，我们将An（x）定义为所有对的集合πn=（x，γ（n）），这样γ（n）是一个可预测的S（n）-可积过程，由此产生的portfoliovalue过程vπnt：=x+Ztγ（n）udS（n）u≥ 0，t∈ [0，T]为非负。Set，un（x）：=supπn∈An（x）EPn[U（VπnT，S（n））]。我们假设弱收敛S（n）=> S位于空间D（[0，T]；Rd）上，该空间具有Skorokhod拓扑（有关详细信息，请参阅[5]中的第4章）。

此外，我们假设了以下一致可积性假设。假设2.3。（i） 对于任何x>0的随机变量族{U-（x，S（n））}n∈Nis统一整数，其中U-:= 最大值(-U、 0）。（ii）对于任何x>0的随机变量族{U+（VπnT，S（n））}n∈N、 πN∈An（x）是一致可积的，其中U+：=max（U，0）。备注2.1。验证假设2.2和假设2.3（ii）可能是一项艰巨的任务。在第2.1节中，我们提供了非常一般且易于验证的条件，这些条件足以使上述假设成立。由于容许性要求，我们需要以下假设，以限制跳跃活动的不确定性。这一假设将在第3.1节中详细讨论。假设2.4。对于任意n∈ N考虑由D（N）t给出的非递减RCLL过程：=sup0≤u≤t | S（n）u- S（n）u-|, t型∈ [0，T]其中············································≤t型≤T） 左连续过程{J（n）T}Tt=0，n∈ N以便inf0≤t型≤TJ（n）t- D（n）t≥ 0 a.s.和J（n）T→ 0不可能性。备注2.2。让我们注意假设2.4和弱收敛S（n）=>S意味着S是一个连续的过程。事实上，根据假设2.4，我们得到了SUP0≤u≤T | S（n）u- S（n）u-| → 这与文献[5]中的定理13.4一起得到了Sis连续。现在，我们准备给出我们的第一个结果（下半连续性），这将在第4节中得到证明。提案2.1。在假设2.1–2.2、假设2.3（i）和假设2.4下，我们有u（x）≤ lim信息→∞un（x），x>0。接下来，我们处理上半连续性。假设2.5。调用所有等价局部鞅测度的集合M（S）。用M（S（n））表示，n∈ N第N个模型的所有等价局部鞅测度的集合。

对于任何Q∈ 存在一系列概率测度qn∈ M（S（n）），n∈ N使得在Pn下{S（n）t}Tt=0，dQndPn在空间D（[0，T]；Rd）×R上，收敛于{St}Tt=0，dQdP在P下，我们用（2.1）表示这种关系S（n），dQndPn; Pn=>S、 dQdP; P.备注2.3。验证假设2.5需要对相应的局部鞅测度进行适当的表示。这就是基于树的扩散过程近似的情况。在第6.2节中，我们说明了假设2.5对赫斯顿模型基于树的近似值的验证。我们注意到，为了验证假设2.5，有必要为dQdP:Q∈ 米（秒）. 此简化将在第6.2节中使用。备注2.4。在完整的市场设置中，假设2.5相当于标的资产和Radon–Nikodym导数在唯一风险中性概率度量方面的联合收敛。在这种情况下（见[39]），假设2.5保证了值和最优策略的收敛性。假设2.6。对于任何s∈ D（[0，T]；Rd），函数U（·，s）是凹的。假设2.6表示，投资者无法从额外的随机化中获益。第5节将证明以下上半连续性结果。提案2.2。根据假设2.1（i）、假设2.3（ii）和假设2.5、2.6，我们有u（x）≥ lim支持→∞un（x），x>0。现在，我们将上述命题的陈述结合起来，并将其表述为本文的主要定理：定理2.1。在假设2.1–2.3,2.4,2.5,2.6下，我们有（2.2）u（x）=limn→∞un（x），x>0。证据遵循命题2.1和命题2.2。备注2.5。

根据假设2.3，我们发现-∞ < lim信息→∞un（x）≤ lim支持→∞un（x）<∞, x>0。我们得出结论，（2.2）中的联合价值是有限的。接下来，我们建立了最优终端财富的弱收敛性。定理2.2。假设假设2.1–2.3、2.4、2.5、2.6是正确的。此外，假设对于任何∈ 函数U（·，s）是严格凹的。Letx>0和^πn∈ An（x），n∈ N是渐近最优投资组合序列，即（2.3）limn→∞un（x）- EPn[U（V^πnT，S（n））]= 0那么S（n），V^πnT=>S、 V^πT,其中^π∈ A（x）是唯一满足u（x）=EP[u（V^πT，S）]的投资组合。定理2.2的证明将在第5.1节中给出。备注2.6。众所周知（见[28]中的定理2.2），对于严格凹的效用函数，存在唯一的优化器。虽然在[28]中，作者没有考虑随机效用，但他们的论点对我们的设置没有太大影响。备注2.7。一个自然的问题是，定理2.2是否可以用于建立最优交易策略（被积函数）的收敛结果。这个问题似乎与[24]中研究的鞅表示的鲁棒性密切相关。【24】（定理A）中的主要结果处理的是基础过程是关于相同过滤的鞅的情况，这在我们的设置中并不满足。[24]中的第4节讨论了弱收敛设置，但得到的结果仅限于某些特定情况，对于这些情况，被积函数有明确的表示。2.1. 验证假设2.2和假设2.3（ii）。下面的结果提供了一个简单且相当普遍的条件，这意味着假设2.2。引理2.1。