弱收敛条件下效用最大化的连续性

回想一下，进程{J（n）t}Tt=0，n∈ N为非负、非递减和J（N）T→ 概率为0。这与（4.1）一起意味着我们有弱收敛性（4.11）{J（n）t}Tt=0，{S（n）t}Tt=0，Ztγ（n）udS（n）uTt=0！=>0，{St}Tt=0，ZtγudSuTt=0！在空间D（[0，T]；R）×D（[0，T]；Rd）×D（[0，T]；R）上。对于任意n∈ N被积函数γ（N）的形式为（4.4）。因此，被积函数γ（n）和相应的随机积分r·γ（n）udS（n）uar由s（n）沿路径确定。因为γ是有界变化的，所以我们有ztγudSu=γtSt- γS-ZtSudγu，其中最后一项是路径Riemann–Stieltjes积分。我们得出结论，γ和相应的随机积分r·γ都是由s决定的。因此，根据斯科罗霍德表示定理和（4.11），我们可以重新定义随机过程γ（n）、S（n）、J（n）、n∈ N和γ，S在同一概率空间上，使得（4.5）成立，（4.12）sup0≤t型≤TJ（n）t→ 0 a.s.和（4.13）sup0≤t型≤TZtγ（n）udS（n）u-ZtγudSu→ 如（4.5）中所述，一致收敛是由于极限过程是连续的。通过应用（4.9），我们重新定义了∈ N在公共概率空间上。在滥用符号的情况下，我们分别用P和E表示公共概率空间上的概率和期望。首先，我们认为（4.14）limn→∞P（Θn=T）=1。回想一下，可容许投资组合π=（x-2., γ). 从（4.13）可以看出：→∞inf0≤t型≤Tx+Ztγ（n）udS（n）u= x+inf0≤t型≤TZtγudSu≥ 2..尤其是→∞Pinf0≤t型≤Tx+Ztγ（n）udS（n）u>3.= 这与（4.12）一起给出了（4.14）。最后，根据Fatou引理，U的连续性，假设2.1（i），假设2.3（i）（回想一下VπnT≥ ), （4.5）、（4.10）和（4.13）–（4.14）我们获得了→∞EPn[U（VπnT，S（n））]=lim infn→∞E“Ux+ZΘnγ（n）udS（n）u，S（n）#≥ E“Ux+ZTγudSu，S#≥ EP【U（VπT，S）】，和（4.8）如下。5.

弱收敛下的上半连续性在本节中，我们证明命题2.2。证据让x>0。从假设2.3（ii）可以看出，对于任何n∈ N un（x）<∞. 因此，我们可以选择一个序列^πn∈ An（x），n∈ 满足（2.3）的N。在不丧失一般性的情况下（通过传递到子序列），我们假设limitlimn→∞存在EPn[U（V^πnT，S（n））]。我们将证明存在^π∈ A（x）如（5.1）EP【U（V^πT，S）】≥ 画→∞EPn[U（V^πnT，S（n））]，这将给出命题2.2。证明将分两步进行。第一步：选择Q∈ M（S）（回想一下，我们假设M（S）6=) 并设置Z：=dQdP。从假设2.5可以看出，存在一个序列Qn∈ M（S（n）），n∈ （2.1）适用。对于任何n，{V^πnt}Tt=0是一个Qnsuper–鞅。因此，EPnV^πnTdQndPn= 方程n【V^πnT】≤ V^πn=x。我们得出结论，序列V^πnTdQndPn；Pn, n∈ N很紧。这与（2.1）一起产生序列S（n），dQndPn，V^πnTdQndPn; Pn, n∈ N在空间D（[0，T]；Rd）×R上是紧的。从普罗霍洛夫定理可以看出，存在一个子序列S（n），dQndPn，V^πnTdQndPn; Pn（为了简单起见，子序列仍然用n表示）弱收敛。从（2.1）中，我们得到（5.2）S（n），dQndPn，V^πnTdQndPn; Pn=> （S，Z，Y），其中Y是某个随机变量。尤其是弱收敛（5.3）S（n），V^πnT; Pn=>S、 YZ公司.随机向量（S、Z、Y）定义在新的概率空间（）Ohm,~F，~P），这可能不同于原始概率空间(Ohm, F、 P）。我们在新的概率空间上重新定义了过滤FS（由S生成的通常过滤）和集合M（S），A（·）（与之前一样，这些集合是根据FS定义的Ohm,F，▄P）。设置（注意YZ≥ 0）（5.4）V：=EPYZ | FST其中，先验V可以等于∞ 概率有限。

为了证明（5.1），有必要证明存在^π∈ A（x）使得（5.5）V^πT≥ 实际上，如果（5.5）成立（尤其是V<∞ a、 然后从Jensen不等式，U的连续性，假设2.1（i），假设2.3（ii），假设2.6和（5.3），我们得到（5.6）EP[U（V^πT，s）]≥ EP【U（V，S）】≥ EPUYZ，S≥ 画→∞EPn[U（V^πnT，S（n））]根据需要。这就把我们带到了第二步。第二步：在此步骤中，我们建立（5.5）。鉴于可选分解定理（文献[29]中的定理3.2），有必要证明sup^Q给出的超级套期保值价格∈M（S）E^Q[V]小于或等于x。从（5.4）我们得到sup^Q∈M（S）E^Q[V]=sup^Q∈M（S）EP“YZdQdP。因此，仍需证明对于任何Q∈ 米（S）（5.7）x≥ E▄P“YZd^Qd▄P▄。根据假设2.5，我们得到一个序列^Qn∈ M（S（n）），n∈ N其中（5.8）S（N），d^QndPn！；请注意！=>S、 d^QdP！；P这与（5.2）一起得出序列（n），dQndPn，VπnTdQndPn，d^QndPn！；请注意！，n∈ N、 在空间D（[0，T]；Rd）×R上是紧的。根据Prohorov定理和（5.2），有一个子序列弱收敛于（5.9）s（N），dQndPn，V^πnTdQndPn，D^QndPn！；请注意！=> （S，Z，Y，X）表示某个随机变量X。再次，在新的概率空间上定义随机向量（S，Z，Y，XOhm,F， P），在此基础上，我们重新定义了过滤F和集合M（S），A（·）。观察由S确定的D^qdpi。因此，存在一个可测量的函数g:D（[0，T]；Rd）→ R使得d^QdP=g（S）P a.S，即EP | d^QdP- g（S）|=0。从（5.8）–（5.9）我们得到（S，X）的分布等于S、 d^QdP; P. 因此，E  P | X- g（S）|=0。最后，根据Fatou引理，（5.9）和{V^πnt}Tt=0是一个^Qnsuper–鞅的事实，我们得出结论，X=g（S）P a.S。因此，ePYZd^QdP！=EPYZg（S）= E  PY g（S）Z= E  PY x z≤ lim信息→∞EPn公司V^πnTdQndPnd^QndPndQndPn= lim信息→∞E^Qn[V^πnT]≤ x、 我们从中得到（5.7）。接下来，我们证明定理2.2.5.1。

定理2.2的证明。为了证明该陈述，有必要显示任何子序列的法律S（n），V^πnT还有一个子序列弱收敛到S、 V^πT.遵循命题2.2证明中的相同论点，我们得出对于任何法律子序列S（n），V^πnT还有一个序列可以满足（5.3）。此外，还存在^π∈ A（x）使（5.5）–（5.6）成立。根据（5.6），定理2.1和^πn∈ An（x）是渐近最优的we getu（x）≥ EP【U（V^πT，S）】≥ EPUEPYZ | FST, S≥ EPUYZ，S≥ u（x）。我们的结论是，上述所有不平等事实上都是平等的。该等式加上（5.5）和假设U在第一个变量中严格凹并严格增加（根据假设2.1（i）和严格凹）意味着V^πT=EPYZ | FST=YZand^π∈ A（x）是唯一的最优投资组合。这就完成了证明。在这一节的结尾，我们将对如何推广我们的结果进行评论。备注5.1。考虑过滤F：=FS，yi是由S和另一个RCLL过程R=（R（1）t，…）生成的通常过滤的情况。。。，R（m）t）0≤t型≤T、 流程R可以被视为非交易资产的集合。对于近似模型，我们采用（S（n）、R（n））和满足通常假设的过滤，并使S（n）和R（n）都适应。再次R（n）=（Rn，1t，…，Rn，mt）0≤t型≤这是非交易资产的集合。考虑一个连续效用函数U：（0，∞) ×D（[0，T]；Rd）×D（[0，T]；Rm）→ 并假设弱收敛（S（n），R（n））=> （S，R）和第2节的类似假设。当然，就像以前一样，鞅度量是针对交易资产的。然后，通过使用与第4–5节中类似的参数，我们可以将主要结果定理2.1-2.2也扩展到此设置。6.

基于晶格的赫斯顿模型近似考虑由d^St=^St（udt）给出的赫斯顿模型【19】+√^νtdWt），d^νt=κ（θ- ^νt）dt+σ√^νtdWt，其中u∈ R、 κ、θ、σ>0是常数，W、~W是两个标准布朗运动，具有常数相关ρ∈ (-1, 1). 给出了初始值^S，^ν>0。我们假设条件2κθ>σ，保证^ν不接触零（见[8]）。出于技术原因，我们的近似要求波动率在0<σ<σ的情况下处于[σ，σ]形式的区间。因此，我们将赫斯顿模型修改如下。固定两个屏障0<σ<σ，并定义函数h（z）：=最大值（σ，最小值（z，σ）），z∈ R、 考虑SDEdSt=St（udt+ph（νt）dWt）（6.1）dνt=κ（θ- h（νt））dt+σph（νt）dwt，其中初始值为S：=^S，ν：=^ν。请注意√h、 h是Lipschitz连续的，因此（6.1）有一个独特的解决方案。我们预计，如果σ很小，σ很大，那么赫斯顿模型中效用最大化问题的值将接近模型givenby（6.1）中的值。对于短缺风险度量，我们在引理7.1.6.1中提供了误差估计。离散化。在本节中，我们为（6.1）给出的模型构造基于离散时间晶格的近似。我们构造的新颖之处在于，近似序列满足假设2.4,2.5。使用由独立布朗运动驱动的变换方程组更方便。因此，我们设置Φt：=ln St，ψt：=νtσ- ρΦt。从It^o的公式中，我们得到dΦt=Φ（Φt，ψt）dt+σΦ（Φt，ψt）dWtdψt=Φ（Φt，ψt）dt+σψ（Φt，ψt）d^，其中Φ（y，z）：=u-h（σ（ρy+z））/2，σΦ（y，z）：=ph（σ（ρy+z）），uψ（y，z）：=κσ（θ- h（σ（ρy+z）））- ρuΦ（y，z），σψ：=p（1- ρ） σΦ，和^W：=▄W-ρW√1.-ρ是独立于W的布朗运动。接下来，我们定义基于晶格的过程近似值（Φ，ψ）。选择▄σ≥ σ.

对于任意n∈ 定义随机过程Φ（N）t，ψ（N）t，t∈ 【0，T】乘以Φ（n）T：=Φ+￠σqTnPki=1ξi，kTn≤ t<（k+1）Tnψ（n）t：=ψ+￠σqTnPki=1^ξi，kTn≤ t<（k+1）t其中ξi，^ξi∈ {-1, 0, 1}. 观察过程Φ（n）- Φ，ψ（n）- ψ位于网格上￠σqTn{-n、 1个- nn} 。设F（n）t，t≤ T是过程Φ（n），ψ（n）产生的分段常数过滤。即F（n）t：=σnξ。。。，ξk，^ξ。。。，^ξko，kT/n≤ t<（k+1）t/n。概率度量Pn仍有待确定。首先，由于W和^W是独立的布朗运动，我们要求对于所有a，b∈ {-1、0、1}和k≥ 1Pnξk=a，ξk=b | F（n）（k-1） 田纳西州:= Pnξk=a | F（n）（k-1） 田纳西州Pn^ξk=b | F（n）（k-1） 田纳西州.为了匹配漂移和波动性，我们设置Pnξk=±1 | F（n）（k-1） 田纳西州:=σΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） Tn！2￠σ±qTnuΦ（n）（k-1） Tn，ψ（n）（k-1） Tn！2σ，Pnξk=0 | F（n）（k-1） 田纳西州:= 1.-σΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） Tn！σ和Pn^ξk=±1 | F（n）（k-1） 田纳西州:=σψΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） Tn！2￠σ±qTnuψΦ（n）（k-1） Tn，ψ（n）（k-1） Tn！2σ，Pn^ξk=0 | F（n）（k-1） 田纳西州:= 1.-σψΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） Tn！~σ.观察到，对于足够大的n，上述方程的右侧都位于区间[0，1]中。提案6.1。对于任意n∈ N（足够大）考虑S（N）：=eΦ（N）和上述过滤F（N）给出的金融市场。那么，以下是正确的。（一） 我们有弱收敛S（n）=> S到修改后的Heston模型。（二） 假设2.4成立。证据（I）的证明。

让我们证明（6.2）（Φ（n），ψ（n））=> (Φ, Ψ).显然，（6.2）意味着S（n）=> S、 从PNN的定义来看，我们有（6.3）个EPnΦ（n）kTn- Φ（n）（k）-1） 田纳西州F（n）（k）-1） 田纳西州=TnuΦΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州,（6.4）EPnψ（n）kTn- ψ（n）（k）-1） 田纳西州F（n）（k）-1） 田纳西州=TnuψΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州,EPn公司（Φ（n）kTn- Φ（n）（k）-1） Tn）F（n）（k）-1） 田纳西州=TnσΦΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州,EPn公司（ψ（n）kTn- ψ（n）（k）-1） Tn）F（n）（k）-1） 田纳西州=TnσψΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州安第普恩（Φ（n）kTn- Φ（n）（k）-1） Tn）（ψ（n）kTn- ψ（n）（k）-1） Tn）F（n）（k）-1） 田纳西州= O（n-2).因此，（6.2）遵循了文献[16]中的鞅收敛结果定理7.4.1。II的证明。下面的语句来自于将示例3.2应用于mn=n，τ（n）i=（i- 1） T/n和an=e￠σ√田纳西州- 1.6.2. 验证假设2.5。我们先做一些准备。由所有随机过程的集合表示，形式为Υ=F（Φ），其中F:D（[0，t]；R）→ D（[0，T]；R）是一个有界的连续函数（我们采用空间D（[0，T]；R）上的Korokhod拓扑），F是一个渐进可测映射。即，对于任何t∈ [0，T]和f（1），f（2）∈ D（[0，T]；R），f（1）[0，T]=f（2）[0，T]表示Ft（f（1））=Ft（f（2））。确定se*****：=问题：Υ ∈ D、 dQdP | FST=eRT-u√h（νt）dWt+RTΥtd^Wt-RTu2h（νt）dt-RTΥtdt.根据Girsanov定理，可以得出Md（S） M（S）。此外，由于Φ=ln S，则由S生成的通常过滤等于由Φ生成的通常过滤。

因此，标准参数产生Md（S） M（S）isdense。选择任意Υ=F（Φ）∈ D并表示（6.5）Zt：=eRt-u√h（νu）dWu+RtΥud^Wu-Rtu2h（νu）du-RtΥudu，t∈ [0，T]。有必要证明（回忆备注2.3）存在一系列概率测量Qn∈ M（S（n）），n∈ N、 对于过程Z（N）t：=dQndPn | F（N）t，t∈ [0，T]，我们有弱收敛（6.6）（S（n），Z（n））=> （S，Z）。对于任意n∈ N（足够大）通过以下关系qn定义概率度量qnξk=a，ξk=b | F（n）（k-1） 田纳西州:= Qn公司ξk=a | F（n）（k-1） 田纳西州Qn公司^ξk=b | F（n）（k-1） 田纳西州,Qn公司ξk=±1 | F（n）（k-1） 田纳西州:=σΦΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州~σ1+e±￠σ√田纳西州,Qn公司ξk=0 | F（n）（k-1） 田纳西州:= 1.-σΦΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州σ，（6.7）和qn^ξk=±1 | F（n）（k-1） 田纳西州:=σΨΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州2￠σ±rTnF（k-1） Tn（Φ（n））σψΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州+ uΨΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州2￠σ，Qn^ξk=0 | F（n）（k-1） 田纳西州:= 1.-σΨΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州~σ.注意（6.7）表示Qn∈ M（S（n））。引理6.1。我们有弱收敛性（Φ（n），ψ（n），Z（n））=> （Φ，ψ，Z）。证据为了证明引理，必须证明任何子序列都存在另一个子序列（仍由n表示），从而（6.8）（Φ（n），ψ（n），Z（n））=> （Φ，ψ，Z）。修复n∈ N

通过应用泰勒展开，我们得到了存在统一边界（in n）过程En，1k，En，2k，k=0，1。。。，n因此qnξk | F（n）（k-1） 田纳西州Pnξk | F（n）（k-1） 田纳西州= 1.- σξkrTn+uΦΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州σΦΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州+En，1kn+o（1/n）和QN^ξk | F（n）（k-1） 田纳西州Pn^ξk | F（n）（k-1） 田纳西州= 1+~σ^ξkrTnF（k-1） Tn（Φ（n））σψΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州+En，2kn+o（1/n）。我们得出结论，存在一致有界（in n）过程E（n）k，k=0，1。。。，nsuch thatZ（n）kTn- Z（n）（k）-1） TnZ（n）（k）-1） Tn=Qnξk | F（n）（k-1） 田纳西州Pnξk | F（n）（k）-1） 田纳西州Qn公司^ξk | F（n）（k-1） 田纳西州Pn^ξk | F（n）（k-1） 田纳西州- 1= -（Φ（n）kTn- Φ（n）（k）-1） Tn）+uΦΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州σΦΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州+ （ψ（n）kTn- ψ（n）（k）-1） Tn）F（k-1） Tn（Φ（n））σψΦ（n）（k）-1） Tn，ψ（n）（k-1） 田纳西州+E（n）kn+o（1/n）。（6.9）特别是Z（n）kTn-Z（n）（k）-1） TnZ（n）（k）-1） Tn！顺序为O（1/n）。由于Z（n）是鞅，那么通过取条件期望，我们得到了toEPn[Z（n）kTn]| F（n）（k）-1） 田纳西州= [Z（n）（k-1） Tn]（1+O（1/n））。通过接受期望，我们获得了[Z（n）kTn]= EPn公司[Z（n）（k-1） Tn]（1+O（1/n））。这与Doob–Kolmogorov不等式一起给出了（6.10）supn∈NEPn公司sup0≤t型≤T[Z（n）T]≤ 4个supn∈NEPn公司[Z（n）T]< ∞.接下来，定义E（n）k：=EPnE（n）k | F（n）（k-1） 田纳西州, k=1。。。，考虑鞅^M（n）k：=nkXi=1（E（n）i-^E（n）i），k=0，1。。。，n、 自E（n），n∈ N、 一致有界于nepn最大值0≤k≤n | M（n）k|≤ 4EPn|^M（n）n|=nPni=1EPnE（n）i-^E（n）i= O（1/n）。因此，（6.11）max0≤k≤n | M（n）k |→ 概率为0。引入适应的（F（n））过程Ξ（n）t：=Rt^E（n）bnu/t cdu，t∈ [0，T]M（n）T：=^M（n）bnt/T c，T∈ [0，T]其中，b·c是·和^E（n）的整数部分：=E（n）。同样，E（n），n∈ N、 一致有界，soΞ（N），N∈ N、 很紧。从（6.2）和（6.11）中，我们得出结论，序列（Φ（n），ψ（n），Ξ（n），M（n）），n∈ N、 我也是。

因此，从普罗霍洛夫定理（6.2）和（6.11）可以看出，对于任何子序列，都存在另一个子序列，即（6.12）（Φ（n），ψ（n），Ξ（n），M（n））=> （Φ，ψ，Ξ，0）对于某些绝对连续过程，Ξ={Ξt}Tt=0。根据[15]，（6.9），（6.12）中的定理4.3–4.4和等式E（n）kn=^E（n）kn+^M（n）k-^M（n）k-我们得到（Φ（n），ψ（n），Ξ（n），M（n），Z（n））=> （Φ，ψ，Ξ，0，^Z），其中^Z是SDE（6.13）d^Zt^Zt=-+uΦ（Φt，ψt）σΦ（Φt，ψt）初始条件^Z=1时，dΦt+Υtσψ（Φt，ψt）dψt+dΞtt。最后，（6.10）意味着对于任何∈ [0，T]随机变量{Z（n）T}n∈非均匀可积。这加上对于任何n，Z（n）是关于Φ（n）、ψ（n）、Ξ（n）、M（n）、Z（n）生成的过滤的鞅，使得^Z是关于Φ、ψ、Ξ、Z生成的过滤的鞅。此外，从（6.3）–（6.4）我们得到{Φt-RtuΦ（Φu，ψu）du}Tt=0和{ψt-Rtuψ（Φu，ψu）du}Tt=0是关于Φ，ψ，Ξ，^Z生成的过滤的鞅。特别是，根据L'evy定理，可以得出由WT定义的随机过程W和^W：=Φt-RtuΦ（Φu，ψu）duσΦ（Φt，ψt），^Wt：=ψt-Rtuψ（Φu，ψu）duσψ（Φt，ψt）是关于Φ，ψ，Ξ，^Z产生的过滤的（独立）布朗运动。我们得出结论，（6.13）右侧的漂移等于零。即d^Zt^Zt=-+uΦ（Φt，ψt）σΦ（Φt，ψt）σΦ（Φt，ψt）dWt+Υtd^Wt=dZtZt，其中最后一个等式来自（6.5）。因此，^Z=Z和（6.8）如下。显然，引理6.1意味着（6.6）。这给了我们以下结果。提案6.2。考虑命题6.1的设置。假设2.5保持不变。我们在引理2.2中通过处理条件（II）来结束本节。备注6.1。考虑鞅测度Qn∈ M（S（n）），n∈ N在引理6.1之前定义为Υ≡ 由于||Φ，σΦ，σΦ是一致有界的，那么标准参数产生的任何q>0（2.5）都是真的。7.