基于条件二阶矩的新肥尾正态性检验

这表明，所提出的框架在评估细尾分布时也是合适的。发行版n JB AD SW n（双面）n（右侧）Cauchy20 86.2%88.0%86.6%85.5%89.0%50 99.5%99.7%99.6%99.7%99.8%100 100 100.0%100.0%100.0%100.0%100.0%250 100.0%100.0%100.0%100.0%100.0%后勤20 14.9%10.6%11.7%11.1%15.6%50 25.9%15.9%19.6%21.2%28.9%100 39.4%23.9%30.5%35.8%45.6%250 66.7%46.7%57.0%67.8%76.4%学生t（2）20 56.7%52.9%52.9%60.1%50 88.2%85.8%86.3%89.2%92.3%100 98.8%98.4%98.6%99.2%99.6%250 100.0%100.0%100.0%100.0%100.0%50学生t（5）20 22.9%17.1%18.6%18.1%23.9%50 43.0%30.2%35.5%38.4%46.8%100 64.6%48.1%56.4%62.5%70.5%250 92.0%81.8%88.2%92.8%95.4%10学生t（10）20 12.3%8.8%9.8%9.2%12.5%50 20.6%12.0%15.5%15.7%21.6%100 30.7%16.2%23.0%24.9%33.1%250 52.3%28.5%41.7%47.8%57.9%学生t（20）20 8.1%6.4%6.8%6.5%8.2%50 11.4%7.2%8.4%11.5%100 15.1%8.0%11.0%10.7%15.5%250 22.9%10.3%16.2%17.2%24.8%学生t（30）20 6.9%5.8%6.1%5.9%7.0%50 8.9%6.2%7.1%6.8%8.9%100 10.9%6.5%8.3%7.9%11.1%250 15.0%7.4%10.7%10.7%16.0%Laplace/GN（1）20 30.2%27.2%26.1%26.4%35.4%50 55.6%54.5%52.1%59.3%69.1%100 79.9%82.7%79.7%87.3%92.0%250 98.7%99.6%99.2%99.8%99.9%GN（1.5）20 12.1%9.1%9.5%9.1%13.4%50 19.0%13.2%14.4%16.1%23.7%100 27.9%19.8%21.5%27.3%37.5%250 48.6%40.2%41.4%55.8%66.9%表1。该表包含各种肥尾替代品在显著水平α=5%时的测试能力。Disr表示替代假设所使用的分布，n表示样本量。字母JB、AD、SW和N分别指Jarque–Bera、Anderson–Darling、Shapiro–Wilk和N测试。

最佳性能以黑色标记。其他分布的结果与表2中给出的结果一致，可根据要求从作者处获得。8 DAMIAN JELITO和MARCIN PITERADistr n JB AD SW n（右侧）Logistic20 2.2%1.0%0.4%4.3%50 2.7%1.2%0.4%6.9%100 2.7%1.0%0.3%9.3%250 1.6%0.5%0.1%9.7%Student t（20）20 1.6%0.9%0.4%2.8%50 2.1%1.3%3.6%100 2.5%1.4%0.5%4 7%250 3.0%1.3%0.5%7.0%Laplace/GN（1）20 2.1%1.6%0.2%7.6%50 1.2%1.6%0.1%9.2%100 0.3%0.7%0.0%5.1%250 0.0%0.0%0.0%0.2%。该表包含三个选定的厚尾替代分布的唯一拒绝率。对于每个测试，计算一部分被测试（在所有四个考虑的测试中）唯一拒绝正态性假设的模拟样本。剩余符号与表1对齐。最佳性能以粗体标记。发行版n JB AD SW n（双面）n（左侧）GN（2.5）20 2.4%4.5%4.1%5.4%8.6%50 1.3%5.5%4.6%8.0%13.6%100 0.9%7.4%6.2%13.0%21.1%250 4.3%14.5%12.9%29.1%41.3%GN（3）20 1.3%4.4%7.3%12.4%50 0.4%8.1%7.0%15.6%24.9%100 0.8%15.0%13.7%31.2%44.1%250 22.8%40.9%41.7%70.6%81.2%GN（5）20 0.5%8.2%7.8%15.9%25.4%50 0.1%23.0%24.3%47.2%61.2%100 12.3%53.4%60.8%83.3%90.8%250 97.0%96.7%99.1%99.9%100.0%GN（10）20 0.3%13.1%13.8%26.4%38.5%50 0.3%43.4%53.4%73.0%83.3%100 50.0%84.9%94.6%97.7%99.1%250 100.0%100.0%100.0%100.0%100.0%表3。该表包含各种细尾替代品在显著水平α=5%时的测试能力。其余符号与表1对齐。最佳性能以粗体标记。5.

数学框架和渐近结果在这一节中，我们给出了条件方差估计的显式公式，研究了它们的渐近行为，并证明了N是渐近正态的。首先，我们介绍了基本符号，并为第2节中给出的集合L、m和R提供了更多的显式公式；见（2.1）。我们假设X~ N（u，σ）表示平均参数u和标准偏差参数σ。我们使用FX表示X的分布，Φ表示基于标准正态分布的新肥尾正态性检验，φ表示标准正态密度。按照常规，对于任何n∈ N、 我们使用（X，…，Xn）表示X中的随机样本，对于i=1，n、 我们使用X（i）对样本进行i阶统计量。对于固定的分区参数α、β∈ R、 其中0≤ α < β ≤ 1，我们定义条件集A[α，β]：={x∈ R：F-1X（α）<x≤ F-1X（β）}。为简洁起见，并稍微滥用符号，我们通常写A而不是A[α，β]。然后，在（2.1）中给出的集合L、M和R的显式公式是：L:=A[0,q]，M:=A[~q，1- q]，R：=A【1】- q，1]，（5.1），其中▄q：=Φ（x），x是方程的唯一负解- xΦ（x）- φ（x）（1- 2Φ（x））=0。（5.2）q的近似值为0.19809；详情请参考（Jaworski和Pitera，2016，引理3.3）。注意，（5.2）可以看作是微分方程的一种特殊形式-xy型-y′（1-2y）=0，其中y（x）：=Φ（x）；这可用于确定其他分布的类似比率。接下来，我们给出了条件样本方差的确切定义。对于固定集合A，其中A=A[α，β]，集合A上的条件方差估计值由σA给出：=[nβ]- 【nα】【nβ】Xi=【nα】+1X（一）-XA公司, （5.3）式中[x]：=最大{k∈ Z:k≤ x} 表示x的楼层∈ R和xa：=[nβ]- 【nα】【nβ】Xi=【nα】+1X（i）（5.4）是条件样本平均值。特别地，我们设置^σ：=^σA[0,1]。

重新调用检验统计量N，N=ρ^σL- σMσ+σR- σMσ√n，（5.5），其中（5.5）中的归一化常数ρ近似等于1.7885；ρ的闭式公式见附录A。现在，我们准备陈述本节的主要结果，即定理5.1。定理5.1。Le t X~ N（u，σ）。然后，Nd-→ N（0，1），N→ ∞,其中，N在（5.5）中给出，ρ是一个固定的归一化常数，与u、σ和N.10无关。DAMIAN JELITO和MARCIN Piterabe在我们给出定理5.1的证明之前，让我们介绍一系列的定理和附加符号；证明技术部分基于Stigler（1973）中介绍的方法。为了简化符号，对于固定集合a，其中a=a[α，β]，我们定义ua：=E[X | X∈ A] ，A：=F-1X（α）=u+σΦ-1（α），σA：=E[（X- uA）| X∈ A] ，b：=F-1X（β）=u+σΦ-1（β），κA：=（σA）E[（X- uA）| X∈ A] ，mn：=[nβ]- [nα]。此外，我们设置：=\\{i：Xi≤ a} =nXi=1{Xi≤a} ，Bn：=\\{i：Xi≤ b} =nXi=1{Xi≤b} ，其中C是集合C的指示函数。值得注意的是，ANANDBN分别遵循二项分布b（n，α）和b（n，β）；注意，对于α=0和β=1，分布退化为≡ 0和10亿≡ n、 最后，对于任何序列（ai），我们引入由Eli=kai给出的直接和的符号：=Pli=k+1ai，如果k<l，0，如果k=l，-在引理5.2中，我们证明了条件样本期望的一致性。注：引理5.2中的陈述并不明确地依赖于正态性假设。事实上，在X上的弱条件下（如X的分布函数的连续性），证明是正确的；对于本节中介绍的其他引理，类似的陈述是正确的。此外，应该注意的是，引理5.2和引理5.3显示了标准非参数预期短缺估计量的一致性和渐近分布；详见McNeil等人（2010）。引理5.2。

对于任何A=A[α，β]，它遵循thatXAP-→ uA，n→ ∞.证据设A=A[α，β]。对于任意n∈ N、 我们得到xa=mnBnXi=An+1X（i）+mnani=[Nα]X（i）+mnE[Nβ]i=BnX（i）。现在，我们证明mneani=[nα]X（i）P-→ 0。（5.6）基于11的新肥尾正态性检验由于经验分位数的一致性，我们得到X（[nα]）P-→ a和X（An）P-→ a、 作为n→ ∞. 因此，使用不等式0≤mnEAni=[nα]X（i）≤一- 【nα】mn最大值{X（[nα]）,X（An）},为了证明（5.6），有必要证明一-【nα】mnP-→ 0、注意- [nα]mn=nmn南安- α+nα- [nα]mn，其中limn→∞nα- [nα]mn=0，limn→∞nmn=β- α、 （5.7）根据大数定律，南安- αP-→ 0，我们得出（5.6）的证明。ne[nβ]i=BnX（i）P的证明-→ 0（5.8）类似于（5.6）的证明，为简洁起见省略。接下来，观察mnbnxi=An+1X（i）=nmnnnXi=1Xi{Xi∈A} ！。因此，注意到uA=E[X{X∈A} ]β-α、 利用大数的law，我们得到mnbnxi=An+1X（i）P-→ uA.（5.9）结合（5.6）、（5.8）和（5.9），我们得出了证明。 接下来，我们重点讨论了条件样本均值的渐近分布；请注意，Lemma5.3是Stigler（1973）对修剪平均数结果的轻微修改。为了完整性，我们提供了完整的证明。引理5.3。对于任何A=A[α，β]，它都是这样的√nXA公司-uAd-→ N（0，ηA），N→ ∞,对于某些常数0<ηA<∞.证据为简洁起见，我们假设α>0，β<1。其余的退行性变病例也可采用类似的方法进行治疗。设A=A[α，β]。定义：=√nXA公司- uA.12 DAMIAN JELITO和MARCIN PITERAAs在Lemma5.2的证明中，观察到=√nmnBnXi=An+1X（i）- mnuA+EAni=[nα]X（i）+E[nβ]i=BnX（i）=√nmnBnXi=An+1X（一）- uA+ （An）- 【nα】（a- uA）+（[nβ]- Bn）（b）- uA）+EAni=[nα]（X（i）- a） +E[nβ]i=Bn（X（i）- b） ！。（5.10）现在，我们表明√nmnEAni=[nα]（X（i）- a） P-→ 0。（5.11）由于经验分位数的一致性，我们得到X（[nα]）- 一P-→ 0和X（An）- 一P-→ 0，作为n→ ∞.

因此，使用不等式0≤√nmnEAni=[nα]（X（i）- （a）≤一- 【nα】mn/√n最大值{（X（[nα]）- 一,X（An）- 一},这足以证明-【nα】mn/√nConverge在分布中为一些非退化分布。请注意- 【nα】mn/√n个=√n南安-α锰/氮+氮α- 【nα】mn/√n、 wherelimn公司→∞mnn=β- α、 limn公司→∞nα- 【nα】mn/√n=0，（5.12），根据适用于~ B（n，α），我们得到√n南安- αd-→ N0，pα（1- α).因此，利用Slu-tsky的定理（参见例如（Ferguson，1996，定理6）），我们得到- 【nα】mn/√nd公司-→ N0，sα（1- α)β - α!,从而得出（5.11）的证明。同样，我们可以证明√nmnE[nβ]i=Bn（X（i）- b） P-→ 0。（5.13）将（5.11）与（5.13）结合，并注意nα- 【nα】mn/√n→ 0和[nβ]- nβmn/√n→ 0，（5.14）基于新的肥尾正态性检验13我们可以重写（5.10）asSn=√nmn公司BnXi=An+1（X（i）-uA）+（An-nα）（a-uA）+（nβ-Bn）（b）-uA）+rn，其中rnP-→ 接下来，我们有sn=n（β- α） 明尼苏达州√nn（β- α） nXi=1ZAi！+rn，其中i=1，n、 we setZAi：=（Xi）- uA）{Xi∈A} +（{Xi≤a}- α） （a）- uA）+（β-{Xi≤b} ）（b- uA）。最后，注意到→ ∞ we getn（β-α） mnP公司-→ 1，结合（ZAi）中的中心极限定理和Slutsky定理，得出证明结论；请注意，（ZAi）是平均值和最终方差为零的i.i.d。 接下来，我们证明了对于条件方差估计，可以用真实均值代替样本均值，而不影响渐近性。对于任何A，其中A=A[α，β]，具有已知平均值的条件方差估计量由^sA：=mn[nβ]Xi=[nα]+1给出X（一）- uA.引理5.4。对于任何A=A[α，β]，其如下所示√n^σA- ^sAP-→ 0，n→ ∞.证据

在引理5.3的证明中，我们关注的是0<α<β<1的情况。设A=A[α，β]，注意^sA=mn[nβ]Xi=[nα]+1X（一）-XA+XA-uA=mn【nβ】Xi=【nα】+1X（一）-XA公司+XA公司- uA+明尼苏达州XA公司-uA[nβ]Xi=[nα]+1X（一）-XA公司,其中，最后一个和等于0，因为[nβ]Xi=[nα]+1X（i）=mnXA=[nβ]Xi=[nα]+1XA。14 DAMIAN JELITO和MARCIN Pitera因此√n^sA- ^σA=√nXA公司-uA. 因此，使用引理5.2结合引理5.3，我们得出了证明。 现在，我们研究了条件方差估计的渐近行为；这是一个关键引理，将用于定理5.1的证明。此外，这一结果可能具有独立的意义，因为它允许我们构建条件方差的渐近置信区间。引理5.5。对于任何A=A[α，β]，其如下所示√n^σA- σAd-→ N（0，τA），其中τA：=（β- α)(β - α） （σA）（κA- 1)+ α(1 -α)（a）- uA）- σA+ β(1 - β)（b）- uA）-σA- 2α(1 - β)（a）- uA）- σA（b）- uA）- σA.（5.15）证明。根据引理5.4，只需考虑^sain而不是^σA。对于san：=√n^sA- σA,我们获得SAN=√nmnBnXi=An+1X（一）- uA- σA+ （An）- [nα]）（a）- uA）- σA+ （[nβ]- Bn）（b）- uA）- σA+ EAni=[nα]X（一）- uA- （a）- uA）+ E[nβ]i=BnX（一）-uA-（b）- uA）!. （5.16）通过与引理5.3证明中给出的论点相似的论点，我们得到√nmnEAni=[nα]X（一）- uA- （a）- uA）P-→ 0，和√nmnE[nβ]i=BnX（一）- uA- （b）- uA）P-→ 注意，对于退化情况α=0和β=1，我们得到a=-∞ 和b=∞,分别地在这些情况下，公约0·∞ = 应使用0。基于新的肥尾正态性检验15因此，回顾（5.14），我们可以重写（5.16）asSAn=√nmnBnXi=An+1X（一）- uA- σA+ （An）-nα）（a）- uA）- σA+ （nβ- Bn）（b）- uA）- σA!+ rn，其中rnP-→ 0。接下来，对于i=1，n、 我们设定：=（Xi）- uA）- σA{Xi∈A}+{Xi≤a}- α（a）- uA）- σA+β -{Xi≤b}（b）- uA）- σA, （5.17）通过简单的计算，我们得到E[YAi]=0和D[YAi]=（β- α） τA。

因此，注意到SAN=√nmnnXi=1YAi+rn，（5.18），并使用中心极限定理和Slutsky定理，我们总结了证明。 最后，我们准备展示定理5.1的证明。理论5.1。对于（5.1）中给出的条件集L、M和R，我们使用（5.17）定义了相关的随机变量序列（YLi）、（YMi）、（YRi）。对于任意n∈ N、 我们设定ZN：=√nnPni=1qYLinPni=11-2▄qYMinPni=1▄qYRi,式中，q通过（5.2）定义。通过多元中心极限定理（cf.（Ferguson，1996，定理5）），我们得到了Znd-→ N（0，∑），其中∑：=Cov（YL，YL）~qCov（YM，YL）~q（1-2▄q）Cov（YR，YL）▄qCov（YL，YM）▄q（1-2q）Cov（YM，YM）（1-2q）Cov（YR，YM）q（1-2▄q）Cov（YL，YR）▄qCov（YM，YR）▄q（1-2q）Cov（年，年）q.现在，让Sn：=√n^σL+^σR- 2^σM. 使用（2.2），很容易看出=√n^σL- σL+^σR- σR- 2^σM+2σM. （5.19）因此，通过与Lemma5.5证明（见（5.18））中提出的论点类似的论点，我们可以将（5.19）改写为Sn=MnZn+rn，其中16 DAMIAN JELITO和MARCIN PITERArnP-→ 0和mn：=hnq[nq]，-2n（1-2q）[n（1-q）]-[n▄q]，n▄qn-[n（1-接下来，观察MnP-→ [1, -2，1]并使用多元Slutsky\'sTheorem（参见（Ferguson，1996，定理6）），我们得到了Snd-→ N（0，τ），w，其中τ：=q[1，-2, 1] Σ [1, -2，1]T.（5.20）设ρ：=τσ，Nn：=ρSn^σ。观察σ/^σnP-→ 再次使用Slutsky定理，我们得到Nnd-→ N（0，1）。为了总结定理5.1的证明，我们需要证明ρ与u和σ无关。要做到这一点，首先让我们看看对于任何A，其中A=A[α，β]，以及（5.17）中相应的随机变量，我们如何得到σψ（~X，α，β），（5.21），其中▄X：=（X- u）/σ和ψ：R×[0，1]×[0，1]→ R是一些固定的可测量函数。

根据（Johnson等人，1994年，第13.10.1节），我们知道uA=σφ（Φ-1(α)) - φ(Φ-1(β))β - α+u，（5.22）σA=σΦ-1(α)φ(Φ-1(α)) - Φ-1(β)φ(Φ-1(β))β - α-φ(Φ-1(α)) - φ(Φ-1(β))(β - α)+ 1!.（5.23）因此，标准化平均值|uA：=uA-μσ和方差σA：=σAσ仅取决于α和β。回顾（5.17），我们得到σ=十、-uAσ- σA！{X∈A}+{X≤a}- α一- uAσ- σA+β -{X≤b}b- uAσ- σA=X- uA- σA{Xi∈A}+{X≤a}- αΦ-1(α) - uA- σA+β -{X≤b}Φ-1(β) - uA- σA. （5.24）对于α=0或β=1，约定0·±∞ = 使用0。基于17的新肥尾正态性检验将其与等式{X相结合∈ A} ={X∈ [Φ-1(α), Φ-1（β））}，{X≤ a} ={X≤ Φ-1（α）}，{X≤ b} ={X≤ Φ-1（β）}，我们得出（5.21）的证明。现在，将（5.21）用于L、M和R，并将∑/σ表示为Cov公司YLσ，YLσqCovYMσ，YLσq（1-2q）CovYRσ，YLσqCovYLσ，YMσq（1-2q）CovYMσ，YMσ(1-2q）CovYRσ，YMσq（1-2q）CovYLσ，YRσqCovYMσ，YRσq（1-2q）CovYRσ，YRσq,我们看到，∑/σ不依赖于u和σ。最后，回顾（5.20）和ρ的定义，我们得出定理（5.1）的证明；ρ的闭式公式见附录A。 本节给出的结果可直接应用于各种其他非参数分位数估计量和无偏方差估计量。以下两句话对此进行了总结。备注5.6。整个样本（无偏）方差的标准公式使用n- 1而不是分母中的n。在有条件的情况下，这将反映在（5.3）的不同公式中，其中mn由mn代替- 1、请注意，理论声明5.1对于修改后的条件方差估值器仍然有效，这是由于结合了萨鲁茨基定理和以下事实（mn- 1） /百万→ 1、备注5.7。在确定条件样本方差（5.3）时，我们使用【nα】+1和【nβ】作为（5.3）和（5.4）中总和的限值。

这个选择对应于x（[nα]）给出的非参数α-分位数估计量。在文献中，存在许多不同的非参数分位数估计公式，其中大多数都受到最近阶统计量的约束；详见Hyndman和Fan（1996）。如果我们用与不同经验量选择相对应的适当选择的序列取代[nα]和[nβ]，则相对容易证明本节中给出的所有结果都是正确的。为完整起见，我们对该声明进行了更详细的描述。具体而言，这是指通过图1.18 DAMIAN JELITO和MARCIN PiteraConserve序列（αn）和（βn）中使用的R分位数函数实现的估计器，因此nα- α与βn- nβ是有界的，并且定义mn：=βn-αn.相应的条件样本均值和方差由'X给出*A： =▄mnβnXi=αn+1X（i）和^σ2，*A： =▄mnβnXi=αn+1X（一）-\'\'X*A..然后，我们可以替换xaand^σAby'X*a和σ2，*Ain定理5.1以及本节中提出的所有引理。我们没有给出完整的证明，而是简单地评论了如何显示分位数估计量的一致性，以及（5.7）和（5.12）的对应项。所有的证明都可以使用非常相似的逻辑进行翻译。首先，注意到对于一些k∈ N我们得到X（[Nα]-k）≤ X（αn）≤ X（[nα]+k）和X（[nβ]-k）≤ X（βn）≤ X（[nβ]+k），很容易检查X（αn）和X（βn）是一致的α-分位数和β-分位数估计量；见。g、 （Ser Fling，1980年，第2.3节）。其次，对于（5.7）的类似物，使用nα的有界性就足够了- α与βn- nβ，注意nα-αnn→ 0和dβn-nβn→ 第三，为了表示（5.12），使用nα的有界性就足够了- α和注意，对于一些k∈ N我们得到| Nα-αn | mn/√n≤钾锰√n=▄mnnk√n、 6。