基于条件二阶矩的新肥尾正态性检验

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英文标题：
《New fat-tail normality test based on conditional second moments with
  applications to finance》
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作者：
Damian Jelito, Marcin Pitera
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this paper we introduce an efficient fat-tail measurement framework that is based on the conditional second moments. We construct a goodness-of-fit statistic that has a direct interpretation and can be used to assess the impact of fat-tails on central data conditional dispersion. Next, we show how to use this framework to construct a powerful normality test. In particular, we compare our methodology to various popular normality tests, including the Jarque--Bera test that is based on third and fourth moments, and show that in many cases our framework outperforms all others, both on simulated and market stock data. Finally, we derive asymptotic distributions for conditional mean and variance estimators, and use this to show asymptotic normality of the proposed test statistic.
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中文摘要：
本文介绍了一种基于条件二阶矩的有效厚尾度量框架。我们构建了一个拟合优度统计量，该统计量具有直接的解释，可用于评估胖尾对中心数据条件离散度的影响。接下来，我们将展示如何使用该框架构建强大的正态性测试。特别是，我们将我们的方法与各种流行的正态性测试进行了比较，包括基于三阶矩和四阶矩的Jarque-Bera测试，并表明在许多情况下，我们的框架在模拟和市场股票数据方面都优于所有其他框架。最后，我们推导了条件均值和方差估计的渐近分布，并用它来证明所提出的检验统计量的渐近正态性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> New_fat-tail_normality_test_based_on_conditional_second_moments_with_application.pdf (402.42 KB)

2022-6-11 03:34:25 上传

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关键词：正态性检验 Applications Quantitative distribution Econophysics

基于条件二阶矩的新肥尾正态性检验，应用于FinancedamianJelito和MarcinPiteraAbstract。本文介绍了一种基于条件二阶矩的有效厚尾测量框架。我们构建了一个具有直接解释的良好的t检验统计量，可用于评估胖尾对中央数据条件性分散的影响。接下来，我们将展示如何使用该框架构建强大的正态性测试。特别是，我们将我们的方法与各种流行的正态性测试进行了比较，包括基于三阶矩和四阶矩的Jarque–Bera测试，并表明在许多情况下，我们的框架在模拟和市场股票数据方面都优于所有其他框架。最后，我们推导了条件均值和方差估计的渐近分布，并用它来证明所提出的检验统计量的渐近正态性。关键词：20-60-20规则，正态性检验，厚尾，非正态性，股票收益率。MSC2010:62F03、62F05、62P05、62P20、91G70.1。简介最近，Jaworski和Pitera（2016）的研究表明，对于一个正态随机变量和一个接近20/60/20的唯一比率，尾部集合中的条件色散与中央集合中的条件色散相同。换言之，如果我们将大的正态样本分成三组，一组对应最差的20%结果，一组对应中间的60%结果，另一组对应最好的20%结果，那么这些子组的条件方差大致相同。在本文中，我们表明，这一特性可用于构建一个具有直接（财务）解释的有效性良好的测试框架。

尾部弥散对中心弥散的影响是尾部重量的自然测量，可以作为其他方法的替代方法，这些方法通常基于尾部极限分析或高阶矩；参见Alexander（2009）和Jarque and Bera（1980）。特别是，与基于三阶和四阶矩的Jarque–Bera正态性测试相比，我们的测试依赖于通常更容易估计的条件二阶矩。正态性检验有着悠久的历史，并发展了许多显著的方法。这包括一般分布框架，如基于理论和经验分布函数之间距离的DAMIAN JELITO和MARCIN PITERAAnderson-Darling检验（Anderson和Darling，1954）或基于回归系数的Shapiro-Wilk检验（Wilk和Shapiro，1965）；有关正态性测试程序的全面概述，请参见Madansky（2012）、Henze（2002）或Thode（2002）。大多数实证研究表明，应仔细选择正态性检验，因为它们的统计能力因上下文而异；参见例如Thadewald和B¨uning（2007），Rom¨ao等人（2010）或Brockwell和Davis（2016）。这就是为什么现有流程不断被重新定义，并且正在开发新的流程；例如，Jarq ue–Bera测试框架的最新修订版基于偏度和峰度的二阶模拟，可在Gagne和Lafaye de Micheaux（2018）中找到。本文提出的方法使aws注意到了正态分布的有趣和以前未被利用的方面，正态分布可用于有效的正态性测试。特别是，我们表明，在考虑流行的（财务）替代分布（如Student\'st或logistic）时，我们的方法优于和/或补充了多个基准正态性测试框架。

更明确地说，我们表明，与正态分布相比，如果一个样本来自具有更重（或更轻）尾巴的对称分布，我们的测试通常具有最佳的功效。我们以金融市场数据为例说明了这一点；详见第6节。最后，值得一提的是，20/60/20划分在参考中心集正态性假设的尾部评估性能方面导致了非常准确的数据聚类。因此，我们的方法可以嵌入基于clusteranalysis、有助于完善数据挖掘技术等的数据分析框架中；seeRomesburg（2004）；考夫曼和鲁塞乌（2009）；Hair等人（2013年）进行了综述。事实上，我们对市场数据的测试统计的良好表现可能与一个流行的金融风格化事实有关，即典型的金融资产回报率可以被视为正常，但极端回报率比正常回报率更频繁，幅度更大；详见Cont（2001）和Sheikh and Qiao（2010）。本文的组织结构如下：在第2节中，我们简要回顾了20-60-20规则的概念，而在第3节中，我们概述了检验统计量的结构并讨论了其基本性质。第4节提供了关于测试功效的高水平讨论，第5节详细讨论了数学背景，包括所提出的测试统计量的渐近分布的推导。接下来，在第6节中，我们将介绍一个简单的市场数据案例研究，并讨论我们的框架在金融环境中的应用。我们在第7节中得出结论。为简洁起见，我们将第3节中引入的归一化常数的闭式公式移到附录中。基于32的新肥尾正态性检验。单变量正态分布的20-60-20规则et us假设X是正态分布的随机变量。

Wedefine X byL的左、中、右分区集：=-∞, F-1X（0.2）, M：=F-1X（0.2），F-1X（0.8）, R:=F-1X（0.8）+∞,（2.1）其中F-1X（α）是X的α分位数。Jaworski和Pitera（2016）表明，σL=σM=σR，（2.2）对于th是唯一的20/60/20比率，而eσ表示s et A上X的条件方差。这种特殊划分与（2.2）中的相关等式集一起，为条件种群创建了一个分散平衡。这一特性可能与被称为20-60-20规则的统计现象有关：这一原则得到了从业者的广泛认可，并被用于高效管理或聚类。事实上，在多元情况下也有类似的说法：当条件是基于任何线性组合的边缘值，并且保持20/60/20比率时，多元非线性向量的条件协方差矩阵彼此相等。有关更多详细信息，请参阅Jaworski和Pitera（2016）及其参考资料。3、测试统计假设我们手头有来自X的样本。然后，根据（2.2），我们确定了一个检验统计量：=ρ^σL- σMσ+σR- σMσ√n，（3.1）其中^σ是样本方差，^σ是条件样本方差开始A（其中条件是基于经验分位数），n是样本大小，ρ≈ 1.8是固定的归一化常数；其实现代码见图1。我们参考第5节了解更多详细信息，包括条件方差σA、常数ρ等的严格定义。不难看出，在正态性假设下，N是一个枢轴量。此外，在第5节中，我们证明了Nis的分布渐近正态；参见其中的定理5.1。

在图2中，我们通过计算大小为50、100和250的样本在正态假设下N的蒙特卡罗密度来说明这一点。检验统计量N有一个明确的解释：尾部和中央条件方差之间的差异可以被视为尾部脂肪度的一个度量，即N值越大，尾部越肥。事实上，对于非常接近20/60/20的比率，即对于大约等于0.198的上分位数和下分位数，这个等式是真实的。为了透明，我们决定在这里使用常规数字；详见第5节。4 DAMIAN JELITO和MARCIN PITERA1试验。N个<- f u n c t i o n（x）{n<- l n g t h（x）3 q1<- q u a n t i l e（x，0.2）q2<- q u a n t i l e（x，0.8）5低<- x[x<=q1]中等<- x[x>q1&x<q 2]7高<- x[x>=q2]N<- v ar（低）+var（高g h）-2.* v ar（中等）9 N<- N* s q r t（n）/（var（x）* 1.8）r e t u rn（N）}图1。简化的R源代码，用于创建计算给定输入样本x中的测试统计量的函数-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 N的分布（nr.obs=50）N=10000000带宽=0.03658密度-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 N的分布（nr.obs=100）N=10000000带宽=0.03622密度-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 N的分布（nr.obs=250）N=10000000带宽=0.03593密度αNΦ-1(1 - α） F级-1n（1- α） 50 2.681.0%100 2.33 2.57250 2.5150 2.182.5%100 1.96 2.12250 2.0950 1.775.0%100 1.64 1.74250 1.74图2。在N=50、100、250的正态性假设下，对于大小为10000 000的强蒙特卡罗样本，N的分布。

得到的经验密度（实线）非常接近标准正态密度（虚线）；该表比较了选定的经验分位数与理论正常分位数。为了说明这一点，我们计算了三种不同的肥尾分布和三种不同的细长尾分布的大样本量N=500的N值。对于f at tail比较，我们选择了logistic、Student t with fivedegrees of freedom和Laplace分布，而对于细尾比较，我们考虑了形状参数s的广义正态分布∈{2.5, 3, 5}; s的（标准化）广义正态密度∈ R+基于5byf（x | s）：=s2Γ（1/s）exp的新肥尾正态性检验(-|x | s），x∈ R（3.2）更多详情，请参考toNadarajah（2005）或Tumlinson等人（2016）。图3中的结果证实了N的行为是预期的。基于统计N值，可以构造一个正态性（N=0）为零假设的单侧或双侧统计检验。为了简洁起见，我们进行了N正态性检验或简单的N检验。正常t-学生（df=5）各种脂肪的logistic laplace0 5 10 15N值-尾部分布（n=500）分布类型N2（正态）2.5 3 5-15-10-5 0N超薄值-尾部广义正态分布（n=500）分布类型（形状参数值）如图3所示。不同分布样品的N箱线图。三种厚尾分布（Logistic、v=5的t-Student和Laplace）的结果显示在左图中。三个细尾分布（广义正态分布和s∈ {2.5，3，5}）显示在右图中。为了透明，我们重新调整了所有分布的比例，使其具有零均值和单位方差，并添加了正态分布的结果。箱线图基于大小为10000的强蒙特卡罗样本，其中每个模拟的大小为n=500.4。

测试的威力在本节中，我们检查在受控环境中拟议的N测试的威力。当人们想要放弃因肥尾或细尾现象而产生的正态性假设时，我们关注对称分布备选方案（例如在金融中使用）。也就是说，我们考虑Cauchydistribution，Logistic distribution，Laplace distribution，Student\'s t distribution with v∈ {2，5，10，20，30}自由度参数和形状参数的广义正态分布（GN）∈ {1.5, 2.5, 3, 5, 10}. 注意，s=1和s=2的GN分别对应于平面分布和正态分布；GN密度定义见（3.2）。在所有情况下，位置参数设置为0，比例参数设置为1.6 DAMIAN JELITO和MARCIN Pitera为了完整性，我们将测试N结果与公认的基准正态性测试进行比较：Jarque–Bera测试、Anderson–Darling测试和Shapiro–Wilk测试。应该注意的是，与这些框架相反，统计N允许人们考虑一个特定的重尾（或细尾）替代方案，即N的正值（或负值）指向重尾（或细尾）替代假设。因此，我们决定为厚尾（或细尾）分布构造右侧（或左侧）临界区域。然而，为了完整性，我们在所有情况下都包含了双边临界区域的结果。对于所有替代分布选择，我们考虑四个不同的样本，即n=20、50、100、250。对于每个n，我们模拟2 000 000个强蒙特卡罗样本，并检查模拟的比例在显著水平α=5%时的测试目标正态性。所有计算均在R 3.5.2中进行。

对于基准NormalityTest，我们使用多个附加R包，包括gnorm（用于GN模拟）、stats（用于Sh ap iro–Wilk测试）、nortest（Anderson–Darling测试）和Tseries（Jarque–Bera测试）。为了更好的可比性，我们使用了测试模拟拒绝thr esholds代替R函数返回的理论p值；对于计算，我们使用了大小为10 000 000 000的强大蒙特卡罗样本。特别要注意的是，虽然Jarque–Bera检验在正态下具有渐近χ分布（具有2个自由度），但对于小样本，这种近似可能不准确，并导致无意义（未调整）的p值。值得注意的是，我们的框架规范与一项提出的指标Gagne和Lafaye de Micheaux（2018）一致，同时进行了全面的正态性测试比较。特别是，附录C中给出的结果与此处给出的结果（所有基准测试）完全一致。为了透明，我们决定分别考虑肥尾和细尾情况。表1给出了厚尾分布的结果。对于几乎所有考虑的分布，可以观察到右侧检验N的最佳性能。尾巴越肥，N测试功率和JB测试功率之间的绝对差异越大，这可以被视为第二个最佳选择。为了检验检验统计量N是否带来了一些新的结果，我们决定在所有考虑的测试中，检验正态性假设被N拒绝的模拟的比例；为了进行比较，我们检查了相同的f或所有其他测试。表2给出了三种选定分布的结果。

可以观察到，测试N的唯一拒绝率是所有测试中最高的，并指出统计N正在考虑这一事实。请注意，对称参数α=0.5的非对称幂D分布（APD）的结果与广义正态（GN）分布的结果相对应；详情请参阅第2节Indesgagne and Lafaye de Micheaux（2018）。基于其他测试未利用的7个样本属性的新肥尾正态性测试。最后，应该注意的是，双侧N检验的性能也很好：在大多数考虑的情况下，测试的性能都优于AD和SW。表3给出了细尾分布的结果。基于N统计量的双侧检验和双侧检验在所有数据集上都显著优于所有其他检验。