日内流动性的横截面变化、横截面影响及其

首先，最优解决方案是跨证券“耦合”的。具体而言，只要市场影响是横向的，成本最小化解决方案需要同时考虑所有订单，以优化安排如何清算组成订单，而不是单独安排每个订单，并试图将成本最小化，就好像市场影响是可分的一样；这种可分离的执行方法通常在实践中使用（有效地假设没有交叉影响）。耦合执行认识到自然流动性的混合在日内发生变化，并试图改变剩余清算投资组合的组成，以利用例如一天结束时可能可用的投资组合流动性。我们将在本节的其余部分进一步探讨这一点。其次，对于风险厌恶的投资者，通常会导出耦合的最优投资组合交易计划，并在目标函数中考虑执行成本的方差或作为约束条件；在这种情况下，整个清算期内投资组合的协方差结构直观地导致了耦合执行解。在我们的问题公式中，执行路径的耦合是由指数基金提供的自然（投资组合）流动性的横截面依赖性驱动的，这会导致横截面影响，而不是日内回报的横截面依赖性。

第三，我们注意到，在上述表述中，我们没有施加会强制清算路径单调的边约束；稍后我们将回到这一点。（18）中最优时间表的结构采用了直观的形式：t期清算的交易比例与该期可用流动性成比例，由时间相关分子矩阵ψid，t+Wψf，tW>捕获，由全天可用的总流动性归一化，由时间无关分母矩阵ψid+WψfW>捕获。（18）给出的另一种解释是，最优调度将订单与标准化的时间相关市场影响矩阵成反比。推论1（无指数基金投资者，ψf，t=0，t=1，…，t）。当没有指数基金投资者时：即“ψf=0”，一个可分离的“VWAP”类交易时间表是最优的：v*it=ψid，itPTs=1ψid，is·xi0，对于i=1，···，N.（20）命题3的证明注意，由于Gtis对称，vtv>tGtvt=Gtvt。（16）-（17）中凸极小化问题的KKT条件要求存在向量λ∈ RNsuchthatλ=vtv>tGtvtvt=v*t=Gtv*t、 对于所有t=1，···，t，这与（17）中的库存约束一起意味着x=TXt=1v*t=TXt=1G-1tλ。因此v*t=克-1tλ=G-1吨PTs=1G-1秒-1x。由于所有Gt都是可逆的，因此最优解存在且唯一。在一个所有自然流动性都由单一股票、机会主义投资者提供的市场中，不存在交叉证券影响效应，市场影响是可分离的，风险中性清算人的最低成本计划也可跨证券分离——最优解决方案只需将组合中每个订单的预期影响成本分别最小化。

每个单独的订单都可以独立于其他订单进行安排，并且最终的安排是“VWAP”，就像执行量vitis与当时可用的流动性ψid，Ita成比例一样。事实上，将整体市场交易量作为自然流动性的可观察代理，该解决方案将每个订单分别进行分摊，分摊方式与每个时间段预测的市场交易量百分比成比例；这就是typicalVWAP执行算法所做的。相反，如果一些自然流动性是由希望交易投资组合的指数基金投资者提供的，例如，如果能源部门日内有显著的正回报，则清算一定数量的能源跟踪投资组合，我们预计可分离的VWAP计划不会最小化预期的市场影响成本，对于激励交易调度问题，它不是最优的。4.2. 参数流动性收益下的最优交易计划为了深入了解最优政策的结构，我们探索了一个单一股票和指数基金流动性供给强度参数变化的环境，如下所示：单一股票投资者的流动性ψid，它随时间变化，t=1，2，··，t根据αt，指数基金投资者的流动性ψf，k根据另一个公式βt.ψid，t=αt·¨id，ψf，t=βt·¨f，对于t=1，···，t，（21），其中PTt=1αt=PTt=1βt=1。我们将假设所有单一股票共享相同的时变收益率αt，同样，allindex基金共享收益率βt。§2的经验结果表明，交易量的成对相关性在一天结束时增加。

如果日内交易量中随机波动的主要来源是单个股票和组合交易的随机到达，那么人们可以预计，日内的αt、βt曲线将生成众所周知的U形交易量曲线，并且相互之间的变化不同，从而生成时变的成对相关关系；这一点得到了市场参与者在一天结束时的行为的支持，如前所述。事实上，如果两组自然流动性具有相同的交易活动，即αt=βt，则日内交易量的平均相关性不会变化。我们预计，接近尾声时，指数基金流动性供给强度（βt）的增长相对快于单只股票流动性供给强度（αt）。命题4（结构化变化下的最优执行）。在（21）的参数化下，附表v*这是风险中性成本最小化的最佳选择（16）：v*t=αt·x+（βt- αt）·WΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idx，（22）或等效的v*t=αt·x+（βt- αt）·KXk=1（bw>kx）·wk，（23），其中cw，(R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1和BWKDENOTES ofcW的KTH列。在对（23）进行解释之前，我们陈述以下推论。推论2（共同变量下的最优执行）。如果αt=βt，对于所有t=1，···，t，则可分离的类“VWAP”策略再次是最优的。v*t=αt·x.（24）附录B.2给出了命题4的证明。推论2指出，当单一股票和指数基金投资者的自然流动性供给强度相同时，αt=βt，最优计划v*再次与αt标定的x对齐。

由于αt（=βt）代表时间t的市场活动，上述政策可以解释为类似“VWAP”的执行，即按照每个时间点的总可用量按比例分配单个订单；这在订单中是可分离的。如前所述，αt=βt的设置与交易量成对相关性的日内行为的经验结果不一致。相反，（23）强调，当自然流动性的混合在日内发生变化时（通过α和βt之间的差异），最佳时间表会偏离（24）中遇到的“VWAP”式执行，以利用增加的可用指数基金流动性，例如，沿部门投资组合的方向变化。5、最佳执行和绩效边界说明在本节中，我们简要说明了综合指数基金（投资组合）流动性影响的最佳执行路径。风险中性投资者通常采用可分离的执行方式，即单独交易每项资产，最常见的是使用成交量加权平均价格（VWAP）算法。如§4所示，在某些假设下，这种可分离的策略可以显示为使每个订单的预期影响成本最小化，但在同时交易多个订单时，忽略了组合流动性和交叉影响成本的影响。

对于§4.2中介绍的形式的自然流动性的程式化模型，简化为单一指数基金（如市场投资组合），我们根据之前得出的优化投资组合计划，建立了此类可分离执行方法次优差距的最坏情况界限。具体而言，在单一指数基金（K=1）的情况下，限制对§4.2中引入的参数化的关注：ψid，t=αt·Pψid和ψf，t=βt·Pψfwhithptt=1αt=PTt=1βt=1，命题4指出，最佳执行*tisv公司*t=αt·x+（βt- αt）·bw>x· w、 对于t=1，···，t，（25），其中w∈ Rn是指数基金（如市场投资组合）的权重向量，以股票数量表示，Bw，ψ-1f，1+w>(R)ψ-1idw-1Ψ-1idw。相比之下，可分离执行VSept独立清算投资组合中的每个订单，以与预测在该期间执行的总交易量成比例的方式分配每个时期的交易量：vsepit=VolAllocit·x0i，对于t=1，···，t，对于每个i=1，··，N，（26）如果VolAllocitis是指在t期间交易的证券i日交易量的百分比，定义为（1）。§5.1（更详细地说，附录§B.3）为单一股票和投资组合（指数基金）投资者订单流建立了一个程式化的随机过程生成模型，从而得出总交易量分配的简单参数结构以及由此产生的成对相关（交易量之间）对应关系。可以估计模型的原始参数，以便与§2中描述的AVGVOLAlloct和AVGCorrelt一致。§5.2分别在（26）和（25）中提供了关于可分离和最优执行计划之间的最优差距的分析结果，对于§5.1中估计的参数，该差距可能高达6.2%。5.1.

日内流动性的有用参数化我们将建立一个简单的单只股票和投资组合（指数基金）订单流量的生成模型（由两个基本泊松过程驱动）。这种订单流的混合构成了当天的总交易量，也在整个证券交易期间的交易量中产生了一定的相关性结构。（我们将在本节中提供一个简要概述，并按照附录§B.3了解该模型的其他详细信息。）让θide注意一下，指数基金投资者提交的订单流量所产生的股票在一天内交易量的分数。形式上，θi、|w1i |·····································································。为简单起见，进一步假设θ=θ=···θN=θ，即所有证券的订单流量组合与单一股票和投资组合（指数基金）投资者的相同。在这种模型中，（如§B.3所述），日内交易量和成对相关系数由以下公式给出：AvgVolAlloct=NNXi=1E【DVolidt】PTs=1E【DVolids】=αt·（1- θ） +βt·θ，（28）平均修正系数=N（N- 1） Xi6=jCorrelijt=βt·θαt·（1- θ） +βt·θ。（29）我们注意到，所有证券i的θi=θ的假设得出结论，即所有证券具有相同的日内成交量，更重要的是，所有股票对的日内成交量相关性相同。

后者可以说是一个相当强大的限制，它的实施只是为了允许更易于处理的封闭式性能分析。根据图1所示的AVGVOLalloct和AvgCorrelt的经验观测结果，我们可以求解（28）-（29）定义的一组耦合方程，其中各自的左侧由经验估计值给出，以确定θ、α、··、α和β、··、βT的值。图2和图3总结了结果。θ估计为0.21，这意味着总交易量的21%来自指数基金。我们可以观察到，在一天开始时，指数基金投资者β的交易活动小于单一股票投资者αt的交易活动，但正如预期的那样，βtfar在一天的最后一个小时超过了αtin。订单流量构成的这种日内变化与交易日结束时成交量的两两相关性增加一致。图2：左面板：单个股票投资者的强度αt和组合（指数基金）投资者的强度βt，校准为与交易量、平均成交量和成对成交量相关性、平均成交量相关系数最匹配。右面板：描述了αt、βt与市场绩效AvgVolAlloct的偏差。图3：日内交易量αt·（1- θ） 和βt·θ（左），指数基金订单的比例为βt·θαt·（1-θ） +βt·θ（右）。最后，图4提供了（25）中这些估计对最佳执行计划的影响的图形说明。该示例描述了一个投资者想要用两个订单清算一个投资组合X，其中清算投资组合的权重与指数投资组合w的权重相差很大（由X和w之间的角度捕捉）。

为了利用指数组合方向上日流动性的增加，w，最佳时间表在上午交易时段更积极地交易股票2，如v所示*t、 因此，偏离了与x一致的可分离的WAP式执行。因此，在一天结束时执行的剩余投资组合更好地与指数投资组合一致（下午，v*更接近指数组合w）。图4：优化时间表的图示，根据单只股票和指数基金流动性之间的差异，该时间表会向指数基金的方向倾斜或向指数基金的方向倾斜。5.2. 实现不足比较：最优与可分离的执行调度从（26）和（28）我们得到可分离的调度vseptis由：vsept=（αt·（1- θ） +βt·θ）·x，（30）和v*tand vsept，预期的实施不足可写为：(R)C（v*t） =x>ψid+WψfW>-1x，（31）(R)C（vsept）=TXt=1（αt·（1- θ） +βt·θ）·x>αt′ψid+βtW′ψfW>-1x。（32）注意，在假设只有一个指数基金w的情况下，我们可以简化上述表达式，并将w？ψfW>减少到w？ψf，1w>。将（30）代入（16）可得到‘C（vsept）的表达式。我们将两个执行计划产生的预期交易成本之间的比率定义为相对绩效衡量指标。Υ（x），‘C（v塞普）’C（v*t） ；（33）该比率明显大于或等于1，并反映了可分离的“VWAP-like”进度计划相对于优化的、耦合的执行进度计划所产生的额外成本。提案5（准确的成本比率）。对于任何x∈ RN，Υ（x）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+  ·x> (R)ψ-1IDCw> (R)ψ-1IDC·1+η′ψf，1- 1.-1，（34）式中γt，βtαt，η，’ψf，1w>’ψ-1idw，以及 ,TXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）1+η·γt。

（35）（证明见附录B.4.1。）参数η是指数基金流动性（1/(R)ψf，1）与单一股票投资者提供的流动性在指数基金权重（w>ψ）上的比率-1idw）。等效地，它是指仅在市场上单个股票投资者的部分沿指数基金方向交易的价格变化与仅在指数基金投资者的部分沿瓦隆方向交易的价格变化的比率，即1/？f，1。绩效指标中的最后一个表达式是产品两个术语：第一个与流动性和交易量的日内变化相关(), 第二个因素与执行投资组合X和指数基金权重w之间的一致程度有关。最坏情况下的清算投资组合。首先，我们探讨了在可分离执行下最优缺口最大的投资组合的结构。备注1（最大/最小成本比）。设ΥmarketandΥorth分别为x=w和x=w时的成本比⊥其中w⊥是一个任意的投资组合，使得w>ψ-1idw⊥= 0如果我们与单一股票投资者交易，我们将导致以下给出的价格变化：p=(R)ψ-1idw，这将意味着市场投资组合的价格变化等于w>(R)ψ-1idw。为了获得关于该参数大小的一些直觉，想象一下想要购买标普500指数中的1亿美元份额，在一种情况下，这是从不同的流动性提供者那里获得的，每个人只交易一个组成顺序，而在另一种情况下，它是从相同的（投资组合）流动性提供者那里获得的。