日内流动性的横截面变化、横截面影响及其

我们用Dvolidt表示，在接近交易日结束时的所有交易流集中度中，股票i的名义总交易量（$）一直是金融新闻界的热门话题；例如，见Driebusch等人（2018年）。d日在时间间隔t内发生的交易。我们将Dvolito定义为时间段t内股票i的年平均交易量，AvgVolloct定义为时间段t内每日交易量的横截面平均百分比（“本定义中的每日交易量”说明了9:35至16:00之间的所有交易活动，不包括拍卖和更正打印）：DVolit，DDXd=1volidt，VolAllocit，DVolitPTs=1 volisand AvgVolAlloct，NNXi=1 VolAllocit。（1） 对于每对股票（i，j），我们用相关系数表示每个时间段t内各天内名义成交量之间的成对相关性。作为横截面相关性的度量，我们随后计算所有股票对的平均成对相关性：相关系数，PDd=1（DVolidt- DVolit）（DVoljdt- DVoljt）qPDd=1（DVolidt- DVolit）·PDd=1（DVoljdt- DVoljt），（2）AvgCorrelt，N（N- 1） Xi6=jCorrelijt。（3） 图1：横截面平均日内交易量比例（左）和横截面平均成对相关性（右）：2017年标准普尔500成分股。图1描述了AVGVOLAlloct和AvgCorrelt的图形。AVGVOLAlloct表现出普遍观察到的U形行为，表明交易活动集中在上午和一天结束时。AVGCorrelt图显示：（i）成交量在一天中呈正相关，以及（ii）在一天的最后几个小时，横截面平均成对相关显著增加。日内交易量和相关模式的替代计算得出了类似的结果。

例如，可以计算股票规格的平均交易量，并每天计算实现和预测交易量之间的股票规格的标准化交易量偏差；这些可用于成对相关分析。当我们研究按行业分类的股票时，也得到了类似的结果，例如，对观察到的日内成交量相关性的一种可能解释可能是，在整个交易时段，投资组合订单流的非平稳参与。交易投资组合订单流的市场参与者会导致股票的相关随机成交量偏差，而这反过来又会导致观察到的成对相关性。将投资组合订单流量解释为交易量横截面依赖性的主要来源，AvgCorrelt间接反映了总市场订单流量中投资组合订单流量的强度。我们的经验观察表明：（i）投资组合订单流量在一整天的交易活动中占一定比例，而这（ii）在一天结束时会增加。特别是，随着近年来ETF和被动基金的日益普及，人们现在交易类似的投资组合，这可能会产生更强的横截面依赖性；Karoli et al.（2012）、Koch et al.（2016）和Agarwal et al.（2018）提供了经验证据，表明交易量的共性确实来自ETF或被动基金的交易活动。同样，向共同基金购买或出售股票的交易以收盘价结算，共同基金公司往往在交易日附近或结束时执行净流入或流出。我们将返回有关AvgVolAlloctand和AvgCorreltin§5的这些发现，以近似不同类型的自然流动性提供者（投资组合与。

单一股票投资者），并描述其将这种现象纳入最优执行时间表和执行成本的效果。3、模型我们假设有两种类型的投资者——单一股票投资者和指数基金投资者——在市场上提供自然流动性。在本节中，我们从对这些投资者的流动性提供机制的程式化假设中推导出了横截面市场影响模型。这里的“单一股票”一词是指愿意为单个证券提供流动性的全权委托或积极投资者。3.1. 单一股票投资者和指数基金投资者假定单一股票（全权委托）投资者通过调整其持有量，以应对股票基本价格的变化，从而对单个股票进行交易并提供机会主义流动性。假设单个股票投资者持有的股票i的变化与市场价格的变化呈线性关系，其系数为ψid，i。当股票i的价格上涨（或下跌）1美元时，他们将出售（或购买）ψid，i股票的份额。市场微观结构文献（Tauchen和Pitts（1983），Kyle（1985））中经常假设持有量和价格之间存在线性供应关系。这通常是在这样的假设下进行的，即风险厌恶型投资者选择其持有的股票，以最大限度地扩大其金融、能源、制造业等子领域的股票。预期效用给出了他们对未来价格的信心。利用CARA效用函数和正态分布信念，最优持有头寸与当前价格和他们自己的保留价格之间的差距成比例，比例系数包括他们对信念的信心和他们对不确定性的偏好。

我们的参数ψid，ican应该是个人投资者敏感性参数的总和。我们考虑一个由N个股票组成的宇宙，指数为i=1，N、 假设当时维价格向量的变化为p∈ 注册护士。设Ei为ithunit向量。单一股票投资者onstock i将经历价格变化e>ip并通过以下方式调整其保持位置-ψid，i·e>ip、 在向量表示法中，单个股票投资者持有向量的变化隐藏∈ RN可以写为隐藏(p） =-NXi=1ei·ψid，i·e>ip=-ψidp∈ RN，（4）式中ψid，diag（ψid，1，···，ψid，N）∈ RN×N。隐藏(p） 可以认为是“签名”卷；i、 例如，当价格下跌时，在市场上提交购买订单是积极的，当价格上涨时，在市场上提交销售订单是消极的。与单一股票投资者相比，指数基金投资者交易的“投资组合”基于对整个市场、某个部门或特定证券组（如高贝塔股票）的一些看法。这包括许多机构投资者，但持有ETF或加入indexfunds的个人投资者也属于这一群体。我们假设有K个这样的基金，指数为K=1，K、 设wk=（wk1，···，wkN）>∈ RNbe指数基金k的权重向量，以#股表示：指数基金k的一个单位包含股票1的WK1股、股票2的WK2股，依此类推。给出价格变动p∈ RN，指数基金k的投资者将经历w>k的价格变化p、 与单一股票投资者类似，指数基金投资者将其在指数基金k上的持仓量线性调整到其价格变化w>k具有系数ψf，k的p。

由于交易一个单位的指数基金k相当于用权重向量wk交易一篮子个股，因此我们可以说明指数基金投资者持有头寸向量的变化高频∈ RNA是该基金组成部分变化的载体：高频(p） =-KXk=1wk·ψf，k·w>kp=-WψfW>p∈ RN，（5）其中，| |w···wK ||∈ RN×K，ψf，diag（ψf，1，···，ψf，K）∈ RK×K.（6）在本文中，我们假设所有ψid，i’s和ψf，K’s都是严格正的，并且wk’是线性独立的。3.2. 横向价格影响考虑我们希望执行v∈ RNshares。每个组成部分可以是正的，也可以是负的，这取决于我们是想买还是卖。我们的订单（最终）针对单一股票和指数基金投资者提供的自然流动性提供者进行交易；做市商或高频交易者往往在一天结束时保持微不足道的库存，因此，无论是谁充当市场的中间人，我们都需要从这两类投资者那里获得v股。4月变更p∈ 如果满足以下市场清算条件，R将影响v股的库存变化：v+隐藏(p） +高频(p） =0。（7） 根据方程（4）和（5），v=NXi=1ei·ψid，i·e>i+KXk=1wk·ψf，k·w>k！p=ψid+WψfW>p、 （8）该表达式表示在v股中，ψidp∈ RN股票来自单一股票投资者和WψfW>p∈ RN指数基金投资者的股票。NV和p可以转化为下一个命题中总结的价格影响。提议1（横向价格影响）。执行v时∈ RNshares，市场清算价格变化向量p∈ RNis是这样的p=Gv和G，ψid+WψfW>-1.（9）注意，系数矩阵G是ψid+WψfW>的逆矩阵，它由两个对称且严格正的定义矩阵组成。

因此，G本身是一个定义良好的对称正定矩阵，具有以下结构：对角矩阵加非对角低秩矩阵。从Woodbury恒等式的应用中导出的以下矩阵展开式将证明是有用的：G=ψid{z}对角线+WψfW>{z}秩K-1= Ψ-1id{z}对角线- Ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id{z}秩K.（10）命题1描述了交叉价格影响模型的结构。交叉影响由WψfW>中的非对角线条目捕获，这是指数基金（投资组合）投资者自然流动性规定的结果。我们将术语ψid，diagNi=1（ψid，i）和ψf，diagKk=1（ψf，k）解释为“流动性”。ψid，ire表示股票i中单个股票投资者提供的流动性金额，ψf，kre表示指数基金k投资者提供的流动性。ψid+WψfW>之和表示市场总流动性。如（9）所示，价格影响与流动性成反比，这与作为衡量交易便利性的流动性的传统定义相一致。当ψid，iorψf，kis较大时，相当于流动性充裕时，价格影响较小。ψid，iandψf，Kwere最初定义为投资者持股对市场价格变动的敏感性，因此，当价格变动一定量时，我们可以从这两类投资者那里获得多少股份；衡量价格影响的指标。3.3. 单期交易成本考虑希望执行v∈ RN在短时间内共享，例如5到15分钟。让p∈ RNbe本执行期开始时的价格。

假设vis在该时间段内持续以固定利率交易，则清算人将实现“ptr=p+Gv+”给出的平均交易价格tr，（11）其中tr公司∈ RN代表一个随机误差项，该误差项捕获了不可预测的市场价格波动或其他投资者在此期间执行的交易的影响；这表明成本在这段时间内呈线性累积，平均执行价格是平均影响加上外生因素导致价格波动的随机贡献的一半。（稍后我们将回到这个假设。）我们将假设误差与执行v和零均值无关：即tr | v= 清算人产生的单期预期执行差额由“C（v），Ehv>(R)ptr- pi=v>Gv。（12） 线性价格影响导致二次执行短缺成本；请注意，由于G为正定义，因此产生的成本始终为正。以下命题简要探讨了自然流动性提供者的混合如何影响预期执行成本。命题2（极端情况）。考虑单个股票和指数基金自然流动性的参数标度，分别为ψidan和ψf，由g给出=α·ψid+β·WψfW>-1，（13）对于一些标量α∈ （0，1）和β∈ （0，1），（i）如果没有指数基金投资者（α→ 1和β→ 0），预期执行成本在各个资产中变得不可分割：limα→1,β→0°C（v）=v>ψ-1idv=NXi=1viψid，i.（14）（ii）如果没有单一股票投资者（α→ 0和β→ 1） ，清算人只能执行有限的预期执行成本投资组合订单，这些订单可以表示为指数基金权重向量的线性组合。具体：limα→0,β→1°C（v）=(∞ 如果v/∈ 跨度（w，···，wK）u>ψ-如果v=Wu，则为1fu。

（15） （证明见附录B.1。）因此，根据我们的分析，实践中经常假设的可分离（逐个证券）市场影响成本模型基本上预测，市场中的所有自然流动性都是由机会主义的单一股票投资者提供的。在这种情况下，（14）恢复了常用的“对角线”市场影响成本模型。另一个极端假设是，所有流动性都是沿着指数基金投资者的权重向量提供的，由此产生的成本则取决于目标执行向量v如何表示为（w，···，wK）的线性组合。在实践中，后一种情况表明，当被清算的目标投资组合与提供投资组合流动性的方向不一致时，在投资组合流动性提供强度相对较高的时期，执行成本可能会增加。3.4. 时变流动性和多期交易成本命题2的程式化观察表明，日内交易成本可能会受到自然流动性提供者组合的日内变化的影响，尤其是如果指数基金投资者的相对贡献随时间显著增加。我们将考虑日内执行计划v、···、vTover T期间的交易成本，其中vt∈ RNshares在时间间隔t内执行。我们将对价格影响的日内行为、价格动态和实现的执行成本做出以下假设。a） 我们允许流动性准备金的组合在一天中发生变化。我们用ψid，Itan和ψf，kt以及附加的下标t来表示时变流动性。

我们假设指数流动性提供者的投资组合权重向量wk在给定的一天内是固定的。在此设置下，价格影响系数矩阵可以表示为：Gt=ψid，t+Wψf，tW>-1.b）设Pt为t期末的基本价格。“基本”价格是指市场对未来价格的最佳猜测，市场同意的价格，不包括由于市场影响而实现的交易价格的暂时偏差。假设基本价格过程（p，p，···，pT）是一个独立于执行计划的鞅：pT=pT-1+ t、 对于所有t=1，··，t，其中创新项tsatis fies E公司[t |英尺-1] =0，包含所有过去信息Ft-1、术语这通常被理解为市场参与者信念的变化，可能是由于t期间披露的信息。我们隐含地假设，我们的执行没有传达任何有关未来价格的信息。c） 每个时期的已实现“交易”价格可能暂时偏离基本价格，例如，由于购买订单流量和销售订单流量之间的短期不平衡。在执行vtshares的过程中，清算人促成了这种不平衡，根据前面描述的机制，这种不平衡会导致暂时的价格影响。我们假设这种影响是暂时的，我们特别假设交易价格从每个时期的基本价格开始，而不管清算人在以前时期的交易活动如何。

考虑到系数矩阵Gt，当VTI顺利执行时，平均交易价格为“ptrt=pt-1+Gtvt+“”trt，其中错误项‘trtsatis公司Etrt | vt= 0和以前一样。在这些假设下，执行一系列投资组合交易的预期交易成本v，···，vT随着时间的推移是可分离的，可以表示为：(R)C（v，···，vT），E“TXt=1v>t(R)ptrt- p#=TXt=1v>tGtvt。该公式隐含地假设，通过ψid，it’s和ψf，kt’捕获的日内流动性是确定性的，并且事先已知。尽管日内流动性在一天的过程中随机演变，但其预期收益表现出相当明显的形状，可以作为预测，作为分析的基础（如实践所做）；c、 f.§6.4中的讨论。最优投资组合执行我们将制定并解决§4.1中的多期最优投资组合执行问题，并随后探索§4.2.4.1中作为两个自然流动性提供者日内变量函数的最优解决方案的性质。最佳交易计划考虑风险中性清算人有兴趣执行x∈ RN在执行期限内（例如，一天）共享。我们制定了一个离散时间优化问题，以找到一个最小化预期总交易成本的最优调度：最小化C（v，···，vT）=TXt=1v>tGtvt（16），前提是XT=1vt=x。（17）命题3（“耦合”执行）。风险中性成本最小化问题（16）-（17）具有V给出的唯一最优解*t=克-1tTXs=1G-1s！-1台=ψid，t+Wψf，tW>ψid+WψfW>-1x，（18）其中，总每日流动性？ψid和？ψ票价定义如下？ψid，TXt=1ψid，t，？ψf，TXt=1ψf，t。（19）我们进行以下观察。