日内流动性的横截面变化、横截面影响及其

《交易杂志》，第7（4）期，2012年。一、 罗苏。限价订单簿的动态模型。《金融研究回顾》，22:4601–46412009。M、 Schneider和F.Lillo。交叉影响，无动态套利。工作文件，2017年。G、 E.Tauchen和M.Pitts。投机市场上的价格变化量关系。《计量经济学》，51（2）：485–5051983年。G、 Tsoukalas、J.Wang和K.Giesecke。动态投资组合执行。《管理科学》，2017年。A、 单位变化在§3和§4中，价格影响是均衡预期价格变化p、 以美元表示，执行向量v时需要市场清算，以执行投资组合中每种证券的股份数表示。我们可以用回报率r来重申市场影响∈ RNas是名义执行量向量的函数v∈ 注册护士。设p表示（到达）均衡价格向量p∈ RN，在执行期开始时捕捉，并定义对角线矩阵P，diag（P）∈ RN×N.然后，r，P-1.p和v，Pv。（52）我们相应地重新定义了流动性变量ψid，i，ψf，和权重向量wk：△ψid，i，pi·ψid，i，△ψf，k，（w>kp）·ψf，kandwk，Pwkp>wk。（53）重新定义的流动性变量ψid，inow有以下解释：当股票i的价格上涨（或下跌）1%时，单个股票投资者将出售（或购买）1%·ψid，It美元数量的股票i。重新缩放的权重向量wk表示标准化的美元加权投资组合。把一切放在一起R=P-1Gv=P-1.ψid+WψfW>-1便士-1·Pv=PψidP+PWψfW>P-1伏=ψid+▄W▄ψf▄W>-1v.由此产生的预期实施短缺成本保持不变：(R)C（v），v>p=▄v>r=▄v>ψid+▄W▄ψf▄W>-1v.B.证明B。1、命题2的证明我们首先关注（15）中v=Wu的情况。

当α=β=1时，通过Woodbury恒等式我们得到=ψid+WψfW>-1= Ψ-1id- Ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id。因此，W>GW=W>ψ-1idW- W> ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idW=W> ψ-1idW-1+ψf-1、接下来，我们将α和β的影响合并如下：W>GW=α ·W> ψ-1idW-1+β·ψf-1.-→ Ψ-1fasα→ 0和β→ 1、因此，对于任何u∈ RK，limα→0,β→1’’C（v=Wu）=limα→0,β→1u>W>GWu=u>ψ-1件。接下来我们考虑当v/∈ 跨度（w，···，wK）。对于某些e，设v=Wu+e∈ R使W>e=0，e 6=0。使用Woodbury矩阵恒等式，G=α-1· Ψ-1id- α-1· Ψ-1idWαβΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id。因此，limα→0,β→1{α·G}=ψ-1id- Ψ-1idWW> ψ-1idW-1W>ψ-1id。带r，ψ-1/2ide和A，ψ-1/2idW，e>Ψ-1id- Ψ-1idWW> ψ-1idW-1W>ψ-1ide=r>r- r> AA> A-1A>r。请注意A> A-1A>r是r在a（用span（a）表示）所跨越的空间上的投影。因此，limα→0,β→1.α·e>Ge= 0当且仅当r∈ 跨度（A）。如果r∈ 跨度（A）：即，对于某些s，r=As∈ RK，e=ψ1/2idr=ψ1/2idψ-1/2idWs=Ws，因此v∈ 跨度（W）。因为我们假设v/∈ span（W），我们有r/∈ span（A），因此Limα→0,β→1.α·e>Ge> 此外，GW=α-1· Ψ-1idW- α-1· Ψ-1idWαβΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idW=α-1· Ψ-1idWIK-αβW> ψ-1idW-1Ψ-1f+IK-1!| {z}-→O作为α→因此，limα→0,β→1.α·e>GWu= 总结一下，limα→0,β→1.uW>GWu= u> ψ-1fu，limα→0,β→1nα·（Wu+e）>G（Wu+e）o=limα→0,β→1.α·uW>GWu+ limα→0,β→1.α·2e>GWu+ limα→0,β→1.α·e>Ge= 0+0+limα→0,β→1.α·e>Ge> 0。（54）由此得出limα→0,β→1n（Wu+e）>G（Wu+e）o=∞. B、 2。

命题4的证明请注意W′ψfW>’ψ-1id- W？ψfW>？ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id=W？ψf·Ψ-1f+W>ψ-1idW·Ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id-W？ψf·W>？ψ-1idW·Ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id=W？ψf·Ψ-1f+W>ψ-1idW- W> (R)ψ-1idW·Ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id=WΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id。再次使用Woodbury矩阵恒等式，G-1tTXs=1G-1s！-1=αt′ψid+βtW′ψfW>ψid+WψfW>-1=αt′ψid+βtW′ψfW>Ψ-1id-Ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id= α-锡- αtWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id+βtW？ψfW>？ψ-1id- βtW？ψfW>？ψ-1idWΨ-1id+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id=αtIN+（βt- αt）WΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1id{z}，bW>。B、 3。§5中使用的简单订单流生成模型我们首先通过引入交易量的随机过程生成模型，在自然流动性的日内变化和最终交易量的日内变化之间建立明确的关系。其根本动机很简单，但也很直观：单一股票和指数基金投资者对他们希望交易的证券产生（随机）订单流。每一时间段内每种类型投资者的订单流到达强度与该投资者类型在此时间段内提供的相应交易活动或流动性成比例。这分别由α和βt曲线得出。具体而言，我们假设股票i在时间间隔t，DVolidt，d天的名义交易量由单一股票投资者Qid，idd和马德比指数基金投资者Qf，dt的订单流比例构成w1i |表示指数基金中股票i的美元加权所有权，因此，交易一美元数量的指数基金会将名义交易量的| w1i |美元数量累积到股票i上。

每个订单流自然可以分解为小交易。DVolidt=Qid，idt+|w1i | Qf，dt=Nid，idtXj=1qid，idt（j）+| w1i | Nf，dtXj=1qf，dt（j），（55），其中Nid，idtand Qid，idt（j）代表交易的数量和单个股票投资者在时间间隔t的第d天进行的交易的绝对规模。Nf，dt和Qf，dt（j）的定义类似。我们将Nid、idt、Nf、dt、qid、idt（j）和qf、dt（j）视为遵循特定分布假设的随机变量。假设这两类投资者的订单到达过程为泊松分布，且随时间变化的速率与α和βt.Nid，idt成正比~ 泊松（αt∧）和Nf，dt~ 泊松（βt∧）。（56）我们进一步假设，单个订单量qid，idt（j）’s（和qf，dt（j）’s）都是独立的，并且在以下力矩条件下均匀分布。E【qid，idt（j）】qid，i，Var【qid，idt（j）】=cv························································。在上述假设下，单一股票投资者的指令流Qid，idt是一个具有以下均值和方差的复合泊松过程：E【Qid，idt】=E【Nid，idt】·E【Qid，idt（j）】=αt·λ··'Qid，i（58）Var【Qid，idt】=E【Var（Qid，idt'Nid，idt）】+Var【E（Qid，idt'Nid，idt）】（59）=ENid、idt、cv、qid、i+ Var【Nid，idt·'qid，i】（60）=αt∧·（cv+1）·'qid，i.（61）Qf，dt的均值和方差可以用类似的方式表示。对每种证券的这些流量求和，我们得到：e【DVolidt】=αt·∧·qid，i+βt·∧··················································qf（63）Cov【DVolidt w1i | | | | w1j |·（1+cv）·qf。

（64）指数基金投资者制定的共同指令流Qf与指数中的股票呈现正相关。定义θito是指数基金投资者产生的日交易量占股票i总日交易量的比例。θi，PTt=1E[| | w1i |·Qf，dt]PTt=1E[DVolidt]=| | w1i |·Qf | qid，i+| | w1i |·Qf。（65）在（1）和（2）中定义的日内交易量收益率和成对相关系数可以简单地用θi和θj.VolAllocit表示≡E【DVolidt】PTs=1E【DVolids】=αt·（1- θi）+βt·θi（66）相关≡Cov【DVolidt，DVoljdt】pVar【DVolidt】·pVar【DVoljdt】（67）=βt·θi·θjpαt·（1- θi）+βt·θi·qαt·（1- θj）+βt·θj（68），如果我们进一步假设θ在所有证券中的比例相同，θ≡ θ=θ=···=θN，（69）那么所有股票i的VolAllocitis是相同的，而所有股票i，j对的correlijt是相同的，如（28）-（29）所示。B、 4。§5.2B的证明。4.1.

命题5的证明注意，Υ（x）=PTt=1（αt·（1- θ） +βt·θ）·x>αt′ψid+βtW′ψfW>-1xx>ψid+WψfW>-1x=TXt=1αt·（1+θ·（γt- 1） ）·x>ψid+γtW？ψfW>-1xx>ψid+WψfW>-1x。根据Woodbury的矩阵恒等式，x>ψid+γtW？ψfW>-1xx>ψid+WψfW>-1x=x>ψ-1IDC- x> (R)ψ-1idWγ-1t？ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idxx>ψ-1IDC- x> (R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idx=1+x> (R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1IDC-x> (R)ψ-1idWγ-1t？ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1IDCx> (R)ψ-1IDC- x> (R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idx=1+x>(R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1.-γ-1t？ψ-1f+W>ψ-1idW-1.W> (R)ψ-1idxx>ψ-1IDC- x> (R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idx=1+x>(R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1·γ-1吨- 1.Ψ-1f层·γ-1t？ψ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idxx>ψid+WψfW>-1x=1+（1- γt）·x>ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1.IK+γtW>(R)ψ-1idW？ψf-1W>ψ-1idxx>ψid+WψfW>-1x。仅限于K=1的情况，IK+γtW>(R)ψ-1idW？ψf-1=1+γtw>(R)ψ-1idw？ψf，1-1=1+γt·η。因此，x>ψid+γtW？ψfW>-1xx>ψid+WψfW>-1x=1+1- γt1+η·γt·x>(R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idxx>ψ-1IDC- x> (R)ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1idx=1+1- γt1+η·γt·x>(R)ψ-1idxx>ψ-1idWΨ-1f+W>ψ-1idW-1W>ψ-1IDC- 1.-1= 1 +1 - γt1+η·γt·x> (R)ψ-1idxx>ψ-1idw·'ψf，11+'ψf，1w>'ψ-1idw·w>ψ-1IDC- 1.-1= 1 +1 - γt1+η·γt·x>(R)ψ-1IDCw> (R)ψ-1IDC·1+η′ψf，1- 1.-1、为了简化符号，定义（x），x>ψ-1IDCw> (R)ψ-1IDC·1+η′ψf，1- 1.-那么，Υ（x）=TXt=1αt·（1+θ·（γt- 1))·1 +1 - γt1+η·γt·f（x）.注意TXT=1αt·（1+θ·（γt- 1） ）=TXt=1αt·（1+2θ·（γt- 1） +θ·（γt- 2γt+1））=TXt=1αt+2θ·（βt- αt）+θ·βtαt- 2βt+αt= 1+θ·TXt=1βtαt- 1.因此，Υ（x）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+TXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）1+η·γt！|{z}，×f（x）。B、 5。备注证明1-3最大/最小成本比。

注意，f（x）是x>ψ的递减函数-1idx（w>ψ）-1idx）和minx∈RNx>ψ-1IDCw> (R)ψ-1IDC=maxx公司∈注册护士w> (R)ψ-1IDCx> (R)ψ-1IDC！-1=maxy公司∈注册护士w> (R)ψ-1/2天y> y型-1=w> (R)ψ-1idw-1=(R)ψf，1η。上述值是在x=w时获得的。因此，maxx∈RNf（x）=f（x=w）=ψf，1η·1+ηψf，1- 1.-1= η.另一方面，因为minx∈RN（w）>ψ-1idx）x>(R)ψ-x=w时1idx=0⊥,minx公司∈RNf（x）=f（x=w⊥) = 结合这两个结果，我们得到了∈RNΥ（x）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+ maxx公司∈注册护士{ · f（x）}=最大{市场，或}最小∈RNΥ（x）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+ minx公司∈注册护士{ · f（x）}=最小{市场，或}，以及平凡的{市场≥ Υ或仅当且仅当 ≥ 0、签名 关于θ。请注意（θ） 是θ的二次函数。必须证明(θ = 0) ≥ 0和(θ = 1) ≤ 注意，对于任意函数h（·），（如果h（·）是非递减的，则h（γ）·（1- γ) ≤ h（1）·（1）- γ), γ如果h（·）不增加，则h（γ）·（1- γ) ≥ h（1）·（1）- γ), γ. （70）在θ=0的情况下，通过设置h（γt），1+η·γt，这是一个非递增函数，我们可以证明（θ=0）=TXt=1αt·（1- γt）1+η·γt（70）≥TXt=1αt·（1- γt）1+η=（1+η）-1TXt=1（αt- βt）=0。在θ=1的情况下，通过设置h（γt），γt1+η·γt，这是一个非递减函数，（θ=1）=TXt=1αt·γt（1- γt）1+η·γt（70）≤TXt=1αt·（1- γt）1+η=0。Υ市场相对于η的变化。请注意Υ市场η=η(η· (η))=ηTXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）η-1+γt=TXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）η·（η-1+γt）=θη·TXt=1αt·1 +θ-1.- 1.- η-1η-1+γt(1 - γt）。设置h（γt），1 +θ-1.-1.-η-1η-1+γt. 如果η≤θ1-θ、 然后θ-1.- 1.- η-1.≤ 0，因此h（·）是非递减的。因此Υ市场η=θη·TXt=1αt·1 +θ-1.- 1.- η-1η-1+γt(1 - γt）（70）≤θη·TXt=1αt·1 +θ-1.- 1.- η-1η-1+ 1(1 - γt）=θη·1 +θ-1.- 1.- η-1η-1+ 1·TXt=1αt（1- γt）=θη·1 +θ-1.- 1.- η-1η-1+ 1·TXt=1（αt- βt）=0。如果η≥θ1-θ、 那么h（·）是非递增的，因此不等式的符号颠倒了。

因此Υ市场η≤ 0如果η≤θ1 - θ、 以及Υ市场η≥ 0如果η≥θ1 - θ.当η=0时，Υ市场（η=0）=1+θ·TXt=1βtαt- 1.注意，Υ市场（η=0）=Υ或。由于Υ市场（η）在[0，θ1]中下降-θ] ，这就完成了（41）的证明。当η=θ1时-θ、 自（1）起-θ+θ·γt）1+η·γt=（1- θ) · (1 - θ+θ·γt），Υ市场（η=θ1- θ） =1+θ·TXt=1βtαt- 1!+θ1 - θ· (1 - θ） ·TXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）=1+θ·TXt=1βtαt- 1.- θ·TXt=1βtαt- 1!= 1、Asη→ ∞,limη→∞Υ市场=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+ limη→∞(η· （η） ）=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+TXt=1αt·（1- θ · (1 - γt））（1- γt）γt=1+θ·TXt=1βtαt- 1!+ (1 - θ） ·TXt=1αtβt！- 1 + 2θ - θ·TXt=1βtαt！=1 + (1 - θ） ·TXt=1αtβt- 1.单个股票交易的成本比率。注意f（ei）=e>i？ψ-1idei公司w> (R)ψ-1idei公司·1+η′ψf，1- 1.-1=ψ-1id，iw1i·′ψ-1id，i·1+η′ψf，1- 1.-1=1+ηη1，i- 1.-1=η1，i1+η- η1，i。还应注意η1，i1+η- η1，i≥η1，j1+η- η1，jif，仅当w1i？ψid，i≥w1j′ψid，j。然后，结果立即来自（34）。