资产定价模型中列维指数的确定

然而，从经验的角度来看，L'evy过程应该具有“细尾”的要求相对温和：L'evy过程引入单位矩（从而具有细尾）的一个有效条件是跳跃应该有界（Protter 2005，定理34），即使边界设置为任意高的值。因此，从现代的角度来看，在金融中使用列维过程与其说是出于对收益尾部分布建模的愿望，不如说是为了说明资产价格可能发生的跳跃的变化特征。四、 衍生产品价格在时间t提供单个随机付款的欧洲风格衍生产品的价格t ime 0由h=E（πTHT）给出。（25）当然，期望是关于真实世界的概率度量。pricingkernel负责给出答案所需的贴现和概率权重。使用这种公式进行衍生品定价是众所周知的，但回顾一下这一论点可能会有用。在资产定价的一般理论中，正如我们所做的那样，一个概率空间(Ohm, F、 P），其中P被解释为真实世界的度量，与过滤{Ft}一起，并且假设存在定价核{πt}t≥0满足所有t的πt>0≥ 0，这样对于任何具有非负价格过程{St}t的资产≥0anda非递减累积红利过程{Kt}t≥0，相关的衰减增益过程{St}t≥由“St=πtSt+ZtπsdKs（26）”定义的0是鞅。到目前为止，我们已经考虑了有限责任资产，对于这些资产，价格不是负的，累计股息过程正在增加。

一般资产不一定是有限责任资产，我们指的是一种资产，其价格可以表示为两种有限责任资产价格之间的差异，而累积股息过程可以表示为两种递增的累积股息过程之间的差异。因此，generalasset的衰减增益过程也是一个鞅。上述公式考虑了连续支付和离散支付股息的可能性。如果股息是完全离散的（并且在可能的随机时间支付），那么衰减的收益过程可以用“St=πtSt+X0”的形式表示≤s≤tπs（Ks）。（27）每次支付股息时，累积股息过程都会跳跃，跳跃值等于股息。对于在时间T具有单一支付的欧式衍生工具，我们将支付视为股息，因此累积股息过程在时间T之前为零，然后跳到时间T。（27）中的和减少为一个项，由跳跃给出（KT）=HT，我们有'ST=πTHTat T。由于导数本身的值在股息分配的那一刻降为零，因此它遵循了martinga-le条件，即'S=E（πTHT），这给了我们（25）。在文献中，由于传统上对符号的滥用，人们通常以{Hs}0的形式写出导数的价格过程≤s≤T、 就好像衍生品的终值是支付的一样；实际上，衍生工具本身在mat Urity的价值为0，而在T时的支付（或股息）为HT。

这与衍生品的价格过程应该是左极限右连续的概念是一致的。我们还可以检查，如果风险资产以固定利率δ支付比例股息，则其几何L'evy模型中的价格将由t=Se（r）给出-δ） t+R（λ，σ）t+σξt-ψ（σ）t.（28）通过与几何布朗运动模型中相应结果的类比，该表达式当然在直觉上是合理的，甚至可能是明显的。然而，我们需要检查（26）定义的过程是鞅。使用方程式（18）、（26）和（28）计算得出“St=Se”-δt+（σ-λ） ξt-ψ(σ-λ） t+δSZte-δu+（σ-λ） ξu-ψ(σ-λ） udu。（29）在时间s<t时分裂积分，并利用富比尼定理取一个条件期望，我们得到了'St=Se-δt+（σ-λ） ξs-ψ(σ-λ） s+δSZse-δu+（σ-λ） ξu-ψ(σ-λ） udu+δ深交所-δu+（σ-λ） ξs-ψ(σ-λ） sdu，（30），从该sdu中，紧随其后的是Es“St=”Ss。因此，我们已经证明，（28）确定的价格与比例股息率δ一起，使得由此产生的deflatedgain过程是一个鞅，这表明（28）确实是支付比例股息和恒定利率的风险资产价格的几何L'evy模型中的正确表达。五、 L'EVY指数的确定关于从价格数据确定L'EVY指数的问题，我们继续考虑所谓的幂函数导数的单参数族，其中Ht=（ST）q，（31），其中q∈ R、 各种aut-HOR已经考虑了L’evy指数与价格相关的L’evy模型中类似结构的定价（参见Carr&Lee 2009、Fajardo 2018以及其中引用的参考文献）。值H∈ R+∪ ∞ 时间为零时的幂次payoff导数的表达式为h=E（πTSqT）。（32）在这里，我们允许对于q的某些值，导数的值可能不确定。

在布朗运动驱动的模型中，资产价格的形式为st=Se（r+λσ）T+σWT-σT，（33）对于定价核，我们有πT=e-rT公司-λWT-λT，（34），其中为方便起见，我们设置π=1。因此πTSqT=Sqe（q-1） rT+qλσT+（qσ-λ） WT公司-（qσ+λ）T.（35）然后，通过计算可以推断出幂函数导数的值，视为函数q，其形式为h（q）=Sqe（q-1） rT+q（q-1） σT（36）在布朗情形下。需要注意的是，当期望值为t时，涉及λ的术语会取消，因此导数的值仅取决于S、r、σ和q，并且H（q）对于q的所有值都是有限的。在几何L'evy模型的情况下，资产价格由（21）给出，pricingkernel由（18）给出。因此我们有πTSqT=Sqe（q-1） rT+（qσ-λ） ξT+（q-1)ψ(-λ） T型-qψ（σ-λ） T.（37）被视为q函数的幂函数payoff导数的值，则表示h（q）=Sqe（q-1） rT+ψ（qσ-λ） T+（q-1)ψ(-λ） T型-qψ（σ-λ） T.（38）获得了一个显式表达式，这可能是值得注意的，但这允许我们详细研究所考虑的L'evy模型类型与导数结果值之间的关系。我们注意到H（0）=e-r并且H（1）=S，正如人们所期望的，并且应该很明显，通常H（q）仅在参数q的特定值范围内是有限的。特别是，假设σ>λ>0，并且σ∈ A和-λ ∈ A、 然后，对于A=（β，γ）明确qσ- λ ∈ A当且仅当σ（β+λ）<q<σ（γ+λ）。（39）自β<-λ和γ>0，这些不等式确保qfor的值集的内周期H（q）<∞ 是包含原点的开集B。现在我们可以问导数价格{H（q）}q家族的具体化程度∈用一个气球来推断驱动模型的列维过程的性质。为此，我们注意到，从H（0）和H（1）的观察中，可以推断r和的值。

因此，在不丧失一般性的情况下，必须考虑函数d（q）=TlogH（q）Sqe（q-1） rT=ψ（qσ- λ） +（q- 1)ψ(-λ) - qψ（σ- λ） ，（40）这是q的定义∈ B、 代表衍生产品价格系列提供的数据。命题1让Payoff Payoff s HT=（ST）qfor q的衍生品价格∈ 非股息支付风险资产≥0这是一个已知的几何L'evy过程，并且假设已知定价核是一个几何L'evy过程，由相同的L'evy过程驱动，直到比例因子。然后，L'evy指数可以被推到一个变换ψ（α）→ ψ(α + u) -ψ（u）+cα，其中c和ua为常数。证据在不丧失一般性的情况下，可以设置σ=1。那么我们有d（q）=ψ（q- λ） +（q- 1)ψ(-λ) - qψ（1- λ). （41）在问题的设置中，我们取D（q）t来表示所有q∈ R和f在某个开集B中是有限的，我们认为λ是未知的。目标是确定L'evy指数。写入|ψ（α）=ψ（α- λ) - ψ(-λ） ，我们有D（q）=ψ（q）- q|ψ（1）。这意味着对于某些b，Δψ（q）=D（q）+qb∈ R、 现在，很容易看出ψ（α）=ψ（α+λ）-~ψ(λ). 我们得出结论，对于λ和b的某些选择，L'evy指数的形式为ψ（α）=D（α+λ）- D（λ）+bα。（42）将（42）代入（41）的右侧，可以检查溶液是否有效。最后，我们注意到在形式ψ（α）的变换下→ψ（α），其中ψ（α）=ψ（α+u）-ψ（u）+cα，其中c，u∈ R、 我们发现^ψ（α）=D（α+λ+u）-D（λ+u）+bα。变换的影响为λ→^λ = λ + u. 由于λ未知，这表明t heL'evy exponent仅在所示类型的转换之前确定。六、 解释性备注根据这一结果，可能会有一些评论。

我们还记得，L'evy过程完全由时间t的一个瞬间的随机变量ξtat来表征。这反映了L'evy过程和不可分分布之间存在一对一的对应关系，并且L'evy过程具有其在任何特定时间的值分布都是不可分的特性。为方便起见，取t=1，在允许指数矩的L'evy过程的情况下，我们得到ψ（α）=log E[Eαξ]，并且注意ξ的分布由L'evy指数{ψ（α）}α决定∈A、 每个这样的分布都自然地属于某个单参数分布族，我们称之为Esscher分布族。ξ的分布是函数f:R→ [0，1]定义为F（x）=E[1{ξ≤ x} 】。对于相关的L'evy指数，我们有ψ（α）=logZ+∞-∞eαxdF（x）。（43）对应的Esscher族Fδ：R→ [0, 1], δ ∈ A、 由测量值Changefδ（x）=E[Eδξ]确定-ψ(δ)1{ξ≤ x} 】。（44）因此，我们可以询问与Fδ相关的L'evy指数的结构。这是ψδ（α）=logZ+∞-∞eαxdFδ（x）=lo gZ+∞-∞eδx-ψ（δ）eαxdF（x）=ψ（α+δ）- ψ(δ). （45）因此，我们看到，根据命题1，幂函数导数价格的规定允许我们确定基本L'evy过程的L'evy指数的Esscher族，模化为不相关的线性项。从这个意义上讲，等效的列维过程可以说是相同的“噪声类型”（Br ody，Hughston&Yang，2013）。另一方面，如果基本资产的性质事先已知更多信息，则可以更精确地确定L'evy指数。例如，考虑这样一种情况，即已知电力支出衍生工具所基于的资产是自然计分法。

那么σ=λ，对于资产价格，我们有ζt=ζert+R（λ，λ）t+λξt-ψ（λ）t，（46），其中超额收益率由R（λ，λ）=ψ（λ）+ψ给出(-λ). 在这种情况下，我们可以在不损失一般性的情况下设置λ=1。然后从（41）和（42）得出，D（1）=0，因此ψ（α）=D（α+1）+bα。因此，我们展示了以下内容：命题2让幂payoff s HT=（ζT）qforq的导数的p ri∈ 自然数字{ζt}t的起始值≥0这是一个已知的几何L’evy过程。然后，L'evy指数可以被导出为形式ψ（α）的变换→ ψ（α）+bα，其中b是常数。在g几何L'evy模型中，定价核可以写成πt=e的形式-rt∧twhere the鞅{∧t}t≥0定义为∧t=e-λξt-ψ(-λ） t（47）确定测量值的变化。因此，对于任何Ft可测量的随机变量Zt，我们有▄P（Zt<z）=▄E[1（Zt<z）]=E[λt1（Zt<z）]。（48）我们将▄P称为风险中性度量，并将▄E表示▄P下的预期。术语“风险中性”来自于▄E（St）=在几何L'evy模型中存在的事实。那么{ψ（a）}可以解释为与ξtunder therisk中性测度相关的L'evy指数。这就是说，|ψ（a）=tlog|E[eaξt]。（49）命题1的实质是，衍生价格族可用于计算{ψ（a）}，它将P下的表达式{ψ（a）}固定为所示自由度的模。让我们为到期日为T且行使时间为x的看涨期权的时间0的价格写出C0T（x）。可以使用数据{C0T（x）}x吗≥0对于确定几何模型中的L'evy指数的固定T？答案是肯定的，尽管该方法不如使用幂函数导数那么简单，我们将看到这一点。

现在，我们知道，如果在t时刻t对应于资产终值的随机变量st允许风险中性密度函数，那么我们可以使用Breeden&L itzenberger（1978）的思想，根据看涨期权数据计算出该密度。特别是，如果我们写▄θ（x）=ddx▄P（ST≤ x） （50）对于发育迟缓的密度，风险中性度量值▄P，我们有▄θ（x）=e-rTdC0T（x）dx。（51）这是因为c0t（x）=e-rTZ公司∞（y）- x） +θ（y）dy.（52）然后{θ（x）}x≥0可通过关系式▄e（SqT）=Z计算幂函数导数的值∞xq|θ（x）dx，（53），从那里我们可以计算出|ψ（α），如前一节所示。这种方法的困难在于，在几何L'evy模型中，St的分布通常不允许密度函数，并且看涨期权价格系统{C0 T（x）}x≥0对于所有x都是不可区分的∈ R+。如果我们使用风险中性分布函数{F（x）}x，则在一定程度上可以避免这种情况≥0并以Lebesgue-Stieltjes积分的形式表示期权价格，写出c0t（x）=e-rTZ公司∞（y）- x） +dF（y），（54），并理解分布函数是右连续的。然后确定所有x的期权价格相对于行权的导数∈ R+从分布函数的不连续点分离，这足以使我们恢复整个分布函数。一旦知道了分布函数，就可以通过计算电力支付价格系统来确定L'evy指数，给出Q∈ R byH（q）=e-rTZ公司∞xqdF（x）。（55）七。

虚功率支付作为一个单参数衍生工具系列的另一个示例，当标的是几何L'evy资产时，可以从中提取有关L'evy指数的信息，我们考虑虚功率支付系列，其中终端现金流由ft（q）=（ST）iq，（56）给出，其中q∈ R、 这种契约在时间零点的价值采用以下形式：f（q）=E（πTSiqT）=E（πTeiq log ST）。（57）由于支付是一个复杂的函数，我们对两种不同的衍生品进行了估价，每种衍生品都有自己的支付。也就是说，F（q）=E[πTcos（q log ST）]+i E[πTsin（q log ST）]。（58）因此{F（q）}，q∈ R、 可以看作是一对价格族{Fc（q）}和{Fs（q）}，其中相应的支付函数分别由FcT（q）=cos（q log ST）和FsT（q）=sin（q log ST）给出。请注意，所有q值的支付和价格都是有界的。然后，计算表明F（q）=Siqer（iq-1） Te公司(-iqψ（σ-λ） +（智商-1)ψ(-λ） +ψ（iqσ-λ） ）T.（59）有了这些想法，我们可以使用傅立叶分析的方法来研究更普遍的回报。我们首先回顾一些众所周知的事实。让地图f:R→ Rbe使f∈ 五十、 f的傅里叶变换是函数g:R→ C定义为G（q）=√2πZ∞-∞e-iqxf（x）dx。（60）在其他各种条件下，f和g之间的关系可以颠倒。例如，如果f∈ 土地是连续的，如果g∈ 五十、 thenf（x）=√2πZ∞-∞eiqxg（q）dq。（61）满足这些要求的一个充分条件是，f应该是Lighthill（1958）意义上的“好”函数，也就是说，它应该在任何地方都可以多次微分，并且它及其所有衍生物都是|x个|-n同于| x |→ ∞对于所有n∈ N、 我们记得f（x）被称为O（h（x））as x→ ∞ iflim supx→∞f（x）h（x）< ∞ . （62）如果f是一个好函数，则其傅里叶变换g也是好函数。

现在考虑这样一种情况，即时间为零的欧式导数的支付形式为h t=f（log ST），对于某些f∈ 五十、 如果f是连续的，g∈ 五十、 然后使用（61），我们可以在表格中写下付款=√2πZ∞-∞eiq日志STg（q）dq。（63）这表示为由q参数化的虚功率支付组合，其中g（q）确定给定q的相对组合权重。将方程（63）的每一边乘以定价核π，并取我们得到的期望值（πTHT）=√2πEZ∞-∞πTeiq log STg（q）dq, （6.4）从中可以得出thatE（πTHT）=√2πZ∞-∞EπTeiq log STg（q）dq. （65）将（57）插入（65），我们就有了=√2πZ∞-∞F（q）g（q）dq. （66）因此，衍生工具的价格可以表示为imaginarypower Payoff衍生工具组合的价值。为了检查等式（64）中期望值和积分的交换是否有效（Kingman&Taylor 1966，定理6.5），我们注意到Z∞-∞πTeiq log STg（q）dq=Zω∈OhmZ∞-∞πTeiq log STg（q）dq P（dω），（67）和thatZω∈OhmZ∞-∞πTeiq log STg（q）dq P（dω）=E[πT]Z∞-∞|g（q）| dq<∞. （68）作为一个例子，我们考虑了时间Tfor的欧式导数payoffht=f（log ST），其中f采用正态密度函数f（x）的形式=√2πue-（十）-a） u，（69）平均值为a，方差为u。在几何布朗运动模型的情况下，与标的资产终值相对应的随机变量通常以形式为θ（x）的风险中性密度分布=√2πve-（十）-b） v，（70），其中b=（r-σ） T和v=σT。时间零点的导数价格由h=e给出-rT▄E【HT】=E-rTZ公司∞-∞θ（x）f（x）dx。（71）通过一些计算，我们发现H=e-rTp2π（u+v）e-（a）-b） u+v.（72）例如，如果我们设置a=0，u=1，并插入前面提到的b和v值，则weobtainH=e-rTp2π（1+σT）e-（r）-σ） T1+σT。