CVA与脆弱期权的相关展开定价

因此，只要适当选择x和λ的模型，我们就可以得到显式公式。3该模型我们假设在给定的概率空间中，以下扩散动力学满足xs=x+Zst（ru-σ） du+σ（Bs- Bt），x∈ R（17）λs=λ+Zstγ（θ- λu）du+ηZstpλudYu，λ>0（18）rs=r+Zstk（u- ru）du+ν（Ws- Wt），r>0，（19），其中参数为k，θ，η，σ，u>0，γ，ν≥ 0，2kθ>η和B，Y，W是具有给定相关矩阵的相关布朗运动。为了简化计算，在接下来的过程中，假设利率和违约强度之间存在某种独立性，即Y和W之间的独立性；通过这种选择，我们可以表示三重B，Z，W asBt=ρBt+δBt+p1- ρ- δBt，Yt=Bt，Wt=Bt；其中（B，B，B）是三维布朗运动，δ+ρ≤ 1、我们注意到，在独立条件下，我们有因子E[E]的显式表达式-RTtλsds | Ft]出现在（15）中，是具有CIR利率的债券价格。然后，将问题归结为计算代表欧洲债务价格的另一个因素。4相关性展开为了简单起见，在本节中，我们假设R=0，短速率为常数rt≡ r代表所有t∈ [0，T]。及时考虑r a函数是一个简单的概括，而随机利率将在下一节中具体考虑。因此，我们用流动表示法编写的模型简化为Xt，x，λs=x+（r-σ） （s）-t） +σhρ（Bs- Bt）+p1-ρ（Bs- Bt）iλt，λs=λ+Rstγ（θ- λt，λu）du+Rstηqλt，λudBu。（20） 二维微分Ut，x，λ，ρt：=（Xt，x，λs，λt，λs）是一个马尔可夫过程，因为系数u（x，λ）：=r-σγ(θ - λ), 和∑（x，λ）：=σρσp1- ρη√λ 0是确定性的。

这意味着，任何支付F（Ut，x，λ，ρt）的欧洲可违约衍生工具的价格cd（t，t）将是所有初始数据的确定函数u（·），即isu（x，λ，t，t；ρ）=e-r（T-t） E（E-RTtλt，λsdsF（Ut，x，λ，ρt））。（21）我们重申，该计算是评估可违约衍生工具（11）和相应CVA的关键步骤。当ρ=0时，向量过程Ut，x，λ，0也是一个函数，因为u（x，λ）和∑（x，λ）∑（x，λ）′=σ0 ηλ具有功能强大的组件。因此，可以使用傅里叶变换技术来计算u（x，λ，t；0）。特别是，如果在函数F（Ut，x，λ，0T）=ev·Ut，x，λ，0T，v=（v，v）的类别中选择支付F∈ C、 那么条件期望也是指数a ffneu（x，λ，t，t；0）=e-r（T-t） +α（t-t） ·Ut，x，λ，0t，对于某些复值向量函数α（s）=（α，（s）α（s）），其分量验证了初始值（α（0），α（0））=（v，v）为ODE的Riccati系统。在本文中，我们将考虑股票上普通看涨期权的支付，因此F（Ut，x，λ，ρT）=F（XT）：=（eXT- K） +，但我们的方法可能会扩展到其他衍生品。对于ρ=0，即使payoff不是指数函数（除非K=0），也可以将问题简化为这种情况，并通过傅立叶变换解决。当ρ6=0时，傅里叶变换的幂丢失，我们必须求助于交替方法来计算（21）。这里，我们使用了文献[2]和[3]中介绍的一种技术，它给出了u（x，λ，t；ρ）的表达式，作为ρ在0u（x，λ，t，t；ρ）附近的幂级数=∞Xk=0库ρkρ=0ρkk！，因为很快就能证明u平滑地依赖于相关参数。

由于X的扩散系数是一个常数，σ>0，因此只要F是一个可积的支付函数，就可以自动满足[2]中保证该幂级数具有严格正收敛半径的条件。级数展开提供了一个工具，通过在任意选择顺序停止，来近似估计u（x，λ，t，t；ρ）。系数g（x，λ，t，t）等于u（x，λ，t，t；0），可以用闭合形式计算。如前所述，这对应于向量过程Uis a ffne时的独立情况。所有其他系数gk（x，λ，t，t）都可以通过利用杜哈迈尔原理进行迭代计算，正如我们将要展示的那样。通过费曼-卡茨公式，u（x，λ，t，t；ρ）s解抛物型偏微分方程(ut+Lρu=0u（x，λ，t，t；ρ）=（ex-K） +，（22）其中，我们表示Lρ=L+ρA，其中L：=σx+ηλλ+（r-σ)x+γ（θ- λ)λ- r- λ（23）A：=ησ√λx个λ. （24）通过微分并取ρ=0，很容易看出系数gk（x，λ，t，t）必须分别满足以下抛物方程(g级t+Lg=0g（x，λ，t，t）=（ex- K） +(gk公司t+Lgk=-Agk公司-1gk（x，λ，T，T）=0。k≥ 1.（25）再次，根据马尔可夫性质和费曼-卡克公式，g（x，λ，t，t）接受以下表示g（x，λ，t，t）=e-r（T-t） E（E-RTtλt，λsds（eXt，x，λt- K） +）=E（E-RTtλt，λsds）e-r（T-t） E（（外景，外景- K） +），（26）其中，在上一节中，我们使用了过程的独立性（Xt）和（λt）（ρ=0）。第一个因素是具有C IR过程的债券价格，并呈现指数形式的有效解，而第二个因素是欧洲看涨期权的通常Black&Scholes价格，cBS（x，t，t），hencewe haveg（x，λ，t，t）=e-α（T-t）-α（T-t） λcBS（x，t，t）=e-B（T-t）-B（T-t） λexN（d（x，T- t）- Ke公司-r（T-t） N（d（x，t- t） （）,（27）其中d1,2（x，τ）=x-κ+（r±σ）τσ√τ、 κ=ln K，b（τ）=2γθηln2βeγ+βτβ- γ+（γ+β）eβτ！（28）B（τ）=2（eβτ- 1)β - γ+（γ+β）eβτ，（29）β=pγ+η，τ=T-t。

（25）中的其他方程可以用Duhamel原理求解，该原理指出gk（x，λ，t，t）=-ZTtgαk（x，λ，t）dα，其中gαk（x，λ，t）是偏微分方程p问题的解(gαkt+Lgαk=0，gαk（x，λ，α）=-A gk-1（x，λ，α，T）（30）表示任何固定α∈ （t，t）。这建立了一个迭代程序，通过重复应用费曼-卡茨公式，从理论上计算任意阶的系数。指数我们有gk（x，λ，t，t）=-ZTtgαkk（x，λ，t）dαk=ZTtEe-r（αk-t） e类-Rαktλt，λsdsAgk-1（Xt，xαk，λt，λαk，αk，t）dαk我们可以迭代得到一个包含k积分但仅依赖于g的公式。不可避免地，高阶系数更难计算。

为了获得良好的数值结果，我们考虑了一阶er近似值u（x，λ，t，t；ρ）：=u（x，λ，t，t；0）+(uρρ=0)ρ ≡ g（x，λ，t，t）+g（x，λ，t，t）ρ。从（27）中，我们可以显式计算g（x，λ，t，t）=ησ√λx个λg（x，λ，t，t）=-ησ√λB（T- t） e类-B（T-t）-B（T-t） λxcBS（x，t，t）=-ησ√λB（T- t） e类-B（T-t）-B（T-t） λexN（d（x，t- t） ）和相应的g（x，λ，t，t）=-ZTtgα（x，λ，t）dα=ZTtEe-r（α-t） e类-Rαtλt，λsdsAg（Xt，xα，λt，λα，α，t）dα=-ησZTtEhqλt，λαB（t-α） e类-B（T-α)-B（T）-α） λt，λαeXt，xαN（d（Xt，xα，t- α） ）idα我们注意到，在得到ησE之前，积分中的期望值将在两个过程X和λ的独立性下进行评估e-r（α-t） e类-Rαtλt，λsdsAg（Xt，xα，λt，λα，α，t）=Γ（t，α，t）Ehqλt，λαe-B（T-α） λt，λα-Rαtλt，λsdsiehxt，xαN（d（Xt，xα，t- α） ）i（31），其中Γ（t，α，t）≡ ησe-r（α-t） B（t- α） e类-B（T-α).根据上述公式，我们注意到g（x，λ，t）<0，这意味着可违约欧式看涨期权的价格在ρ=0附近的小区间内随ρ增加。备注4.1假设t=0，那么从（3）和（26）我们得到CV A（0，t）=c（0，t）- cd（0，T）≈c（0，T）- g（x，λ，0，T）- g（x，λ，0，T）ρ=c（0，T）- c（0，T）P（τ>T）- g（x，λ，0，T）ρ=c（0，T）P（τ≤ T）- g（x，λ，0，T）ρ。（32）右侧的第一项表示违约事件和风险敞口之间独立的CVA（见（16））。因此，g（x，λ，0，T）测量了系数相关性对CVA的影响。我们现在关注（31）中的第一个预期。设bα：=b（T- α） 让我们对λt，λα进行内部条件化，得到ehqλt，λαe-bαλt，λα-Rαtλt，λsdsi=Z+∞Ehqλt，λαe-bαλt，λα-Rαtλt，λsds |λt，λα=ζ如果λt，λα（ζ）dζ=Z+∞pζe-bαζEhe-Rαtλt，λsds |λt，λα=ζ如果λt，λα（ζ）dζ。密度fλt，λα显式为k未知（参见示例[1]）。

此外，在[33]或[36]中，zαtλt，λsds的条件矩母函数的显式表示为-Rαtλt，λsds |λt，λα=ζi=Mt，α（λ，ζ）fλt，λα（ζ）iν2γ√ζλσsinhγ(α-t）,式中，ν=2γθσ- 1，’γ=pγ+2σ，Iν（z）≡ （z） ν∞Xn=0（z）nn！Γ（ν+k+1）是第一类修正贝塞尔函数，mt，α（λ，ζ）=2′γσζλνe-γ(α-t）-σ[(R)γ（λ+ζ）e'γ（α-t） +1e'γ（α-t）-1.-γ(λ-ζ)-θγ(α-t） ]1- e- γ(α-t） 。设置an（ν）≡ [2ν+2nn！Γ（ν+n+1）]-1和zt，α（λ，ζ）=2？γ√ζλσsinhγ(α-t）, 我们可以把你的期望写成幂级数hqλt，λαe-bαλt，λα-Rαtλt，λsdsi=∞Xn=0an（ν）Z+∞pζe-bαζMt，α（λ，ζ）[zt，α（λ，ζ）]ν+第二ζ，可按任意给定顺序截断。自Xt起，xα~ N（x+（r-σ)(α - t） ），σ（α- t） ，则（31）中的第二个期望值变为hext，xαN（d（Xt，xα，t- α） ）i=ZReyN（d（y，T- α） ）经验值[是-x个-（r）-σ)(α-t） ]σ（α-t）p2πσ（α- t） dy.5三因素模型在本节中，我们简要介绍了更一般的市场模型（17）的相关性扩展，以表明该方法可以很容易地扩展到多因素模型。事实上，方法仍然是一样的，只是处理稍微复杂一些的计算问题，这导致了可计算的公式。与前一节一样，我们取R=0。设c=（ρ，δ）为相关向量，然后根据费曼-卡克定理，调用价格u（x，λ，r，t，t；c）必须解出以下抛物线PDE：ut+Lcu=0u（x，λ，r，t，t；c）=（eXT- K） +（33）其中LC≡ L+ρ（ση√λx个λ) + δ(σνx个r）≡ L+c·（Aρ，Aδ）和L≡σx+ηλλ+νr+（r-σ)x+γ（θ- λ)λ+k（u- r）r- r- λ根据定义，认购价格的一阶近似值由'u（x，λ，r，t，t；c）给出≡ g（x，λ，r，t，t）+c·g（x，λ，r，t，t）（34），其中g用c=（0，0）和g=（v，w）′求解（33）。函数v=v（x，λ，r，t，t）和w=w（x，λ，r，t，t）可以用第4节中使用的方法计算，如下所示。

实际上，根据费曼-卡茨定理和过程在c=0时的独立性，我们首先明确得到gasg（x，λ，r，t，t）=E（E-RTtλt，λsds）E（E-RTtrt、rsdseXt、xT- K） +）=e-B（T-t）-B（T-t） λcVBS（x，r，t，t），其中cVBS（x，r，t，t）=exN（D）- KPr（r，t，t）N（D）。这里Pr（r，t，t）=e-A（T-t）-A（T-t） Risicek ZCB价格在t到期，函数D1,2=D1,2（x，r，V（t-t） ）和V（t-t） 已知（见[37]）。然后是导数xcVBSandrcvbs也是可显式计算的，Aρ和Aδg也是可显式计算的。根据杜哈默尔原理，我们得到v（x，λ，r，t，t）=ZTtvα（x，λ，r，t，t）dα，w（x，λ，r，t，t）=ZTtwα（x，λ，r，t）dα，其中vα和wα类似于（30）求解偏微分方程。它们由以下公式得出：vα（x，λ，r，t，t）=σηB（t- α） e类-B（T-α） Ehqλt，λαe-Rαtλt，λsds-B（T-α） λt，λαi×EheXt，xαN（D（Xt，xα，rt，rα，σ，t- α） ）i（注意，所有过程都是针对c=（0，0））和wα（x，λ，r，t，t）=-σνA（T- α） pV（T- α） Ehe公司-Rαtλt，λsds-B（T-α） λt，λαi×Ehe-Rαtrt，rsdseXt，xαN′（D（Xt，xα，rt，Rα，V（T- α） ）i.仅涉及强度过程的预期与前一节的预期类似。其他期望与高斯过程有关。因此（34）在数值上完全可以实现。6 CVA和测度变化方法最近，Brigo和Vrins【8】提出了一种在WWR下解决CVA计算问题的方法，该方法基于随机意图故障设置中的测度变化，例如Girsanov定理。他们的出发点是组合价格过程Vt的时间零点CVA（与（14）相比）的以下公式：CV A（0，T）=-(1 - R） 中兴通讯[V+tB（0，t）ζt]dG（t），（35），其中E[·]是风险中性措施下的预期值。WWR下的EP E（预期阳性暴露）是函数EP E（t）=E【V+tB（0，t）ζt】。Girsanov定理被用来分解EPE。

实际上，通过定义等效的m artin galemeasure QCF，t~ Q asZts：=dQCF，tdQ=MtsMt，其中Mts=E[B（0，t）λtSt | Fs]，s∈ [0，t]，在[8]中，他们证明了E[V+tB（0，t）ζt]=ECF，t[V+t]E[ζtB（0，t）]。度量QCF称为错误方式度量，它与数值CF相关，t·=B（0，·）Mt·。为了应用这种方法，因此有必要获得测量QCF，t下VT的动态。通过假设aSDE描述的Q下VT的连续动态，测量的变化导致漂移调整，我们参考[8]了解全部细节。在【10】中，Brigo等人将【8】中获得的结果应用于（20）所述市场模型中的买入期权在WWRF下的CVA计算。无风险率为常数意味着E[B（0，t）-1ζt）=-e-此外，如果t是θst，则新dr的显式表达式≡ θst（λt）=ρηpλtAλ（s，t）Bλt（s，t）Aλ（s，t）Bλt（s，t）λt- Aλt（s，t）- Bλ（s，t）, （36）函数记录Aλ=-B带λ=B，如（28）所示。为了能够计算预期，有必要用（36）中的确定代理λ（t）替换过程λtwi。一旦选定的近似值插入（36），表达式EP E（t）=-e-rtECF，t[c（t，t）]可通过分析得出（见[10]）ECF，t[c（t，t）B（0，t）]≈ex+σΘtN^α（t）+β（t）σ√tp1+β（t）！- eκ-rTN^α（t）- σ√T- tp1+β（t）！（37）式中，Θ（t）=Ztθ（u，t）du，θ（u，t）=θtu（λ（u）），^α（t）=α（t）+Θt√T- tα（t）=σ√T- t型x个- κ +r+σT- σt, β（t）=rtT- t、 考虑了两种确定性近似λ（t）：E[λt]和ECF，t[λt]。虽然第一个在分析上是未知的，但第二个需要进一步的近似步骤（见【10】）。

在（35）中插入（37），数值积分程序给出了WWR下的CVA。备注6.1应注意的是，可以利用基于过程近似值（λt）的其他方法对市场模型（20）中的弱势看涨期权进行定价，从而对其CVA进行定价。例如，Kim和Kunimoto的波动率展开方法（见[30]）考虑了过程ss（λt）的泰勒展开（η=0的η幂）。在η的第一阶停止这些序列，并设置λ（s）=λexp(-γ（s- t） ）+θ（1- 经验值(-γ（s- t） ）），他们都有≥ t和λt=λ：λs=λ（s）+ηZste-γ（s-u） pλ（u）（ρdBu+p1- ρdBu）+o（η）。（38）在脆弱看涨期权的评估公式中插入近似值（38），经过一些操作，得到以下结果u（x，λ，t，t；ρ）≈ e-RTtλ（s）dscBS（x，t，t）-ρσηex-σ（T-t） N（d）∧（λ，t，t）]（39），其中cbs表示经典的Black-Scholes价格，∧（λ，t，t）=ZTtZTue-γ（s-u） pλ（u）duds。在下一节中，我们将对所介绍的不同方法的数值性能进行比较。7数值结果在本节中，我们利用蒙特卡罗近似作为基准，将计算脆弱期权CVA的方法与上述方法进行数值比较。我们考虑了具有外源选择参数γ=0.2、θ=0.05、λ=0.04和S=100的模型（20）。相反，我们改变ρ、σ和η来检查方法的性能。正相关值与WWR对看涨期权的影响有关。履约价格固定为toK=100，到期日为T=1：在不丧失一般性的情况下，我们还将无风险利率设定为0，T=0。所有定价方法均已在MatLab（R2017）中实现。对于基准点，蒙特卡罗方法采用了CIR过程的Euler离散化，而几何布朗运动则得到了精确的模拟。

为了改进Monte Carlo估计，我们采用了一种控制变量技术，使用无故障看涨期权价格作为控制。在这些实验中，我们在[0，T]中设置n=1000个时间步长点，M=1000000个样本。对于我们在第4节中提出的展开式的一阶近似，我们计算g，而对于g，我们首先使用自适应Gauss-Kronrod求积算法在等距点αkin[0，T]的网格上计算gα项，然后再次使用GK算法对得到的向量进行内插并最终积分，以获得g。Ona Intel Core i7（2.40 GHz），整个过程需要约0.3秒ecs。当然，ρ不同值的CVA近似值仅通过线性获得，见公式（32），无需任何进一步的计算成本。第6节中回顾的dr if t调整方法基于在漂移中用确定性代理替换过程λt（36）。正如所指出的，可以做出不同的选择：我们选择实现λ（t）=E[λt]。在（35）中插入（37）一个数值积分程序，得出CVA。必须对ρ的每个值重复该数值近似（在我们的实现中大约需要0.6秒）。备注6.1中引入的波动率扩展很容易实现，除∧（λ，0，T）外，所有术语均以闭合形式可用，其由标准正交（GK）算法计算。程序非常快（约0.5×10-3秒。）由于近似值在ρ中是线性的，所以对于ρ的所有值，估计的CVA计算一次，就像相关展开法一样。将近似方法与MC（带控制变量）估计值进行比较，误差定义为CV AMC-\\CV-AMethod。正号表示低估了与MC相关的TCVA。