CVA与脆弱期权的相关展开定价

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英文标题：
《CVA and vulnerable options pricing by correlation expansions》
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作者：
Fabio Antonelli, Alessandro Ramponi, Sergio Scarlatti
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider the problem of computing the Credit Value Adjustment ({CVA}) of a European option in presence of the Wrong Way Risk ({WWR}) in a default intensity setting. Namely we model the asset price evolution as solution to a linear equation that might depend on different stochastic factors and we provide an approximate evaluation of the option\'s price, by exploiting a correlation expansion approach, introduced in \\cite{AS}. We compare the numerical performance of such a method with that recently proposed by Brigo et al. (\\cite{BR18}, \\cite{BRH18}) in the case of a call option driven by a GBM correlated with the CIR default intensity. We additionally report some numerical evaluations obtained by other methods.
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中文摘要：
我们考虑在违约强度设置下，在存在错误方向风险（{WWR}）的情况下，计算欧式期权的信用价值调整（{CVA}）的问题。也就是说，我们将资产价格演变建模为一个线性方程的解，该方程可能取决于不同的随机因素，我们通过利用相关展开方法（在{as}中介绍）提供期权价格的近似评估。我们将这种方法的数值性能与Brigo等人最近提出的方法进行了比较，在由与CIR违约强度相关的GBM驱动的看涨期权的情况下。我们还报告了通过其他方法获得的一些数值计算结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> CVA_and_vulnerable_options_pricing_by_correlation_expansions.pdf (263.31 KB)

2022-6-11 04:02:46 上传

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关键词：CVA Applications Quantitative correlation Computation

CVA和脆弱期权的相关性扩展定价f。安东内利*, A、 Ramponi+，S.Scarltti2018年11月20日摘要我们考虑在默认强度设置下，在存在错误方向风险（WWR）的情况下，计算Europeanoption的信用价值调整（CVA）的问题。我们将资产价格演变建模为一个线性方程的解，该线性方程可能会影响不同的随机因素，我们利用[2]中介绍的相关展开方法，提供期权价格的近似评估。我们将这种方法的数值性能与Brigo等人最近提出的方法进行了比较。（[8]，[10]），在由与CIR违约强度相关的GBM cor驱动的看涨期权中。我们还报告了通过其他方法获得的一些数值计算结果。关键词：信用价值调整；易受攻击的选项；同业信用风险；错误通道风险；一系列流程；Duhamel P原则；Girsanov定理。1简介期权是受期权卖方可变现性相关违约事件影响的金融合同。关于这一主题的经典参考文献是Johnson和Stulz[25]的论文，这是第一篇对具有交易对手信用风险（CCR）的欧洲期权进行定价的论文。他们的工作是在信贷风险的结构性方法范围内开展的，并将选择权视为交易对手的唯一责任。后来，Klein在[27]中讨论了更一般的责任结构，以及期权的基础资产和期权卖方资产之间的相关性，而在[28]中，利率风险被包括在内，在[29]中，考虑了取决于期权价值的（随机）违约障碍。

在所有这些作品中，违约只能在到期时发生。与此同时，人们开始提议重新制定表格模型，为到期前随时可能违约的债券或期权定价。我们建议读者参考Hull and White（[21]）和Jarrow and Turnbull（[24]）了解脆弱选项的情况，并参考[15]和其中的参考资料了解更一般的框架。一些关于脆弱期权的最新论文包括e【14】、【12】、【39】、【16】和【23】。甚至在上一次财务cr isis（2007-2008）之前，对CCR的关注就开始显著增加（见[11]），注意力转移到建立一个总体框架来评估*拉奎拉大学，法比奥。antonelli@univaq.it+罗马大学经济与金融系-托尔·维加塔，亚历山德罗。ramponi@uniroma2.it罗马大学企业工程系-托尔维加塔，塞尔吉奥。scarlatti@uniroma2.itcompensate衍生工具持有人（尤其是利率掉期持有人），以获取（交易对手信贷）风险。Zhu和Pykhtin（[40]）以信用价值调整（C VA）的名义在一篇论文中明确定义了该风险溢价。在后危机时代，CVA成为在场外交易市场交易衍生品时需要考虑的一个关键数量，这激发了该领域的大量研究：参见[20]、[9]和[5]。在实践中，CVA是对投资组合的无违约价值的调整，以降低该价格以包含违约风险。多年来，其他价值调整被引入，导致了Acronym（X）VA。在本论文中，我们只讨论纯香草（单侧）CVA。CVA及其正确评估的一个重要方面是存在错误方向风险（WWR），即交易对手的信用质量提高，从而使衍生品持有人的投资组合面临更高的风险。

在风险敞口和交易对手信贷质量之间的独立性下，CVA的计算很简单，而如果假设存在依赖性，则计算起来会更加精细。为了克服这一困难，提出了几种方法：蒙特卡罗方法，从蛮力到增强方法（见[22]和[38]），大众方法或静态方法（见[35]，[13]），尖锐的边界估计（见[19]）。在这里，我们提出了一种新方法，并将其与[8]中最近研究的另一种方法进行了比较。本文利用约化形式或随机强度方法，其中违约事件的特征是一个随机时间，代表违约时间，此时投资者可能面临投资当前价值的全部损失或部分恢复。在这种情况下，CVA评估的计算难度是双重的。首先，违约时间可能无法完全衡量市场价格生成的信息，因为它还反映了其他外部因素；其次，即使在完全了解违约时间的情况下，衍生品的评估也需要随机时间和价格过程的联合分布，我们通常很难知道。为了描述违约时间的分布，有条件地根据市场价格产生的信息，在适当的条件下，资产价格、违约时间和其他随机因素的联合动力学可以描述为马尔可夫系统，其组成部分可能表现出相关性。这种相关性将通过一组参数来建模，这些参数将驱动动力学的过程联系起来。在此框架下，通常的随机微积分理论允许建立一个PDE系统，其解虽然不易计算，但可以近似。

目前有几种近似偏微分方程的方法，其中大多数都是基于一些巧妙的数值离散格式seee。g、 [26]。在本文中，我们提出了文献[2]和[3]中介绍的另一种方法，该方法从理论上解释了与相关参数相关的泰勒级数中PDE系统的解。

实际上，在相当普遍的假设下，很容易验证偏微分方程的解相对于相关参数是正则的，因此可以围绕所有相关参数的零值进行串联展开。通过使用Duh-amel原理，这些系列的系数被描述为一系列PDE问题的解决方案，因此它们通过Feynman-K ac公式进行识别，并表示为期望值，从而更易于计算或近似。使用这种方法有几个优点：oE x围绕相关参数的零值展开，这意味着序列系数是独立驱动过程的泛函的期望值，更容易计算或近似在许多情况下，可以显式计算级数的第0项，从而提高近似精度与有限差分方法或蒙特卡罗方法相比，通常通过一阶展开可以达到相对准确度因此，计算时间非常少与其他方法相比，我们的方法很容易以简单的方式扩展到多因素模型，如第5节所述。在下一节中，我们介绍了一般问题和背景，在第三节中，我们定义了我们的市场模型，而在第四节中，我们给出了收敛的适当条件，并详细说明了该方法如何在没有利率风险的情况下工作，最后在第五节中考虑了随机利率。

接下来是一小段，根据测量技术的变化，对该方法的主要特征和结果进行了调整【8】，在最后一节中，我们对之前讨论的不同方法进行了数值比较。2脆弱期权的CVA评估在强度模型中，我们考虑一个有限的时间间隔[0，T]和一个完整的概率空间(Ohm, F、 P），赋予过滤{Ft}t∈[0，T]，用P-空集合并使右连续。我们假设所有流程都有一个c'adl'ag版本。市场由利率过程Rt描述。确定货币市场账户由B（t，s）=Erstruduan表示，并由代表资产对数价格的过程Xt描述（其动态将在后面详细说明），该过程还可能取决于其他随机因素。我们假设o过滤{Ft}t∈[0，T]足够丰富，可以支持上述所有过程；o没有套利；o给定的概率P是一个风险中性度量，已经被一些标准选择了。在该市场中，交易到期时支付f（XT）的可违约欧洲或有权益，其中f是一个函数，其正则性属性将在稍后指定。我们用τ（不一定是停止时间w.r.t.过滤Ft）表示或有权益的默认时间，用Ztan Ft表示-可测量的有界恢复过程。为了正确评估这类衍生工具，我们需要包括默认时间生成的信息。我们用GT表示逐渐扩大的过滤，这使得τaGt-停车时间，即Gt=Ft∨ σ({τ ≤ t} ）。从现在起，我们用Ht=1{τ表示≤t} ，生成过滤Ht的过程，因此Gt=Ft∨ Ht。我们做出了基本假设，称为H假设（参见。

[18] （H）每英尺-鞅仍然是Gt-鞅。在此假设下，我们可以确认eXs/B（t，s）为s≥ t仍然是Gs-风险中性概率对过滤Gs唯一扩张下的鞅。（为了保持符号的简洁，我们没有明确指出我们用于期望的概率，假设我们始终使用与使用的过滤相对应的on e）。在此设置中，对于任何给定的时间t∈ [0，T]，最终正值f（XT）、违约时间τ和恢复过程Zt的可违约索赔价格由cd（T，T）=E[B]给出-1（t，t）f（XT）1{τ>t}+B-1（t，τ）Zτ{t<τ≤T}| Gt]，（1）而相应的默认自由值isc（T，T）=E[B-1（t，t）f（XT）| Ft]。（2） 相应地，作为运行时间和成熟度的函数，CVA由CVA（t，t）=E（B）给出-1（t，τ）Zτ{t<τ≤T}| Gt）=1{τ>T}[c（T，T）- cd（t，t）]。（3） 在许多情况下，投资者不知道违约时间，他们只能观察违约是否发生。实际可观察数量是资产价格，因此在编写定价公式（1）之前，有兴趣使用Ft而不是Gt。对于这一点，我们有以下关键引理，请参见[7]或[5]。任何可积G的引理2.1-可测量的r.v.Y，以下等式保持h{τ>t}Y | Gti=P（τ>t | Gt）Eh{τ>t}Y | FtiP（τ>t | Ft）。

（4） 将此引理应用于（1）的第一项和第二项，并回顾1-Ht=1{τ>t}是Gt-可测量的，我们得到-1（t，t）f（XT）1{τ>t}| Gt]=1{τ>t}E[B-1（t，t）f（XT）1{τ>t}| Ft]P（τ>t | Ft）（5）E[B-1（t，τ）Zτ{t<τ≤T}| Gt]=1{τ>T}E[B-1（t，τ）Zτ{t<τ≤T}| Ft]P（τ>T | Ft），（6），可通过遵循危险过程方法使其更加明确。我们表示给定的默认时间τ的条件分布FtbyFt=P（τ≤ t | Ft），t型≥ 0，（7）从何处，代表u≥ t、 P（τ≤ u | Ft）=E（P（τ≤ u | Fu | Ft）=E（Fu | Ft）。如果Ft（ω）<1表示所有t>0（自动排除该Gt≡ Ft），我们可以很好地定义所谓的F-危险过程τasΓt：=-ln（1- 英尺）=> 英尺=1- e-Γtt>0，Γ=0，（8）更高：=1- Ft=e-Γtt>0，S=1，（9）是F-su rvival过程。我们假设Γ是可区分的。其导数称为强度过程，用λt表示，即Γt=Rtλudu。利用（5）和（6）传递到Ft过滤，并假设B（t，·）Z.是有界F-鞅（通常是这样），通过对[6]中命题5.1.1的扩展，如[4]所述，我们可以重写定价公式（1）ascd（t，t）=1{τ>t}e[e-RTt（rs+λs）dsf（XT）| Ft]+1{τ>t}E[ZTtZsλse-Rst（ru+λu）duds | Ft]，（10）恢复公式las（3.1）和（3.3），作者通过直接建模随机时间τ获得。如果我们假设部分回收率，Zt=Rc（t，t）约为0，则此公式可以进一步专门化≤ R<1。使用可选投影定理，例如参见[34]中的定理4.16，我们得到tocd（t，t）=1{τ>t}hRE[e-RTtruduf（XT）|英尺]+（1- R） E【E】-RTt（ru+λu）duf（XT）| Ft]i，（11），可解释为无违约价格和有违约价格的凸组合。因此，从（3）中，我们也得到了单侧CVA asCV a（t，t）=1{τ>t}（1）的表达式- R） E【E】-RTtruduf（XT）（1- e-RTtλudu）| Ft]。

（12） 备注2.1通过生存过程，最后一个公式可以简单地重写为asCV A（t，t）=-1{τ>t}（1- R） E[ZTtf（XT）B（t，t）dSu | Ft]。（13） 如果G（t）=P（τ>t）=E[1τ>t]是（确定性）生存函数，假设它可以写为G（t）=E-对于一些非负函数h，我们得到了E（St）=G（t）的allt≥ 0（见（8）和（9））和dst=λtStdt=λtSthtG（t）dG（t）=ζtdG（t），其中我们设置ζt：=λtSthtG（t）。因此，使用可选投影定理，可以将（13）中的期望重写为asE[ZTtf（XT）B（t，t）dSu | Ft]=EhZTtf（XT）B（t，t）ζudG（u）| Fti=EhZTtE[f（XT）B（t，t）ζu | Fu]dG（u）| Fti=EhZTtE[f（XT）B（t，t）| Fu]ζu]dG（u）| Fti=EhZTtc（u，t）ζuB（t，u）dG（u）| Fti=ZTtE[c（u，t）ζuB（t，u）| Ft]dG（u）和cv A（t，t）=-1{τ>t}（1- R） ZTtE[c（u，T）ζuB（T，u）| Ft]dG（u）。（14） 对于t=0和一般的投资组合价格过程Vt（积极部分V+t，在我们的案例中包括c（t，t），索赔的默认自由价格），此公式是【8】中开发的分析的起点。最后，我们指出，在λtand（Xt，rt）之间的独立性下，（11）中的第二项进一步简化了-RTt（rs+λs）dsf（XT）| Ft]=E[E-RTtrsdsf（XT）| Ft]E[E-RTtλsds | Ft]。（15） 相应地，我们得到了C-vacva（t，t）=1{τ>t}（1）的类似因式分解- R） E【E】-RTtruduf（XT）| Ft]E[（1- e-RTtλudu）| Ft]=1{τ>t}（1- R） c（t，t）P（t<τ≤ T | Ft）P（τ≥ t | Ft），（16），其中最后一个等式来自关键引理和危险过程的定义（参见第8.2节，例如[6]）。在这种情况下，这两个因素分别是欧洲衍生品的价格和债券的价格。