分歧经济学——伦伊的金融直觉

具体而言，他预计每次实验的平均收益为4.8%-6.9%（不承担不可承受的风险，即保持在风险厌恶的自然范围内）。有助于鲍勃理解现实生活中的许多经济基准。在家庭层面，他可以将自己与玛吉的竞争与储蓄或贷款的利息进行比较。如果他更喜欢宏观层面，他可以使用GDP增长或通货膨胀等数据。正如我们在导言中指出的那样，金融和经济基准发布的准确性告诉我们，人们对金融回报非常敏感。这种自然敏感性可以通过复合进一步放大。例如，如果统计上有一组重要的100分，Bob预计他的资本将平均增长120到986倍。这些预期回报的巨大性对任何人来说都是显而易见的（甚至对从未拥有银行账户的人来说也是如此）。为了实施他的战略，Bob当然需要了解自己的观点b以及市场m。然而，值得强调的是，上述重要性分析并不依赖于这些详细的知识。为了全面了解分歧的总体规模，除了分歧文件（图1A）之外，我们还想知道的唯一信息是关于玩家投入的实际资源的信息，包括在实践中可以玩游戏的频率（或次数）。在上面的例子中，玛吉承担了创造市场的额外责任。这有助于简化图示。在最普遍的实际情况下，我们可能会遇到多个参与者，每个参与者都有自己相信的分布、风险规避和有限的预算，而且参与者中可能没有一个有足够勇气创造市场的人。在这种情况下，市场应该自发形成（当然，假设每个人都能看到机会）。

相应的分布m将根据实际回报率进行重新随机计算，但从长远来看，Bob几乎可以肯定地通过简单的重复来实现图1B的预期增长，即通过将游戏一轮的实际回报重新投资到下一轮。当然，这是假设Bob的信念b是正确的。一般来说，长期实现收益将遵循公式（11）中的一个例子，其中p的选择与正确的（即实现的）分布一致。如补充材料pap er【12】附录V所述。例如，具有{bi（x）}观点和{wi}预算的增长优化投资者的agroup将形成一个m（x）=Piwibi（x）/Pkwk的市场。无论市场是自发形成的还是由其中一个参与者组成的，方程式（3）和（11）适用于每个个人投资者。上面的例子说明了一个明显的事实，即人们发现更容易根据财务回报而不是特别设计的熵量（如R’enyi散度）做出决策。一些读者可能会乐于将这一事实视为理所当然（作为一种明显的经验观察）。第4.3节请其他人绕道一小段，我们开始研究作为认知现象的财务回报的奇怪直觉。作为奖励，让我们提到财务方法也有助于从结构上理解分歧。这可以通过检查支付函数（除了本文考虑的预期回报之外）来实现。相关讨论将把usdeep er带入金融领域，并要求对金融产品有一定的了解。感兴趣的读者可参考参考文献[13]了解更多详细信息。3讨论纵观历史，人类规划和优化的能力是我们生存的关键。这给了我们经济直觉，这种直觉可能会出人意料地强烈。

在这里，我们展示了它解决复杂（统计）分歧的能力。下面的结论性意见简要介绍了进一步的推广和实际应用。在纯粹的数学水平上，我们的结果的推广几乎太容易了。更复杂的投资行为自然会导致更广泛的分歧度量（见第4.4节）。这种放松需要科学的谨慎。任何概括（以及我们目前的理解）都应该与实验结果保持同步。关于实际应用，我们已经证明，在财务优化方面，框架统计协议以直观和科学的方式量化了分歧的数量（就目前的实验知识而言）。这让我们有信心推荐我们的方法作为一种机制，以合作的方式消除真正的分歧。例如，在一场对抗气候变化怀疑论者的游戏中，看看现代气候学可以展示什么样的财务回报，这将是非常有趣的。我们可以设置这样一个游戏，就像上面为玛姬和鲍勃所做的那样。我们所需要的只是一些相关概率分布的具体例子（最好是具有短时间范围，以便通过重复促进收敛）。优化投资的财务吸引力与参与者之间的真正分歧直接相关。优化确保分歧得到充分利用（从每个参与者的角度来看）。优化后，交易失败意味着分歧不够大（相对于其他投资机会），或者分歧本身不是真实的（即。

它无法捕捉到真正的问题）。4材料和方法4.1推导机会博弈由随机变量X和支付函数F定义。值F（x）表示与变量的特定结果x相关的奖励金额。该技术定义涵盖了许多实际情况。例如，F（x）可能表示诊断x时的医疗保险支出。考虑一位有兴趣找到F的最佳形状以最大化其收益的投资者。继冯·诺依曼和摩根斯特恩【14】之后，我们了解了支出的预期效用EbU【F】def=Zb（x）U（F（x））dx，（4）其中，U是效用函数，b是投资者认为变量X的概率分布。重要的是要记住，概率分布b和效用函数U都反映了投资者对游戏的个人理解。当EbU最大化时，投资者受到预算约束。要从数学上说明这个约束，我们需要有能力为游戏定价。假设金融行业中使用的一个非常普遍的设置，我们将F的公平价格写为平均值（2），其中正值F函数m总结了确保与随机变量x的每个结果x相对应的相对价格。在博弈论说明中，这通常以“几率”表示；经济学家会认为这是阿罗-德布鲁价格。就我们的目的而言，需要记住的重要一点是，m是市场的一个给定属性，投资者别无选择，只有在了解其预算时才能将其考虑在内。

为简单起见，我们假设m是一个概率分布（“公平概率”），且价格[F]=1。在约束价格【F】=1的情况下，达到EbU【F】最大值的支付F满足支付弹性方程【15】d ln Fd ln F=R，（5），其中F=b/m，R=-F U′F F F/U′F是阿罗-普拉特相对风险厌恶。该方程式用于金融中产生信息衍生工具，即从所有相关信息中衍生出来的金融工具（包括市场隐含的m以及投资者相信的b和R）。凯利的直觉涉及R=1的重要特例。这就是著名的增长优化投资者案例，贝努利于1738年首次引入该案例【16】。实际上，当R=1时，效用函数U（F）∝ ln（F/价格[F]）+常数，因此投资者正在优化预期对数回报率：EbRate[F]=Zb（x）rate（F（x））dx，rate（F（x））def=lnF（x）/价格【F】. （6） Kelly详细研究了增长优化投资者，并表明在某些自然假设下，投资者对对数回报率的期望正是相对熵[3]。读取器可以通过将R=1代入公式（5）并计算MaxFebrate[F]=（R=1）EbRate[F]=Zb（x）lnb（x）m（x）dx来独立验证该结果。（7） 这是凯利对信息率的博弈论（金融）解释的数学精髓。Kelly的解释取决于投资者的成长优化。根据Samuelson的说法，这是一个主要的弱点，它限制（如果不是阻止）Kelly\'sEnterprisation在实践中的任何使用[5，6]。在一个完全独立的论点中，R’enyi考虑了信息的核心数学特性，将其公式化为公理，并认识到相对熵（Eq。

（7） ）作为一类更大的信息测度的特例[2]。这一类由（1）中定义的数量与不同α值的线性组合构成。单个Dα（b | | m）称为概率分布b与另一个分布m的α阶R'enyi散度。相对熵包含在该定义中，作为极限情况[2]D（b | | m）def=limα→1Dα（b | | m）=Zb（x）lnb（x）m（x）dx。（8） 在下文中，我们表明，萨缪尔森对考虑更一般投资者的要求和伦伊对相对熵的概括实际上是对同一经济问题的陈述和解决方案，该问题将信息内容（作为分布之间的分歧）转换为财务回报。让我们考虑一个具有任意常数相对风险厌恶的投资者，R=常数。除非R=1，即除非投资者正在优化增长，否则投资者预期的增长率将小于凯利基准（7）。对askis来说，自然的问题是要小多少。使用公式（5），我们得出最优支付F（x）=f1/R（x）价格【f1/R】。（9） 通过直接代入式（6），我们计算出[F]=重新计算[F]+R- 1RD1/R（b | | m）。（10） 用Eqs得到她。（7） （8）这给了我们变换（3）。另一方面，读者可能会感兴趣地注意到，这种表达的结构是大鼠一般的。特别是，通过用任何其他分布p替换投资者相信的分布b，可以证明具有完全相同结构的更为重要的一般规律。膨胀EpRate[f]=D（p | | m）- D（p | | b）一个人可以写出这样一个公式D（p | | m）- D（p | | b）+R- 1RD1/R（b | | m）。

（11） 换言之，我们可以谈论投资者的预期回报（p=b），或者看看实际实现的回报（在这种情况下，p与X的实际分布一致），或者我们可以从一个完全独立的观察者的角度出发，使用非常不同的分布p计算预期，在所有这些情况下，风险规避对增长优化投资者的初始表现的影响将遵循同一定律（11）。回到投资者的预期回报，让我们研究F相对于增长优化F的预期回报中的dr op。使用Kelly结果，EbRate[F]=D（b | | m），我们根据公式（3）EbRate[F]计算- EbRate[F]=R- 1R级D（b | | m）- D1/R（b | | m）. （12） 利用Dα是α中的一个非减量函数这一事实，我们可以重写这个无标定的[f]- EbRate[F]=| R- 1 | RD- D1/R. （13） 方程（3）、（11）和（13）将抽象的、公理化的R’enyi散度度量转化为更直观的财务回报度量。正是在这一点上，纯粹和简单的数学变成了关于现实世界的科学，因此我们需要格外小心：我们需要理解由此产生的经济推论的局限性，然后才能将其用于实践。4.2现实检查——股票投资者的风险规避利用萨缪尔森批判的理性部分作为灵感，我们要求，作为一个基本原则，经济直觉只能基于现实投资者。如果做不到这一点，我们可能无法正确地将计算出的经验联系起来，因此由此产生的财务直觉可能会受到质疑。撇开信息论的定义不谈，我们发现我们所有的财务回报表达式都直接来自支付弹性方程（5）。因此，我们需要Eq。

（5） 测试其解释观察到的财务回报的能力。在这一节中，我们回顾了股票回报的观察数据，公式化了相关测试并总结了它们的结果。在实际结果方面，我们估计了金融直觉可以安全使用的风险规避范围（图1B所示领域）。本节中嵌入的大量技术细节可能与本文相对简单的主题不成比例。因此，我们将尽可能多的技术论证推迟到补充材料论文中[12]。可用数据的类型和数量在很大程度上取决于金融资产。我们通常会对过去的业绩（即实现的回报）进行一些记录。对于一个受欢迎的固定资产，我们可能还记录了投资者的预期（预期回报）。这两种类型的回报对我们来说都很有趣（对于任何做出决定的投资者来说都是如此）。一些资产也可能支持衍生产品市场。此类市场的价格记录有效地为我们提供了市场隐含分配的历史记录。例如，想象一下，在等式（2）中，我们知道价格F或任何F。这将给出分布m（x），它是我们理论中非常重要的元素（m通过f进入等式（5））。接下来，我们将重点关注著名的标准普尔500指数和相关衍生市场。该指数的价值与在美国证券交易所上市的500家大公司的总资本化成比例。该指数的总回报（即包括股息在内的回报）反映了相当广泛的股权投资。该指数的记录可追溯到1926年成立。相比之下，衍生品价格和投资者信心回报的记录要新得多（见下文）。

然而，标准普尔500指数是衡量股票表现的优秀基准，在行业和学术界都得到了广泛应用。上述数据包含了大量重要信息，这些信息继续挑战着主要的经济理论。例如，30多年来，所有基于消费的模型都在努力解释这些数据。这一事实在经济学中被广泛称为股权溢价之谜（见参考文献[17]及其参考文献）。为了了解如何测试公式（5），我们需要了解它在全局中的位置。该方程描述了一种理性策略。换句话说，它提供了一个标准优化的解决方案，具有预期效用的标准形式（4）。然而，与经济学中基于消费的模型不同，Payoff弹性方程（5）并不声称能够描述人类经济行为的整体。人脑（同时）参与许多策略是一个关键的科学事实。每种策略都有一个目标。从这个意义上讲，所有的个人策略都是理性的（相对于他们各自的狭隘目标）。方程（5）在描述此类个体策略时非常有用。各个策略为争夺有限的资源而不断相互竞争。即使在一个人身上，这种竞争也会产生一种高度复杂的行为，据我们所知，这种行为并不符合任何简单的模型。方程式（5）或任何单一的目标框架都无法描述一个人（更不用说经济）。为了测试公式（5），我们需要分离出一个单独的地层。战略之间的竞争促使我们这样做。事实上，竞争促进了有意义的战略，这些战略证明了自己的合理性。

特别是，一个简单的策略，如果能展示出真实的预期，并且经常被实际的表现所证实，那么它就很有可能变得流行起来。这些策略的流行使其效果在很大程度上可以衡量。股权投资是一种非常简单和流行的策略。证券交易所和众多交易公司形式的专业基础设施支持巨大的交易量（目前全球每天接近10笔交易）。股权投资很容易变现。为了在几十年（如果不是一个世纪）内保持高水平的受欢迎程度，股权投资战略必须非常有意义。这使我们有机会测试公式（5）。事实上，如果方程式声称描述了区域投资产品，那么它必须适用于简单的股权投资。在财务回报方面，我们确定了三种关键类型的测试：（i）了解投资者预期回报，（ii）了解已实现回报，以及（iii）证明投资者预期回报和已实现回报之间的一致性。现在让我们进入一个更具技术性的层面，看看如何进行此类测试。即使是一种策略，也可以在大脑皮层内同时实施多种策略。首先让我们检查等式（5）的结构。我们注意到，等式（5）涉及四个数量：支付F、投资者观点b、市场隐含m和投资者风险规避R。对于简单的股权投资，支付结构F是已知的。衍生工具的数据也为我们提供了信息（如上所述）。从公式（5）中去掉这些数量，我们就可以得到b和R之间的联系。同样，我们可以说一系列投资者相信的分布，这些分布通过风险厌恶得到了改善：b∈ {bR}R。