分歧经济学——伦伊的金融直觉

这种观察对于理解测试的逻辑非常有用。既然我们知道F，那么读者就不应该感到惊讶，因为从brf的角度思考可能会让我们将预期收益率计算为R的F函数（见等式（6））。因此，如果我们知道投资者的期望值，就像我们在测试（i）中所做的那样，我们可以推断出投资者的风险厌恶率R。在补充材料论文[12]中，我们完成了上面的log ic，包括所有细节。隐含股权溢价的独立报价为我们提供了投资者预期回报的数据。[12]中报告的研究基于当时可用的最新数据。这涵盖了从2008年9月到2015年4月的时间段（每月月初的月度报价，见参考文献[12]的图1）。就衍生品数据（我们需要m）而言，这一时间线完全符合大多数投资银行保留的最近历史。对于没有衍生品标准商业数据许可证的读者，参考文献[12]提供了简化版的计算（也可以作为主要计算的球场稳定性检查）。我们发现，与投资者预期回报相对应的R值大多在1到2.5之间（参见[12]的图2]）。根据《股权溢价之谜》文献中采用的标准，这些值完全在预期的标准范围内。当然，看看Mehra和Prescott的原始论文【20】，我们发现，如果基于消费的模型隐含了这些风险规避值，那么就永远不会报告nopuzzle。这就完成了等式（5）与观察到的投资者预期回报的一致性测试（上述列举中的测试-（i））。在第二类测试中（关于已实现回报），我们没有b。相反，我们有回报的历史分布。

然而，我们知道，碰巧持有正确观点的投资者会发现长期实现的回报接近他们的预期。从数学上讲，这可以通过将p=b代入公式（11）并将结果与公式（3）进行比较来看出。事实上，这就是投资者的期望在实践中实现的方式（详细解释见[12]第2.2节）。因此，通过将BR与历史分布相匹配，我们可以一次性获得R的估计值。然而，这一次，风险规避的数值由历史（即实际）分布隐含。通过样本精确表示分布需要大量数据。数据必须包括衍生品市场（因为我们需要m）。我们设法找到了2000年5月17日以来的股票回报和衍生品市场的每日记录。样本中的最后一天是2015年4月27日。我们发现，解释已实现回报的r范围在0.5到3之间（参见补充材料文件[12]的图4）。正如我们在投资者预期回报（测试-（i））的案例中看到的那样，这些风险规避值完全在预期范围内。对于测试-（iii）我们需要比较关于投资者预期回报和实际回报的结果。我们看到，R的相应范围重叠显示出良好的一致性。更准确地说，我们注意到0.5的范围。R3解释已实现回报略大于解释投资者预期回报的相应范围，1。R2.5. 这确实是我们应该期待的。我们预计，我们对实际回报的测试会高估R的区间，因为真实投资者的预测确实会出错。例如，我们可以找到实现回报率很低（甚至为负）的历史时期。理性投资者只有在风险厌恶程度非常低的情况下才会接受这种回报。

然而，实际上，投资者在不知不觉中进入了这样的时期，因此他们的实际R可能不会像数据所显示的那样低。通过试图解释所有数据（如[12]所述），我们假设投资者预见到了已实现的回报分布，并对该分布进行了充分的了解。这高估了解释观测所需的R范围。因此，我们使用1到2.5之间的R值作为确认值，并认为更大的范围（0.5到3之间）可能是高估值。未来对不同类型的投资者（不一定是股权投资者）使用公式（5）进行调查，并考虑更广泛的时间段，将加深我们对R的可能范围的理解。从上述公式中可以看出，这反过来将为R’enyi参数α提供更好的直观性。4.3进一步的现实检查——决策的神经科学对于更好或更好的财务回报的概念在人类决策中非常有影响力。事实上，即使在狭窄的金融领域，投资回报也绝不是人们可以计算出的关于一个企业的唯一特征，但它确实是一个非常普遍（如果不是最普遍的话）的数量，在任何投资决策过程中都会被讨论。即使是金融业的批评者也承认，金融回报是一个主要决策量（尽管这是贪婪的表现，而不是理性的程序）。当执行至少某些类型的决策时，我们的大脑是否会自然地以类似于中央回报的数量运行？下面我们对这个问题给出一个谨慎肯定的答案。我们将注意力转向【10，11】中报道的神经生理学实验。在这些实验中，恒河猴被赋予了一个不确定性的二元决策任务。

希望得到回报，猴子们通过向绿色或红色目标做一个眼移动来传达他们的决定。猴子们必须根据一系列（视觉呈现的）抽象形状来做出决定，这些抽象形状以某种良好控制的方式影响再加权概率。一些形状支持绿色选择，而其他形状则建议使用红色目标。每个单独形状的统计意义是固定的，并且给猴子足够的训练来学习一般方向（红色或绿色）以及形状的相对重要性。在决策过程中，测量了大脑顶外侧区单个神经元的电活动。这一区域富含神经元，据信这些神经元参与了眼球运动的规划【21、22、23、24】。这些神经元的电活动可以预测计划运动的目标是位于视觉场（神经元的反应场）的一个高级区域之内还是之外。实验发现，这些神经元的激活率与对数似然比成正比【10】：激活率∝ lnp（s，…，sN |奖励“in”）p（s，…，sN |奖励“out”），（14）其中s，sni是猴子所看到的形状序列，p（s，…，sN |奖励“in”）是奖励目标出现在神经元反应域内的序列的条件概率，p（s，…，sN |奖励“out”）是被奖励目标位于神经元反应域外的序列的条件概率。上述表达所提示的亲婴儿证据的逐渐神经生理学积累已经得到明确的测试【11】。

同样的实验表明，如果有选择，猴子会自愿终止证据积累过程，并在过滤率（14）达到某个临界值时表达自己的决定。现在，让我们在Payoff弹性方程（5）的背景下检查上述实验所说的内容。使用公式（14）的表示法，测量神经元响应场内外位置的二进制结果对应于二进制随机变量X={奖励“入”，奖励“出”}。在此符号中，ln F（x）=ln F（奖励“In”）- ln F（r eward“out”）=lnF（奖励“in”）F（奖励“out”）。（15） 写出d ln f（x）的类似方程式，并使用公式（5）计算nf（奖励“in”）f（奖励“out”）=Rlnf（奖励“in”）f（奖励“out”）。（16） 现在让我们回顾一下f作为似然函数的解释【25】。这源于将方程b（x）=f（x）m（x）（17）理解为贝叶斯定理（x | s，…，sN）=p（s，…，sN | x）p（s，…，sN）p（x）。（18） 市场隐含分布m（x）被投资者视为价格。例如，在上述实验中，红色和绿色目标之间没有先验的价格差异。换言之，市场波动：m（奖励“入”）=m（奖励“出”）。在没有其他数据的情况下，即在进一步学习之前，m（x）定义了优先分布p（x）≡ m（x）。投资者认为，分布反映了投资者的最终知识状态，即后b（x）≡ p（x | s，…，sN）。因此，f是似然函数f（x）=p（s，…，sN | x）p（s，…，sN）。（19） 利用这一事实，我们可以重写公式（16）aslnF（奖励“in”）F（奖励“out”）=Rlnp（s，…，sN |奖励“in”）p（s，…，sN |奖励“out”）。

（20） 通过将该方程与实验观察到的关系（14）进行比较，我们得出了nf（奖励“in”）F（奖励“out”）∝ FiringRate，（21），其中比例系数可能取决于风险规避率。在比例关系的右侧（21），我们有一个直接参与决策的数量——相关神经元的firing rate。左手边的数量是关于最佳投资回报的；这是最优投资内两种可能结果之间的对数回报差异。虽然我们应该小心不要夸大（21）的重要性，但它确实为我们提供了一些证据，证明优化投资的财务回报概念对我们的大脑来说并不完全陌生。有时甚至可以从单个神经元直接测量。4.4进一步的数学概括分歧度量和投资行为之间的联系更为普遍。例如，考虑一个普通投资者，其相对风险厌恶度是支付函数的函数，即R=R（F）。方程（5）表明，相应的最优回报率是增长优化回报率F（·）=▄F（F（·））=▄F（b（·）/m（·）），因此预期对数回报率采用公式[F]=Zb（x）φm（x）b（x）某些函数φ的dx（22）。这正是在参考文献中独立介绍和研究的φ-散度测度的形式。【26】、【27】和【28】。财务解释自然延伸到一类非常广泛的分歧度量。不同的趋同措施似乎与不同的投资行为有关。一些读者可能想知道，我们是否可以考虑效用的概念，而不是投资回报。在最普遍的情况下，我们预计，由于效用定义上的自由，财务直觉将丧失。

事实上，一个人可以将效用乘以一个常数或添加一个任意数字，而不影响最佳选择。效用的概念实际上忽略了两个最简单、最直观的数学运算。我们认为这对直觉是有害的。然而，至少在某些情况下，存在某些数学上的相似性（参见[29，30]）。这种相似性可能有助于扩展我们对效用研究的财务直觉方法。参考文献[1]Kullback，S.，Leibler，R.A.，“关于信息和效率”，《数学统计年鉴》22（1），79-86（1951）。[2] R'enyi，A.，“关于熵和信息的度量”，摘自《第四届伯克利数学、统计和概率研讨会论文集》（加利福尼亚大学出版社：美国加利福尼亚州伯克利，1961年），第547-561页。[3] Kelly Jr，J.L.，“信息率的新定义”，《贝尔系统技术期刊》，917-26（1956）。[4] 麦克莱恩，L.C.，索普，E.O。和Ziemba，W.，T.（编辑），“凯利资本增长投资标准”（The Kelly capital GrowthinInvestment Criteria）（世界科学：新加坡，2011年）。[5] Samuelson，P.，“投资或赌博长序列中几何平均数最大化的错误”，《美国国家科学院院刊》68（10），2493-2496（1971）。[6] 塞缪尔森（Samuelson），P.，“为什么我们不应该让财富的平均对数从几年到几年”，银行与金融杂志，第3305-307页（1979年）。[7] Harremo¨es，P.，“R'enyi熵和发散的解释”，Physica A，365,57-62（2006）。[8] Gr–unwald，P.，D.，“最小描述长度原则”（麻省理工学院出版社：美国马萨诸塞州剑桥，2007年2月）第649页。[9] Shayevitz，O.，“关于R'enyi测度和假设检验”，2011年IEEE信息论国际研讨会论文集（俄罗斯圣彼得堡，2011年7月31日至8月5日）。[10] Yang，T.和Shadlen，M。

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