CVA的神经网络：学习未来值

此外，对于暴露量计算，我们还需要提取每个路径ωp的运动指标ηpmatech exercise date tm，其中ηpm=如果在Tm行使，则为0，否则为1。（3.2）第三阶段（培训后）是使用存储的未来值和锻炼指标来计算暴露。执行以下操作：o正向感应。目的是在每个credittime tn获取一个指标，以表示是否在此路径上行使了期权。这可以通过简单地将Tn之前存储的所有运动指标相乘来实现，即|ηpn=Qm<nηpm。这里，如果在时间Tn之前已执行选项，则▄ηpn=0，否则▄ηpn=1。o平均投资每个信用日的EPE/ENE是通过对未行使期权的路径的未来价值的正/负部分求平均来获得的：EP E（Tn）=Eh（～ηpnVpn）+i，（3.3）ENE（Tn）=Eh（～ηpnVpn）-i、 （3.4）3.2赫尔-怀特单因素模型上述算法非常通用，适用于不同的模型。下面我们给出一个使用Hull-White单因素模型的具体示例。单因素模型的优点是，可以很容易地可视化未来价值的结果函数形式。我们遵循[20]的符号。短期利率可以写为r（t）=x（t）+f（0，t），初始远期利率为f（0，t），短期部分dx（t）=[y（t）- κx（t）]dt+σr（t）dW（t），（3.5），x（0）=0，andy（t）=中兴通讯-2κ（t-u） σr（u）du。（3.6）此处，平均反转速度κ设定为常数，而波动率σr（t）保持期限结构。对于单个风险因素x（t），神经网络的形式很简单。

例如，有两个隐藏层，它显式读取yf（x）=XjwCjφBXiwBjiφAwAix公司!, （3.7）在给定时间Tn，使用参数wAi、wBji、wCj，其中i，j=1，···，1+~d，以及非线性标量函数φa，φB。我们考虑现金结算百慕大掉期期权的样本交易，可从1.5年到3.5年每半年进行一次。基础是一项标准的固定利率掉期，指数为3M伦敦银行同业拆借利率，名义利率为10000，固定利率为0.028。对于Hull-White模型，平均逆转参数选择为κ=0.01，并根据2018年1月18日的市场数据对模型进行校准。我们选择一个具有2个隐藏层的完全连接的神经网络，d=10。EPE和ENE结果如图3.1所示。ENE消失，因为投资组合价值永远不会为负。EPE随时间减少，在练习日期显示跳跃，并具有凸面包络函数，因为如果使用该选项，路径上的曝光将消失。从损失函数随训练的演化可以看出，优化过程收敛于大约500个训练步骤。我们在图（3.2）和（3.3）中进一步显示了在两个练习日期进行训练后未来价值的演变。为了进行比较，将显示练习值。运动值Un（x）不依赖于神经网络，因此不会随训练而改变。它是x的线性函数。投资组合价值的函数形式Vn（x）随着训练而演化。我们从随机选择的参数开始五、 Z（0）i，w（n）i, Vn（x）开始时非常嘈杂。随着训练的进行，Vn（x）以大约500个训练步骤收敛到一个平滑函数。结果函数随x单调增加，并在x轴和运动值之间插值。

这种函数形式是期权价格的典型形式：当利率较高时，标的掉期深入货币，掉期期权将被行使，掉期期权价值将接近行使价值；当利率较低时，掉期资金将大量流出，掉期期权将不会行使，掉期期权价值将降至零。我们可以将结果函数拟合为Bachelier型期权价格公式：VBach（x）=a（十）- c） Φx个- 反恐精英+ sφx个- 反恐精英, （3.8）其中Φ（·）是标准高斯累积分布函数，φ（·）是相应的概率密度函数。作为x→ ∞, VBach（x）→A（x- c） 。所以A基本上对应于运动值的斜率，c与x轴的交点。s代表有效波动率，s越大，x轴和行使值之间的插值越圆。结果如图3.4所示。能够可视化未来价值的功能形式可以为其他方法提供新的思路。对于AMC，一个困难是基函数的选择。由于百慕大掉期期权的未来价值是期权价格的形式，而行使价值本质上是线性的，仅使用行使价值的幂作为基函数似乎不是最佳选择，还应包括相关的欧洲期权价格。此外，利用未来值的已知函数形式，可以尝试通过直接拟合推断函数来替代AMC中的线性回归步骤，例如百慕大选择的Bachelier型公式。

请注意，在进行调整时，必须将参数限制在具有财务意义的制度中，因为结果是局部最小值，而不是全局最小值。4 MtM交叉货币掉期图4.1：MtM XCCY掉期的风险敞口（σ，σ，η）=（0.001，0.001，0.2），（0.1，0.1，0.5），（0.2，0.2，1）。神经网络方法的优势在于其易于推广到高维，即多因素模型。在本节中，我们考虑一个按市价（MtM）跨货币（XCCY）掉期的例子。交叉货币掉期的风险敞口涉及多个资产类别的风险因素，即利率（IR）和外汇（FX），因此它是交叉资产CVA建模的原型。此外，MtM掉期定期重置概念。因此，一般来说，它们的未来值没有解析表达式，它们是神经网络方法的测试场。4.1模型我们考虑了利率和汇率的相关动态。IR短率再次分解为初始曲线部分和随机部分：ri（t）=xi（t）+fi（0，t）。在国内风险中性措施下，风险因素革命如下：dx（t）=[y（t）- κx（t）]dt+σ（t）dW（t），（4.1）dxi（t）=[yi（t）- κixi（t）- ρi，i+Nσi（t）ηi（t）]dt+σi（t）dWi（t），（4.2）d ln S（t）=r（t）- ri（t）-ηi（t）dt+ηi（t）dWi+N（t），（4.3），其中<dWi（t），dWj（t）>=ρijdt，其中i，j=0，···，2N，N是外币数。请注意，ρση交叉项来自MEA的变化。图4.2：不同波动率的NN方法和代理方法的风险敞口比较。

Up：（σ，σ，η）=（0.001，0.001，0.2）。向下：（σ，σ，η）=（0.2，0.2，1）。当然，从国外风险中性措施到国内风险中性措施。在国内风险中性度量中，计算值为B（t）=exphRtr（u）dui。为做好准备，我们首先考虑一种标准的XCCY掉期，其中一支为本币，一支为外币。标准XCCYswaps是线性产品，其未来值可根据信用时间t的可用信息进行分析确定。未来值为VFxd（t）=NfS（t）XnKnτnPDt、 TPn, （4.4）名义Nf、固定票面利率Kn、每个应计期的天数τn、外汇汇率S（t）和贴现系数PDt、 TPn从t到未来付款时间TPn。浮腿的未来值为VFLT（t）=NfS（0）Xn[αnLn（t）+βn]τnPDt、 TPn, （4.5）使用乘数αn、扩展βn和正向速率Ln（t）。到期时有典型的期货交易所，可以通过替换Knτn来包括在内→1+Knτn和βnτn→ 最后一个周期为1+βnτ。图4.3:MtM XCCY掉期未来价值随培训的演变。这里（σ，σ，η）=（0.001，0.001，0.2）。对于具有MtM分支的跨货币掉期，情况截然不同。MtMXCCY掉期在每个累计期开始时重置名义值。TMM分期付款包括两项付款：（1）名义付款：Nf【S（Tn）】- S（Tn+1）]，（2）费率支付：NfS（Tn）Lnτn，除了具有浮动费率Ln外，还具有随机概念NfS（Tn）。因此，MtM支腿的未来值为vmtm（t）=EQt“NfXnPDt、 TPn[S（Tn）（1+Lnτn）- S（Tn+1）]#。（4.6）可以看出，MtM分期的未来价值取决于所有未来重置时间的外汇汇率，即S（Tn），在时间t未知。目前还不知道MtM XCCY掉期的未来价值与相关因素的分析表达式。可以考虑使用代理模型。

假设IR部分和FX部分解耦，那么可以使用关系qt[S（Tn）]=S（t）Pf（t，Tn）Pd（t，Tn），（4.7）和国内外贴现系数Pd（t，Tn），Pf（t，Tn）直接计算外汇利率的期望值。这种aproxy方法产生了未来价值的解析表达式，但由于资产相互关联，无法捕获凸度调整。4.2神经网络方法我们将在神经网络方法中解决这个问题。让我们首先在BSDE框架中制定问题。考虑一个带有MtM的XCCY掉期图4.4：MtM XCCY掉期的未来值随培训的演变（预计为x=0，x=0）。这里（σ，σ，η）=（0.001，0.001，0.2）。腿和一个浮腿。未来值为VXCCY（t）=Vmtm（t）- Vflt（t）。在国内风险中性度量中，它随利率r（t）增长，因此遵循BSDE：dVXCCY（t）=r（t）VXCCY（t）dt+XiVXCCYXi（t，Xt）σi（t）dWi（t）。（4.8）在这里，我们将风险因素分为向量X≡ （x，x，lns），以及向量σ中相应的挥发率≡ (σ, σ, η). 我们还包括现金流量日xcy的跳跃条件T+n= VXCCYT-n- CF（Tn），（4.9）和成熟时的边界条件vxccyT+N= 0.（4.10）我们观察到，虽然现金流量CF（Tn）完全由Tn时可用的信息确定，但三角洲的VXCCYXi（t，Xt）取决于时间t以外的信息，尤其是未来的外汇汇率。我们通过完全连接的神经网络参数化未来值的增量：VXCCYXi（Tn，Xn）\'F（n）i（X，···，Xd）。（4.11）下面我们介绍了NN方法中曝光计算的算法。第一阶段（培训前）：o向前演化风险因素，并将其存储在张量Xipn中，维度指数i、路径指数p和时间指数n。图4.5：MtM XCCY掉期未来价值随培训的演化。

这里（σ，σ，η）=（0.2，0.2，1）。第二阶段：o构建神经网络。在每个时间步，为Delta构建一个神经网络，即。VXCCYxi≡ Zi.o正向感应。根据远期形式的微分方程（4.8）和现金流的跳跃条件（4.9），发展未来价值。结果存储在tensor Vpn中，路径索引为p，时间索引为n从Vpn构造丢失函数。损失函数的形式为五、 Z（0）i，w（n）i=AXpV公司T+N，ωp. （4.12）o训练神经网络。第三阶段（培训后）：o平均值。通过平均未来值的正/负部分，计算每个信用日的EPE/ENE。由于当前问题中没有涉及早期练习，我们使用前向归纳法来发展未来价值。曝光量的计算也更加简单。我们考虑MtM XCCY掉期，货币对为加元/美元，期限为0.83年，按季度支付并重置。初始汇率为0.76。两种货币的HullWhite模型的平均回归系数κ=0.01，通货膨胀率曲线fUSD（0，t）=0.01，fCAD（0，t）=0.02。相关参数为：ρUSD，CAD=0.149，ρUSD，CAD/USD=0.139，ρCAD，CAD/USD=0.676。我们选择图4.6：MtM XCCY掉期未来价值随培训的演变（预测为x=0，x=0）。这里（σ，σ，η）=（0.2，0.2，1）。一个完全连接的神经网络，具有2个隐藏层，维度为d+~d，其中d=3（风险因素数量），d=10。图4.1显示了几个不同挥发参数集的EPE和ENE结果。可以看到，当波动率很小时，风险敞口在MtM日期消失。按市价计价的做法将长期风险降低为短期风险（此处为三个月）。随着波动性的增加，这些日期的风险敞口增加至确定值。

我们在图4.2中进一步比较了NN方法与忽略资产互相关的代理方法的结果。我们注意到，代理方法总是在MtM日期提供不同的风险敞口，而NN方法恰当地捕获了代理方法中缺少的凸度调整。虽然这种影响在正常情况下是轻微的，但在压力条件下可能会变得显著。然后我们研究未来价值的函数形式。为了直观地理解函数形式，我们尝试将其可视化。虽然很容易将单一风险因素的功能可视化，但多风险因素的功能更为复杂。由于外汇汇率是主要的风险因素，我们研究了未来价值与外汇汇率之间的函数关系。我们介绍了两种类型的绘图仪。从模拟路径获得的随机（x，x）的第一类图（lns，V）。第二类图（lns，V）投影到给定的x，x。投影使用k-最近邻回归进行，这是一种非参数方法，不假设不同变量之间存在任何特定关系。两组波动率参数的结果如图4.3、4.4、4.5和4.6所示。当IR挥发分很小时（这里σ=σ=0.001，η=0.2），动力学由FX部分控制，问题本质上是一维的。因此，（lns，V）对在两个图中都收敛到一维线。当IR和FX波动率都较大时（此处σ=σ=0.2，η=1），问题本质上是高维的。图4.7:MtM XCCY掉期的未来价值回归，符合函数V=10aS+bS+c. 蓝点是（S，V）的原始数据，随机x，x，绿线是（S，V）投影到x=0，x=0，红线是投影数据的函数。在random-x图中，（lns，V）对在训练后仍然形成二维区域。

这种加宽效应（类似于物理学中的自能效应）表明了IR率在确定未来价值的函数形式方面所起的重要作用。在投影x图中，（lns，V）对收敛到一维曲线。这些投影曲线让我们看到了高维函数vxccy（x，x，S）。我们进一步研究了未来价值对外汇汇率S的函数依赖性。在代理法中，未来价值在S中是线性的。对于NNapproach，为了查看凸度调整的影响，我们将未来价值设为S的二次函数（见图4.7）。我们考虑投影到给定x，x的（S，V）对。从系数（特别是a/b比）可以看出，凸性效应明显存在于小波动率和大波动率中，尽管小波动率的影响不太明显。5结论我们利用神经网络作为通用逼近器，探索了一种新的建模未来值和计算CVA/DVA的方法。核心思想在艺术智能中很常见：将复杂问题转化为搜索问题。对于目前的方法，可以概括为参数化和优化。通过神经网络对未来值的梯度进行参数化，然后使用高效的优化算法确定所涉及的参数。近期的发展方向包括：（1）推广模型以涵盖更多风险因素，例如使用伦敦银行同业拆借利率市场模型（[12]），（2）探索不同的参数化方法，例如直接参数化未来值（[13]），（3）探索不同类型的神经网络，例如卷积神经网络（CNN[21]），生成对抗网络（GAN[22]），（4）使用这种方法对未来的希腊人建模并计算MVA。随机化的思想在这里至关重要。在某种意义上，目前的方法是美国蒙特卡罗法的自然推广。

由于神经网络方法更为通用，并且不像AMC那样假设先验知识，因此它在速度上无法与AMC竞争。我们将此方法视为AMC的第一个基准模型。更有趣的是，将这两种方法结合起来，形成一种新的exotics/XVA建模策略，该策略分两步进行：（1）使用NN方法推断每类产品未来价值的函数形式，（2）然后使用所学知识，使用AMC或其变体等更快的方法计算未来价值。NN步骤很少运行，因此对其速度的要求并不严格。AMC步骤不需要专家输入。我们认为这种方法是将深入学习应用于证券定价的更实际的方法。参考文献【1】Francis A.Longstaff和Eduardo S.Schwartz。《模拟评估美国期权：简单最小二乘法》，《金融研究评论》，第14卷，第1期，2001年1月1日，第113-147页。[2] Weinan E、Jiequn Han和Arnulf Jentzen。高维抛物型偏微分方程和倒向随机微分方程的基于深度学习的数值方法，A.Commun。数学Stat.（2017）5:349。[3] Jiequn Han、Arnulf Jentzen和Weinan E.《克服维度诅咒：使用深度学习解决高维偏微分方程》，arXiv:1707.02568。[4] 伊恩·古德费罗、约书亚·本乔、亚伦·考维尔和约书亚·本乔。《深度学习》，麻省理工学院出版社，2016年。http://www.deeplearningbook.org.[5] Geo Offrey Hinton，Li Deng，Dong Yu，George Dahl，Abdel rahman Mohamed，Navdeep Jaitly，Andrew Senior等人，《语音识别中的深度神经网络声学建模》，信号处理杂志29（2012），82–97。[6] Alex Krizhevsky、Ilya Sutskever和Geo Offrey E.Hinton。