用超高频数据估计Ornstein-Uhlenbeck过程

，xnasM1，n=n+1nXi=0Xi，M2，n=nnXi=0（xi- M1，n），M3，n=n- 1nXi=1（xi- M1，n）（xi-1.- M1，n），M4，n=n- 2nXi=2（xi- M1，n）（xi-2.- M1，n）。（18） 通过求解方程se[Xi]=M1，n，var[Xi]=M2，n，cov[Xi，Xi-1] =M3，n，cov[Xi，Xi-2] =M4，n，（19）我们得到估计值^u=M1，n，τ=对数m3，nM4，n，σ=2M3，nM4，nlogM3，nM4，n，^ω=M2，n-M3，nM4，n.（20）也可以使用自协方差函数的高阶矩和高阶滞后。然而，由于我们主要将此方法用作初始估计，因此我们并不专注于寻找最佳矩集。2.2最大似然法一种广泛使用的参数估计方法是最大似然估计。它最大化给定观测值的似然函数（或等效的对数似然函数）。在我们的例子中，它利用了Ornstein–Uhlenbeck过程的正态条件密度函数。在一些简单的情况下，最大似然估计是以闭合形式提供的。Tang和Chen（2009）给出了无噪声的规则间隔Ornstein–Uhlenbeck过程的闭合形式估计。我们关注的是受噪声污染的不规则间隔的Ornstein-Uhlenbeck过程的更一般情况。由于其可能性更为复杂，我们仅将其作为非优化问题。在本节中，我们考虑了间隔不规则的观测，观测的确定时间表示为Ti。在没有噪声的Ornstein–Uhlenbeck过程中，通过最大化byL（u，τ，σ）=nXi=1log fPTi给出的对数似然函数来获得最大似然估计pTi | pTi-1=pTi-1., （21）其中fPTipTi | pTi-1=pTi-1.是观测值的条件密度函数。

根据方程式（4），它是正态分布fpti的条件密度函数pTi | pTi-1=pTi-1.=p2πvar[PTi | PTi-1=pTi-1] ×经验值(-pTi公司- E[PTi | PTi-1=pTi-1]2var[PTi | PTi-1=pTi-1] ），（22）有条件动量SE[PTi | PTi-1=pTi-1] =pTi-1e级-τ（Ti-Ti公司-1)+ u1.- e-τ（Ti-Ti公司-1),var[PTi | PTi-1=pTi-1] =σ2τ1.- e-2τ（Ti-Ti公司-1).（23）对数似然函数可以简化为toL（u，τ，σ）=-nXi=1log2πvar[PTi | PTi-1=pTi-1]-nXi=1pTi公司- E[PTi | PTi-1=pTi-1]var[PTi | PTi-1=pTi-1].（24）估算值由（u，τ，σ）=arg maxu，τ，σL（u，τ，σ）s.t.σ给出≥ 0。（25）在Ornstein–Uhlenbeck过程受噪声污染的情况下，通过最大化给定的对数似然函数byL（u，τ，σ，ω）=nXi=1log fXi（xi | xi），获得最大似然估计-1=xi-1） ，（26）其中fXi（xi | xi-1=xi-1） 是观测值的条件密度函数。根据（7）和附录，它是正态分布fxi（xi | xi）的条件密度函数-1=xi-1） =p2πvar[Xi | Xi-1=xi-1] ×经验值(-（xi）- E[Xi | Xi-1=xi-1] ）2var[Xi | Xi-1=xi-1] ）（27）有条件动量SE[Xi | Xi-1=xi-1] =xi-1σ+2τuωσ+2τωe-τ（Ti-Ti公司-1)+ u1.- e-τ（Ti-Ti公司-1),var[Xi | Xi-1=xi-1] =σωσ+2τωe-2τ（Ti-Ti公司-1)+σ2τ1.- e-2τ（Ti-Ti公司-1)+ ω.（28）对数似然函数可以简化为toL（u，τ，σ，ω）=-nXi=1log（2πvar[Xi | Xi-1=xi-1])-nXi=1（xt- E[Xi | Xi-1=xi-1] ）var[Xi | Xi-1=xi-1].（29）估计值由（u，τ，σ，ω）=arg maxu，τ，σ，ωL（u，τ，σ，ω）s.t.σ给出≥ 0, ω≥ 0。（30）2.3 ARMA重新参数化ARMA重新参数化包括以下三个步骤。首先，我们将离散化的等距过程重新参数化为一个常用的和研究过的时间序列模型。其次，我们估计时间序列模型的参数，例如通过条件平方和或最大似然估计量。

第三，我们将估计值转换回原始参数化。一个可能的缺点是重新参数化不遵守参数限制。在我们的例子中，σ和ω参数应该是非负值，但重新参数化允许负值。在本节中，我们假设观测时间间隔相等，并表示 = Ti公司-Ti公司-1=n-众所周知，离散化的Ornstein–Uhlenbeck过程对应于AR（1）过程。A"it-Sahalia et al.（2005）将受白噪声污染的离散维纳过程重新参数化为ARIMA（0,1,1）过程。由于无噪声的离散维纳过程是anARIMA（0,1,0）过程，因此噪声会导致一阶移动平均分量。这同样适用于被白噪声污染的离散化Ornstein-Uhlenbeck过程，因为它对应于ARMA（1,1）过程。当噪声不存在时，离散过程pti可以重新参数化为AR（1）过程。使用（2），过程PTi可以重写为asPTi=PTi-1e级-τ + u(1 - e-τ ) + σZTiTi-1e级-τ (-s） dWs。（31）我们表示α=u（1- e-τ ),^1=e-τ .（32）我们进一步表示vi=σZTiTi-1e级-τ (-s） dWs。（33）从方程（4）中，我们得出随机变量Vi正态分布，方差γ=var[Vi]=σ2τ1.- e-2τ . （34）随机变量Vi独立于PTi-使用（32）和（34），我们可以将过程（31）重新参数化为AR（1）processPTi=α+ДPTi-1+六，七。i、 d。~ N（0，γ）。（35）我们可以通过任何合适的方法估计参数α、Д和γ。最后，通过求解方程^α=^u（1- e-^τ ),^Д=e-^τ ,^γ=^σ2^τ1.- e-2^τ ,（36）我们得到估计值^u=^α1- ^φ,^τ = -对数φ，σ=-2.^γ1 - ^хlog^х。（37）当过程PTI被白噪声控制时，离散过程可以被参数化为ARMA（1,1）过程。

使用（2）和初始时间Ti-1，过程xican分解为xi=PTi+Ei=u（1- e-τ ) + PTi公司-1e级-τ + σZe-τ (-s） dWs+Ei=u（1- e-τ ) + xi-1e级-τ + σZe-τ (-s） dWs+Ei- 工程安装-1e级-τ ,（38）由于PTi，最后一个等式成立-1=Xi-1.- 工程安装-1、我们表示α=u（1- e-τ ),^1=e-τ .（39）我们进一步表示ui=σZe-τ (-s） dWs+Ei- 工程安装-1e级-τ . （40）使用（7），我们得到了随机变量Ui正态分布，动量se[Ui]=0，var[Ui]=σ2τ（1- e-2τ ) + ω（1+e）-2τ ),cov[用户界面，用户界面-1] = -ωe-τ ,cov[用户界面，用户界面-j] =0，j>1。（41）使用替换（39）和（40），我们重写（38）asXi=α+ДXi-1+Ui。（42）让我们定义一阶移动平均过程Ui，i≥ 0为▄Ui=θVi-1+六，七。i、 d。~ N（0，γ）。（43）变量▄Ui正态分布，动量se[▄Ui]=0，var[▄Ui]=γ（1+θ），cov[▄Ui，▄Ui-1] = θγ.cov[￠Ui，￠Ui-j] =0，j>1。（44）我们证明了进程{Ui}i≥0相当于进程{Ui}i≥0对于γ和θ参数的正确选择，满足var[Ui]=var[~Ui]，cov[Ui，Ui-1] =cov[▄Ui，▄Ui-1].（45）进程{Ui}i的联合分布≥0与进程{Ui}i的联合分布相同≥0因为这两个过程都是正态分布，具有零一阶矩和相同的自变函数。然后我们可以重写（42）asXi=α+ДXi-1+~Ui。（46）这是形式Xi=α+ДXi的ARMA（1,1）过程-1+θVi-1+六，七。i、 d。~ N（0，γ）。（47）我们可以通过任何合适的方法估计参数α、Д、θ和γ。用（41）和（44）替换（39）和等价（45）意味着α=u（1- e-^τ ),^Д=e-^τ ,^γ(1 +^θ) =^σ2^τ(1 - e-2^τ ) + ^ω（1+e）-2^τ ),^θ^γ= -^ωe-^τ .（48）最后，通过求解该方程组，我们得到估计值^u=^α1- ^φ,^τ = -对数φ，σ=-2.^γ( ^φ +^θ^φ +^θ ^φ+^θ)^φ(1 - ^Д）log^Д，ω=-^θ^γ^φ.（49）2.4模拟研究我们使用模拟评估拟议估计器的有限样本性能。

我们将观察到的价格过程模拟为参数u=10的Ornstein–Uhlenbeck过程-1，τ=10，σ=10-4由方差ω=10的独立高斯白噪声控制-我们选择的参数值与第4节实证研究中报告的值相似。模拟观测值间隔不规则，观测次数由泊松点过程生成。我们进行了1000000次模拟，每次有23400次观察。观察次数对应于6.5小时交易日内平均1秒的价格变化持续时间。我们通过估计参数的平均绝对误差来比较估计量。噪声敏感性矩量法表示为1MIN-MOM，其噪声鲁棒性修正表示为1MIN-MOM-NR。基于时间序列模型重新参数化的方法通过条件平方和估计参数，并表示为1MIN-AR，表示为AR（1）过程的噪声敏感性重新参数化，表示为1MIN-ARMA-NR，表示为ARMA（1,1）过程的噪声鲁棒性重新参数化过程基于1分钟数据的噪声敏感和噪声鲁棒最大似然估计分别表示为1MIN-MLE和1MIN-MLE-NR，而其tick数据对应的估计分别表示为tick-MLE和tick-MLE-NR。过程的方差也可以用非参数方法估计。

由于Ornstein–Uhlenbeck过程的参数σ等于过程随时间的二次变化，方法uτσω1MIN-MOM 7.5797·10-40.4709 · 100.9945 · 10-21MIN-MOM-NR 7.5797·10-40.2032 · 100.4515 · 10-23.6843 · 10-51MIN-AR 7.5797·10-40.4683 · 100.9906 · 10-21MIN-ARMA-NR 7.5797·10-40.1358 · 100.2783 · 10-22.8069 · 10-51MIN-MLE 7.6020·10-40.4683 · 100.9906 · 10-2TICK-MLE 7.8099·10-49.0415 · 108.8591 · 10-21MIN-MLE-NR 7.6020·10-40.2042 · 100.4543 · 10-23.7319 · 10-5TICK-MLE-NR 7.5910·10-40.0543 · 100.0263 · 10-20.0658 · 10-51MIN-RV--0.9893·10-2 Tick-RV--1.3831·10-21MIN-RK-TH2--0.1392·10-20.3271 · 10-5勾号-RK-TH2--0.0797·10-20.1821 · 10-51MIN-PAE--0.0315·10-20.0826 · 10-5TICK-PAE--0.0322·10-20.0836 · 10-5表1：真实参数u=1、τ=10、σ=10的模拟noisyOrnstein–Uhlenbeck过程中通过各种方法估计的参数的平均绝对误差-4和ω=10-8.区间（0，1），我们可以用二次变差的非参数估计来估计σ。二次方差的直接估计量是已实现方差。然而，如Hansen和Lunde（2006）所示，在市场微观结构方面存在偏差和不一致。我们将基于1分钟数据的已实现方差表示为1MIN-RV，tickdata表示为TICK-RV。对于非参数二次方差估计，文献中有许多噪声鲁棒的替代方法。其中一种方法是Barndorff-Nielsenet等人（2008）提出的已实现核估计。我们将变量与修改后的Tukey Hanning内核一起使用，并将其表示为1MINRK-TH2表示1分钟数据，TICK-RK-TH2表示TICK数据。另一种抗噪声方法是Jacod等人（2009）的预平均估计量。1分钟数据表示为1MIN-PAE，滴答数据表示为滴答PAE。

噪声ω的方差是使用有偏实现方差rvna估计的，该方差为噪声鲁棒估计RMn（实现的核估计或预平均估计）调整^ω=（RVn- RMn）/2n，其中n是观察次数。模拟结果如表1所示。通常，基于tick数据的噪声鲁棒估计器优于基于1分钟数据的噪声鲁棒估计器，而基于tick数据的噪声敏感估计器优于基于1分钟数据的噪声敏感估计器。这是因为噪声鲁棒估计器可以利用蜱虫数据的附加信息，而噪声敏感估计器对更多观测值的偏差更大。在实证研究中，我们在图4中进一步研究了这一特性。当仅考虑1分钟数据时，最佳参数估计量为1MIN-ARMA-NR。然而，对于基于1MIN数据的波动率估计，非参数估计量1MIN-RK-TH2和1MIN-PAE优于参数估计量。当同时考虑tick数据和1分钟聚合时，最好的参数估值器是tick-MLE-NR。该估值器的缺点是u的估计稍差，但由τ和σ参数的最小平均绝对误差来补偿。另一方面，其噪声敏感型变量TICK-MLE由于工艺规范错误（忽略噪声），性能非常差。有趣的是，TICK-MLE-NR在方差σ的估计方面甚至优于非参数TICKRK-TH2和TICK-PAE估计量。在剩下的研究中，我们只处理tick数据，只关注tick-MLE和tick-MLE-NR估计量。3最优成对交易策略对于给定的一对股票a和B，成对交易策略基于对数价格分布过程Pt=lnAtBt公司= ln在- ln Bt，（50），其中Atis是A股的价格，Bt是B股的价格。

我们将过程PTA建模为（1）中给出的Ornstein–Uhlenbeck过程，长期平均u、反转速度τ和瞬时波动率σ>0。该战略本身包括以下步骤。首先，我们等到对数价差Pt在时间t达到给定的入门级a。在不丧失一般性的情况下，我们假设入门级a大于长期平均u，即a>u。当达到进入水平时，我们同时进入A股的空头仓位和B股的多头仓位。我们预计A股的价格将下降，B股的价格将上升，即价差将恢复到其长期平均值。当对数价差Pt在时间t达到给定的退出水平b<a时，我们清空两个头寸并进行盈利。a股在连续复合回报率方面的盈利为ln-B股的利润为Bt-ln Bt.加上整个成对交易的交易成本c，我们得出的总利润=ln- ln At+ln Bt- ln英国电信- c=Pt- Pt公司- c=a- b- c、 （51）交易结束后，我们再次等待价差PTT达到入门级a，并重复整个交易周期。因此，交易周期由两部分组成。在第一部分中，我们分别持有A股和B股的空头和多头头寸，而在第二部分中，我们等待下一个交易信号。我们表示交易周期的持续时间asT=Ta→b+Tb→a、 （52）其中Ta→bis从a到b和Tb的第一次通过时间→ais是从b到a的第一段时间。在此策略中，我们做空a股和做多b股。也可以采用相反的策略。在这种情况下，当达到入门级a<u时，我们做多a，做空B。然后，当达到入门级B>a时，我们做多B- 一- c、 由于Ornstein–Uhlenbeck过程是对称的，A股和B股的第二种策略与B股和A股的第一种策略相同。

为简单起见，我们只关注A>u的股票A和股票B的第一种情况。我们的目标是确定给定交易成本C和静态过程参数u、τ和σ的进入信号a和退出信号b的值。为了优化选择信号a和b，我们密切遵循贝特伦（2009）和贝特伦（2010）的框架，这两个框架也被康明斯和布卡（2012）、曾和李（2014）以及哥恩库和阿克伊尔迪林（2016）采用。所有这些论文都专注于最大化预期收益，而Bertram（2010）也致力于最大化夏普比率。在我们的工作中，我们采用了与现代投资组合理论相关的均值-方差优化方法。我们将问题表述为给定最大方差水平下预期收益的最大化。如果最大方差水平足够大，问题只会简化为预期利润的最大化。设zt为策略随时间t的随机利润。对于给定的进入信号a，退出信号带交易成本c，它等于zt=（a- b- c） Nt，（53），其中Nt是表示时间t内交易数量的计数过程。因为利润交易a- b- c总是常数，唯一的随机性在于过程Nt。此外，让usde确定单位时间的预期利润和单位时间利润的方差asZM=limt→∞E[Zt]t=极限→∞（a）- b- c） ENtt，ZV=limt→∞var[Zt]t=极限→∞（a）- b- c） varNtt公司。（54）如Bertram（2010）所述，使用预期值和方差的更新理论的结果（见Cox和Miller，1965），我们得出Zm=a- b- cET，ZV=（a- b- c） varT（ET），（55），其中T是（52）给出的交易周期持续时间。在均值-方差优化中，我们利用了每单位时间的这两个矩。3.1无量纲系统继Bertram（2010）和Zeng and Lee（2014）之后，我们将Ornstein–Uhlenbeck过程（1）重新参数化为无量纲系统。

我们将过程转换为▄Pt=r2τσ（Pt- u），（56）并执行时间膨胀▄t=τt。使用它的引理，我们得到了▄P▄t=-P▄td▄t+√2dWt.（57）这种重新参数化的一个主要优点是它不依赖于参数u、τ和σ。因此，随后对首次通过时间和最佳信号的分析要简单得多。无量纲系统还允许我们研究有偏参数对股票交易策略的影响。重新参数化的进入水平、退出水平和交易成本分别为a=r2τσ（a- u），a=rσ2τa+u，~b=r2τσ（b- u），b=rσ2τb+u，c=r2τc，c=rσ2τc。（58）交易周期的重新参数化持续时间为T=τT，T=τT。（59）最后，重新参数化的单位时间预期收益率和单位时间收益率方差分别为▄ZM=rτσZM，ZM=rτσ▄ZM，▄ZV=σZV，ZV=σ▄ZV。（60）3.2首次通过时间表示每次时刻的关键变量（55）是交易周期的持续时间。在无量纲系统中，它等于▄T=▄T▄a→b+▄T▄b→§a.（61）当假设▄a>0且▄b<▄a时，它是从▄a到▄b的第一次通过时间和从▄b到▄a的第一次消息时间之和，定义为▄T▄a→b=影响：▄Pt<▄b▄▄P=▄ao，▄T▄b→a=输入：▄Pt>▄a▄▄P=▄bo。（62）在本节中，我们给出了交易周期持续时间的预期值和方差。这些结果基于Ricciardian和Sato（1988）推导的首次通过时间矩的显式表达式。我们将gamma函数表示为Γ（·），将digamma函数表示为ψ（·）。第一次通过时间的预期值从▄a到▄b和从▄b到▄a分别为▄T▄a→b=φ(-b）- φ(-a），E▄T▄b→a=φ（￠a）- φ（￠b），（63），其中φ（z）=∞Xk=1√2zkk！Γk. （64）交易周期持续时间的预期值为=∞Xk=1√2a2公里-1.-√b2公里-1（2k- 1)!Γ2公里- 1..