用超高频数据估计Ornstein-Uhlenbeck过程

我们求助于这种静态模型，因为我们在实证研究中没有发现自相关结构。医疗器械对uσuτσBP/CVX 0.9675 0.3551 4.0942·10-31.9615 0.8709 · 10-5BP/E 0.9827 0.2072 3.1735·10-33.5419 1.5074 · 10-5CVX/E 0.9487 0.3146 5.1204·10-32.3681 1.2568 · 10-5BP/PSX 0.9586 0.2875 5.4505·10-32.1768 1.2934 · 10-5CVX/PSX 0.9436 0.2286 5.7493·10-32.2265 1.1816 · 10-5E/PSX 0.9726 0.3406 5.9111·10-32.6825 2.0679 · 10-5BP/RDSA 0.9816 0.2018 2.4141·10-33.9130 0.6701 · 10-5CVX/RDSA 0.9660 0.2744 4.7031·10-31.9110 0.8604 · 10-5E/RDSA 0.9768 0.2564 3.3555·10-33.3164 1.3228 · 10-5PSX/RDSA 0.9403 0.3339 5.6414·10-31.8570 1.1742 · 10-5BP/TOT 0.9653 0.2604 2.9551·10-33.7663 1.1387 · 10-5CVX/TOT 0.9555 0.3332 5.0260·10-32.5196 1.2753 · 10-5E/TOT 0.9681 0.2514 2.6592·10-35.1985 1.5872 · 10-5PSX/TOT 0.9361 0.3448 5.5260·10-32.7046 1.7659 · 10-5RDSA/TOT 0.9830 0.2249 2.5487·10-33.8992 1.0673 · 10-5BP/XOM 0.9689 0.1988 4.7299·10-31.6379 0.6464 · 10-5CVX/XOM 0.9523 0.2228 3.7614·10-31.8123 0.5655 · 10-5E/XOM 0.9127 0.1664 5.0604·10-31.9967 1.1112 · 10-5PSX/XOM 0.9607 0.1839 5.6828·10-31.5600 0.8629 · 10-5RDSA/XOM 0.9726 0.1903 4.0018·10-31.3017 0.5872 · 10-5TOT/XOM 0.9624 0.1673 4.4425·10-31.9390 0.9087 · 10-5平均0.9608 0.2545 4.3813·10-32.5853 1.1296 · 10-5表3：采用TICK-MLE NRmethod估计的Ornstein–Uhlenbeck过程参数一步预测的确定中值系数和中值绝对误差MedAE。对于日方差参数σi，我们使用Corsi（2009）的HAR模型。他们通过不同时间段的已实现方差对波动性进行建模。具体而言，每日实现差异取决于前一天的实现差异、前一周的实现差异和前一个月的实现差异。

在我们的例子中，参数σi的对数遵循自回归过程lnσi=a+blnσi-1+cXj=1lnσi-j+dXj=1lnσi-j+εi，i=1，h、 （73）式中，a、b、c、dare表示系数，εiis表示高斯白噪声。我们使用132天（约6个月）的滚动窗口对模型进行训练，并执行提前预报。Ornstein–Uhlenbeck工艺参数一步预测的确定系数中值和绝对误差中值如表3所示。我们求助于中值统计数据，因为有好几天波动性极大。我们发现，长期平均参数的模型（71）解释了μ离子平均值96%的方差，而方差参数的模型（73）解释了σ离子平均值25%的方差。通过定义，回归速度参数模型（72）精确解释了τ方差的0%。总的来说，我们发现ui和σi参数的模型令人满意，而参数τi很难预测。4.4战略绩效对于通过预测模型获得的Ornstein–Uhlenbeck过程的一组参数，以及利润η的最大允许方差，我们发现最佳进入和退出信号以及最大预期利润。由于预测参数值不确定，我们仅在预期利润大于给定阈值ζ的情况下进行交易。我们使用交易成本c=0.0015/双程交易。在文献中，这被认为是中等水平的交易成本。例如，Avellaneda和Lee（2010）、Bertram（2010）和Liu等人（2017）使用了0.0010的乐观交易成本水平，Bowen等人（2010）使用了0.0015的适度水平，Bogomolov（2013）使用了0.0040的保守水平。我们总结了拟议的配对交易策略，并说明了我们的具体设置。

首先，我们需要选择策略的几个参数。策略的初始化需要以下步骤。1、选择一组潜在的可交易对。对的数量表示为p。在我们的例子中，我们考虑p=21对，由7个股票创建。2、选择历史长度h。在我们的例子中，我们使用h=132天的历史，对应大约6个月。选择每日利润的最大允许方差η。在我们的例子中，我们考虑η=10-5,η = 5 · 10-5和η=∞. η=5·10-发现5产生最佳结果。选择每日利润的最小允许平均ζ。在我们的例子中，我们考虑ζ∈ (0, 0.7).发现值0.009可产生最佳结果。接下来，我们将描述我们针对单个交易日h+1的策略。执行步骤如下。1、使用第2节所述的方法分析历史日内数据。对于每个空气j=1，p和每个历史日期i=1，h、 估计了Ornstein–Uhlenbeck参数uj、i、τj、i和σj。在我们的例子中，我们考虑了TICK-MLE和TICK-MLE再激励。2、利用第4.3节中描述的时间序列模型来捕获日常参数值的时变性质，并预测其未来值。对于每对j=1，p、 使用历史h估计每日Ornstein–Uhlenbeck参数的模型（71）、（72）和（73）。然后预测未来参数值uj、h+1、τj、h+1和σj、h+1。然后，假设未来一天内的价格遵循Ornstein–Uhlenbeck过程和预测参数。确定了第3节所述的最佳策略。对于每对j=1，p、 最佳进入信号a*j、 最佳退出信号b*jand最优平均利润Z*M、 jare foundusing（70）。在该模型中，平均利润ZM，jis最大化，而利润V，jis的方差低于η。

对于对价交易，最佳进入信号为*j=b*j、 最佳退出信号为b*j=a*jand最佳平均利润为Z*M、 j=Z*M、 j.4。对于每对j=1，p、 这对货币是否会在h+1日进行交易将由双方决定。如果该对的最佳平均值高于所选阈值，即Z，则该对将被交易*M、 j≥ ζ.对于每个可交易对j，监测日内价格。当价格达到入门级A时*jor a公司*j、 如第3节所述，输入适当的配对交易。当价格达到退出b级时*j=a*jor b公司*j=a*j、 多头和空头头寸切换。就在市场收盘之前，无论价格如何，这两个头寸都已平仓。我们评估了由7家大型石油公司组成的21对交易策略的可行性。由于我们使用6个月的历史来培训预测模型，我们评估了从2015年下半年到2018年下半年的战略。我们认为η=10-5, η = 5·10-5和η=∞ 作为最大允许偏差的水平。图5显示了基于21对最小平均利润ζ不同值的策略的总每日利润。我们可以看到，利润对阈值η和ζ的选择非常敏感。当预期平均值不受限制时，几乎所有的对都会在所有的日子里交易，导致巨大的损失。

什么时候-0.09-0.06-0.030.000.00 0.02 0.04 0.06最小平均值检验-姆莱蒂克-最大似然误差-NRMaximum VarianceNo Limit5e-51e型-5配对交易策略的平均每日利润图5：噪声敏感和噪声稳健估值器的每日利润与最大方差η和最小均值ζ的相关性。0200400601601720018EARSTIMATORTICK贸易数量-姆莱蒂克-最大似然误差-NR每日交易数图6：η=5·10的每日交易数-5和ζ=0.009，适用于噪声敏感和噪声破裂估计器。最小平均收益率ζ设定在0.009左右，基于TICK-MLE-NR估值器的策略表现最好，在η=5·10的连续复合收益率方面，每日收益率达到0.0069-5、当我们进一步提高最低平均利润ζ的阈值时，进行的交易会减少，甚至可盈利的交易也会减少，从而导致利润下降。随着最低平均利润ζ的增加，利润自然会收敛到零。有趣的是，交易数量和利润在这些年中的分布并不均匀。图6显示了每日交易数量。大多数交易在2015年、2016年和2018年执行，而2017年是基于TICK-MLE-NR估计器的策略的平静期。我们将此归因于2017年价差价格波动性较低。表4分别报告了每一对的每日利润，而表5则报告了交易数量。通常，τ和σ估计值较高的配对交易较多，因为其预期收益也较高。我们关注的是TICK-MLE-NR估计量，其最大方差设置为5·10-5和最小平均值0.009。表4表明，E/PSX、E/TOT和PSX/TOT是交易量最大的组合，而E/PSX和E/TOT也是最有利的组合。

表2显示，这些对具有τTICK-MLE估计器TICK-MLE-NR估计器对ζ=0.000ζ=0.009ζ=0.040ζ=0.000ζ=0.009ζ=0.040BP/CVX-0.003235-0.003235 0.000000-0.002608 0.000018 0.000000BP/E 0.000944 0.00002 0.000611 0.001127 0.000000BP/PSX-0.004420 0.000000-0.002965-0.000011 0.000000BP/RDSA-0.002371-0.002362-0.000130-0.002364-0.000056 0.000000BP/TOT-0.002026-0.002026 0.000151-0.001873 0.000239 0.000000BP/XOM-0.004307-0.004307 0.000000-0.003813-0.000063 0.000000CVX/E-0.000925-0.000946 0.000000-0.001030 0.000780.000000CVX/PSX-0.005322 0.000000-0.004387-0.000760 0.000000CVX/RDSA-0.003398-0.003417 0.000000-0.002683 0.000128 0.000000CVX/TOT-0.002068-0.002068 0.000000-0.001198 0.000607 0.000000CVX/XOM-0.004745-0.004752 0.000000-0.003945 0.000051 0.000000E/PSX-0.001614-0.001614 0.000000-0.000254 0.001487 0.000000E/RDSA 0.000144 0.000144 0.000455 0.001219 0.000000E/TOT 0.001941 0.001941 0.000654 0.001360 0.001823 0.000000E/XOM-0.000196-0.000126 0.000000-0.000961-0.000019 0.000000PSX/RDSA-0.004710-0.0047100.000000-0.003634 0.000122 0.000000PSX/TOT-0.003660-0.003660 0.000000-0.001192-0.000034 0.000000PSX/XOM-0.005219 0.000000-0.003389 0.000031 0.000000RDSA/TOT-0.001325-0.001264 0.000150-0.001266 0.000128 0.000000RDSA/XOM-0.004145-0.004069 0.000000-0.003553 0.000000 0.000000TOT/XOM-0.002483-0.002481 0.000000-0.002504 0.000053 0.000000Sum-0.053140-0.0529690.000826-0.041193 0.006868 0.000000表4：η=5·10的平均日收益-5和噪声敏感和噪声鲁棒估计器的各种ζ值。和σ。最后，我们比较了TICK-MLE和TICK-MLE-NR估计量。

图5表明，两个估计员对平均收益及其方差的想法截然不同。如第3.4节所示，当参数估计有偏差时，矩的值会发生很大的扭曲，就像TICK-MLE估计的情况一样。更重要的是，即使分别为每种方法的最小平均利润率ζ和利润率η的最大方差选择最佳阈值，TICK-MLE-NR估计器也明显优于TICK-MLE估计器。这是因为基于TICK-MLE估计器的优化可以找到入口和出口信号的次优值。另一方面，TICK-MLE-NR估计器可以找到最佳值，从而获得更大的收益。这一发现是我们的配对交易应用程序的关键结果。4.5讨论配对交易策略的一个固有特征是其对几乎所有方面的敏感性。文献中发现，该策略对交易成本、执行速度、形成期长度、模型参数随时间的变化、交易证券的多样性和新闻冲击敏感。例如，Bowen等人（2010）、Do和Faff（2012）、Huck（2013）以及Jacobs和Weber（2015）对这些令人不快的特性进行了研究。我们在这个长长的列表中添加了入口对交易策略对市场微观结构噪音的敏感性。未来研究的一个可能方向是在发现交易信号的优化问题中加入参数不确定性。在本研究以及许多其他研究中，包括康明斯和布卡（2012年）、曾和李（2014年）以及G"oncü和Akyildirim（2016年），交易信号的优化基于Ornstein–Uhlenbeck参数的给定值。然而，在现实中，参数值具有相当大的不确定性。

我们认为TICK-MLE估计器TICK-MLE-NR估计器对ζ=0.000ζ=0.009ζ=0.040ζ=0.000ζ=0.009ζ=0.040BP/CVX 5.59 5.59 0.00 4.10 0.14 0.00BP/E 5.89 5.89 0.03 4.39 0.87 0.00BP/PSX 5.99 5.99 0.00 4.25 0.25 0.00BP/RDSA 4.50 4.49 1.73 3.61 0.03 0.00BP/TOT 5.24 5.24 1.47 3.84 0.25 0.00BP/XOM 4.83 4.83 0.00 4.04 0.01 0.00CVX/E 5.94 5.93 0.00 4.37 0.76 0.00CVX/PSX6.05 6.05 0.00 4.25 0.34 0.00CVX/RDSA 5.18 5.17 0.00 3.88 0.12 0.00CVX/TOT 6.35 6.35 0.00 4.29 0.65 0.00CVX/XOM 4.62 4.61 0.00 4.00 0.06 0.03 0.00E/PSX 6.79 6.79 0.00 4.88 2.21 0.00E/RDSA 5.35 5.35 0.00 4.18 0.69 0.00E/TOT 6.28 6.28 1.50 4.52 1.52 0.00E/XOM 4.93 4.89 0.00 4.15 0.12 0.00PSX/RDSA 5.74 5.74 0.00 3.97 0.25 0.00PSX/TOT 6.42 6.42 0.00 4.61 1.39 0.00PSX/XOM 5.47 5.47 0.004.30 0.10 0.00RDSA/TOT 5.11 5.10 1.31 3.91 0.22 0.00RDSA/XOM 4.61 4.59 0.00 4.01 0.00 0.00 TOT/XOM 5.09 5.06 0.00 4.03 0.02 0.00 SUM 115.99 115.84 6.04 87.64 9.96 0.00表5：η=5·10的平均每日交易数-5和噪声敏感和噪声鲁棒估计器的各种ζ值。解决这一问题将提高竞争力的稳定性，并有助于消除不确定贸易机会的模糊性。5结论我们提出了直接考虑市场微观结构噪声的Ornstein–Uhlenbeck过程的三个估计量。对于初始估计，我们提出了闭式矩量法。对于规则间隔观测，我们提出了一种基于过程到ARMA（1,1）过程的重新参数化以及随后通过最大似然或条件平方和方法进行估计的方法。对于不规则间隔的观测，我们提出了一种基于最大似然的方法。我们在仿真研究和实证研究中都表明，所提出的噪声鲁棒估计优于忽略噪声的传统估计。

估计器的行为与处理市场微观结构问题的高频文献一致。我们以纽约证券交易所交易的7家大型石油公司的股票为例，说明了拟议估值器的益处。我们的研究旨在深入了解超高频数据背景下的日内对交易策略。我们表明，基于Ornstein–Uhlenbeck过程参数的拟议估计的策略比基于忽略市场微观结构的有偏估计的策略的稳定性显著提高，尽管我们在实证研究中仅限于成对交易策略，我们发现，当存在市场微观结构噪声时，传统的估计量是有偏差的。我们提出的Ornstein–Uhlenbeck噪声稳健估计可用于时间序列表现出均值回复行为的各种应用，如货币汇率、商品价格、利率和金融资产随机波动的建模。致谢我们要感谢MichalCern'y和TomásCipra的评论以及Alena Holá的校对。

我们还要感谢2017年12月16日至19日在金奈举行的第三届金融统计方法会议和研讨会、2018年1月21日至26日在Rybnik举行的第二十届冬季研讨会以及2019年6月23日至26日在都柏林举行的第三十届欧洲运筹学会议的与会者，他们进行了富有成效的讨论。资助本论文的工作得到布拉格经济大学内部资助机构F4/63/2016项目和捷克科学基金会19-02773S项目的支持。附录我们表明，受高斯白噪声污染的Ornstein–Uhlenbeck过程的条件概率分布是正态分布，矩由（7）给出。为此，我们利用以下命题：P=P，uP=u，σP=σ/（2τ），E=E，uE=0，σE=ω，X=X。命题1。让P~ N（uP，σP），E~ N（uE，σE）和P⊥ E、 设X=P+E。条件概率密度函数为fP（P | X=X）=q2πσC（X）exp(-（p- uC（x））2σC（x）），（74），其中uC（x）=uPσE- uEσP+xσPσP+σE，σC（x）=σPσEσP+σE。（75）证明。P和X的联合概率密度函数由gp给出，X（P，X）=q2πσPexp-（p- uP）2σPq2πσEexp-（十）- p- uE）2σE=q2πσPq2πσEexp-σP+σE2σPσEp+uPσE+xσP- uEσPσPσEp+2xuEσP- uPσE- xσP- uEσP2σPσE.（76）利用高斯函数积分的性质∞-∞经验值-ap+bp+cdp=rπaexpb4a+c, （77）我们得到了边际概率密度函数hx（x）=Z∞-∞gP，X（p，X）dp=q2πσPq2πσEvuutπσp+σE2σpσE×expuPσE+xσP-uEσPσPσEσP+σE2σPσE+2xuEσP- uPσE- xσP- uEσP2σPσE=q2πσP+σE经验值-（uP- x+uE）2（σP+σE）.（78）然后导出条件概率密度函数，即fp（p | X=X）=gP，X（p，X）hX（X）=r2πσpσEσp+σEexp-（p- uP）2σP-（十）- p- uE）2σE+（uP- x+uE）2（σP+σE）=q2πσC（x）exp(-（p- uC（x））2σC（x））。（79）参考Sahalia，Y.，Mykland，P.A.，Zhang，L.2005。