用超高频数据估计Ornstein-Uhlenbeck过程

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英文标题：
《Estimation of Ornstein-Uhlenbeck Process Using Ultra-High-Frequency Data
  with Application to Intraday Pairs Trading Strategy》
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作者：
Vladim\\\'ir Hol\\\'y, Petra Tomanov\\\'a
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  When stock prices are observed at high frequencies, more information can be utilized in estimation of parameters of the price process. However, high-frequency data are contaminated by the market microstructure noise which causes significant bias in parameter estimation when not taken into account. We propose an estimator of the Ornstein-Uhlenbeck process based on the maximum likelihood which is robust to the noise and utilizes irregularly spaced data. We also show that the Ornstein-Uhlenbeck process contaminated by the independent Gaussian white noise and observed at discrete equidistant times follows an ARMA(1,1) process. To illustrate benefits of the proposed noise-robust approach, we analyze an intraday pairs trading strategy based on the mean-variance optimization. In an empirical study of 7 Big Oil companies, we show that the use of the proposed estimator of the Ornstein-Uhlenbeck process leads to an increase in profitability of the pairs trading strategy.
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中文摘要：
当股票价格处于高频时，可以利用更多的信息来估计价格过程的参数。然而，高频数据受到市场微观结构噪声的污染，如果不考虑这些噪声，则会导致参数估计的显著偏差。我们提出了一种基于最大似然的Ornstein-Uhlenbeck过程估计方法，该方法对噪声具有鲁棒性，并利用了不规则间隔的数据。我们还表明，在离散等距时间观测到的受独立高斯白噪声污染的Ornstein-Uhlenbeck过程遵循ARMA（1,1）过程。为了说明所提出的噪声鲁棒性方法的优点，我们分析了一种基于均值-方差优化的日内对交易策略。在对7家大型石油公司的实证研究中，我们表明，使用所提出的Ornstein-Uhlenbeck过程估计量可以提高配对交易策略的盈利能力。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：Uhlenbeck Ornstein Stein 高频数据 Beck

使用LTRA高频数据估算Ornstein–Uhlenbeck过程，并将其应用于日内对价交易策略Vladimír Hol'y经济大学，布拉格温斯顿丘吉尔广场4号，捷克共和国布拉格3号，130 67。holy@vse.czCorresponding捷克共和国布拉格3号布拉格温斯顿丘吉尔广场4号，13067托马诺娃经济大学作者。tomanova@vse.czJanuary2020年1月1日摘要：当股票价格处于高频率时，可以利用更多信息来估计价格过程的参数。然而，高频数据受到市场微观结构噪声的污染，如果不考虑这些噪声，则会导致参数估计出现明显偏差。我们提出了一种基于最大似然的Ornstein-Uhlenbeck过程估计方法，该方法对噪声具有鲁棒性，并利用了不规则间隔的数据。我们还表明，受独立高斯白噪声污染的theOrnstein-Uhlenbeck过程在离散等距时间下遵循ARMA（1,1）过程。为了说明所提出的噪声稳健方法的优点，我们分析了基于均值方差优化的日内配对交易策略。在对7家大型石油公司的实证研究中，我们表明，使用Ornstein–Uhlenbeck过程的拟议估计值可以提高配对交易策略的可行性。关键词：Ornstein–Uhlenbeck过程、高频数据、市场微观结构噪音、对价交易。JEL代码：C22、C58、G11.1简介在金融领域，许多不同的时间序列往往会随着时间推移移动到其平均值。这种行为被称为均值回归，通常被奥恩斯坦-乌伦贝克过程所捕获（乌伦贝克和奥恩斯坦，1930）。它可以用来模拟货币汇率（Ball和Roma，1994）和商品价格（Schwartz，1997）。

Ornstein–Uhlenbeck过程的一个主要应用是通过所谓的Vasicek模型对利率进行建模（Vasicek，1977）。Ornstein–Uhlenbeckprocess也可用于模拟金融资产的随机波动性（Barndorff-Nielsen和Shephard，2001）。另一个应用是称为配对交易的交易策略（Elliott et al.，2005）。在分析金融高频数据时，可以使用Ornstein–Uhlenbeck过程。Engle（2000）创造了一个术语超高频数据，指的是为每笔交易记录的间隔不规则的财务数据。虽然这些数据可以聚合到某个固定的频率（例如一分钟），但并非没有信息损失。A"it-Sahalia等人（2005年）建议使用尽可能多的观测。通常，高频时间序列，无论是不规则的还是有规律的，都表现出特定的特征，如重尾分布、跳跃的存在和市场微观结构噪音。在Ornstein-Uhlenbeck模型中，前两个特征通常是通过将背景驱动过程推广到Levy过程来获得的（Barndorff-Nielsenand Shephard，2001）。我们关注围绕市场微观结构噪音的挑战。通常，对数价格假设遵循半鞅（Delbaen和Schachermayer，1994）。然而，当价格在较高频率下观察时，很明显，半鞅受到市场微观结构噪声的污染。这种噪声具有相对较小的方差，但使波动性的标准度量（如已实现方差）存在明显偏差。市场微观结构噪音的原因包括买卖反弹、价格值的离散性、价格变化的离散性、信息效应和记录错误。

通常，噪声具有丰富的结构，例如对价格过程的依赖性和对时间的依赖性（参见Hansen和Lunde，2006）。在高频迭代中，提出了许多对噪声具有鲁棒性的二次方差和综合方差估计方法。非参数方法包括Zhang等人（2005）的双尺度估计、Barndorff-Nielsen等人（2008）的简化核估计和Jacodet等人（2009）的预平均估计。虽然非参数方法在文献中占主导地位，但a"it-Sahalia等人（2005年）使用参数方法估计维纳过程参数。本文在独立高斯噪声存在的情况下，估计了高斯Ornstein-Uhlenbeck过程的参数。我们表明，忽略噪声的方法估计的Ornstein–Uhlenbeck参数是有偏差的和不一致的。我们认为，这是由于在离散等距时间内观察到的受独立高斯白噪声污染的Ornstein-Uhlenbeck过程遵循ARMA（1,1）过程而不是AR（1）过程。我们利用这一发现，提出了一种基于ARMA（1,1）重参数化的噪声鲁棒估计器。我们还处理了观测值不等距的情况，并提出了一种基于最大似然的噪声稳健性估计器。对于初始估计，我们使用动量法和噪声稳健规范。作为Ornstein-Uhlenbeck过程的一个应用，我们分析了配对交易策略。这使我们能够评估噪声稳健估值器相对于传统噪声敏感估值器在利润方面的附加值。配对交易背后的理念在于利用失衡的金融市场。

当一些价格对在长期内表现出强烈的相似性，并且它们目前离均衡状态已经足够远时，交易者可能会通过在一种证券上多头仓位，在另一种证券上空头仓位来获利。当价差恢复到平均水平时，持仓结束，利润下降。通常，交易两种类似商品（如西德克萨斯中质原油和布伦特原油）或同行业公司的两支股票（如可口可乐公司和百事可乐公司）。成对交易可以进一步推广到证券组的交易。配对交易中有三种常用的方法：距离法（Gatev et al.，2006；Bowen et al.，2010；Rinne和Suominen，2017），协整法（Vidyamurthy，2004；Peters et al.，2011；Miao，2014）和随机扩散法（Elliott et al.，2005；Cumminsand Bucca，2012；G"oncü和Akyildirim，2016）。随机价差法的重点更多地是对给定证券对的时间序列分析，而不是证券的选择。通常，扩散过程由具有离散时间的均值回复自回归过程或具有连续时间的theOrnstein-Uhlenbeck过程建模。然后以非最佳方式生成入口和出口信号。有关巴黎交易文献的全面回顾，请参见Krauss（2017）。一些研究关注日内配对交易。即，Bowen et al.（2010）分析了60分钟数据、Dunis和Lequeux（2000）30分钟数据、Miao（2014）15分钟数据、Peters et al.（2011）10分钟数据和Liu et al.（2017）5分钟数据。然而，这些研究都没有利用超高频数据。

因此，我们的目标是深入了解超高频数据背景下的配对交易策略。我们遵循基于Ornstein–Uhlenbeck过程的随机扩散方法。正如Bertram（2009、2010）所述，我们使用过程的第一次通过时间来找到最佳交易信号。当Bertram（2009、2010）在最大预期收益和最大夏普比率方面优化策略时，我们关注均值-方差优化。在我们的研究中，我们分析了在纽约证券交易所（NYSE）交易的7家大型石油公司的股票。我们证明，即使噪声的方差相对较小，人们会简单地决定忽略它，这在实践中很常见，但它对估计参数有很大的影响。市场参与者对这种有偏见的估计的依赖可能会导致错误的决策，并产生有害的后果。这一缺陷在于，估计的参数乍一看可能是可靠的值，但实际上比真实值高出数倍。我们发现，使用Ornstein–Uhlenbeck过程的拟议估计器，并正确处理市场微观结构噪音，可以显著提高配对交易策略的可行性。本文的结构如下。在第2节中，我们概述了Ornstein–Uhlenbeck过程的基本性质，提出了三种噪声鲁棒估计，并在仿真研究中对它们进行了比较。在第3节中，我们回顾了Ornstein–Uhlenbeck过程的首次通过时间，并提出了基于均值-方差优化的配对交易策略。在第4节中，我们通过对7家大型石油公司的实证研究，说明了传统噪声敏感估计器的偏差以及提出的噪声稳健估计器的益处。

我们在第5.2节Ornstein-Uhlenbeck过程的估计中总结了本文≥ 0是一个满足随机微分方程dpt=τ（u）的过程- Pt）dt+σdWt，（1）其中wt是维纳过程，u是表示长期平均值的参数，τ>0是表示反转速度的参数，σ>0是表示瞬时波动率的参数。此随机微分方程的解为Pt=Pe-τt+u（1- e-τt）+σ中兴通讯-τ（t-s） dWs。（2） 假设P时~ N（u，σ/2τ）和P⊥ 重量，t≥ 0时，Ornstein–Uhlenbeck过程为正态分布增量和无条件动量的稳态过程se【Pt】=u，var【Pt】=σ2τ，cov【Pt，Ps】=σ2τe-τ| t-s |，t 6=s.（3）对于给定的初值p，Ornstein–Uhlenbeck过程是一个具有正态分布增量和条件动量se[Pt | p=p]=pe的非平稳过程-τt+u1.- e-τt,var[Pt | P=P]=σ2τ1.- e-2τt,cov[Pt，Ps | P=P]=σ2τe-τ| t-s|- e-τ（t+s）, t 6=s.（4）在实践中，我们没有观察到过程的连续路径。相反，我们只在有限的离散时间0=T<T<…<Tn=1，其中t表示观测的确定性时间。在不丧失一般性的情况下，我们将自己限制在时间间隔[0，1]内。我们进一步假设观察到的过程受到独立白噪声Ei的污染~ N（0，ω）。对于观察到的离散过程Xi，我们使用加性噪声模型Xi=PTi+Ei，i=0，n

（5） 假设P时~ N（u，σ/2τ）和依赖于WTi的pin，i≥ 0，观察到的过程Xi是一个具有正态分布增量和无条件动量se【Xi】=u，var【Xi】=σ2τ+ω，cov【Xi，Xj】=σ2τe的静态过程-τ| Ti-Tj |，i 6=j.（6）对于给定的X，观察到的过程Xi是一个具有正态分布增量和条件动量se[Xi | X=X]=E[P | X=X]E的非平稳过程-τTi+u1.- e-τTi,var[Xi | X=X]=var[P | X=X]e-2τTi+σ2τ1.- e-2τTi+ ω、 cov[Xi，Xj | X=X]=var[P | X=X]e-τ（Ti+Tj）+σ2τe-τ| Ti-Tj公司|- e-τ（Ti+Tj）, i 6=j，（7），其中e[P | X=X]=Xσ+2τ|Μωσ+2τω，var[P | X=X]=σω+2τω。（8） 附录中导出了该条件分布。让我们分析一下这样的情况，即我们假设观察结果遵循Ornstein–Uhlenbeckprocess Pti，但它们实际上遵循嘈杂的过程Xi。从（3）和（6）中，我们得到了无条件矩Tse【Xi】=E【PTi】，var【Xi】=var【PTi】+ω，cov【Xi，Xj】=cov【PTi，PTj】，i 6=j。（9）这意味着对Xi的期望值的无偏估计也是对PTi的期望值的无偏估计。这同样适用于SIAN的自方差函数和PTi的自方差函数。相反，Xi方差的无偏估计是PTi方差的正偏估计。因此，自相关函数cor[Xi，Xj]=cor[PTi，PTj]-2τωσ+2τωe-τ| Ti-Tj |，i 6=j（10）也不同于PTi的自相关函数。综上所述，过程的误判不会影响无条件期望值和自相关估计，但会影响条件方差和自相关估计。我们的目标是估计Ornstein–Uhlenbeck过程Pti的参数u、τ、σ，以及观察过程Xi中市场微观结构噪声Ei的参数ω。

为此，我们提出了矩估计、极大似然估计和估计的方法，将噪声作为ARMA（1,1）过程的离散化Ornstein-Uhlenbeck过程参数化。2.1矩量法矩量法基于随机变量矩的理论值与其有限样本估计值的关联。矩量法的优点在于它的简单性和闭式解。它通常被用作更复杂方法（如最大似然估计）的初始解。在本节中，我们假设观测时间等于空间和时间- Ti公司-1=n-首先，我们推导了无噪声等距离采样的Dornstein–Uhlenbeck过程的传统矩量法。由于我们需要估计参数u、τ和σ，我们利用了三个无条件矩E[PTi]，var[PTi]和cov[PTi，PTi-1] 如（3）所示。我们可以使用观测值pT，pT，…，估算这些力矩，pTnasM1，n=n+1nXi=0pTi，M2，n=nnXi=0（pTi- M1，n），M3，n=n- 1nXi=1（pTi- M1，n）（pTi-1.- M1，n），（11）通过求解方程se[PTi]=M1，n，var[PTi]=M2，n，cov[PTi，PTi-1] =M3，n，（12）我们得到了估计值^u=M1，n，^τ=n logM2，nM3，n，^σ=2nM2，nlogM2，nM3，n。（13）我们说明了当Ornstein–Uhlenbeck过程被标准偏差ω的白噪声污染时，矩量法的偏差。参数u可以通过样本平均值进行一致估计。对于其他两个参数，情况更为困难。参数τ可使用方程τP，n=n logvar[PTi]估计-1] cov[PTi，XTi-1]= -n log cor[PTi，PTi-1].（14） 矩量法用样本相关性代替该方程中的理论相关性来估计τ。

然而，如果实际过程遵循Xi，等式（14）不成立，相反，我们有τX，n=n logvar【Xi-1] cov[Xi，Xi-1]= -n log cor[Xi，Xi-1]= -n日志σσ+2τωe-τ（Ti-Ti公司-1)= τP，n- n对数σ+2τω。（15） 估计τX，nis是观测次数的函数，对于n→ ∞ 线性偏离到单位。类似地，参数σ可以使用方程σP估计，n=2nvar[PTi]logvar[PTi-1] cov[PTi，XTi-1]= -2nvar[PTi]log cor[PTi，PTi-1].（16） 当过程有噪声时，我们有σX，n=2nvar[Xi]logvar[Xi-1] cov[Xi，Xi-1]= -2nvar[Xi]log cor[Xi，Xi-1]= -2n个σ2τ+ ω日志σσ+2τωe-τ（Ti-Ti公司-1)= σP，n+2τω- 2n个σ2τ+ ωlogσσ+2τω，（17）10203040500 1000 2000观测次数参数值噪声方差01e-091e-081e-07反转速度偏差1e-042e-043e-044e-045e-040 1000 2000观测次数参数值噪声方差01e-091e-081e-07方差偏差图1：参数u=1、τ=10、σ=10的函数τX、nandσX、nw的偏差-4和ω的各种值。对于n，其也线性发散到单位→ ∞. 图1显示了τX和σX的偏差。接下来，我们提出了考虑市场微观结构噪声的矩估计方法。在矩估计方法的噪声鲁棒变量中，我们还需要估计噪声的标准偏差ω。当我们估计观测过程Xi的四个参数时，我们利用四个无条件矩E【Xi】、var【Xi】、cov【Xi、Xi-1] 和cov[Xi，Xi-2] （9）中规定。我们可以使用观测值x，x，…来估计这些力矩。