Lee-Carter方法预测秘鲁人口死亡率

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英文标题：
《Lee-Carter method for forecasting mortality for Peruvian Population》
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作者：
J. Cerda-Hern\\\'andez and A. Sikov
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this article, we have modeled mortality rates of Peruvian female and male populations during the period of 1950-2017 using the Lee-Carter (LC) model. The stochastic mortality model was introduced by Lee and Carter (1992) and has been used by many authors for fitting and forecasting the human mortality rates. The Singular Value Decomposition (SVD) approach is used for estimation of the parameters of the LC model. Utilizing the best fitted auto regressive integrated moving average (ARIMA) model we forecast the values of the time dependent parameter of the LC model for the next thirty years. The forecasted values of life expectancy at different age group with $95\\%$ confidence intervals are also reported for the next thirty years. In this research we use the data, obtained from the Peruvian National Institute of Statistics (INEI).
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中文摘要：
在本文中，我们使用Lee-Carter（LC）模型对1950-2017年间秘鲁女性和男性人口的死亡率进行了建模。随机死亡率模型由Lee和Carter（1992）提出，并被许多作者用于拟合和预测人类死亡率。奇异值分解（SVD）方法用于估计LC模型的参数。利用最佳拟合自回归综合移动平均（ARIMA）模型，我们预测了未来30年LC模型的时间相关参数值。还报告了未来30年不同年龄组的预期寿命预测值，置信区间为95\\%$。在这项研究中，我们使用的数据来自秘鲁国家统计研究所（INEI）。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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关键词：Carter CART Lee ART 死亡率

arXiv:arXiv:0000.0000LEE-CARTER预测秘鲁人口死亡率的方法J.Cerda Hern\'andez和A.SikovNational Engineering University在这篇文章中，我们使用Lee-CARTER（LC）模型模拟了1950-2017年间秘鲁女性和男性人口的死亡率。随机死亡率模型由Lee和Carter（1992）提出，并被许多作者用于拟合和预测人类死亡率。奇异值分解（SVD）方法用于估计LC模型的参数。利用最佳拟合的自回归综合移动平均（ARIMA）模型，我们预测了未来三十年LC模型的时间相关参数值。还报告了未来三十年不同年龄组的预期寿命预测值（95%置信区间）。在这项研究中，我们使用的数据来自秘鲁国家统计研究所（INEI）。1、简介。死亡率是精算学、人口学、国家规划和社会保障管理领域的一个重要变量。死亡率通常被视为人口总体福利的指标。死亡率在相对较短的时间内发生巨大变化，可能会给人口统计学家和精算师带来许多挑战。例如，在秘鲁禽流感病例中，死亡率在过去几十年中大幅下降。具体而言，根据世界卫生组织卫生统计数据2014，从1990年到2012年，出生时预期寿命普遍增加了6年（2012年为77岁，而1990年为71岁）。这就需要开发预测死亡率和预期寿命的方法。

预测未来死亡率对于寿险公司和年金提供商尤其有用，他们在定价计算中使用这些预测死亡率。显然，系统性低估寿命风险最终可能导致这些公司的财务崩溃。例如，如果死亡率上升，人寿保险公司需要比预期更早支付死亡抚恤金。这意味着死亡率的急剧下降给提供人寿合同和人寿年金的保险公司带来了非常严重的财务风险。关键词和短语：Lee-Carter（LC）模型、死亡率建模、预测、预期寿命、奇异值分解（SVD）。2 J.CERDA HERNANDEZLee和Carter【1】介绍了第一个随机预测死亡率模型。LC模型是一个双因素模型，其中包括每个年龄组的两个年龄特定参数，以及随时间变化的影响，因此所有年龄特定的中心死亡率趋势随时间具有相同的随机演变模式。通过包括不同的因素，对基本Lee-Carter模型进行了几次扩展。Maindonald和Smith【12】都考虑了Lee Carter的多因素年龄段延长，Renshaw和Haberman【13】提出了一个具有队列效应的模型，并且【14】在死亡率模型中使用了logit变换。本研究的主要目的是建立预测秘鲁不同年龄组死亡率和预期寿命的LC模型。我们使用1950年至2017年的生命表数据。每5年测量一次中心死亡率。基于LC模型，我们预测了从2020-2025年开始的未来六个五年期间不同年龄组的中心死亡率和预期寿命值。论文的其余部分组织如下。

在下一节中，我们描述了从INEI获得的数据，并简要讨论了秘鲁的人口密度模式。在第3节中，我们介绍了Lee-Carter模型，并描述了估计和预测过程。在第4节中，我们报告了Lee-Carter模型与秘鲁数据的拟合结果。在第5节中，我们给出了预测结果。第6节概述了一些结论。2、数据说明。秘鲁国家统计研究所（INEI）提供了1950年至2017年的特定年龄中心死亡率。每个年龄组有14项测量：第一项测量是指1950-1955年期间，第二项测量是指1955-1960年期间，依此类推。最后一次测量基于2017年11月在秘鲁进行的CENSUS（简称2015-2020年前）。数据可用于18个年龄组：0、1-4、5-9、10-14、，。。。，75-79和80+。不幸的是，这种数据布局不足以推导出一些涉及生命意外事件的货币函数，因为这通常需要了解每一岁的死亡概率。对于高龄死亡率，INEI没有详细信息；唯一可用的信息是80岁以上年龄组的中心死亡率。存在各种高龄死亡率预测模型（参见示例【16】、【15】），然而，对高龄死亡率行为的分析并不是本研究的重点。表9和表10列出了用于实施LC方法的原始数据。建模和预测死亡率3图1。秘鲁男性人口的中心死亡率。图2：。

秘鲁女性人口的中心死亡率。图1和图2显示了1950-1955年、1970-1975年、1990-1995年和2015-2020年4个不同时期秘鲁女性和男性人口的特定年龄组中心死亡率。这些数据清楚地表明，随着时间的推移，秘鲁男女人口的死亡率都显著下降。人们还可以观察到，在较年轻的年龄组中，死亡率的下降更为温和。对于女性人口，我们观察到，与1950年至1975年和1995年至2015年期间相比，1970年至1995年期间，10至40岁年龄组的死亡率下降更快，而对于上述期间的男性人口，下降趋势是一致的。我们还可以得出结论，在1950年至1975年以及1975年至1995年期间，与老年组相比，5至40岁年龄组出现了更为温和的下降。在1995年至2015年的最后一段时间内，所有年龄组的降幅大致相同。根据死亡率表上的数据，我们计算了几个年龄组所有可用5年期间女性和男性人口的预期寿命。结果如图3和图4所示。图中显示了所有年龄组男性和女性人口的预期寿命增长：从婴儿的急剧增长（2017年为72.5岁和77.8岁，1950-1955年分别为42.9岁和45.0岁）到75-79岁年龄组的适度增长（2017年为10.4岁和12.1岁，而1950-1955年为5.8岁和6.1岁）。人们还可以观察到，在1950年至1960年期间，秘鲁女性和男性出生时的预期寿命与20-24岁年龄组的预期寿命非常接近。这可以用这十年婴儿死亡率高来解释。3、Lee-Carter模型。

让mx，tdenote为年龄组x在五年期间t的中心死亡率，其中x∈ {0, 1 - 4, 5 - 9, 10 - 14, 15 - 19, 20 - 24, 25 - 29, 30 - 34, 35 - 39, 40 -44, 45 - 49, 50 - 54, 55 - 59, 60 - 64, 65 - 69, 70 - 74, 75 - 79、80+}和T∈ {1950 - 1955, 1955 - 1960, 1960 - 1965, 1965 - 1970, 1970 - 1975, 1975 -1980, 1980 - 1985, 1985 - 1990, 1990 - 1995, 1995 - 2000, 2000 - 2005, 2005 -2010, 2010 - 2015, 2015 - 2020年}LC模型使用中心死亡率的自然对数来衡量年龄和时间效应，定义为（3.1）rx，t=ln（mx，t）=αx+βxkt+εx，其中αx表示按年龄描述平均年龄特定模式的系数，kt表示一般死亡率的时变指数，βxdenotes是衡量ln（mx，t）建模和预测死亡率敏感性的系数5图3。1950-2017年选定年龄组秘鲁女性人口的预期寿命（年）图4。1950-2017年间秘鲁男性人口在所选年龄组的预期寿命（以年为单位）6 J.CERDA HERNANDEZat x年龄组改变指数kt（注意，d ln（mx，t）/dt=βxdkt/dt）和εx，这是一个误差项，假定遵循平均值为零的正态分布，并且与年龄和时间无关。LC模型中的βxkt一词反映了特定年龄死亡率随时间变化的联合趋势。由于模型中未包含解释变量，因此无法通过回归方法调整模型。此外，该模型无法识别（见Lee和Carter，1992）。为了解决这个问题，作者使用了以下约束：Ptkt=0和pxβx=1。FirstConstraint表示αxis等于ln（mx，t）随时间的平均值。也就是说，αx=TTXt=1ln（mx，t），其中t表示可用时间段的数量（在我们的例子中，t=14）。

因此，根据以平均值为中心的对数死亡率erx，t=rx，t改写模型-rx，t。由于LC模型的实际使用隐含地假设扰动εx，皮重为正态分布，因此方程（3.1）可以表示为中心年龄模型的乘法固定效应模型：（3.2）erx，t~ Nαx，σerx，t=βxkt，其中参数^αx=E（erx，t）被解释为x岁时的平均体重模式。利用模型的约束条件，我们得到了kt的估计值，kt=Pxln（mx，t）- ^αx.区分（3.1）的两侧，我们得到βx的anestimate，^βx=( ln（mx，t）/t）/(千吨级/t） 。为了估计LC模型的参数，Lee和Carter使用矩阵Mx的奇异值分解（SVD）（见[17]，[18]），t=ln（Mx，t）- αxto获得βx和kt：（3.3）svd（Mx，t）=rXi=1λiUx，iVi，twhere r=秩（Mx，t），{λ≥ λ≥ · · · ≥ λr}是Mx、t、Ux、i和Vt的有序奇异值，i是左右奇异向量。利用低阶近似理论，得到（3.3）的秩h最小二乘近似为（3.4）M（h）x，t=hXi=1λiUx，iVi，t=hXi=1β（i）xk（i）t，h≤ r建模和预测死亡率7，其中β（i）xk（i）t=λiUx，iVi，t（有关更多详细信息，请参见[19]、[17]和[18]）。然后，与（3.3）相关的秩h残差为εx，t=rXi=h+1λiUx，iVi，t=U0 · · · 0 · · · 0 · · · 0.....................0··λh+1··0··0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。0··0··λr··0Vand相应的秩h近似最小二乘误差为εh=Pri=h+1λi，这意味着误差具有相似的方差。然而，死亡率数据违反了这一假设：对数中心死亡率的方差约为V ar（ln（mx，t））≈ 1/dx，t，其中dx，tdenote时间t时x年龄组的死亡人数（详情参见[20]）。

由分解（3.3）的第i项λiUx，iVi，tof解释的方差比例由λi/Prj=1λj给出，由秩近似解释的总方差为σh=Phi=1λi/Prj=1λj。很明显，0≤ σh≤ 1，该值越接近1，近似值越好。例如，对于美国数据，Lee和Carter[1]将SVD近似值限制为一阶M（1）x，t≈ λUx，1V1，t=β（1）xk（1）tand获得总人口的解释方差σ=92.7%。使用LC模型预测死亡率减少到使用时间序列方法预测指数kt（见[21]）。LC模型与秘鲁死亡率数据的拟合。本节根据1950-55年至2015-20年期间的死亡率表，介绍了前一节所述的秘鲁男女人口LC模型参数估计结果。表1中报告的年龄依赖性参数αx和βx的估计值以及表2中报告的时间依赖性参数k的估计值将SVD应用于矩阵Mx，t，我们通过拟合的LC模型分别获得了秘鲁女性和男性死亡率数据98.73%和98.77%的解释方差。在图5和图6中，我们绘制了19501955年、1970-1975年、1990-1995年和2015-2020年四个时期观察到的特定年龄组的中心死亡率。所得结果表明，通过拟合LC模型得出的拟合死亡率通常非常接近男性和女性人口的观察（实际）死亡率，尽管在1990-1995年期间，15-19岁和20-24岁年龄组女性的估计死亡率略高于实际死亡率。新生儿也有一些小的差异。图5：。

秘鲁女性人口的实际和拟合年龄组特定中心死亡率。图6：。秘鲁男性人口的实际和拟合年龄组特定中心死亡率。建模和预测死亡率9在表3和表4中，我们根据选定四十年的固定LC，给出了LE的实际值及其估计值。表1基于五年一次的死亡率（1950-55至2015-20）年龄组的秘鲁人口αx和βx估计值女性男性αxαxαxβxβx0-2.8535 0.0825-2.6463 0.09461-4-4.7967 0.0963-4.6714 0.10925-9-6.4206 0.0789-6.2496 0.083810-14-6.9271 0.0768-6.7344 0.074115-19-6.5770 0.0772-6.3082 0.071720-24-6.2901 0.0747-5.8756 0.069925-29-6.1192 0.0699-5.7764 0.058530-34-5.9718 0.0627-5.6453 0.055435-39-5.7718 0.0545-5.4624 0.049240-44-5.5531 0.0459-5.1991 0.047045-49-5.3026 0.0371-4.9001 0.040850-54-4.9664 0.0355-4.5534 0.038255-59-4.5889 0.0327-4.1751 0.034560-64-4.1227 0.0354-3.7713 0.034865-69-3.6327 0.0355-3.3433 0.033670-74-3.1249 0.0382-2.8910 0.036775-79-2.6545 0.0414-2.4385 0.040380+-1.8416 0.0249-1.7508 0.0278秘鲁语表2KTF人口基于五年死亡率表（1950-55至2015-20）t 1950-55 1955-60 1960-65 1965-70 1970-75 1975-80 1980-85^kt（女性）15.826 14.176 12.082 10.216 6.697 3.648 0.777kt（男性）12.598 11.193 9.430 7.864 4 4 4.980 2.637 0.606t 1985-90 1990-95 1995-00 2000-05 2005-10 2010-15 2015-20^kt（女性）-2.195-4.841-7.277-9.920-11.753-13.043-14.391kt（公）-1.448-3.419-5.463-7.473-9.148-10.504-11.853表3和表4中的结果显示，对于所有年龄组的女性和男性人口，LCmodel与数据都有很好的拟合。5、预测。预测通常是死亡率建模的主要目的。

LC模型的显著优势在于其预测中心死亡率和预期寿命未来值的简单性，因为系数ax和βxa的值应该随时间而恒定。因此，为了预测未来值10 J.CERDA HERNANDEZTable 3 1950-1955、1970-1975、1990-1995和2015-2020年期间的观察和估计预期寿命，MalesAgeGroup1950-1955 1970-1975 1990-1995 2015-2020观察估计观察估计观察估计观察估计估计观察估计估计0 42.57 40.79 53.73 54.42 64.33 64.94 72.49 72.321-4 50.24 50.39 59.88 59.90 67.57 67.33 72.91 73.005-9 53.67 54.13 59.91 59 59.76 65.23 65.04 69.68 69.7310-19 50.19 50.58 55 55.72 60.49 64.93 64.9715-19 45.93 46.31 51.07 55.95 55.76 60.09 60.1220-24 41.9642.31 46.81 46.70 51.32 51.14 55.32 55.3525-29 38.40 38.68 42.68 42.59 46.82 46.68 50.65 50.6730-34 34.70 34.87 38.47 38.43 42.35 42.25 46.04 46.0535-39 30.94 31.04 34.29 34.28 37.90 37.83 41.45 41.4540-44 27.17 27.19 30.11 30.15 33.54 33.47 36.92 36.9145-49 23.50 23.46 26.06 26.13 29.27 29.21 32.47 32.4650-54 19.90 19.80 22.12 22.24 25.16 25.09 28.17 28.1655-59 16.47 16.35 18.39 18.54 21.26 21.16 24.03 24.0360-64 13.25 13.10 14.89 15.07 17.64 17.48 20.13 20.1665-69 10.37 10.18 11.71 11.93 14.31 14.09 16.51 16.5670-74 7.83 7.60 8.86 9.14 11.41 11.08 13.24 13.3475-79 5.78 5.52 6.50 6.82 8.90 8.49 10.35 10.4980+4.26 4.06 4.74 5.01 6.78 6.33 7.84 8.01死亡率（和预期寿命）必须预测死亡率指数k（t）的相应值。在实践中，对于k（t）建模，通常适用ARIMA模型。例如，Lee和Carter（1992）对ARIMA（0,1,0）（即。