制度转换跳扩散模型中的期权定价

此外，时间非齐次波动率函数σ：[0，∞) ×X个→ (0, ∞) 被认为是连续的。定理2.2。SDE（2.3）有一个几乎唯一的强解，由t=Sexp给出Zt（u（Xu-) -σ（u，Xu-))du+Ztσ（u，Xu-)dWu+ZtZRln（1+η（z））N（dz，du）. （2.4）此外，该解是正值且平方可积的。上述定理的证明推迟到附录中。推论2.3。（i）贴现资产价格过程*= {S*t} t型≥0由S给出*t： =StBt=exp-Rtrudu公司St，其中S如（2.4）所示，这也是（2.3）的解，可以重写为S*t=S+Ct+Gt，其中G：={Gt}t≥0是G=0且C：={Ct}t的平方可积m鞅≥0可预测的连续变化过程。（ii）条件二次变分过程t 7→ 几乎可以肯定，hgis在[0，T]上严格递增。（iii）C是绝对连续的w.r.t.hGi，密度δC等于bkt给出的平均方差trade of processbK：=RtδC（t）dhGithas有限期望值，即EbKT<∞.证据从（2.3）中，我们直接得到*t=经验值-Ztrudu公司dSt公司- St公司-经验值-Ztrudu公司rt公司-dt=（1/Bt）dSt公司- St公司-rt公司-dt公司=（1/Bt）St公司-ut-dt+σt-dWt+ZRη（z）N（dz，dt）- St公司-rt公司-dt公司=ut-- rt公司-S*t型-dt+σt-S*t型-dWt+S*t型-ZRη（z）N（dz，dt）。（2.5）因此S*t=S+Ct+GT，其中Ct：=Ztuu-- 俄罗斯-+ZRη（z）ν（dz）S*u-du和Gt：=Ztσu-S*u-dWu+ZtS*u-ZRη（z）~N（dz，du），其中S如（2.4）所示，且~N（dz，du）：=N（dz，du）- ν（dz）du是补偿泊松随机测度。G的平方可积性源于S的平方可积性。因此，G的条件平方变化由hgit=Ztσu给出-S*u-du+ZtS*u-ZRη（z）ν（dz）du。由于σ被认为是严格正的，因此hGi是严格递增的。

由δC（t）=dCtdhGit=ut定义的密度δCis-- rt公司-+RRη（z）ν（dz）S*t型-σt-+RRη（z）ν（dz）.ThusEbKT=EZTut-- rt公司-+RRη（z）ν（dz）σt-+RRη（z）ν（dz）dt<∞由于η是有界的，ν是有限的，对于有限的T，inf[0，T]×Xσ（T，i）>0。在上述条件下获得的结果比所谓的结构条件（SC）更严格【28】。我们将在下一节中使用这些结果。我们将以以下观察来结束本小节。Dynkin公式指出，如果{At}t≥0是{（St，Xt，Yt）}t的最小生成器≥0，然后t 7→ ψ（St，Xt，Yt）-ψ（S，X，Y）-RtAuψ（Su-, 徐-, 于-)duis an{Ft}t≥任意ψ的0-鞅∈ C∞c、 用{Mt}t表示上述鞅≥0，我们得到ψ（St，Xt，Yt）=ψ（S，X，Y）+ZtAuψ（Su-, 徐-, 于-)从（2.1），（2.2）和（2.3）中，利用命题2.1（ii），我们得到ψ（s，i，y）=u（i）ss+σ（t，i）ss+yψ（s，i，y）+Xj6=iλij（y）ψ（s，j，0）- ψ（s，i，y）+锆ψ（s（1+η（z）），i，y）- ψ（s，i，y）ν（dz）。在第3节中，我们考虑在时间T处的适当终端条件下，（T，s，i，y）的以下积分-偏微分方程（IPDE）∈ D：=（0，T）×（0，∞) ×X×（0，∞)t+At+r（一）- u（i）+β（t，i）ss^1（t，s，i，y）+ZRβ（t，z，i）- 1.Д（t，s（1+η（z）），i，y）- ^1（t、s、i、y）ν（dz）=r（i）Д（t，s，i，y）（2.6），其中连续函数β（t，i）和β（t，z，i）不依赖于Д，有待选择。2.4无套利风险是市场不稳定的表现。据说，市场存在套利，使投资者在没有初始资本和损失可能性的情况下获得正收益。因此，我们需要检查该模型在一类相当大的可接受策略下是否没有套利（NA）。

来自定理VII。2c。2对于[29]，我们得出，在一类可容许策略下，等价鞅测度（EMM）的存在意味着NFLVR（无风险午餐）意义下的NA。为了确保无套利模式，需要举办EMM展览。EMM通常使用涉及Dol’eans Dade e指数的Rado n-Nikodym过程构建。然而，一般来说，鞅ale的Dol'eans Dadeexponential是一个超级鞅，它给出了一个次概率测度。如果满足Novikov的类型条件，则通过断言随机指数是鞅来解决此缺陷。我们对[23]中的结果进行了分析，以在跳跃扩散环境中获得类似的条件，从而表明大量的Dol’eans-Dade指数是以下引理中的鞅。引理2.4。设Z={Zt}t∈[0，T]是一个适应的过程，定义为：T=expZtφudWu-Ztφudu+ZtZRlnΓu（z）N（dz，du）-ZtZR公司Γu（z）- 1.ν（dz）du, （2.7）式中φ={φt}t∈[0，T]和Γ={ΓT（·）}T∈[0，T]是Γ>0的可预测有界过程。那么Z是P下Z=1的正鞅。证据从（2.7）中可以明显看出，Z>0且Z=1。我们得出以下结论Zt=Zt- Zt公司-= 经验值ZtφudWu-Ztφudu+ZtZRΓu（z）- 1.ν（dz）duexpZ[0，t]ZRlnΓu（z）N（dz，du）！- 经验值ZtφudWu-Ztφudu+ZtZRΓu（z）- 1.ν（dz）duexpZ[0，t）ZRlnΓu（z）N（dz，du）！=Zt-锆Γt（z）- 1.N（dz，{t}）.我们确定yt：=RtφudWu-Rtφudu+RtrlnΓu（z）N（dz，du）-RtRRΓu（z）- 1.ν（dz）du。因此yt=RRlnΓt（z）N（dz，{t}），It^o公式在Zt=exp（yt）上的应用给出，Zt- Z=ZtZu-dyu+ZtZu-d[y]cu+X0<u≤t型祖- 祖-- 祖-于Zt公司- 1=ZtZu-φudWu-ZtZu公司-φudu+ZtZu-ZRlnΓu（z）N（dz，du）-ZtZu公司-锆Γu（z）- 1.ν（dz）du+ZtZu-φudu+X0<u≤子-锆Γu（z）- 1.- lnΓu（z）N（dz，{u}）Zt=1+ZtZu-φudWu+ZtZu-锆Γu（z）- 1.~N（dz，du）。

（2.8）从上面可以看出，Z满意度dzt=Zt-d^Mt，Z=1（2.9），其中^M：={^Mt}t≥0是P-^Mt给出的局部鞅：=ZtφudWu+ZtZRΓu（z）- 1.~N（dz，du）。然而，我们对φ和Γ的求和意味着^M是一个具有跳跃大小的平方可积鞅(M） 大于- 因此，从（2.9）来看，Z是M的Dol’eans-Dade指数，满足[23]定理9中给出的所有条件。因此，应用该理论，我们得出结论，Z是一个正鞅。下面的引理基本上是从[9]的定理3.2中借用来的，它表示了通过上述Radon-Nikodym过程Z构造的新度量Q下基础过程的规律变化。这个结果可以看作是Girsanov定理的一个结果。这个引理对于我们的特定模型来说，在EMM中是有用的。引理2.5。让Q在FTbydQdP=ZT上定义，其中Z如（2.7）所示。然后进程▄W：=W-Q和z·ZR下的R·φuduis-a维纳过程Γu（z）- 1.N（dz，du）- Γu（z）ν（dz）du是Q-关于其自然过滤的鞅。Q下N（dz，dt）的补偿器测度由￠ν（dz，dt）：=Γt（z）ν（dz）dt给出。引理2.5表示▄M（dz，dt）：=N（dz，dt）- ν（dz，dt）是一个关于测度e Q的补偿泊松随机测度。我们使用▄W、▄M和非特定过程φ和ΓtogetdS重写了SDE（2.5）*t型=ut-- rt公司-S*t型-dt+σt-S*t型-dWt+φtdt+ S*t型-ZRη（z）~M（dz，dt）+~ν（dz，dt）=ut-- rt公司-+ σt-φt+ZRη（z）Γt（z）ν（dz）S*t型-dt+σt-S*t型-d重量+秒*t型-ZRη（z）~M（dz，dt）。（2.10）现在我们希望指定Γ和φ，以使S*Q下的鞅。根据引理2.5，当（2.10）中的漂移项为零时，它是可能的。因此我们有ut-- rt公司-+ σt-φt+ZRη（z）Γt（z）ν（dz）=0。（2.11）这是一个具有两个未知量的单方程。因此，（2.11）导致了许多不同的p可能性，对应于满足（2.11）的不同（φ，Γ）对。

我们希望选择一个满足额外关系的关系，以便（2.8）可以表示为dzt=Jt-Zt公司-（σt-dWt+ZRη（z）~N（dz，dt）），z=1（2.12），对于so me有界适应过程J：={Jt}t≥现在通过比较（2.8）和（2.12），我们得到φt=Jt-σt-, 和Γt（z）- 1=Jt-η（z）。因此，通过替换（2.11）中的上述内容，我们得到jtσt=rt- ut-ZRη（z）（1+Jtη（z））ν（dz）=rt- ut-ZRη（z）ν（dz）- JtZRη（z）ν（dz）表示所有t。因此，jt可以写成jt=rt- ut-RRη（z）ν（dz）σt+RRη（z）ν（dz），这导致Γt（z）=rt-- ut--RRη（z）ν（dz）σt-+RRη（z）ν（dz）η（z）+1φt=rt-- ut--RRη（z）ν（dz）σt-+RRη（z）ν（dz）σt-.（2.13）很容易看出，在假设A2下。r（一）-u（i）-RRη（z）ν（dz）σ（t，i）+RRη（z）ν（dz）η（z）>-所有t均为1∈ [0，T]，i∈ X，z∈ R、 引理2.4中φ和Γ的条件成立。我们在整篇论文中假设（A2），并在备注2.1中举例说明其含义。因此，在（A2）下，使用（2.13）和引理2.4，引理2.5中的度量Q是一个与P等价的概率度量。此外，在（2.10）中取代（2.13），给出了SDS*t=S*t型σ（t，Xt-)d▄Wu+ZRη（z）▄M（dz，dt）,Dol’eans Dade指数，根据引理2.5和[23]的定理9，它是Q下的正鞅。因此，我们证明了以下定理。定理2.6。在（A2）下，将（2.7）中（2.13）的φtandΓt（z）值替换为引理2.5中给出的等价鞅测度Q。因此，市场是无套利的。备注2.1。文献中的标准假设类似于（A2）。我们参考【30】中的一个实例。但在BSM模型中，或在其政权转换的推广中，不需要这样的假设。可以证明，BSM模型是当前模型的特例，其中资产价格是时间的连续函数，或者换句话说，η等于零。

需要注意的是，如果η≡ 0，（A2）适用于R、u和σ的任何选择，因此不对任何模型参数施加进一步的约束。然而，对于非平凡η，（A2）对漂移系数u进行了限制。也就是说，u（i）-r（一）-RRη（z）ν（dz）η（z）<σ（t，i）+RRη（z）ν（dz）或r（一）-ZRη（z）ν（dz）-σ（t，i）+ZRη（z）ν（dz）/ 最大值（0，-η（z））<u（i）<r（一）-ZRη（z）ν（dz）+σ（t，i）+ZRη（z）ν（dz）/ 所有i、t和z的最大值（0，η（z））。考虑到任何实际风险资产的漂移值都大于理想银行利率的事实，重要的是交叉检查上述上界是否会导致非真实模型假设。为了说明这个上界的含义，我们考虑一个非平凡的例子，其中η（z）=max（min（z，1），-), ν是Lebesgue度量值[-, 1]. 然后RRη（z）ν（dz）=RRη（z）ν（dz）=3/8。因此，如果r（i），则（A2）为真- 3/8 - 2（σ（t，i）+3/8）<u（i）<r（i）- 对于所有i和t，3/8+σ（t，i）+3/8。如果r（i）<9/8和-2 min[0，T]σ（T，i）≤ 对于所有i，u（i）<r（i）+min[0，T]σ（T，i）。这些界限显然不是不切实际的。3定价和最优混合3.1局部风险最小化方法letξtandεtbe时间t时价格分别为Bt的资产中投资的单位数量。时间t时产生的投资组合的价值由vt给出：=ξtSt+εtBt。容许策略定义为可预测过程sπ={πt=（ξt，εt）}t∈[0，T]满足以下条件（i）RTξtdhGit+E（RT |ξT | dCt |）<∞, 式中，G和C与推论2.3相同。（ii）E（εt）<∞,（三）a>0 s.t.P（Vt≥ -一t型∈ [0，T]）=1。

如【17】所示，如果市场是无套利的，在某些条件下，复制可测量的有限方差支付的最优套期保值的存在等同于贴现支付的F-S分解的存在*:= B-表格中的第1个*= H+ZTξH*tdS公司*t+左侧*这里是∈ L(Ohm, F、 P），左侧*:= {左侧*t} t型∈[0，T]是一个平方可积鞅，从零开始，与S的可积部分成直角，ξH*= {ξH*t} t型∈[0，T]满意度（i）。下面给出了上述句子中所示的一组有效条件（更多详情，请参见[28]中的定理3.3）。（i） S鞅部分的条件二次变分*, i、 e.，hGi严格增加，（ii）t 7→ Ctis连续，和（iii）EbKT<∞.这些条件在我们的环境中确实适用。事实上，这些条件中的每一个都是在Coro llary 2.3中确定的。在[17]中，进一步断言最优套期保值π=（ξ，ε）由ξt：=ξH给出*t、 五*t： =H+ZtξudS*u+左侧*t、 εt：=V*t型- ξtS*t、 和Vt：=BtV*Tre表示合同时间t的局部风险最小化价格，具有最终支付效果。因此，对于所提出的市场模型，F-S分解是在局部风险最小化方法下解决定价和套期保值问题的关键。在这方面，我们记得，在早期的章节中，我们构建了一个等价鞅测度（EMM），以证明所提出的模型不允许NFLVR意义上的套利。一旦获得了这样一个风险中性度量，我们当然可以通过对贴现或有权益的条件期望w.r.t.EMM来获得合同的无套利价格。也不难证明，在前面部分中获得的EMM确实是最小鞅测度（MMM）。因此，由此获得的价格是当地风险最小化的价格。

通常，也很容易在价格函数上应用it规则来推导价格函数的微分方程。然而，很明显，该函数是否具有应用it'o规则所需的充分规则性并不明显。此外，这些推导也不能回答套期保值问题。由于这些原因，我们在本文中避免了这条路径。INSTEADWE首先考虑了一个特殊方程，并在第4节中确定了经典解的存在性和唯一性。方程式的分析被推迟，只是为了在本节中保持对期权定价的关注。在下一小节中，我们使用该经典解来推导所需的F-S分解。因此，我们得出结论，所考虑的方程确实是价格方程。通过这种方式，我们解决了定价和对冲问题。3.2 F-S分解的推导为了对终端支付为H=K（ST）的期权定价，其中K：[0，∞) → R是Lipschitz连续函数，我们直接在P下导出F-S分解。为此，我们考虑了（2.6）给出的演化问题，终端条件为ν（T，s，i，y）=K（s）。（3.1）需要注意的是，功能参数β（t，i）和β（t，z，i）尚未选择。目前，我们假设存在（β，β）对的非空集合，因此上述进化问题（2.6），（3.1）具有唯一的经典解，集合中每对的线性增长最多。我们用ν表示解决方案∈ C1,2,1（D）。上述断言在《物权法》第3.1条中有明确规定，并在下一节中针对（β，β）的特定相关选择进行了证明。为了符号的简洁，我们表示Д（t，St，Xt，Yt）和φs（t，St-, Xt公司-, 年初至今-) 通过Иtand^1t-S分别。

鉴于前一小节中提到的F-S分解，我们正在寻找一个可预测的过程ξ，使得L：=Z·d（^1uBu）- ξudS*u（3.2）变为平方可积P-鞅与'M正交，S的鞅部分*. 很容易看出\'Mt=Rtσu-S*u-dWu+RtS*u-所有t的RRη（z）~N（dz，du）≥ 如果根据第3.1小节的规定，发现了该过程ξ，则构成了ДTi的最佳套期保值。e、 ，K（ST）和Иt将欧式合同的最低价格定为t时的最小价格，最终支付为t时的K（ST）。然而，可能不存在与β和β的任意选择相对应的任何此类ξ。因此，在适当的时候，我们还将确定β和β的适当选择，以允许存在此类ξ。通过将公式的It^应用于Д（t，St，Xt，Yt），并使用等式。（2.5）和（2.6）我们得到DLT=d（^1tBt）- ξtdS*t型=-rt公司-英国电信^1t-dt+Bt^1t-t+At-^1t-dt+Bt^1t-sσt-St公司-载重吨+BtZ公司^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-~N（dz，dt）+BtdcMt- ξtut-- rt公司-S*t型-dt+σt-S*t型-dWt+S*t型-Zη（Z）N（dz，dt）=h类ut-- rt公司-- β（t，Xt-)S*t型-^1t-s-锆β（t，z，Xt-) - 10吨^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-ν（dz）- ξtut-- rt公司-)S*t型-- ξtS*t型-ZRη（z）ν（dz）idt+σt-S*t型-^1t-s- ξtσt-S*t型-dWt+ZR^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-英国电信- ξtS*t型-η（z）N（dz，dt）+BtdcMt（3.3），其中CMT：=RtRR^1（u，Su-, 徐-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）- ^1u-^（dz，du）和^（dz，dt）：=（dz，dt）- dtdz，补偿泊松随机测度. 因此，L的局部鞅部分等于z·hσu-S*u-^1u-s- ξudWu+ZR^1（u，Su-（1+η（z）），Xu-, 于-) - ^1u-日分- ξ美国*u-η（z）~N（dz，du）+BudcMui。现在，我们找到了一个合适的ξ，使得L与M正交，即对于所有正t，hL，Mit=0，其中h，idenotes the conditional q uatic covariation。

我们注意到二次协变量d[L，\'M]t=σt-S*2吨-^1t-s- ξtdt+S*t型-锆^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-Btη（z）- ξtS*t型-η（z）N（dz，dt）。因此，条件二次协方差DHL，(R)Mit=σt-S*2吨-^1t-s- ξtdt+S*t型-锆^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-Btη（z）- ξtS*t型-η（z）ν（dz）dt。因此，对于所有正tσt，hL，(R)Mi=0-S*2吨-^1t-s+s*t型-BtZR公司^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-η（z）ν（dz）=σt-S*2吨-ξt+S*2吨-ξtZRη（z）ν（dz）保持不变。因此，对于所有t>0的情况，如果ξt选择为ξt=σt，则hL'mit为零-^1t-s+St-RR（右后）^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-η（z）ν（dz）σt-+RRη（z）ν（dz）. （3.4）因此，我们基本上证明了，无论β（t，i）和β（t，z，i）的选择如何，上述ξ的选择使L的局部鞅部分正交于'M。然而，对于L是s平方可积鞅的特殊对（β，β），我们还并没有建立它的存在性。很明显，为了确保L是局部鞅，在（3.3）中dt项的系数应该是零，即0=ut-- rt公司-- β（t，Xt-)^1t-s-ut-- rt公司-ξt-ZRβ（t，z，Xt-) - 第一个-^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-ν（dz）- ξtZRη（z）ν（dz）。如果我们有（ut-- rt公司-) +ZRη（z）ν（dz）ξt=ut-- rt公司-- β（t，Xt-)^1t-s-ZRβ（t，z，Xt-) - 第一个-×^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-ν（dz）。