制度转换跳扩散模型中的期权定价

（3.5）使用（3.4）中ξtas的表达式，上述可重写为ut-- rt公司-+ZRη（z）ν（dz）σt-^1t-s+ut-- rt公司-+ZRη（z）ν（dz）St公司-锆^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-η（z）ν（dz）=σt-+ZRη（z）ν（dz）ut-- rt公司-- β（t，Xt-)^1t-s-σt-+ZRη（z）ν（dz）St公司-锆β（t，z，Xt-) - 1.^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-ν（dz）。我们重新安排条款以获得ut-- rt公司-+ZRη（z）ν（dz）σt-- （ut-- rt公司-)ZRη（z）ν（dz）+β（t，Xt-)σt-+ZRη（z）ν（dz）- （ut-- rt公司-)σt-^1t-s=-St公司-锆ut-- rt公司-+ZRη（z）ν（dz）η（z）+σt-+ZRη（z）ν（dz）（β（t，z，Xt-) - 1)×^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-ν（dz）。如果β和β使得两侧的系数在所有时间t内均为零，则无论解函数如何，上述恒等式均为真。直接计算表明β和β存在，并由β（t，i）给出=u（i）- r（一）RRηdν- σ（t，i）RRηdνσ（t，i）+RRηdνβ（t，z，i）=1-u（i）- r（i）+RRηdνη（z）σ（t，i）+RRηdν。（3.6）因此，我们将β和β的这些值固定在方程（2.6）中。我们需要用β和β的特定相关值分析方程（2.6）。方程式（2.6）的下列定理的证明见第4节。定理3.1。设K为Lipschitz连续且满足（A3）。在（A1）（i）项下，IPDE（2.6）、（3.6）和（3.1）具有唯一的经典溶液Д，几乎线性增长为s；（二）偏导数φsof解是有界的。另一方面，我们在本节的上述推导中建立了（i）和（ii）部分的以下定理。该定理是本文的主要结果。定理3.2。假设（A1）和（A3）。设ν为IPDE（2.6）、（3.6）和（3.1）的唯一经典解，如定理3.1所述。

那么，如（3.4）中所述的可预测过程ξ是这样的：如（3.2）isi）中的L是一个P-局部鞅，ii）与M正交，S的鞅部分*,iii）平方积分鞅。因此，Д（t，St，Xt，Yt）是具有终端支付（St）的合同的本地风险最小化价格，ξ构成最佳套期保值。证据我们已经建立了（i）和（ii）部分，并获得了k（ST）BT=ДTBT=Д+ZTξudS*u+LT（3.7）使用（3.2），ν是（2.6），（3.6）和（3.1）的经典解，最多线性增长。由于S的平方可积性和K的Lipschitz性质，上述方程的左侧表达式在L（P）中，因此右侧也在L（P）中。在三个加性项中，前一个项Д=Д（0，S，X，Y）具有确定性。因此，如果我们证明剩下的两项中的任何一项在L（P）中，那么另一项也在L（P）中。我们注意到φsis有界连续函数，利用中值定理，我们可以导出每个t∈ [0，T]来自（3.4）|ξT |≤sup[0，T]×Xσ（T，i）σ（t，i）+RRη（z）ν（dz）!kφsk公司∞+sup[0，T]×XRRη（z）ν（dz）σ（t，i）+RRη（z）ν（dz）!kφsk公司∞< 2公里φsk公司∞.因此，ξ是一个适用于Ft的有界过程-. 同样，由于S是平方可积的，ξwrtS的积分*on[0，T]在L（P）中。因此，这两个事实都成立了，即ξ是一个可容许策略，L确实是一个平方可积鞅。因此，（3.7）表示所需的F-S分解。因此，根据第3.1.4小节期权价格方程中的讨论结果，我们从方程（2.6）中的参数引理开始。这个引理将用于子问题分析。引理4.1。映射β：[0，T]×X→ 由（3.6）给出的R是有界的和连续的。映射β：[0，T]×R×X→ （3.6）给出的R在z证明中（i）有界且（ii）在t上一致连续。

由于σ是紧集[0，T]上的正值连续函数，对于finet，inf[0，T]×Xσ（T，i）>0。因此，β和β表达式中的分母远离零。因此，使用ν的唯一性和η的有界性，β和β在t中是有界的，也是连续的。同样，由于η是有界的，supz，i |β（t，z，i）- β（t′，z，i）|→ 0为t′→ t、 这就是证明。考虑D上的演化问题（2.6），终端条件（3.1）和β，β根据（3.6）。K的一个典型表达式，如看涨期权的情况，采用K（s，i，y）=（s）的形式- K） +，执行价格是多少。这里K在s中是不可微的，因此在方程中存在的算子的域中是不可微的。因此得到了方程的经典解。（2.6）、（3.1）和（3.6）未得到保证。然而，K属于以下空间v=（ψ：（0，∞) ×X×（0，∞) → R c连续kψkV：=s ups，i，y |ψ（s，i，y）| 1+s<∞).显然，（V，k·kV）是一个由连续函数组成的Banach空间，对于固定的s和i，在y边界上最多线性增长。在本节中，通过分析（2.6）、（3.1）和（3.6）中给出的进化问题的温和解，这是C（[0，T]；V）的一个成员，我们旨在确定进化问题经典解的存在性和唯一性。为此，我们将首先以适合应用抽象进化问题一般理论的方式重写进化问题。然后，我们在推论4.4中建立了连续温和解的存在性和唯一性。为此，我们现在在sameprobability spacedbSt=bSt上引入另一个SDEr（Xt）+β（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt,其中{Wt}t≥0是布朗运动和{Xt}t≥0如（2.1）-（2.2）所示。上述SDE有一个强正连续解，其结果比定理2.2简单得多。实际上，解决方案是由BST=bSexp给出的Zt公司r（Xu）+β（u，Xu）-σ（u，Xu-)du+Ztσ（u，Xu-)dWu公司.

（4.1）解决方案B：={bSt}t≥0连同X和Y一起是强马尔可夫的。我们表示{（bSt，Xt，Yt）}t的整数生成器≥0by{bAt}t≥0由batψ（s，i，y）给出：=y型+r（i）+β（t，i）ss+σ（t，i）ssψ（s，i，y）+Xj6=iλij（y）ψ（s，j，0）- ψ（s，i，y）式中ψ∈ C∞c、 （bS，X，Y）的Feller性质意味着存在一个连续演化系统em（ES）{U（U，t）}0≤t型≤u≤吨C∞与{bAt}t关联≥0（见定义5.1.3【22】）。实际上，对于每个ψ，U（U，t）ψ（s，i，y）由E（ψ（bSu，Xu，Yu）| bSt=s，Xt=i，Yt=y）给出∈ C∞c、 为了解决我们的问题，我们希望确认{U（U，t）}0≤t型≤u≤与{bAt}t相关的V上的连续ES≥这一点以及上述ES的一些可区分性属性如下所示，其证明见本节末尾。引理4.2。假设A1（i）和（ii）。对于任何ψ∈ V和0≤ t<u≤ T，映射ψ（u，T，·，·，·：·）：D→ Rgiven byψ（u，t，s，i，y）：=u（u，t）ψ（s，i，y）具有以下性质。i、 ψ在s中最多呈线性增长，并且在每个固定s的其他变量中都存在。更准确地说，kψ（u，t，·，·，·，·）kV≤ kψkV1+eT支持，t∈[0，T]r（i）+β（t，i）对于所有0≤ t<u≤ T、 二。ψ满足以下积分方程ψ（u，t，s，i，y）=1- F（u- t+y | i）1- F（y | i）Z∞ψ（x，i，y+u- t） α（x；s，i，t，u- t） dx+Zu-tf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞ψ（u，t+v，x，j，0）α（x；s，i，t，v）dxdv（4.2）∈ [0，u），s>0，i∈ X，y>0，其中对于s，i，t和v的每个固定组合>0，mapx 7→ α（x；s，i，t，v）是对数正态分布对数正态分布的概率密度函数ln s+r（i）v+Zt+vtβ（t′，i）-σ（t′，i）dt′，Zt+vtσ（t′，i）dt′.iii.ψ是（4.2）的唯一连续解，其值ψ（u，t，·，·，·，·）在V中表示t∈ [0，u）和u∈ [0，T]。因此{U（U，t）}0≤t型≤u≤与{bAt}t相关的V上的连续ES≥0.iv。

ψ：S0<t<t（t，t）×{t}×（0，∞) ×X×（0，∞)→ R具有连续的二阶偏导数w。r、 t.s和ψ（u，·，s，i，·）在Dt的域中，其中Dt，yθ（t，y）定义为limH→0小时θ（t+h，y+h）- θ（t，y）如果存在限制。此外，Dt，yψ（u，t，s，i，y）是每个>0的有界连续函数。我们可以通过替换Atas的表达式来重写（2.6）t型+y型+r（i）+β（t，i）ss+σ（t，i）ssД（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）^1（t、s、j、0）- ^1（t、s、i、y）+ZRβ（t，z，i）Д（t，s（1+η（z）），i，y）- ^1（t、s、i、y）ν（dz）=r（i）ν（t，s，i，y）。（4.3）因此，使用上述方程式中的表达式，我们有以下进化问题t+bAtД（t）+B（t）Д（t）- RД（t）=0Д（t）=K（4.4）其中，对于每个t∈ [0，T]，Д（T）∈ V，和Д（t）（s，i，y）也写为Д（t，s，i，y）；此外，对于任何ψ∈ V，B（t）ψ（s，i，y）：=RRβ（t，z，i）ψ（s（1+η（z）），i，y）- ψ（s，i，y）ν（dz）和Rψ（s，i，y）：=R（i）ψ（s，i，y）。使用引理4.1，B（t）是每个t的有界线性映射∈ [0，T]和T 7→ B（t）是连续的。这一事实的证明见附录引理A.2。设K在V和f中：[0，T]×V→ V是t中的连续函数，且在V上是一致Lipschitz连续的。【22】的定理6.1.2暗示初值问题^1（t）t=bAtД（t）+f（t，Д（t）），Д（0）=K，有一个唯一的连续温和解，它解出了由以下公式给出的另一个积分方程{U（t，0）K+ZtU（t，U）f（U，Д（U））du，其中{U（t，U）}0≤u<t≤这是与{bAt}t相关的ES∈[0，T]。上述关于终值问题的陈述的明显对应物如下所述。提案4.3。

在A1（i）-（ii）下，对于V中的每个K，演化问题^1（t）t+bAtИ（t）+f（t，Д（t））=0，Д（t）=kha是一种独特的连续温和溶液，它可以解出Д（t）=U（t，t）K+ZTtU（U，t）f（U，Д（U））du，（4.5），前提是f（t，ν）在t中连续，在[0，t]上，并且在ν中均匀Lipschitz连续∈ 五、这里{U（t，U）}0≤u<t≤它与{bAt}t相关∈[0，T]。很容易看出，演化问题（4.4）是上述问题的特例，其中ref（t，ν（t））=（B（t）- R） ^1（t），其中B（t）和R如（4.4）所示。实际上，R是有界线性算子，B是有界线性算子∈ C（[0，T]；B（V）），其中B（V）表示V上有界线性算子的空间（见引理A.2），因此上述f满足命题4.3的条件。因此，使用引理4.2（iii）和（4.5），以下积分方程Д（t）=U（t，t）K+ZTtU（U，t）B（u）- R^1（u）du（4.6）具有连续溶液，该溶液为（4.4）的温和溶液。我们在下面将此作为推论。推论4.4。对于V中的每一个K，在A 1（i）-（ii）下，演化问题（4.4）有一个唯一的连续温和解，它解决了（4.6）。证明了这一点后，必须建立弱解的正则性，以证明弱解确实是次解。这对于{bAt}tare边界操作符或K在bAt域中的情况是直接的。然而，在我们的环境中，这些条件都不是真的。我们只能确认Dt、yand的适用性每个K的子U（T，T）K∈ V使用引理4.2（iv）。虽然已经证明Dt，yU（T，T）K（s，i，y）是有界连续函数，sU（T，T）K不需要有界。特别地，看涨期权的支付函数是K（s，i，y）=（s- K） +因此对于s=K，sU（T，·）K（s，i，y）在（0，T）上是无界的。然而，包括put和call选项的标准支付函数满足以下可积条件。A3。

定义εh（t）：=hU（T，T）K-sU（T，T）K，其中对于每个ψ∈ V和h>0，hψ（s，i，y）：=（ψ（s+h，i，y）- 2ψ（s，i，y）+ψ（s- h、 i，y））/h.L e t K∈ V使Z[0，T）sU（T，T）KVdt<∞,Z[0，T）kεh（T）kVdt→ 或者换言之，U（T，T）K在L（[0，T）；V）中均匀可二次微分。定理4.5。假设me（A1）和（A3）。设Д为（4.6）的连续解，则C（D）中的Д（·）（·，·，·）在s中可二次微分；对于每个s，i，Д（·）（s，i，·）在Dt，y的域中（关于Dt，参见引理4.2（iv））。证明。设Д为IE的连续解决方案（4.6）在质量标志的右侧有两个附加术语。第一项即U（T，T）K在所有T<T的Dt，yf范围内，这一事实源于引理4的直接应用。2（iv）。此外，引理4.2（iv）也暗示了部分导数的连续性。接下来我们证明第二项，即。，ZTtU（u，t）B（u）- Rν（u）du（4.7）也在Dt，y的范围内；导数是连续的。这将建立（4.6）右侧表达的连续差异性，从而建立（4.6）左侧表达的连续差异性。引理4.2（iv）意味着（4.7）的被积函数在Dt、yand和u 7的域中→ Dt，yU（u，t）B（u）-R（t，t）上的ν（u）对于每个s和i都是连续的。因此，通过使用中值定理和支配收敛定理，我们可以很容易地建立Dt，yon（4.7）的适用性。关于Dt，yof（4.7）连续性的论证也是直截了当的。设g（t）：=sU（T，T）K∈ V代表所有0≤ t<t。然后从（A3）g∈ 考虑积分方程w（T）=g（T）+Z[T，T）U（U，T）（B（U）- R） w（u）du，适用于所有t∈ （4.8）L类（[0，T）；V）中上述方程解的存在性和唯一性的证明是标准的，需要直接应用压缩映射定理。

我们进一步确定，wh（t）：=hИ（t）- w（t）。因此，直接计算给出了h（t）=εh（t）+Z[t，t）U（U，t）（B（U）- R） wh（u）du。利用Gronwall不等式，我们得到kWh（t）kV≤ kεh（t）kV+Z[t，t）kεh（r）kVk（B（r）- R） kB（V）exp（Ztrk（B（u））- R） kB（V）du）dr≤ kεh（t）kV+c exp（cT）kεh（·）kL（[0，t）；V），其中c=k（B（·））- R） kC（[0，T]；B（V））。早期，（A3）表示kεh（t）kV→ 0作为h→ 0表示所有t<t。因此，从上方和（A3）kwh（t）kV→ 0以及kwh（·）kL（[0，T）；V）→ 0.T对于ε，IE（4.6）的连续溶液在s中是两次可微分的，导数是w，（4.8）的溶液在L中也是如此。然而，（4.8）的左侧在T中是连续的，因此w也是连续的。定理3.1（i）的证明IPDE（2.6）、（3.6）和（3.1）重写为（4.4）。因此，通过使用推论4.4，IPDE在C（[0，T]；V）中有一个唯一的连续温和解，该解可解积分方程（4.6）。在（A1）和（A3）下，定理4.5意味着该温和解在（2.6）中的算子域中。因此，温和溶液按类别溶解（2.6）。（ii）我们写下ρ（t，s，i，y）的方程：=φs（t，s，i，y），在（4.3）w.r.t.s变量的两侧使用偏导数，使其变低Dt，y+r（i）+β（t，i）+r（i）+β（t，i）ss+σ（t，i）ssσ（t，i）ssρ（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）ρ（t，s，j，0）- ρ（t，s，i，y）+ZRβ（t，z，i）（1+η（z））ρ（t，s（1+η（z）），i，y）- rho（t，s，i，y）ν（dz）=r（i）ρ（t，s，i，y），或Dt，y+r（i）+β（t，i）+σ（t，i）ss+σ（t，i）ssρ（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）ρ（t，s，j，0）- ρ（t，s，i，y）+ZRβ（t，z，i）（1+η（z））ρ（t，s（1+η（z）），i，y）- ρ（t，s，i，y）ν（dz）=-β（t，i）ρ（t，s，i，y）。ρ（T）=K′，其中K′是K的几乎处处导数。现在我们希望确保ρindeed解这个经典的盟友。

为此，我们用以下方式重写上述问题tρ（t）+Atρ（t）+f（t）ρ（t）=0ρ（t）=K′（4.9）带有“f”∈ C（[0，T]；B（V）），其中as{At}是另一个SDE的解的最小生成元，由D'St='St给出r（Xt）+β（t，Xt）+σ（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt在相同的概率空间上，其中X a和W是前向的。设{U（U，t）}0≤t型≤u≤Tbe由“U（U，t）ψ（s，i，y）”给出：=E[ψ（\'Su，Xu，Yu）| St=s，Xt=i，Yt=y]。然后，如引理4.2所示，可以确定“U”确实是V上的连续ES。很容易看出，尽管K′/∈ V，\'U（U，t）K\'定义良好，并且对于任何0都在V中≤ 现在，命题4.3、定理4.5和定理3.1（i）的成功应用确保了（4.9）的一个经典解的存在，该解也被断言为解一个IEρ（t）=u（t，t）K′+ZTt'u（u，t）'f（u）ρ（u）du。赋予V=L∞(0, ∞) ×X×（0，∞)具有本质上确界范数。作为k'U（U，t）ρ（t）kV≤ kρ（t）kV和'fis也在C（[0，t]；B（V）），我们从上述IEkρ（t）kV得到≤ kK′kV+辅助\'∈[0，T]k′f（T′）kB（V）！ZTtkρ（u）kVdu。使用Gronwall不等式kρ（t）kV≤ kK′kVe（支持）∈[0，T]k′f（T′）kB（V））（T- t）≤ kK′kVeT（支持）∈[0，T]k′f（T′）kB（V））<∞对于所有t∈ [0，T]。或者换句话说，φs（·，·，·，·，·）是一个有界函数。引理4.2的证明（i）ψ的可测性来自其作为条件期望的表示。设{FXt}表示流程X产生的过滤。如（4.1）所示。ThenE“BSTBFXt#=E“a.E.limN→∞NYi=1bSTi∧tbSTi公司-1.∧t型FXt公司#≤ 画→∞E“NYi=1bSTi∧tbSTi公司-1.∧t型FXt#，由Fatou引理表示，其中Ti如第2.2节所示，表示X的第i个过渡时间。现在，对于ea chi=1。

，N，bSTi∧tbSTi公司-1.∧在给定FXt的条件下，皮重相互独立，使用（4.1）上述不等式右侧的表达式可以重写为limN→∞QNi=1eRTi∧tTi公司-1.∧t型r（Xu）+β（u，Xu）du，即same0 Tn（t） yt Tn（t）+1u 图1：半马尔可夫过程X0 Tn（t）的最后和下一个跃迁 读卖电视台 Tn（t）+1图2：半马尔可夫过程Xas exp（Rt）的最后和下一个转变r（Xu）+β（u，Xu）du），一个边界随机变量。因此，利用上述观察，我们得到|ψ（u，t，s，i，y）|≤ E（|ψ（bSu，Xu，Yu）| | bSt=s，Xt=i，Yt=y）≤ kψkVE（1+bSu | bSt=s，Xt=i，Yt=y）≤ kψkV+kψkVE埃鲁特r（Xt′）+β（t′，Xt′）dt′| Xt=i，Yt=ys≤ kψkV1+eT supi′，t′∈[0，T]r（i′）+β（t′，i′）s对于所有0≤ t<u≤ T，i∈ X和y≥ 现在使用引理A.1，结果如下。（ii）使用建议2.1中的函数F、F和n（t）以及条件实验的塔特性，对于所有u>tU（u，t）ψ（s，i，y）=E[ψ（bSu，Xu，Yu）| bSt=s，Xt=i，Yt=y]=EhEψ（bSu，Xu，Yu）| bSt，Xt，Yt，Tn（t）+1|bSt=s，Xt=i，Yt=yi=Zv∈ (0,∞)Eψ（bSu，Xu，Yu）| bSt=s，Xt=i，Yt=y，Tn（t）+1=t+vf（y+v | i）1- F（y | i）dv。（4.10）现在对于Tn（t）+1>u（见图1），在[t，u]期间不会发生过渡。因此，如果Ytis是y，那么Yu，年龄u等于y+u- t和状态xu与Xt相同。因此，使用Bs的表达式（4.1），Sugiven{Tn（t）+1>u}和Ft的条件分布是对数正态分布。我们得到的所有v>u- tE公司ψ（bSu，Xu，Yu）| bSt=s，Xt=i，Yt=y，Tn（t）+1=t+v=Z∞ψ（x，i，y+u- t） α（x；s，i，t，u- t） dx，其中α如（4.2）所示。