制度转换跳扩散模型中的期权定价

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英文标题：
《Option Pricing in a Regime Switching Jump Diffusion Model》
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作者：
Anindya Goswami, Omkar Manjarekar, and Anjana R
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper presents the solution to a European option pricing problem by considering a regime-switching jump diffusion model of the underlying financial asset price dynamics. The regimes are assumed to be the results of an observed pure jump process, driving the values of interest rate and volatility coefficient. The pure jump process is assumed to be a semi-Markov process on finite state space. This consideration helps to incorporate a specific type of memory influence in the asset price. Under this model assumption, the locally risk minimizing price of the European type path-independent options is found. The F\\\"{o}llmer-Schweizer decomposition is adopted to show that the option price satisfies an evolution problem, as a function of time, stock price, market regime, and the stagnancy period. To be more precise, the evolution problem involves a linear, parabolic, degenerate and non-local system of integro-partial differential equations. We have established existence and uniqueness of classical solution to the evolution problem in an appropriate class.
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中文摘要：
本文通过考虑基础金融资产价格动态的制度转换跳扩散模型，给出了一个欧式期权定价问题的解。假设这些制度是观察到的纯跳跃过程的结果，驱动利率和波动系数的值。假设纯跳跃过程是有限状态空间上的半马尔可夫过程。这种考虑有助于在资产价格中纳入特定类型的记忆影响。在此模型假设下，得到了欧式路径独立期权的局部风险最小化价格。F \\{o}采用llmer-Schweizer分解证明了期权价格满足一个演化问题，它是时间、股票价格、市场制度和停滞期的函数。更精确地说，演化问题涉及一个线性、抛物、退化和非局部的积分-偏微分方程组。我们在一个适当的类中建立了演化问题经典解的存在唯一性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Option_Pricing_in_a_Regime_Switching_Jump_Diffusion_Model.pdf (370.24 KB)

2022-6-11 05:18:32 上传

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关键词：扩散模型 期权定价 Differential Quantitative Mathematical

制度转换跳变扩散模型中的最优套期保值*Anindya Goswami+Omkar ManjarekarAnjana R§abstract本文通过考虑基础金融资产价格动态的制度转换跳跃差异模型，提出了欧洲期权定价问题的解决方案。假设这些制度是观察到的纯跳跃过程的结果，驱动利率和波动系数的值。假设纯跳跃过程是有限状态空间上的半马尔可夫过程。这种考虑有助于将特定类型的内存影响纳入资产价格。在此模型假设下，得到了欧式路径无关期权的局部风险最小化价格。采用Off¨ollmer-Schweizer分解表明，期权价格满足演化问题，是时间、股价、市场制度和停滞期的函数。更精确地说，进化问题涉及一个线性、抛物线、退化和非局部的积分-偏微分方程组。我们已经在一个适当的类中建立了演化问题经典解的存在性和唯一性。这有助于我们获得最佳对冲。关键词：跳跃微分模型，半马尔可夫过程，局部风险最小化定价，最优套期保值，广义解，积分偏微分方程。分类号：60K15、91B30、91G20、91G60.1简介继1973年Black和Scholes的开创性工作之后，期权估价的理论和实践有大量文献可供参考。与金融资产价格动态的后续经验评估相反，Black-Scholes-Merton（BSM）模型假设了一个恒定增长率和一个恒定或确定性波动系数。

BSM的经典期权定价理论还依赖于完整的市场，在该市场中，每一项或有权益的支付都可以通过一个自我融资的投资组合来复制，该投资组合包括对基础股票的投资以及支付风险较低利率的货币市场账户。因此，投资者可以完全对冲期权的风险。在随后的研究中，为了克服BSM模型的局限性，各种期权估值模型被提出并实施，以适应日益现实的价格动态。这些模型包括随机波动模型、跳跃扩散模型、制度转换模型以及这些模型的组合。这些模型中的市场是不完整的，不可能有完美的对冲。在解决不完全市场中的期权定价问题时，人们选择了多种方法。局部风险最小化方法就是这样一种方法，由F¨ollmer、Sonderman和Schweizer提出[16、25、26、27、28]。为了在这种方法中对冲索赔，寻求一种独特的动态策略，通过允许额外的现金流和持续交易，在到期时复制索赔。这种独特的策略将量化剩余风险（QRR）降至最低，QRR是在一定的约束条件下衡量累计额外现金流的一种方法。这种最小化策略被称为最优套期保值。因此，在一个完整的市场中，自我融资套期保值策略成为最佳套期保值策略，结果为零QRR。

最优套期保值的存在性如【17】所示，相当于*该研究部分得到了塞尔维亚矩阵（MTR/2017/000543）和DST FIST（SR/FST/MSI-105）的支持。+通讯作者：IISER，浦那411008，印度；电子邮件：anindya@iiserpune.ac.in.IISER，浦那411008，印度；电子邮件：omkar。m26@gmail.com.§博茨瓦纳哈博罗内博茨瓦纳大学数学系；电子邮件：anjanarama@hotmail.com.that对特定类别资产价格动态的相关贴现索赔进行F-S分解。近年来，在金融领域，制度转换动力学的应用取得了惊人的进展。这里的模型参数是由一个有限状态连续时间纯跳跃过程驱动的，该过程描述了商业周期的各个阶段。例如，可以参考DiMasi et al.（13）、Guo（21）、Elliott et al.（14）和Siu et al.（30），了解马尔可夫制度转换模型中期权定价理论的发展。利用局部风险最小化方法，在文献[13]和其他许多文献（包括文献[12]和文献[4]）的工作中，证明了制度转换市场中的欧式看涨期权价格满足广义B-S-M偏微分方程。文献[13]中的马尔可夫调制定时切换模型的扩展出现在文献[18]和文献[19]中，其中每个区域的保持时间不限于指数变量，并且区域动力学遵循s-emi-Markov过程。一般来说，半马尔可夫过程可能表现出时间依赖的转移，而时间齐次马尔可夫链或时间内齐次马尔可夫链无法捕捉到这种转移。[7]提供了商业周期持续时间依赖性转变的经验证据。[6]和[11]给出了半马尔可夫调制离散和连续时间模型的标定。

[20]研究了看涨期权价格对半马尔可夫过程转移率校准误差的敏感性。齐次市场中一篮子期权在半马尔可夫调制时间内的价格也可以在[10]中找到，以满足BSM PDE多维版本的扩展。在最近的另一项研究中[5]，带有s emi-Markov切换的局部波动率模型中的期权定价问题是s olve d。上述所有研究都假设资产价格动态中不存在不连续性。不连续资产价格设定的期权价格问题最初在[1、2、9]中解决。读者可能会对不连续资产价格动态的各个方面给出结论。Elliott等人[15]和Su等人的研究。[32]涉及马尔可夫型区域切换的跳跃扩散模型。在Siu【31】中，跳跃强度由连续时间、有限状态、隐马尔可夫链调节。文献[9，32]中采用了F-S分解的方法，但文献[1，2，15，31]中没有采用。虽然提出了期权价格的微分方程，但上述工作中没有关于经典解存在性的论证。据我们所知，没有任何现有模型能够同时捕获资产价格路径的特征、不连续性和依赖于持续时间的制度转换。在本文中，我们首先验证了涉及半马尔可夫机制切换和路径跳跃不连续性的资产价格模型不允许套利机会。众所周知，具有跳跃不连续性的amodel中的参数应满足额外的约束条件，以确保无套利（NA）。我们得到了这样一个适当的条件。此外，我们还构建了一个非平凡的现实例子来满足这种条件。

在建立了NA之后，我们考虑了一个一般的欧洲类型路径独立合同，其中终端支付是最终股票价值的Lipschitz连续函数。这类支付的范围足够广泛，可以包括看涨期权、看跌期权和黄油期权。我们采用F-s分解的方法来确定本地风险最小化定价。虽然这是理论上的标准方法，但当允许资产价格飙升时，问题变得更加微妙。从F-S分解得到的伪最优策略是局部风险最小化的条件需要仔细检查。此外，最小鞅测度下的F-S分解在原测度下可能不会产生F-S分解。我们参考文献[33]，它很好地强调了这一方面。我们适当地得到了市场测度下的F-S分解来构造伪最优策略。随后，伪最优策略被证明是最优的。根据F-S分解，我们已经确定，Lipschitz terminalpayo ff的局部风险最小化价格可以表示为适当进化问题的解决方案。相关方程变成了一个线性、非局部、退化抛物型积分方程组，在受到限制的情况下，给出了BSM-PDE。然而，这个演化问题不具有封闭形式的解，并且与经过充分研究的特例非常不同。文献中用于解决某些特例适定性的方法也不足以处理当前的价格方程。本文中采用的治疗方法也没有立即从integro-PDE文献中的现有结果得出。本文利用半群理论证明了该问题古典解的存在唯一性。

这分两步完成。首先，证明价格方程有一个满足积分方程的连续温和解。然后通过对积分方程的研究，证明了其解是充分光滑的，属于演化方程中微分算子的域。因此，温和的解决方案是解决方程的经典。经典解对于创建最佳hedg非常重要。如果没有对套期保值策略的估计（只能通过分析分类解获得），就无法确定套期保值策略的可接受性。这是推导F-S分解的基本步骤。论文的其余部分组织如下。第2节有四小节。前三部分阐述了资产价格动态，而第四部分建立了无套利条件。第2.3小节末尾介绍了期权价格方程。第三节有两个小节。第一小节简要介绍了在抽象环境中使用F-S分解的局部风险最小化定价。在第3.2小节中，我们推导了特定市场模型下Lipschitz Payoff最终StockValue的F-S分解。在这一部分中，我们使用了期权价格方程经典解的存在唯一性定理。该定理在第4节中被证明是正确的。附录中增加了so计量结果的证明。在第5.2节市场模型2.1概率小空间中，我们以一些结论来结束本文(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是一个完整的过滤概率集，其中过滤满足通常的假设，并且X={1，2，3，…，k}是R的有限子集。设X是一个X值随机变量，Y是一个不确定的gativerandom变量，是可测量的。

我们进一步假设, [0]上的泊松随机测度，∞)×[0, ∞)均匀强度，W：={Wt}t≥0，标准维纳过程，N（dz，dt），泊松随机m测度R×[0，∞) 对于强度ν（dz）dt，其中ν是有限的Borel度量，适用于过滤{Ft}t≥我们取X，Y，, W和N（dz，dt）作为独立的。上述随机变量、过程和措施将用于模拟金融市场资产价格动态的内在随机性。我们首先提出了一个SDE模型，该模型被建模为s e mi马尔可夫过程。由于这种SDE在文学中并不常见，为了自我包容，在第2.3.2.2小节半马尔可夫过程中介绍资产价格动态之前，我们总结了以下子节中的一些相关定义和性质。我们首先回顾了时间齐次半马尔可夫过程或内短半马尔可夫过程的定义，因为我们在本文中不考虑时间不齐次的情况。定义2.1。一个X值进程X={Xt}t≥0定义时间(Ohm, F、 P）称为半马尔可夫过程ifi。几乎每个ω∈ Ohm, X有一条分段常数rcll路径，在递增边界正序{Tn（ω）}n处具有不连续性≥1、安迪。P（XTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn））=P（XTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y | XTn）对于所有j∈ X，y>0，n≥ 0和一些T≤ 0，其中XT：=X。给定半马尔可夫过程X={XT}t≥0，o n X，过渡时间序列T≤ 0<T<T。；如果存在，则X的瞬时转移率函数o是λij的集合：[0，∞) → [0, ∞), i 6=j∈ X，givenbyλij（y）：=limδ→0δPXTn+1=j，Tn+1- 田纳西州∈ （y，y+δ）| XTn=i，Tn+1- Tn>y,我们考虑了一类半马尔可夫过程，它允许上述极限满足以下附加条件。A1。

（i） 对于ea通道i 6=j∈ X，λij：[0，∞) → [0, ∞) 是一个有界、正且连续可微的函数。（ii）如果λi（y）：=Pj6=iλij（y）和∧i（y）：=Ryλi（y）dy，则limy→∞∧i（y）=∞.注意，不可约有限状态连续时间马尔可夫链的瞬时跃迁速率仅为正常数。因此，假设（A1）包括马尔可夫对应物作为特例。在此，我们回顾了[19]中的以下结果。提案2.1。给定集合λ={λij:[0，∞) → (0, ∞) | i 6=j∈ 在满足（A1（ii））的有界可测映射中，在X×[0]上存在一个有限区间I和一个分段线性映射hλ和gλ，∞) ×i如下所示。（i） 耦合随机积分方程组xxt=X+Z（0，t]ZIhλ（Xu-, 于-, z）（dz，du），（2.1）Yt=Y+t-Z（0，t）ZIgλ（Xu-, 于-, z）（dz，du），（2.2）对于所有大于0的t，对于任何给定的（X，Y），都有一个强rcll解（X，Y）∈ X×[0，∞) 这样，解X是X上的半马尔可夫过程，λ是瞬时转移函数，Y给出了处于临界状态的年龄。更准确地说，Yt=t- Tn（t），其中n（t）是（0，t）期间的跃迁次数。（ii）（X，Y）的最小生成元A由Aν（i，Y）给出=φy（i，y）+Pj6=iλij（y）^1（j，0）- ^1（i，y）对于每个函数：X×[0，∞) → 具有有界连续导数的R。（iii）考虑F：[0，∞) ×X个→ [0，1]，定义为F（y | i）：=1- e-∧i（y），其中∧iis如（A1）（ii）所示。在A1（i）下，F（·| i）是一个二次微分函数，并且是保持时间X的条件累积分布函数，假设当前状态为i。（iv）我们定义pij（y）：=λij（y）λi（y），对于j 6=i，对于所有i和y，pii（y）=0。

然后，对于每个i、j和y，pij（y）表示转换到j的条件概率，前提是过程在年龄y.（v）时从i过渡到A1（i）f（y | i）：=ddyF（y | i）有界且连续可微。此外，λij（y）=pij（y）f（y | i）1-F（y | i）适用于所有i 6=j。从上述命题中的（i）开始，y=-T、 然而，为了简单起见，我们假设首字母，即Yis ze ro。这在我们的处理中不会造成一般性的损失。在指数d中，由于假设要遵守这些制度，对于到期时间为τ的期权的估值，在初始年龄非零的情况下，可以将初始时间的值设置为初始年龄y*（说）而不是零，以使Yy*= y*, 或者换句话说，Y=0。因此，新的到期时间T为y*+ τ. 当然，因此T（定义2.1）为零，而Yt∈ [0，t]对于所有t∈ [0，T]。然而，除非在随后的分析中提前说明，否则我们不会确定这一典型选择。2.3资产价格动态本小节介绍了金融市场动态的数学模型。我们认为一个市场有两种类型的证券，一种是无风险的sset，也称为货币市场工具，另一种是arisky资产，称为股票。设X={Xt}t≥0是满足A1和（2.1）-（2.2）的状态空间上的半马尔可夫过程，rt：=r（Xt）是在时间t价格为Bt且B=1的无风险资产的即期利率。然后我们有Bt=eRtrudu。现在让我们：={St}t≥0是风险资产的价格过程，由半马尔可夫调制跳跃扩散模型控制，如下所示St=St-ut-dt+σt-dWt+ZRη（z）N（dz，dt）, （2.3）式中，t>0，S>0，ut：=u（Xt）表示漂移，σt：=σ（t，Xt）表示波动系数，以及有界连续函数η：R→ (-1.∞) 跳跃大小系数。