预期严格无套利与资产基本定理

映射Pt在[Sch04]中扮演着将任意自我融资策略投影到空策略集的角色。在那里，零策略形成了一个线性子空间，这意味着正交部分是自动自融资的。这个属性在这里是不可用的，因此我们不能反对投影，而是更复杂的分解。或者，引理3.3中的分解也可以在portfoliochangesθt的水平上定义- θt-1.∈ L（Rd，Ft）。但是，在引理3.4的证明中，我们必须直接用λ阶论证d。为方便读者，我们回顾了一个关于可测子序列存在性的引理，该引理在以下证明中多次应用（参见，例如[Sch04]和[KS01a]）。引理3.5（引理A.2 of[Sch04]）。让t∈ {0，…，T}。对于序列（fn）n∈N L（Rd×d+，Ft），有一个

因此，请注意随机变量集{kλ-eλk | eλ∈ Xλ}向下。实际上，对于每个λ，λ∈ Xλ，一个有kλ- λk=kλ- λk∧kλ- λk，其中xλ λ： ={kλ-λk≤kλ-λk}λ+{kλ-λk>kλ-λk}λ。因此，存在一系列随机变量（λn）n Xλ使得kλ- λnk→ x P-a.s.forn公司→ ∞. 根据欧几里德范数Rd×的平行四边形定律（例如，参见[AB06]中的引理6.51）和Xλ的凸性，我们得到kλn- λmk=2kλ- λnk+2kλ- λmk- 4kλ-λn+λmk≤ 2kλ- λnk+2kλ- λmk- 4x P-a.s.（3.5）（3.5）表示（λn）n∈n将P-a.s.收敛到L的某个元素（Rd×d+，Ft）。通过xλ的闭度，我们导出了存在性。假设意义上的唯一性也来自估计（3.5）。这意味着映射pta和qt已得到很好的定义，仍需证明它们符合属性。Ad（i）：Letu≥ 0是Ft可测量的随机变量。由于RtandL（Rd×d+，Ft）在与非负Ft可测随机变量相乘的情况下是闭合的，因此我们得到Xuλ={ueλ| eλ∈ Xλ}。然后，断言来自于ptfrom的构造。Ad（ii）：Letλ∈ L（Rd×d+，英尺）。我们有pt（λ）+pt（qt（λ））∈ Rt+Rt Rtandλ-（pt（λ）+pt（qt（λ））=qt（λ）- pt（qt（λ））∈ L（Rd×d+，Ft），通过定义pt，尤其是Rpt（λ）+pt（qt（λ））∈ Xλ。（3.6）在另一个han d上，一个haskλ- （pt（λ）+pt（qt（λ））k=kqt（λ）- pt（qt（λ））k≤ kqt（λ）k=kλ- pt（λ）kP-a.s.（3.7），其中不等式成立，因为pt（qt（λ））是qt（λ）的最佳可逆部分。根据（3.7），（3.6），以及λ分解中最优可逆部分的唯一性，得出pt（λ）+pt（qt（λ））=pt（λ）P-a.s.和thusImage（pto qt）={0}。（3.8）断言紧随（3.8）之后。Ad（iii）：紧跟在（ii）之后。引理3.4的证明。我们必须证明λn→ λP-a.s==> pt（λn）→ pt（λ）P-a.s。

（3.9）通过传递到几乎肯定收敛的子序列，图像（qt）在概率上闭合的性质立即遵循Lemm a 3.3（ii）和（3.9）。为了显示（3.9），我们定义了每个n∈ N Ft可测实值随机变量uN（ω）：=1∧ inf1≤i、 j≤dpt（λ）ij（ω）>0λijn（ω）pt（λ）ij（ω）。（3.10）一个具有unpt（λ）∈ Rtandλn- unpt（λ）∈ L（Rd×d+，Ft），即unpt（λ）∈ Xλn。这意味着我们压缩传递矩阵pt（λ），以将λn分解为可逆部分和不可逆部分（通常不是最优的）。注意，在pt（λ）ij（ω）=0的普通情况下，对于所有（i，j），压缩是无关的，这里e的un（ω）=1。由于pt（λn）是λn的最佳可逆部分，因此kλn- pt（λn）k≤ kλn- unpt（λ）kP-a.s。n∈ N、 （3.11）此外，通过λij≥ pt（λ）ij≥ 所有i为0，j=1，d和λn→ λ、 我们有un→ 1 P-a.s.结合这一点和欧几里德范数的三角不等式，我们得到了atlim supn→∞kλ- pt（λn）k=lim supn→∞kλn- pt（λn）k≤ lim支持→∞kλn- unpt（λ）k=kλ- pt（λ）kP-a.s.，其中不等式遵循fr om（3.11）。因为pt（λ）是λ的最佳r可逆部分，这意味着- pt（λn）k→ kλ- pt（λ）k，n→ ∞, P-a.s.（3.12）为了完成证明，我们定义了Ft可测随机变量ε（ω）：=sup{1/k | k∈N、 kpt（λN）- pt（λ）k（ω）≥ 1/k，对于集合A上严格正的整数n}：={pt（λn）6→ pt（λ）}∈ 然后，我们构造了随机子序列（τk）k∈n通过τ：=0和τk：=inf{n∈ N | N>τk-1，kpt（λn）- pt（λ）k≥ ε} 在A和τk上：=k在Ohm \\ A、 通过构造，我们得到了thatP（kpt（λτk）- pt（λ）k≥ ε, k∈ N | A）=1。（3.13）乘以λn→ λ和0≤ pt（λn）ij≤ λijn，一个有supn∈Nkpt（λn）k≤ supn公司∈NkλNk<∞ 因此，根据引理3.5，存在一个随机子序列（eτk）k∈Nof（τk）k∈Nand和f∈ L（Rd×d+，Ft）s.t.pt（λeτk）→ f P-a.s。

与（3.12）一起，这意味着th在kλ处- fk=kλ- pt（λ）kP-a.s。。此外，我们还有f∈ Xλ。另一方面，通过（3.13），P-A.s上的f 6=pt（λ）。由于pt（λ）是引理3.3意义下λ的唯一最佳可逆部分，如果P（A）=0，并且我们完成了，则这两个性质可以同时保持。备注3.6。我们注意到，为了证明定理2.5，我们只需要一个较弱的断言，即image（qt）在概率上是封闭的。为了证明这一断言，可以将自己限制为λn=qt（λn）的序列，即。，pt（λn）=0，对于所有n∈ N、 上述证明已经用（3.12）完成。我们现在可以证明定理2.5了。正如在《卡巴诺夫·拉索尼·斯特里克》（Kabanov-R'asonyi Stricker）[KRS03]中，我们通过对周期的引导进行论证。关键区别在于，可逆订单被推迟到后期，而不是在同一时期执行和补偿。后者是不可能的，因为空策略不形成线性空间。定理2.5的证明。假设买卖过程（t∏）Tt=0满意度（NAps）。让我们通过t=t，t上的反向归纳来证明- 1.0表示阿提斯以概率闭合。由于ATT与L一致，因此归纳基础t=t微不足道(-KT，FT），其概率是闭合的。归纳步骤t+1 t：我们假设ATt+1在某些t的概率上是闭合的≤ T-我必须证明阿提斯也关门了。因此，设（ξn）n∈Nbe在ATT中收敛到某些ξ的序列∈ 概率L（Rd）。显然，我们可以假设ξn→ ξ几乎肯定会绕过一个子序列。我们必须证明ξ∈ 附件步骤1。根据引理3.1，我们可以写出ξn=TXs=tLs（λns）- rn，n∈ N、 （3.14）式中（λns）N∈N L（Rd×d+，Fs），对于每个s=t，T和（rn）n∈N L（Rd+）。

在ATt+1概率闭合的归纳假设下，我们应用引理3.3将λntinto分解为pt（λnt）+qt（λnt）和thusLt（λnt）=Lt（pt（λnt））+Lt（qt（λnt）），其中pt（λnt）是可逆的，qt（λnt）是纯不可逆的。这意味着Lt（pt（λnt））∈在∩(-收件人+1）。预期严格无套利（NAps）属性意味着∩-收件人+1在+1处∩-收件人+1 ATt+1，因此Lt（pt（λnt））∈ 收件人+1。这允许我们将（3.14）重写为ξn=Lt（qt（λnt））+Lt（pt（λnt））+TXs=t+1Ls（λns）- rn=：Lt（qt（λnt））+xn带xn∈ 收件人+1。因此，从现在起，我们可以假设w.l.o.g.（λnt）n∈N 图像（qt）。第2步。我们的下一个目标是证明p（A）=0，其中A：={lim supn→∞kλntk=∞}. （3.15）通过引理3.5，我们可以传递到一个可测的子序列（τk）k∈对于a.e.ω∈ 对于所有k，Awe的λτk（ω）t（ω）6=0∈ N和limk→∞kλτk（ω）t（ω）k=∞. 然后，通过图像（qt）在与非负Ft可测量标量相乘下的稳定性（见引理3.3（i）），我们发现λnt：=λτntkλτntkAbelongs to Image（qt），此外，我们还需要λns：=λτnskλτntkA∈ 对于s=t+1，…，L（Rd×d+，Fs），T和ern：=rnkλτntkA∈ L（Rd+）。我们有pts=tLs（eλns）- ern=Aξτn/kλτntk→ 现在，我们可以再次应用引理3.5来找到一个可测量的子序列（σk）k∈Nsuch thateλt：=limk→∞eλσkt（3.16）存在，且keλtk=limk→∞keλσktk。依次为Lt（eλσkt）→ Lt（eλt），因此序列txs=t+1Ls（eλσks）- erσk！k∈N 收件人+1接近-Lt（eλt）。由于引理3.1的作用，ATt+1是闭合的，而d是闭合的，因此极限可以写为asPTs=t+1Ls（eλs）- 呃，也就是说，我们有lt（eλt）+TXs=t+1Ls（eλs）- er=0 P-a.s.带Eλs∈ L（Rd×d+，Fs）和er∈ L（Rd+，Fs）。因此，我们得到λ是可逆的，即λt∈ Rt=图像（pt）。然而，另一方面，序列（eλσkt）k∈Nbelong to Image（qt），因此，byLemma 3.4，eλt∈ 图像（qt）。因此λt∈ 图像（pt）∩ 根据引理3.3（iii），图像（qt），henceeλt=0 a.s。

由于P（A）=P（eλt6=0），只有当P（A）=0，即（3.15）保持不变时，这才可能。第3步。根据步骤2，我们可以应用引理3.5来找到可测量的子序列（τk）k∈确保λτkt→ λt∈ L（Rd×d+，Ft）P-a.s.用于k→ ∞ 因此，Lt（λτkt）→ Lt（λt）a.s.因此，PTs=t+1Ls（λτks）-rτkcs向ξ收敛-Lt（λt），根据归纳假设，它属于ATt+1。这意味着ξ∈ 最后，我们完成了剩余的证明。请注意，每个结果都是集合在（NAps）条件下概率闭合的标准结果，因此我们只给出了相应的参考，并指出了需要进行某些更改的地方。推论2.7的证明。有必要重复第29页的论证，在[Sch04]中定理2.1的第5-33行之间，用AT（而不是AT）表示，其中ich由定理2.5闭合。定理2.10的证明。（NAwps）=>  CPS：根据（NAwps）条件，有一个bidask过程（e∏t）Tt=0，其中e∏t≤ ∏ta。s、 对于所有t=0，T令人满意（小睡）。推论2.7意味着（e∏t）Tt=0允许CPS，这显然也是（t∏）Tt=0的CPS。 CPS公司=> （NAwps）：再次有必要在[Sch04]中第2.1条证明的第1-12行之间重复第30页的参数，以确定无摩擦的买卖过程（e∏t）Tt=0，即e∏ijt=1/e∏jit，其中e∏t≤ ∏ta。s、 对于所有t=0，T满足（NA），在无摩擦情况下与命题2.16中的（NAps）一致。因此，（t）Tt=0满意度（NAwps）。推论2.14的证明。这是一致价格体系存在的一个众所周知的结果。例如，我们可以使用[KS09]中的第3.2.6条命题来了解一致价格体系的存在意味着∩ L（KT，FT） L(KT，FT）。为了完成证明，我们注意到千吨级∩ Rd+={0}。

实际上，通过πij<∞, v的存在性∈ Rd+\\{0}和序列（vn）n∈N Rd\\KT（ω）），带vn→ v很容易导致矛盾。备注3.7。我们的结果可以扩展到[KS09]第3.2小节中定义的卡巴诺夫模型，该模型除了此处考虑的易货市场外，还涵盖了更广泛的模型，例如，银行账户收取交易成本的易货市场模型和交换一揽子资产的模型。为了看到这一点，我们简要地强调了minoradjustments。另一方面，引理3.3和3.4的证明在很大程度上是基于偿付能力锥的多面体结构。（3.10）converg esto 1中定义的关键论点不适用于一般封闭偿付能力锥。卡巴诺夫模型定义如下。Let（（Xit）Tt=0）i∈Nbe一系列经过调整的Rd值处理，使得对于所有t和ω，集合{i∈ N | Xit（ω）6=0}是非空且有限的，并且设置-Kt（ω）：=圆锥（Xit（ω）| i∈ N） 。在这种情况下，K=（Kt）Tt=0由Kt（ω）定义：=-(-Kt（ω））称为锥值过程。此外，我们假设Rd+\\{0} intKT（ω）表示所有ω（对应于自由处置资产的可能性和πijT<∞ 对于基本模型中的所有i、j）和-KT（ω）∩ Rd+={0}（对应于πijT≤ 对于所有i、j、k），πikTπkjt和πiiT=1）。通过s和t之间的交易从零捐赠中获得的可对冲债权锥由Ats=Ptk=sL给出(-Kk，Fk），s≤ t、 相应地定义了（NA）和（NAps）条件。我们现在概述如何在这个更一般的环境中应用前面证明的参数。Le t It（ω）：=sup{n∈ ω的N | Xnt（ω）6=0}∈ Ohm t=0，T上述假设保证它是一个N值Ft可测随机变量。通过Ohm =硅∈N{It=I}，引理3.1、3.3和3.4中的参数可以分别应用于I的集合{It=I}∈ N

特别是，投资组合变化可以用Lt（λt）：=PIti=1λitXit表示，其中λit∈ L（R+，英尺）。Rd×dt上的欧几里德范数用于将一阶分解为可逆部分和纯不可逆部分，用{It=i}上的kλk：=vuutIXi=1（λi）代替。通过这些调整，定理2.5沿着原始证明的路线进行论证，从而扩展到卡巴诺夫模型。我们再次注意到，对于固定ω，只需考虑来自无数Xit（ω）的线性组合，这一点至关重要。最后，我们说，如果存在一个锥值，K=（Kt）Tt=0满足（NAwps）性质，则K=（Kt）Tt=0满足（NAwps）性质，Kt（ω）eKt（ω）表示所有ω和t。然后，定理2.10在卡巴诺夫模型中也成立。事实上，（NAwps）意味着K=（Kt）Tt=0存在一个一致的价格体系，另一方面，给定CPS Z=（Zt）Tt=0，由eKt（ω）定义的锥值过程ek=（eKt）Tt=0：=（R+Zt（ω））满意度（NAps）和KT（ω）所有t和ω的eKt（ω），即K满足度（NAwps）。此外，我们证明At接近性的推理也可以应用于具有不完全信息的模型，如[Bou06，DVKS07]中所考虑的模型，其中关于订单水平的争论是很自然的。4（反例）我们从两个非常简单的例子开始，说明（NAr）、（NAps）和（NAwps）之间的差异，以及考虑不在买卖价差相对内部的CP的必要性。示例4.1（（NAps）6=> （NAr））。我们考虑一个双资产单期模型，其中银行账户不支付利息，一只股票的买入价（St）t=0,1，卖出价（St）t=0,1。确定的价格如下图1所示。在这种特殊情况下，一个（严格的）一致价格系统对应于一对（eS，Q）由一个度量Q组成~ P和a的Q-鞅取其值（S，S的相对互操作）。

有关使用abank帐户的模型的更多详细信息，请参见[Rok08]中的第3节。t=0 t=1价格=1/2价格=1图1：确定性模型满足（NAps）和（NAs），但不满足（NAr）。t=0时，投标价格序列1/2和询价价格序列1；当t=1时，市场是无价格的，价格=S=1。显然，市场承认u ni que一致的价格过程≡ 1.eS不是一个严格一致的价格过程，因为1/∈ (1/2, 1). 因此，模型不能满足（NAr）。也就是宾纳条件，即L（Kt，Ft-1)  L（Kt-1，英尺-1） 尽管如此，t并不令人满意。另一方面，我们有一个∩ (-A） =圆锥体e- e 圆锥e- e、 e类- e-e-e= A、 也就是说，只有在时间0建立起来的多头股票头寸才能在时间1清算而不亏损，但股票（资产2）的购买也可以推迟到时间1。因此，模型满足（NAP）。示例4.2（（NAwps）6=> （小睡）。我们考虑示例4.1的以下变量：t=0 t=1价格=1/2价格=1价格=2图2：确定性模型满足（NAwps），但不满足（NAps）。一个有S=1/2，S=1，S=1，andS=2。市场仍然承认独特的一致价格过程≡ 1，但现在失败（NAps）sinceA∩ (-A） =圆锥体e- e6. 圆锥e- 2e，e- e-e-e= A、 另一方面，模型满意度（NAwps）自图1满意度（NAps）中更有利的买卖过程以来。最后，我们提供了一个示例，表明（NAwps）不能被存在更有利市场的“nextweaker”条件所取代，即买卖过程（e∏t）Tt=0，而e∏t≤ ∏t对于每个t=0，T，使得（e∏T）Tt=0满足度（NA）和∩-eATt公司t对于所有t=0，T（4.1）（参见备注2.15）。我们证明了在四个资产满足条件（4.1）的情况下，存在一个允许近似套利的买卖过程（πt）t=0。

因此，根据Schachermayer【Sch04】的基本示例3.1的精神，该示例可用于实现近似套利，该示例基于两个连续的近似对冲的思想。存在一个更有利的买卖过程（e∏t）t=0s。t、 （4.1）h存在，但这只会将第一个近似边缘变成一个完美的对冲，因此模型仍然满足（NA）。这个例子强调了近似模糊限制语可能的“级联”的重要性，据我们所知，这是一种在以前的文献中没有讨论过的现象。对于Jacka、Berkaoui和Warren【JBW08】中介绍的调整买卖流程的讨论也很有兴趣（见备注4.4）。例4.3（一系列近似的树篱）。设T=3，Ohm = N×{-1/2，1/2}，F=2Ohm所有状态都有正概率。此外，信息结构由F给出n={, Ohm},F=σ{{（n，m，i，j）|（m，i，j）∈ N×{-1/2，1/2}}}n∈ N},F=σ{{（n，m，i，-1/2），（n，m，i，1/2）}（n，m，i）∈ N×{-1/2, 1/2}},F=2Ohm= F、 这意味着n在时间1显示，m和i在时间2显示，j至少在时间3显示。接下来，我们根据t=0时的参数a>0，1定义一个买卖过程（πt）t=0，如下∏=1 1 1a 1··a·1·a·1, Π≡1 a a aa 1··a·1·1··1对于t=2，3，取决于状态（n，m，i，j）∈ N×{-1/2，1/2}as∏（n，m，i，j）=1 a a aa 1··1+i·1·1-在··1中, π（n，m，i，j）=1安培a1++j1··1+i1-jm·1·a·1.缺失的分录通过第一项资产的直接转移进行说明，即：。，πijt：=2的πi1tπ1jt≤ i 6=j≤ 这意味着第一项资产扮演货币市场账户的角色，资产2、3和4代表风险股。