预期严格无套利与资产基本定理

（2.3）（ii）买卖过程（t）Tt=0满足严格的无套利性质（NAs）i fAt∩ L（Kt，Ft） L（Kt，Ft）对于所有t=0，T、 （2.4）（iii）如果存在阿比德ask过程（e∏T）Tt=0，且所有1的买卖价差较小，则买卖过程（e∏T）Tt=0满足稳健无套利条件（NAr），即πjit（ω）、eπijt（ω）II的相对内部包含的价差πjit（ω）、πtij（ω）i（2.5）≤ i、 j≤ d、 t型∈ {0，…，T}和几乎所有ω∈ Ohm, 使得（e∏t）Tt=0满足无套利条件（NA）。我们只注意到，在买卖双方均为零的情况下，条件（2.5）通过选择∏=来满足，即不排除无摩擦市场。众所周知，尽管每个锥体(-Kt，Ft）在概率收敛方面是闭合的，圆锥可能会闭合。如前所述，（NA）和（NAs）都不足以保证ATis关闭（见[Sch04]中的示例3.1和3.3]）。这与无摩擦情况相反，无摩擦情况下（NA）有效（参见[DS06]中的定理6.9.2）。在目前的情况下，Schacherm ayer【Sch04】表明，稳健的无轨道条件（NAr）足够强，可以确保ATis关闭。现在，我们引入了一种称为“预期严格无套利”（NAps）的（NAr）轻度减弱，这仍然能够保证ATis关闭。定义2.3。bi d-ask过程（πt）Tt=0满足预期严格无套利性质（NAps）i fAt∩ (-收件人） ATT对于所有t=0，T、 备注2.4。（NAps）属性具有以下解释：任何c laim v∈ A通过交易时间t之前的资产组合，该资产组合在t或后续期间可减少至零，即。，-v∈ ATt只能通过t和t之间的交易来实现，即v∈ 收件人：。

这是（NAs）条件的一种变化，它假设任何索赔∈ 可在时间t清算，即：。，-v∈ Att，也必须在时间t达到，即v∈ 注：唯一的区别是，我们无法区分时间t的交易和时间t确定未来可以实现的交易。不同的是，对于每一个t，我们都会对t之前的交易进行审查。要么没有从交易中获得优势，因为可以通过在t开始交易来确定相同的终端头寸。要么，在t之前的交易中承担一些风险，因为头寸在未来无法确定。在充分摩擦的情况下，条件（NAP）和（NAs）一致（见命题2.18）。我们已经可以表述论文的第一个主要结果：定理2.5。如果买卖过程（πt）Tt=0具有预期严格无套利性质（NAps），则凸锥ATis在概率收敛方面是闭合的。上述定理对对偶变量的存在有明显的影响。对于给定的ask矩阵∏，（正）对偶锥K偿付能力锥的K=K（π）由K定义:= {w∈ Rd：高压，wi≥ 所有v为0∈ K} 。对于bid-ask过程（πt）Tt=0，这将导致集值过程（Kt） Tt=双锥的0。我们现在可以定义一致价格系统的概念，它与自我融资投资组合过程的概念是双重的，并且与无摩擦理论中的等效martin gale测度的通知起着类似的作用。关于经济解释的详细讨论，我们再次参考【Sch04】。定义2.6。如果Z是P和Zt下的鞅，则适应的Rd+-值过程Z=（Zt）Tt=0称为买卖过程（t∏）Tt=0的一致价格系统（CPS）∈ L（Kt{0}，Ft），即Zt（ω）∈ Ka.e.ω的t（ω）\\{0}∈ Ohm 每个t∈ {0, . . .

，T}。定理2.5的结果如下。推论2.7。如果买卖过程（t∏t）Tt=0满足预期的严格无套利条件（NAps），则它接受一致的价格体系（CPS）。更一般地，对于任何给定的严格正FT可测量函数Д：Ohm → （0，1），有一个CPS Z=（Zt）Tt=0和KZTK≤ MИa.s.f或一些M∈ R+\\{0}，其中k·k表示Rd上的欧几里德范数。备注2.8。（NAps）的一个抽象版本是这样写的：如果一个时间t之前的策略可以扩展到一个在t时没有损失的策略，那么任何其他扩展都可以在t时由在t之前没有交易的astrategy主导。这个方案可以在不同的市场模型中以非常规范的方式正式化，包括资本金税、限制订单执行的不确定性、，或股息支付资产，Schachermayer[Sch04]中示例3.1中的基本问题也可能出现（例如，参见[K¨uh18]中的示例4.5）。我们证明的论点可以适用于这些模型，以表明可达到的终端投资组合集是封闭的。例如，在效用函数位于正实数线上的最优投资问题中，这大致意味着，由可实现投资组合（初始禀赋为给定n）的清算值支配的非负随机变量集C在概率上也是闭合的。因此，将对偶变量D的集合定义为C的极集合，Kramkov和Schachermayer[KS99，定理3.1和3.2]中对偶结果的抽象版本也可以应用于这些模型。推论2.7的反面不成立。更一般地说，根据[KS09]第3.2.4节中的示例1，不存在既能保证交易数据的接近性，又能保证交易价格存在的无套利标准，参见备注2.13中的讨论。

然而，如果我们从（NAP）转移到预期严格无套利的较弱概念，我们可以建立一个等价关系。定义2.9。如果存在买卖过程（e∏t）Tt=0且e∏t为0，则b id ask过程（t∏t）Tt=0满足弱预期严格无套利性（NAwps）≤ ∏ta。s、 对于所有t=0，T，因此（e∏T）Tt=0满足预期严格无套利条件（NAps）。（NAwps）条件显然是（NAps）条件的弱化，因为定义2.9中的bid-ASK过程（e∏t）Tt=0不必比（t∏）Tt=0更有利。下面的示例4.2说明了这两种情况之间的差异，另请参见备注2.13。我们的第二个主要结果是资产定价的以下基本定理。定理2.10。只有在允许一致价格体系（CPS）的情况下，买卖过程（πt）Tt=0才能满足弱预期严格无套利条件（NAwps）。备注2.11。定理2.10将Kabanov和Stricker[KS01b]中定理1的第2部分扩展到有限概率空间的情况。将这两个定理结合起来，可以看出（NAwps）具有与（NA）等价的优良性质，如果|Ohm| < ∞.备注2.12。此外，在轨道概率空间上只有两个资产的情况下，（NA）和（NAwps）重合，这是由Grigoriev推导的（NA）的等价性和ACP的存在性得出的【Gri05】。备注2.13。在下面的讨论中，我们确定了一个“无套利”准则C，该准则是一组满足该准则的买卖过程，如果所有买卖过程都满足该准则，则称其为单调的≤ π，e∏∈ C表示∏∈ C、 简单（NA）条件明显满足单调性。如果不考虑没有充分摩擦的买卖矩阵，即πijπji，则更复杂的标准（N As），（NAr）和（NAps）通常是唯一的≥ 对于所有i 6=j，eπijeπji>1。

一方面，CPS的存在性等价于单调准则。另一方面，可实现投资组合集的封闭性不会转移到具有较不有利的买卖过程的市场（参见示例【KS09，第3.2.4节，示例1】和【JBW 08，示例2.1】）。因此，为了保证紧密性，例如在最优投资问题的背景下，对单调标准的限制将是不必要的限制。（NAwps）标准可以描述为“弱于（NAps）的最强单调标准”，即它直接遵循定义2.9，即（NAwps）=\\（NAps）C、 C是单调的。（2.6）在无摩擦市场的特殊情况下，标准（NAP）和（NAwps）一致（见提案2.16）。我们强调，情况不能像无摩擦情况那样清晰。在不受时间限制的市场中，（NA）已经暗示了封闭性（见Schachermayer[Sch92]）。在连续时间无摩擦市场中，Delbaen和Schachermayer[DS94]在“无免费午餐且风险为零”（NFLVR）的经济意义假设下，导出了适当拓扑中的封闭性，这对于等价鞅测度的存在也是必要的。根据交易成本，Delbaen和Schachermayer的FTAP【DS94】无法维持。即，Schachermayer[Sch04]satis（NFLVR）中为多元投资组合过程定义的示例3.1，即不存在任何资产中空头头寸一致收敛为零的近似套利，但CPS仍然不适用于xi st。（NAwps）属性不足以确保ATis在概率上关闭。然而，我们对定理2.10有以下明显的推论。推论2.14。

如果买卖过程（t∏t）Tt=0满足弱预期严格无套利条件（NAwps），那么我们有∩ L（Rd+）={0}。简短的证明也推迟到第3节。备注2.15。（NAwps）假设存在一个买卖过程（e∏t）Tt=0，使得e∏t≤ ∏ta。s、 对于所有t=0，安第斯山脉∩-eATt公司t对于所有t=0，T、 （2.7）有人可能会问，是否可以用以下稍微弱一点的条件来代替该条件：存在一个投标-询价过程（e∏T）Tt=0满足（NA），这样e∏T≤ ∏ta。s、 对于所有t=0，T和T∩-eATt公司t对于所有t=0，T（2.8）事实上，根据命题2.16，（2.7）意味着E∏满足（NA），这意味着第二个条件是第一个条件的减弱。在条件（2.8）中，通过在原始市场中进行交易而获得的头寸，只有在更有利的市场模型∏中进行“评估”。但是，可能令人惊讶的是，（2.8）并没有排除近似套利的存在，因此CPS不需要存在（见下面的示例4.3）。提案2.16。我们有以下含义（NAr）=> （N Aps）=> （N Awps）=> （无）。（2.9）备注2.17。（2.9）中的所有含义都是严格的（参见下面的示例4.1和4.2；对于（NA）6=> （NAwps），考虑具有近似套利的无套利模型，如[Sch04]中的示例3.1，并应用推论2.14）。命题2.16的证明。Ad（NAr）=> （小睡）。假设买卖过程（t）Tt=0满足度（NAr），让v∈ 在这样的情况下-v∈ 收件人：我们必须显示v∈ 注意：根据我们的假设，我们有v=Pts=0eξswithξs∈ L(-Ks，Fs），对于s=0，t和-v=PTs=tbξswithbξs∈ L(-Ks，Fs），对于s=t，T因此，我们定义ξs∈ L(-Ks，Fs）通过ξs：=eξs，s<t，eξs+bξs，s=t，bξs，s>t，注意pts=0ξs=v- v=0。根据[KS09]中的引理3.2.12，可以得出ξs∈L（Ks，Fs）表示所有s=0，T

特别是，我们有bξs∈ L（Ks，Fs）表示s>t。此外，wehavebξt=-eξt+ξt∈ L（Kt，Ft）+L（Kt，Ft）=L（Kt，Ft）。这意味着v=PTs=t(-bξs）∈ ATt，其中总结了第一个含义的证明。Ad（小睡）=> （NAwps）。明显的Ad（NAwps）=> （不适用）。假设投标-询价过程（e∏t）Tt=0满足（NAwps），即存在一个投标-询价过程（e∏t）Tt=0且e∏t≤ ∏ta。s、 对于所有t=0，T和（e∏T）Tt=0满意度（NAps）。让v∈ 在∩ L（Rd+）吃∩ L（Rd+）。这显然意味着-v∈ L(-eKT，FT），因此，通过（NAps）of e∏，v∈ L(-eKT，FT）。连同(-eKT（ω））∩ 对于每个ω，Rd+={0}∈ Ohm, 根据买卖矩阵的性质，该影响为v=0 a.s。因此，买卖过程（t）Tt=0满意度（NA）。提案2.18。让有效摩擦力（EF）条件保持不变，即Kt（ω）：=Kt（ω）∩ (-Kt（ω））={0}对于所有t=0，T和ω∈ Ohm, （EF）或等效地，对于所有1，πijt（ω）πjit（ω）>1≤ i 6=j≤ d、 t=0，T和ω∈ Ohm. 然后，我们有了等价物（NAps）<=> （N As）。（2.10）备注2.19。通常，（NAs）对于（NAP）既不是必要的，也不是有效的。的确，（小睡）6=> （NAs）简单明了，（NAs）6=> （NAps）遵循【Sch04】中的示例3.3。但是，众所周知，有效摩擦力（NAr）和（NAs）是等效的（参见[KRS02]中的定理1和[Sch04]中的定理1.7）。因此，在这种情况下，（NAr），（NAs）和（NAP）是一致的。命题2.18的证明。鉴于位置2.16和前面的备注，有必要显示（NAps）=>（NAs）。因此，我们认为（小睡）是正确的。让我们通过t=t，t上的后向导引来显示-1.0，位于∩L（Kt，Ft）={0}。设t=t和d v∈ 在∩L（KT，FT），则（NAps）表示v∈ L(-KT，FT），即v∈ L（KT∩ (-KT），FT），在（EF）下，i等于v=0 a.s。对于感应步骤t+1 t，我们让t<t，并假设为∩ L（Ks，Fs）={0}对于s=t+1，T

给定v∈ 在∩ L（Kt，Ft），我们可以写v=PTs=tξsforξs∈ L(-Ks，Fs）通过（NAps）。自从-v∈ L(-Kt，Ft）和-v+PT-1s=tξs=-ξT，我们得到-v+PT-1s=tξs∈ 在∩L（KT，FT）。因此，根据归纳假设，-v+PT-2s=tξs=-ξT-1、因此，-v+PT-2s=tξs∈ 在-1.∩L（KT-1，英尺-1） 同样，根据归纳假设，-v+PT-3s=tξs=-ξT-2、持续不断地-v+ξt=0，但这表示v∈ L（Kt∩ (-Kt），Ft），因此v=0 a.s.×（EF）。备注2.20（超边缘）。根据定理2.5，Schachermayer[Sch04]中的超边缘结果（见其中的定理4.1）及其证明在（t）Tt=0satifies（NAps）而不是（NAr）的较弱假设下一一成立——只有在括号中没有“严格一致的价格体系”的陈述。主要结果的3个证明本节致力于定理2.5的证明。第2节的其他结果是交易结束的标准后果，因此我们主要参考文献中的已知结果，并强调了细微的调整。后者推迟到本节末尾。定理2.5证明中的主要障碍是，我们手头没有零策略，即（ξ，…，ξT）的元素∈ L(-K、 F）×···×L(-KT，FT），其中ptt=0ξt=0a。s、 ，形成线性空间。也就是说，Rokhlin【Rok08】表明，应用txt=0ξt=0 a.s.，ξt∈ L(-Kt，Ft）=> ξt∈ L（Kt，Ft）对于所有t=0，T、 （3.1）相当于（NAr），其严格强于（NAps）。因此，在下文中，我们提出了一种新的证明方法，克服了这一障碍。在开始主要证明之前，我们先证明(-Kt，Ft）与s et givenin（2.1）一致。稍后，这允许我们直接与λ阶进行争论∈ L（Rd×d+，Ft）和向量r∈L（Rd+，Ft）而不是L的结果元素(-Kt，Ft）。为了便于记法，我们定义了所有t=0。

，地图平：L（Rd×d+，Ft）→ L（Rd，Ft）byLt（λt）=X1≤i、 j≤dλijt（ej- πijtei）对于所有λt=（λijt）1≤i、 j≤d∈ L（Rd×d+，英尺）。引理3.1。设∏=（t）Tt=0表示一个买卖过程。那么，我们有(-Kt，Ft）=nLt（λt）- rt |λt∈ L（Rd×d+，Ft），rt∈ L（Rd+，Ft）o（3.2），对于所有t=0，因此，我们有ats=（tXk=sLk（λk）- r |λk∈ L（Rd×d+，Fk），k=s，t、 r∈ L（Rd+，Ft））（3.3）表示所有0≤ s≤ t型≤ T证据对于每个λt∈ L（Rd×d+，Ft）和rt∈ L（Rd+，Ft）随机向量Lt（λt）- rtis是L元素(-Kt，Ft）。因此，我们只需证明对于每个v∈ L(-Kt，Ft），我们可以找到λt∈ L（Rd×d+，Ft）和rt∈ L（Rd+，Ft），使得v=Lt（λt）- rta。s、 为此，让v∈ L(-Kt，Ft），即v（ω）∈ -每个ω的Kt（ω）∈ Ohm \\ N、 WHER e N公司∈ Ftis是测量零点的ETO。然后ev：=Ohm\\内华达州∈ L(-Kt，Ft）满足ev=v a.s.和ev（ω）∈ -所有ω的Kt（ω）∈ Ohm. 接下来，我们定义了集值映射ω7→ P（ω） Rd×d×RdbyP（ω）：=（λ，r）∈ Rd×d×Rd |λ，r≥ 0，X1≤i、 j≤dλijej公司- πijt（ω）ei- r=ev（ω）.我们有P（ω）6= 对于每个ω∈ Ohm 根据ev（ω）∈ -每个ω的Kt（ω）∈ Ohm. 此外，映射ω7→P1级≤i、 j≤dλijej公司- πijt（ω）ei- r是可测量的Ft（λ，r）∈ Rd×d+×Rd+，以及映射（λ，r）7→P1级≤i、 j≤dλijej公司- πijt（ω）ei- r对于每个ω都是连续的∈ Ohm. 因此，我们可以应用【RW09】中的eorem 14.36来确定λt∈ L（Rd×d+，Ft）和rt∈ L（Rd+，Ft），使得（λt（ω），rt（ω））∈ P（ω）表示所有ω∈ Ohm. 这将产生ev（ω）=P1≤i、 j≤dλijt（ω）ej公司- πijt（ω）ei- 每个ω的r（ω）∈ Ohm 因此，我们有v=Lt（λt）- rta。s、 最后，（3.3）直接遵循（3.2）。定义3.2。对于任何t∈ {0，…，T- 1} ，我们定义了可逆序的（凸）锥在t byRt：={λ∈ L（Rd×d+，Ft）|- Lt（λ）∈ 收件人+1}。下面的引理将L（Rd×d+，Ft）的元素适当分解为可逆和“纯不可逆”阶。对于分解，需要在概率上进行Rtisclosed。

为了实现这一点，引理假设ATt+1在概率上是闭合的，这一性质在这里还没有显示出来。引理3.3。让t∈ {0，…，T- 1} 并假设ATt+1在概率上是闭合的。那么对于任何λ∈ L（Rd×d+，Ft）存在唯一对（最多空集）λ∈ Rtandλ∈ L（Rd×d+，Ft），λ=λ+λ，对于任何分解λ=eλ+eλ，eλ∈ Rt，eλ∈ L（Rd×d+，Ft），wehavekλk≤ keλkP-a.s.，（3.4）其中不等式对{λ6=eλ}P-a.s.严格，k·kdenotes是Rd×d上的欧氏范数。此外，映射pt:L（Rd×d+，Ft）→ Rt和qt:L（Rd×d+，Ft）→ 由pt（λ）=λ和qt（λ）=λ定义的L（Rd×d+，Ft）具有以下特性：（i）对于所有λ∈ L（Rd×d+，Ft）和所有非负Ft可测量标量u我们有pt（uλ）=upt（λ），（ii）图像（qt）={λ∈ L（Rd×d+，Ft）| qt（λ）=λ}，（iii）图像（pt）∩ 图像（qt）={0}。我们将pt（λ）和dqt（λ）称为λ阶的可逆和纯不可逆部分∈ L（Rd×d+，Ft），分别为。以下分解的连续性是定理2.5证明的最后一个要素。引理3.4。让t∈ {0，…，T-1} 并假设ATt+1在概率上是闭合的。Let（λn）n∈NL（Rd×d+，Ft）将P-a.s.收敛到某个λ∈ L（Rd×d+，英尺）。然后，pt（λn）→ pt（λ）和qt（λn）→n的qt（λ）P-a.s→ ∞. 特别是，图像（qt）在概率上是封闭的。我们推迟了这两个引理的讨论，以便对它们的使用发表一些评论。通过前瞻性严格无套利（NAps）特性，可逆订单可以推迟到以后的周期∈ {t+1，…，t}。因此，时间t上的任何序都可以被其在时间t上的纯不可逆部分所取代。另一方面，如果att中的序列收敛，则时间t上纯不可逆序的爆炸可能会导致矛盾。