弱反馈下传染McKean-Vlasov系统的唯一性

因此，将It^o的公式应用于已停止的进程X·∧τ、 我们得到了弱PDEhνt，φi=hν，φi+^thνs，φid- α^thνs，φidLs，t∈ [0，t？）用于测试功能φ∈ C（0，∞) φ（0）=0时，我们使用φ（0）=0表示φ（Xt∧τ） =1t<τφ（Xt），对于t<t？。现在取任意ψ的φ：=TΔψ∈ C∞(0, ∞).然后φ∈ C∞(0, ∞), 所以通过部分积分和n次微分，我们可以推断出nxTΔνt（x）=n+2xTδνt（x）dt+αn+1xTrΔνt（x）dLt。对于x≥ 0（a.e.）。使用该d(nxTΔνt）=2nxTΔνt（x）dnxTΔνt（x），和重新排列，wegetdnxTΔνt（x）= nxTΔνt（x）n+2xTδνt（x）dt+2αnxTΔνt（x）n+1xTΔνt（x）dLt（3.5）+4αnxTΔνt（x）n+1xRΔνt（x）dLt，其中我们引入了余项rΔνt（x）：=^∞√2πδe-（x+x）2Δνt（dx）。（3.5）的要点当然是获得TδνT的导数的lestimate。由于我们只对内部正则性感兴趣，因此只需要局部估计，我们可以依赖截断函数来进行我们的论证。为此，我们首先对任意两个开放集U b W b（0，∞), 其中“b”表示紧凑型安全壳。那么，weletζ是一个光滑的切割函数，在U上ζ=1，ζ∈ （0，1）在W\\U上，否则ζ=0。请注意|xζ|+|xxζ|≤ C1W\\U，其中C仅取决于W和U。命题3.6（平滑能量估计）。对于所有整数a≥ 2和b≥ 1我们有TB？kζanxTΔνt？-k+^t？tbkζan+1xTΔνtkdt≤ ca（a- 1） ^t？tbkζa-2.nxTΔνtkdt+b^t？tb-1kζanxTδνtkdt+o（1），asδ→ 0，其中t？>0 L.Proof的第一次跳转时间。将（3.5）乘以ζA，并使用部分公式^g·f·f=-^g | f |和^g·f·f=-^g | f |+^g | f |，我们得到dkζanxTδνtk+kζan+1xTΔνtkdt=k|xxζa|nxTΔνtkdt- 2αkζanxTΔνtkdLt+4α^∞ζa（x）nxTΔνt（x）n+1xRΔνt（x）dxdLt。自|xζ||xxζ|≤ C、 参数η>0且给定dkζa足够小的杨氏不等式nxTδνtk+kζan+1xTΔνtkdt≤ ca（a- 1） kζa-2.nxTΔνtkdt+4αη-1kζan+1xRΔνtkdLt，其中我们使用了aζ（a-1)/2≤ a（a-1） ζ（a-2)/2.

差异t 7→ tbkζanxTΔνtkw相对于t，并将积分范围提高到t？givestb？kζanxTΔνt？-k+^t？tbkζan+1xTΔνtkdt+b^t？tb-1kζanxTΔνtkdt≤ ca（a- 1） ^t？tbkζa-2.nxTΔνtkdt+4αη-1^t？tbkζan+1xRΔνtkdLt。仍需显示上述最终项消失为δ→ 将pδ（·）写入标准高斯变换核，从Rδ的定义可以看出|n+1xRΔνt（x）|≤n+1x^∞pδ（x+y）νt（dy）≤^∞|Q（δ-y、 δ-x） | pδ（x+y）νt（dy），对于双变量多项式Q。注pδ（x+y）≤ pδ（y）·e-x/2δ。应用引理3.4和Cauchy–Schwarz，我们得出结论|n+1xRΔνt（x）|=O（e-x/4δ）在t中均匀分布。由于ζ支撑在W上，kζan+1xRΔνtk=O（e-w/2δ）均匀分布在t中，其中w：=inf w>0。这足以完成证明。由于命题3.6给出了（n+1）次空间导数在次导数方面的控制，我们可以用它归纳证明Vt？-具有同位序的弱导数，因此在（0，∞).推论3.7（平滑度）。如果ν的密度为V∈ L（0，∞), 那么Vt？-∈ C∞(0, ∞).此外，Vt∈ C∞(0, ∞) 几乎所有t∈ （0，t？）和TB？kζanxVt？-k+^t？tbkζan+1xVtkdt≤ ca（a- 1） ^t？tbkζa-2.nxVtkdt+b^t？tb-1kζanxVtkdt。证据修复n≥ 假设对于所有U b W b（0，∞), 一≥ 2n和b≥ n我们有lim infδ→0^t？tbkζanxTΔνtkdt<∞. （3.6）那么Fatou引理和引理3.4意味着NxVT存在，并且对于everyU b（0，∞) 几乎所有的t∈ （0，t？），用^t？tbkζanxTΔνtkdt→^t？tbkζanxVtkdt<∞.因此，在命题3.6中取δ上的lim inf，就可以得出（3.6）对于n+1，对于任何a≥ 2（n+1），b≥ n+1。因为（3.6）适用于n=0和所有a、b≥ 0，通过引理3.5，使用归纳法，我们得出结论，该语句适用于所有n≥ 再次返回到Emma 3.6，我们推断出Lim infδ→0公里nxTΔνt？-kL（U）≤ lim infδ→0kζnnxTΔνt？-k<∞,对于每n≥ 0

因此Vt？-在任意点x上具有所有阶的弱导数∈ U、 所以在（0，∞), 因为U是任意的。最后，发送δ→ 引理3.6中的0给出了该语句的估计。最后，我们可以完成命题3.2的证明。命题3.2的证明。有必要在第一个跳跃时间证明结果，哪个跳跃时间比t？如上所述。介绍简写符号i（n，a，b）：=^t？tbkζanxVtkdt，其中我们回顾了针对固定U b W b（0，∞). 推论3.7 impliesI（n+1，a，b）≤ ca（a-1） I（n，a-2，b）+bI（n，a，b-1) ≤ （ct？a（a-1） +b）I（n，a-2，b-1).迭代参数givesI（n，2n，n）≤ I（0，0，0）Y1≤我≤n（ct？2i（2i- 1） +一）≤ Cn·（2n）！，对于C>0，常数取决于Vandζ。回到推论3.7我们有TB？kζanxVt？-k≤ （ct？a（a- 1） +b）I（n，a- 2，b- 1).因此，设置a=2n+2和b=n+1 givesknxVt？-kL（U）≤ t型-（n+1）？（ct？（2n+2）（2n+1）+n+1）·Cn·（2n）！=（C） n·（2n）！，对于另一个常数C>0，也取决于t？。自（2n）！≤ 4n（n！），我们得出结论nxVt？-kL（U）≤ （C） n·n！，对于每n≥ 0。（3.7）莫雷不等式【11，第5.6节，第4节】给出了常数c>0，使得KnxVt？-吉隆坡∞（U）≤ ck公司nxVt？-kH（U）≤ （C） n·n！，我们应用了（3.7），对于C>0，另一个常数与n无关。这个不等式保证x 7→ 及物动词？-（x） 在U的内部是解析的，因此，由于U b（0，∞) 是任意的，我们得出结论x 7→ 及物动词？-（x） 在everyx进行分析∈ (0, ∞).确认。我们非常感谢两位匿名评论员的评论和建议，他们改进了论文的陈述。参考文献【1】M.J.Cáceres、J.A.Carrillo和B.Perthame。非线性噪声积分神经元模型分析：爆破和稳态。J、 数学。神经症。，1(7), 2011.[2] V.Calvez、N.Meunier和R.Voituriez。

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