弱反馈下传染McKean-Vlasov系统的唯一性

也就是说，两个解L和'L由下式给出Xt=X+Zt- αf（Lt）τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（τ≤ t） ，和(R)Xt=X+Zt- αf（\'Lt）\'τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（(R)τ≤ t） 。那么我们有了-\'\'Lt≤ Pinfs公司≤tXs公司≤ 0，infs≤t'x>0= Pinfs公司≤t{X+Zs- αf（Ls）}≤ 0，infs≤t{X+Zs- αf（\'Ls）}>0= Psups公司≤t{αf（(R)Ls）- Zs}<X≤ sups公司≤t{αf（Ls）- Zs}.反过来，XgivesLt上的条件-\'\'Lt≤ Eh^∞sups公司≤t{αf（(R)Ls）- Zs}<x≤ sups公司≤t{αf（Ls）- Zs}ν（dx）i=Ehνsups公司≤t{αf（(R)Ls）- Zs}，sups≤t{αf（Ls）- Zs}i、 最后，我们可以注意到，通过对称性，交换了L和‘L’的相同不等式也成立，因此我们得到了结果。考虑到下面定理2.2的陈述和证明，可以方便地引入符号Kfkt：=sups≤t | f（s）|和kfkLip（x）：=supy6=z∈[0，x]| f（y）- f（z）| | y- z |。下面的定理2.2几乎是引理2.1的直接结果，一旦我们对输入之间的关系设置了适当的限制。具体而言，我们在给定f和ν的反馈参数α上引入了一个“小”条件（2.1），该条件定义了任何Z选项的弱反馈状态（MV）。图2.1：从引理2.1中，红色曲线为X，蓝色曲线为'X，通过初始值X和驱动器Z的给定校准进行耦合。写入Lt-\'\'Lt≤ P（τ≤ t<τ）当t=1.6时，我们可以看到，随着x的减小，我们只能从红色曲线第一次触及x轴（在第二个图中x=0.72处）到蓝色曲线将其拉近（在第三个图中x=0.59处）这一概率得到贡献。因此概率等于ν（0.59，0.72），其中0.59=sups≤t{αf（(R)Ls）- Zs}和0.72=sups≤t{αf（Ls）- Zs}。根据定理2.2，可以直接看到0.72-0.59≤ αkf（L）- f（(R)L）kt，因为后者将两条曲线之间的距离限定在[0，t]上。定理2.2（弱反馈区域的唯一性）。

设L和'L是（MV）在假设（H）下的任意两个解，并假设初始条件ν具有adensity V：（0，∞) → (0, ∞). 如果反馈参数α∈ R等于|α|·kVk∞· KKKLIP（LT）∨\'LT）<1，（2.1）对于某些T>0，则L=\'L在[0，T]上。特别是，如果f具有全局Lipschitz常数和Vis有界，则（2.1）给出了α的范围，对于该范围，存在（MV）的全局唯一性，与Z.证明的选择无关。我们只需要考虑α≥ 0，因为我们可以将减号吸收到f中。设L和L表示（MV）的任意两个解，并观察f（\'Ls）=f（Ls）+f（\'Ls）- f（Ls）≥ f（Ls）- kf（L）- f（(R)L）KR代表s≤ r、 将此不等式应用于引理2.1的界，得到| Lr-\'Lr |≤ Eν-αkf（L）- f（(R)L）kr+sups≤r{αf（Ls）- Zs}，sups≤r{αf（Ls）- Zs}∨ Eν-|α| kf（L）- f（(R)L）kr+sups≤r{αf（(R)Ls）- Zs}，sups≤r{αf（(R)Ls）- Zs}.写入Z*r： =支持≤r{αf（Ls）- Zs}和'Z*对于与“L”对应的相同运行上限，上述值变为“Lr”-\'Lr |≤ Eh^Z*rZ公司*r-αkf（L）-f（(R)L）krV（x）dxi∨ Eh^′Z*r'Z*r-αkf（L）-f（(R)L）krV（x）dxi，所以对于所有r≥ 0，| Lr-\'Lr |≤ αkVk∞kf（L）- f（(R)L）kr。使用f的局部Lipschitz性质，如（2.1）所示，并取上半数r∈ [0，T]，然后我们得到kl-\'\'LkT≤ αkVk∞KKKLIP（LT∨\'\'LT）kL-\'\'LkT。因此，小尺寸条件（2.1）强制kL-根据需要，LkT=0。这就完成了证明。确定输入f、V和α的选择，使小条件（2.1）保持在某个区间[0，T]，并假设随机驱动程序zt具有密度pt。那么νthas是密度vt和kVtk∞≤ kVk公司∞, 从简单估计νt（S）可以看出≤^∞^Spt（x+z- αf（Lt））V（x）dzdx≤ kVk公司∞· |S |，（2.2）适用于所有S∈ B（R）。

因此，小型条件（2.1）强制Lt=0表示所有T∈ [0，T]，由于物理跳跃条件（PJC），所以在[0，T]上弱反馈区域中（MV）的唯一解在所有[0，T]上都是连续的。2.2主要唯一性结果的应用我们现在给出了定理2.2的两个有趣结果。定理2.3（弱反馈的（CMV）适定性）。考虑带ρ的ConditionalMcken–Vlasov系统（CMV）∈ 在kVk约束下，α>0∞<α-（CMV）有一个唯一的解，该解作为【21，（3.1）】中有限粒子系统的唯一平均场极限。证据根据[21，定理3.2]，givenby（CMV）存在一个“松弛”解（\'X，\'L，\'P(R)Xt=X+p1- ρBt+ρBt- α\'Lt，\'Lt=P（\'τ≤ t | B，\'P），\'τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}，\'P=定律（X | B，\'P），（B，\'P）⊥ B、 对于二维布朗运动（B，B）和初始条件X⊥ （B，B，\'P），其中我们注意到，\'P是cádlág路径空间上的随机概率测度。设（eX，eL，eP）是另一个通过相同的布朗驱动（B，B）和相同的随机起点X耦合到（\'X，\'L，\'P）的松弛解。当比较eL和\'L时，条件作用确定了B，\'L，andeL的路径实现，因此我们可以应用定理2.2，zt=p1- ρBt+ρβt对于给定实现B=β。这证明了路径等式el=\'L，因此也证明了X=\'X andeP=\'P。从这里，山田-渡边变元（见[20]）给出了（X，B，B）-可测的松弛解（X，L，P）的存在性。但放松解的定义要求（X，B，B）在给定B的条件下独立于P，因此我们得到Lt=P（t≥ τ| B，P）=P（t≥ τ| B），因此（X，L）是（CMV）的最佳解。最后，[21，Thm.3.2]表明，粒子系统[21，（3.1）]的极限点在（CMV）的松弛解上得到支持，但这些极限点现在必须与唯一的Bonafide解（X，L）一致。

因此，粒子系统在这个唯一的极限下是完全弱收敛的。为了与第1.1节中的PDE观点进行比较，设Vt为νt=P（Xt）的随机密度函数∈·, t<τB）。然后系统（CMV）产生随机PDEDVT（x）=xxVt（x）dt+αxVt（x）dLt- ρxVt（x）dBt，Vt（0）=0，对于（x，t）∈ (0, ∞) × [0, ∞), 其中Lt=1-'∞Vt（x）dx。人们可以通过正式整合各个部分来发现=xVt（0），但除非ρ=0，否则我们不能再期望L是可微的，并且Vt（·）在零处的导数无法定义。作为定理2.2的最终应用，我们给出了f（x）=-日志（1- x） ，如[23，24]中所研究，对于一般连续驱动Z.推论2.4。考虑f（x）=-日志（1-x） α>0，对于任何连续驱动程序Z，假设kVk∞< α-那么对于所有t，[0，t]上（MV）的解是唯一的≥ 0，使Lt<1- αkVk∞.证据请注意，kfkLip（x）=（1- x）-1，那么结果来自定理2.2。我们应该注意到，定理2.2和上述两个应用程序代表了引理2.1中思想的最直接的应用。事实上，通过更努力的工作和更具体的设置，可以获得更强大的结果。下一节给出了布朗情形的一个这样的例子。3局部唯一性对于纸张的其余部分，在爆破之后，我们返回到设置Zt=bt和f（x）=x，其中B是标准布朗运动，我们关注α>0的情况，对于这种情况，可能会发生爆破。

正如第1.3节所强调的，在爆炸时间t之前，（MV）具有完全唯一性？>0，并且我们知道始终存在解（对于自然类的初始条件）；然而，本节的结果是首次解决爆炸后重启系统的唯一性问题。早期的唯一性方法（见第1.3节）在第一次爆炸时间t？时失效？，因为系统可能正在从密度Vt重新启动？这在起源地表现得不够好。原则上，我们所知道的是（PJC）强加inf{x>0：'αxVt？（y）dy<x}=0。（3.1）这里的问题是，（3.1）几乎没有暗示Vt的规律性？接近零度。如果没有进一步的信息，我们无法排除如图3.1所示的病理病例，因此似乎很难获得有效的控制来证明唯一性总是可以传播的。然而，在实践中，我们预计不会出现这些边缘情况，并且我们可以在这里证明，我们至少可以在上升后对密度进行多项式控制（定义为L的跳跃时间）。该观察结果源自左极限密度Vt？的分析结果？-（命题3.2），它允许我们通过应用我们接下来介绍的定理3.1来证明爆破后的短时唯一性（定理3.3）。3.1一般反馈的短时唯一性正如下一个结果所示，原点附近初始密度的多项式控制具有短时唯一性。证明的想法是使用上一节中的方法，但要确保大量质量到达边界的时间不足，从而抵消密度大于α的影响-1远离原点，并允许V（0+）=α-定理3.1（短时唯一性）。

假设初始条件ν具有密度V，其中存在c>0、x>0和n∈ N使得v（x）≤ α-1.- cxn，对于所有x<x.（3.2），设L和L是（MV）的两个解，Zt=bt，f（x）=x，其中B是布朗运动。然后存在t>0，使得Lt=(R)Ltfor all t∈ [0，t]。证据对于速记，让Z*t： =支持≤t{αLs- Bs}，注意eν([-αkL-\'Lkt+Z*t、 Z*t） （）≤ E（t）·αkL-\'Lkt，（3.3），其中e（t）：=EhsupV（x）：x∈ [-αkL-\'Lkt+Z*t、 Z*t）i、 我们将后一个期望分解为三个区域：Z*t型∈ [0，αkL-\'Lkt+t），Z*t型∈ [αkL-\'Lkt+t，x），Z*t型∈ [x，∞).由于L和'L是cádlág，我们可以取t>0足够小，因此对于所有t≤ twehaveαkL-\'\'Lkt+t≤ x/2和αLt，α′Lt≤ x/4。因此（t）≤ α-1P（Z*t型∈ [0，αkL-\'\'Lkt+t]+（α-1.- ctn）P（Z*t型∈ [αkL-\'\'Lkt+t，x]+kVk∞P（Z*t型∈ [x，∞))≤ α-1.- ctnP（Zt∈ [x/2，x]+千伏∞P（Z*t型∈ [x，∞))≤ α-1.- ctnP（sups≤tBs公司∈ [x，x]+千伏∞P（辅助≤tBs公司∈ [x，∞))= α-1.- ctn（Φ(-x/2t1/2）- Φ(-3x/4t1/2））+千伏∞Φ(-3x/4t1/2），图3.1：两个病理初始密度满足（3.1），α=5/3。蓝色曲线中有很多值高于接近零的临界值3/5。红色曲线严格保持在3/5以下，但所有导数在原点处消失，因此无法控制（3.2）中的形式。其中Φ是标准正常cdf。使用渐近界Φ(-cx） x个-1e级-cx/2，如x→ ∞,我们无法找到∈ （0，t）非常小，以至于E（t）<α-1对于所有t≤ t、 因此，回顾（3.3），根据对称性和引理2.1，Lt-\'Lt |≤ (1 - ε） 吉隆坡-\'Lkt，每t∈ （0，t），（3.4）对于某些ε∈ （0，1）。现在让t>0是L和‘‘L和t的第一个跳跃时间中的较小者。通过连续性，存在∈ [0，t]上的上确界。也就是说，kL-(R)Lkt=kL-\'Lks=| Ls-\'Ls |。如果s=0，则kL-\'Lkt=| L-\'L |=0，我们完成了。

否则，s∈ （0，t），但这与t=无太阳kL时的（3.4）相矛盾-\'Lks=0，因此证明是完整的。值得强调的是，上述证明中的主要困难集中在初始时间t=0，这里我们面临V（0+）=α-事实上，对于任何足够小的t>0，差异性（和L的cádlágness）迫使密度v严格低于α-1在x=0的小邻域内（见[25，第6.4.3条]），这意味着我们基本上回到了定理2.2的弱反馈区域，尽管是在原点附近的局部意义上。通过类似的观察，我们可以使用定理3.1获得密度的全局唯一性，这些密度看起来像（3.2）靠近原点，但位于α以上-1充分发挥作用，使其在α以下-1在可能导致爆炸之前。3.2爆破后的短时唯一性在下文中，我们将展示如何将定理3.1的结论推广到爆破时间。主要的一点是，虽然我们不能在任意时间将溶液密度控制在接近零的位置，但我们可以证明密度在半直线的内部是解析的。在爆破时，这有助于控制系统重新启动时的新密度接近零，因为原点处的新点位于跳跃不连续之前的密度内部（见下面定理3.3的证明）。我们的分析性证明依赖于[14，16]中使用的核平滑和能量估计技术，但我们仅在此陈述结果，并将证明推迟到下一节。命题3.2（内部分析性）。假设初始条件ν具有密度v∈ L（0，∞) 假设（MV）有一个解Zt=bt，f（x）=x，我们定义νt：=P（Xt∈ ·, t<τ）。

然后，对于所有t>0，νthas是有界密度vt和y 7→ 及物动词-（y） 在每个点x上都是解析的∈ (0, ∞).利用内部分析性，我们现在能够证明在爆破时间之后重启系统的短时唯一性。定理3.3（爆破后的短时唯一性）。设初始条件νhavea密度V∈ L（0，∞) 假设我们有一个解L到（MV），其中Zt=Btandf（x）=x，直到它的第一次爆破时间t？>0，其中B是布朗运动。然后系统可以在时间t重新启动？并且重新启动的解决方案在小时间间隔[t？，t？？]上是唯一的（在cádlág解决方案类中），对于一些t？？？>t？。证据注意，在第一次爆破时间t？，我们有νt？（S） =P（Xt？-- α书信电报？∈ S） =νt？-（S+αLt？）=^SVt？-（x+αLt？）DX适用于所有S∈ B（R），其中书信电报？由（PJC）唯一指定。因此，爆炸后，系统从新密度Vt？重新启动？关于νt？由VT提供？（x） =Vt？-（x+αLt？）对于所有x≥ 反过来，虽然Vt？-在x=0时不具有解析性，如下所示Lt？>0和Vt？-在内部进行分析，我们确实具有新密度vt的分析性？x=0时。所以我们有一个系列的扩展vt？（x） =Vt？（0）+Xn≥1cnxn，每x∈ [0，x]，对于某些x>0。如果Vt？(0) < α-1我们是否具备Vt所需的条件？通过使用非常小的xsu。如果Vt？(0) > α-1，那么，由于物理跳转条件（PJC）开启我保证了吗？满意度（3.1），如果x足够小，我们就有了一个矛盾。有没有提供Vt？(0) = α-1，那么在最后一种情况下，对于所有n，我们不能让cn=0≥ 1，所以letn：=最小值{n:cn6=0}。对于x>0非常小的情况，我们有vt？（十）≥ α-1+（cn+ε）xn，每x∈ [0，x]，其中|ε|≤|cn |。再次，如果cn>0，那么我们与（3.1）相矛盾，因此cn<0，所以我们有Vt？满足定理3.1中的条件（3.2）。

因此，定理3.1可以在第一次爆破时间t？之后的一小段时间内应用？。虽然我们在爆炸后得到了小时间唯一性，但需要注意的是，全局唯一性是本文中介绍的技术无法实现的。如果系统在连续时间内达到图3.1所示的病理状态，那么我们就不能传播我们的唯一性论证超过这个时间。在本文件的原始提交和当前修订之间，Delarue、Nadtochiy和Shkolnikov精确地解决了f（x）=x和zt=Bt的情况下（MV）的全局唯一性问题【9】。他们的一项关键技术成果是，如果系统是从不具备该特性的大量初始密度开始的，则排除出现改变原点附近单位时间内单调性的振荡密度（如图3.1所示）。3.3内部密度分析在最后一小节中，我们提供了命题3.2的证明。如前所述，它通过核平滑进行，因此对于任何δ>0和任何度量uon（0，∞), 我们定义了卷积TΔu（x）：=^∞Gδ（x，x）u（dx）和Trδu（x）：=^∞Grδ（x，x）u（dx），对于x≥ 0，其中核Gδ和Grδ分别是正半线上的吸收和反射高斯密度，由Gδ（x，x）给出：=√2πδne-（十）-x） 2δ- e-（x+x）2δo，Grδ（x，x）：=√2πδne-（十）-x） 2δ+e-（x+x）2δo.替换δ7→ 2δ，这些当然是正半直线上的Dirichlet和Neumann热核。作为对细心读者的一个警告，我们偶尔会用一个反命题，简单地写下TΔφ或TrΔφ，以表示应用于度量值的操作符，其中，don–Nikodym导数是函数φ。考虑到与（MV）相关的度量值νT的流动，本节的重点是对命题3.6中导出的TΔνT（·）导数的局部能量估计。

利用这一点和下面的两个引理，推论3.7表明νtin fact具有光滑的密度vt。最后，我们通过能量估计和Sobolev嵌入的特定形式完成命题3.2的证明，这在导数上给出了合适的局部逐点边界，保证了（0，∞).引理3.4（弱导数的存在）。假设lim infδ→0公里nxTδuk<∞. 那么u有一个n次弱导数nxu∈ L（0，∞) 和knxTδuk→ knxukasδ→ 0.证明。自lim infδ→0公里nxTδuk<∞, 一个标准的弱紧性论证给出了(nxTδu）δ>0收敛于强极限h=nxuin L（0，∞), 和khk≤lim infδ→0公里nxTΔuk。此外，我们可以检查nxTδu（x）=hu，nxGδ（·，x）i=(-1） nhu，nxGrδ（·，x）i=（Trδ(nu））（x）=Trδh。但Trδ是一个L-收缩，因此我们推断lim supδ→0公里nxTδuk≤ khk和henceknxTΔuk收敛于khk。无论初始条件ν如何，[15，第2.1项]表明，νthas为有界密度Vt：（0，∞) → (0, ∞) 对于所有正时间t>0。此外，如果ν的密度为L，那么我们可以控制每个vt的Lnorms，这将作为下面推论3.7中归纳论点的基本情况。引理3.5。如果ν的密度为V∈ L（0，∞), 然后kVtk≤ kVk每t≥ 0.证明。在[15，Prop.2.1]的证明中，我们得到vt（x）≤^∞√2πte-（十）-x+αLt）2tV（x）dx≤^∞√2πte-（十）-x+αLt）2tV（x）dx其中第二个不等式来自Cauchy–Schwarz。对x进行平方和积分得到结果。3.3.1命题3.2Let hνt的证明，φi：=\'φ（x）νt（dx）=E[φ（Xt）1t<τ]，对于本节的其余部分，让t？对于L的第一个跳跃时间，X在时间t？之前是连续的？。