弱反馈下传染McKean-Vlasov系统的唯一性

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英文标题：
《Uniqueness for contagious McKean--Vlasov systems in the weak feedback
  regime》
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作者：
Sean Ledger and Andreas Sojmark
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We present a simple uniqueness argument for a collection of McKean-Vlasov problems that have seen recent interest. Our first result shows that, in the weak feedback regime, there is global uniqueness for a very general class of random drivers. By weak feedback we mean the case where the contagion parameters are small enough to prevent blow-ups in solutions. Next, we specialise to a Brownian driver and show how the same techniques can be extended to give short-time uniqueness after blow-ups, regardless of the feedback strength. The heart of our approach is a surprisingly simple probabilistic comparison argument that is robust in the sense that it does not ask for any regularity of the solutions.
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中文摘要：
我们为最近引起人们兴趣的一系列McKean-Vlasov问题提供了一个简单的唯一性论证。我们的第一个结果表明，在弱反馈机制下，一类非常普遍的随机驱动存在全局唯一性。所谓弱反馈，我们指的是传染参数小到足以防止解决方案爆炸的情况。接下来，我们专门研究布朗驱动，并展示如何扩展相同的技术，以在爆破后提供短时唯一性，而不管反馈强度如何。我们的方法的核心是一个令人惊讶的简单概率比较论证，它在不要求解的任何规则性的意义上是稳健的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Uniqueness_for_contagious_McKean--Vlasov_systems_in_the_weak_feedback_regime.pdf (625.65 KB)

2022-6-11 05:27:10 上传

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关键词：McKean 唯一性 MCK Mathematical Conservation

传染性McKean–Vlasov系统的唯一性在弱反馈regimeSean Ledger和Andreas SojmarkDepartment of Mathematics，Imperial College London 2018年11月29日摘要我们为最近引起兴趣的一系列McKean–Vlasov问题提供了一个简单的唯一性论证。我们的第一个结果表明，在弱反馈机制下，一类非常普遍的随机驱动因素具有全局唯一性。所谓弱反馈，我们指的是传染参数小到足以防止解决方案爆炸的情况。接下来，我们专门研究布朗河（Browniandriver），并展示如何将相同的技术扩展到爆破后的短时唯一性，而不管反馈强度如何。我们的方法的核心是一个令人惊讶的简单概率比较论证，从某种意义上说，它并不要求解决方案有任何规律性。1引言在本文中，我们研究了McKean–Vlasov问题的唯一性Xt=X+Zt- αf（Lt）τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（τ≤ t） ，（MV），其中X∈ (0, ∞) 是一个随机起点，Z是一个连续的随机过程，f：[0，1]→ R是一个连续函数，α∈ R是一个常数。对于这个问题的解决方案，我们指的是一个递增的cádlág函数L：[0，∞) → [0，1]满足（MV），最初为零。我们主要感兴趣的是α>0且函数f为非负且递增的情况。这对应于一个具有正反馈的传染系统：当粒子X接近零处的吸收边界时，其被吸收的概率增加，因此f（Lt）增加，因此粒子被推到更接近吸收边界的位置。

正是从这个角度出发，在【15、16、21、23、24】和【5、7、8、17】中研究了（MV）的变体，前者是受大型金融市场传染病研究的激励，后者是受电耦合神经元大型网络的非线性兴奋性积分模型的激励。鉴于这些应用，一个特殊的相关设置是f（x）=x和α>0以及Zt=p1- ρBt+ρβt，其中Bt是布朗运动，β是固定布朗路径。这个问题对应于“有条件”（和传染性）麦基恩-弗拉索夫体系的路径实现Xt=X+p1- ρBt+ρBt- αLtτ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（τ≤ t | B），（CMV），其中（B，B）是独立于X的二维布朗运动。在第2节中，我们证明了在弱反馈区域α>0的小条件下，该系统的全局适定性。[21]中表明，（CMV）的“松弛”解——对于该解，L对Bis的适应性以适当的方式松弛，作为以下微粒系统的极限点出现：N个微粒按照通过HB相关的布朗运动（称为“共同噪声”）移动，但当微粒撞击原点时，它被吸收，然后，这会产生一种传染效应，导致所有其他粒子以α/N的速度向下跳跃，α>0，可能会导致更多的粒子被吸收，进而导致更多的向下跳跃。如【21】中所述，如果每个粒子测量金融实体的“违约距离”，并且零吸收对应违约，那么这种正反馈回路可以模拟违约传染（α>0）和普通风险（ρ>0）之间相互作用导致的一连串破产。同样，在[6]的激励下，每个particlecould都可以对银行的对数杠杆率（定义为资本对资产的对数）进行建模，该比率的最小值由监管机构强制执行。

当达到这一最低水平时，银行必须出售资产以提高其杠杆率，如果这些出售涉及普通非流动资产（ρ>0），则会压低这些资产的价格，从而导致其他银行的杠杆率下降（α>0）。然而，请注意，达到阈值的银行现在应该重置为更高的杠杆率（在资产出售后），而不是违约，但主要的数学困难仍然是触及边界的正面反馈。此外，ρ依赖于L也是很自然的，因此出售共同资产会降低银行之间的相关性。通过简单的符号变化，后一种系统可以被重新表述为电耦合神经元的“尖峰”模型，这已在[7，8]中进行了研究。在这种情况下，每个粒子模拟神经元的膜电位，当该电位达到上限阈值时，神经元被称为“尖峰”：即，它发出一个电信号，使所有其他电位增加α/N，尖峰神经元本身被重置为预定值。1.1爆破和物理跳跃条件由于正反馈，对于足够大的α>0，（CMV）的解可以产生跳跃不连续，我们称之为爆破，如[15，21]。为了研究这些情况下的唯一性，有必要解决爆破时的模糊性（参见【15，第1.2款和第2节】中的说明和进一步讨论）。这是通过指定相关跳转大小必须满足物理跳转条件来实现的Lt=inf{x>0：νt-（[0，αx]）<x}，（PJC）概率为1，其中νt-是由νt（S）定义的νtde的左极限：=P（Xt∈ S、 所有S的t<τ| B）∈ B（R），其中τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}和ν是X的定律。也就是说，流动ν给出了在公共噪声B条件下在原点吸收的X的边缘定律。

我们注意到L在（MV）中是确定的，因此自然地，条件（PJC）应该用νt=P（Xt）来理解∈ ·, t<τ）与ρ=0的（CMV）一样。简而言之，（PJC）是跳跃大小的正确规格，原因有二。首先，在（CMV）的情况下，该条件给出了L为cádlág所需的最小跳跃大小【21，第3.3条】。其次，将[8，21]中构造的解作为有限粒子系统（如上所述）的极限点获得，相应的离散版本（PJC）给出了跳跃行为的唯一合理物理描述，然后该离散条件在极限内产生（PJC）。还应注意的是，（MV）的一般（可能是非物理）解可以直接从Nadtochyi和Shkolnikov[24]证明的广义Schauder不动点定理构造，在Z和f上的适当条件下。在物理跳跃条件存在的情况下，因此，只考虑不想立即跳变的初始密度是很自然的（与L为cádlág且初始为零一致）。事实上，很自然地，只局限于不断发展的系统可以达到的状态，并回顾（PJC）是左极限νt的规则-, 这转化为初始条件ν满足inf{x>0:ν（[0，αx]）<x}=0（1.1），在f（x）=x的情况下（对于一般f，应将（1.1）中的左侧替换为（1.2）中的右侧，t=0，L=0）。虽然这一条件对于布朗驱动下的cádlág解是必要的，如[21，Prop.3.3]中的（CMV），但对于更一般的Z，可以构造（MV）的cádlág解。具体而言，与[24，（3.15）]类似，可以取Zt：=Bt+AtwithAt：=αP（X+infs<tBs≤ 0）和f（x）=x。

如果Xis使得（1.1）的左侧是严格正的，并且没有强制要求该正性会导致L立即跳转（正如（PJC）所暗示的那样），那么L：=A给出了（MV）的连续解，尽管通过选择X违反了（1.1）。在本文中，关于跳跃的唯一数学贡献是当Z是标准布朗运动且f（x）=x时的情况（见第3节）。然而，如果考虑一般反馈函数f，对应于（PJC）的条件很简单Lt=infx>0：νt-0，α·（f（x+Lt-) - f（Lt-))< x个. （1.2）1.2布朗情况下的偏微分方程观点我们现在简要回顾一下现有的基本设置Zt=bt和f（x）=x的偏微分方程方法，其中B是标准布朗运动。如果我们让vt表示νt的密度，即x在原点被吸收的定律，那么我们（至少正常地）得到了PDEtVt（x）=xxVt（x）+αLtxVt（x），Lt=xVt（0），Vt（0）=0，（1.3）对于x∈ (0, ∞). 在这里，传染反馈作为一个传输术语出现，它以与穿过边界的电流成比例的速率将质量推向原点。设置v（t，x）：=-αVt（x- αLt），对于α>0，V和L的方程为电视=xxv开启（αLt，∞), xv（t，αLt）=-αLt，v（t，αLt）=0。（1.4）这是一个斯特凡问题，用于模拟占据半无限条带（αLt，∞): 液体最初过冷至温度v（0，x）=-αV（x）在冰点V=0以下，并且演化的“冻结锋”由x=αLt给出。如果V（0，·）=-c、 然后，该系统的适定性表现出明显的二分法：对于c<1，它采用显式相似解，而对于c，则不可能存在解≥ 1.

这种情况激发了Dembo和Tsai最近的分析【10】，该分析通过离散化粒子近似的标度行为来研究临界状态c=1。一个相关的研究路线是[2，3，22]，它考虑了PDEtu（t，x）=xxu（t，x）+u（t，0）xu（t，x），xu（t，0）=-x的u（t，0），（1.5）∈ (0, ∞), 作为细胞极化的模型：u是细胞中分子标记的密度，用正半线表示，密度的时间演化与x=0时细胞膜上标记的浓度耦合。如果weset▄Vt（x）：=α-1'xu（t，y）dy，然后我们返回（1.3），初始条件▄V（x）=α-1'xu（y）dy.Calvez等人[2，3]表明，（1.5）允许全局弱解，如果''∞u（y）dy≤ 1，如果'，则u在限定时间内爆炸为不完整∞u（y）dy>1，且unon增加（有关某些因素，另请参见[22]）。注意，在上述两个例子中，可解性主要取决于初始条件与α的比较-同样的关系将在下一节的结果中发挥重要作用。现在回到过冷Stefan问题，有一篇关于其适定性的早期文献，关于有限条带上（1.4）的微小变化。这可以追溯到Fasano和Primicerio【12，13】，他们给出了初始数据的条件，在此条件下，系统在所有时间或某个有限爆炸时间内都可以在经典解类中唯一解。如果源项Ltδ（x- c） 对于一些c>0的情况，将δ添加到（1.3）中，其中δ是三角函数，则系统的质量保持不变。回顾前面描述的有限粒子系统，这对应于粒子到达边界后立即重置为预定值c（而不是被吸收）的情况。Carillo等人将分析归结为类似Stefan的问题。

[4] 表明，对于α≤ 0时，始终存在唯一的经典解，而对于α>0时，经典解存在到可能的有限爆炸时间（对于杯形到边界并在那里消失的初始条件）。有关更多背景信息，请参见[1，5]。在这一点上，重要的是要强调，[8，21，24]中的（MV）和（CMV）的解在时间上是全局的：它们不会在某个爆炸时间停止存在，即使事实上，对于足够大的α>0[15，Thm.1.1]，必须有跳跃不连续形式的爆炸。1.3布朗情形中问题的最新历史除了存在结果[21，24]，关于（MV）的文献集中在Z是布朗运动，B，直到绝对连续漂移的情形。为清楚起见，wethus将重点放在本小节中的Zt=Bt和f（x）=x上。受PDE观点的不完全结果的启发，当α>0时，Delarue等人[7，8]引入了本质上是PDE问题（1.3）解的广义概率概念，即（MV）。最近，通过Nadtochiy和Shkolnikov【23】以及本文作者和Hambly【15】的独立研究，继续研究这个问题的唯一性和规律性。以下是结果的简要概述：o让X=X>0。在[7]中，有一个α∈ （0，1）这样，对于任何α∈ （0，α），（MV）在任何时间间隔上都有一个C解L，并且该解在此类中是唯一的。该结果适用于（神经元）版本，其中粒子在撞击边界时重置在与[7]相同的设置下，对于任何α>0的情况，[8]获得（MV）的全局解，作为前面描述的（神经元）粒子系统的极限点。此外，如果极限点之间存在唯一性，则存在混沌传播让V∈ H（0，∞).

对于任何α>0，[23]给出了在爆炸时间t？>0，以便L∈ L（0，t）表示t<t？kLkL（0，t）爆炸ast↑ t？。此外，在t？在这类解决方案中。o让V∈ L∞和V（x）≤ Cxβ对于某些C，β>0。对于任何α>0的情况，[15]给出了爆炸时间t>0，以便L∈ L（0，t）fort<t？kLkL（0，t）爆炸为t↑ t？。此外，在t？在所有候选解决方案中，以及| Lt |≤ 千吨级-1.-对于任何t<t？，β在[0，t]上？。请注意，最终结果可以与第二个项目符号的结果相结合，即（CMV，ρ=0）到爆炸时间的混沌传播（或对于较小的α>0，全局）。基于上述结果，Kaushansky和Reisinger【19】和Kaushansky、Lipton和Reisinger【18】提出并分析了（CMV，ρ=0）直至爆炸时间的数值格式。1.4论文概述和主要结果在第2节中，我们证明了α（定理2.2）上的小条件下（MV）的全局唯一性，这定义了弱反馈区域。在此基础上，我们证明了（CMV）在弱反馈区域是全局适定的（定理2.3）。在第3节中，对于一般α>0且没有小尺寸条件的情况，我们专门研究了Zt=bt和f（x）=x的（MV）。在这种情况下，我们将技术从第2节扩展到在初始密度接近零的形状的温和假设下的短时唯一性（定理3.1）。最后，我们利用这个结果证明了爆破后问题的局部唯一性（定理3.3）。2弱反馈的全局唯一性本节的主要目的是证明弱反馈区域中（MV）的解的唯一性，即当反馈参数α满足适当的小条件时（定理2.2）。

我们的证明方法基于一个令人惊讶的简单比较论证，这个论证是“零阶”的，因为它没有利用解的微分或分析性质，L是时间的函数，V是空间的函数。从概率上讲，这是很自然的，因为麦肯-弗拉索夫公式（MV）不涉及任何衍生工具，而不是德国能源部的观点（1.3）。当驱动噪声Z出现粗略漂移时，我们的零阶方法的价值最为明显，因为早期文献[4、7、15、23]中开发的分析工具无法应用于此类设置。2.1弱反馈区域的唯一性我们对McKean–Vlasov系统（MV）感兴趣，在一般假设Z是一个连续的随机过程，Z⊥ 十、 和f∈ C（[0，1]，R）。（H） 我们的首要任务是进行上述比较论证。我们将它作为引理与定理2.2分开，因为我们将在第3节中再次需要它。图2.1提供了其证明的可视化，这有助于突出这个引理和由此产生的定理2.2的几何特性。引理2.1（比较引理）。假设L和'L是初始条件为ν的假设（H）下（MV）的两个解。然后| Lt-\'Lt |≤ Ehνsups公司≤t{αf（Ls）- Zs}，sups≤t{αf（(R)Ls）- Zs}我∨ Ehνsups公司≤t{αf（(R)Ls）- Zs}，sups≤t{αf（Ls）- Zs}i、 何处\'∨’ 表示右侧两个值中的最大值。证据设L和L是假设（H）下（MV）的任意两个解，通过相同的随机过程Z和相同的随机起点xd耦合，根据ν分布。