连续时间市场模型中的生存投资策略

对于F的积分 B（S）-关于随机测度的可测函数，我们将使用符号F* ut（ω）=Z（0，t）×RN+1+f（ω，s，x，v）u（ω，ds，dx，dv），（7）假设积分定义良好（作为勒贝格积分），可能+∞ 或-∞. 从今以后，变量x∈ RN+对应于x和v的跳跃∈ R+到V的跳跃。积分（7）可定义为一般随机度量；在特定情况下，当u是（X，V）跳跃的度量时，它可以简单地写为sumf* ut（ω）=Xs≤tf（ω，s，Xs（ω），Vs（ω））I(（Xs，Vs）（ω）6=0）。在f是向量值可测函数的情况下，我们将积分（7）视为向量值并进行协调计算。特别地，进程XT可以用XT=Xct+x的形式表示* ut，其中x=（x，…，xN）和函数（x，v）7的xnstands→ xn。LeteP=P B（RN+1+）是上的可预测σ-代数Ohm ×R+×RN+1+。回想一下，如果对于任何可测的非负函数f（ω，t，x，v），过程f* νtis可预测（P-可测量）。从现在起，让νd enote作为跳跃度量u的补偿器，即一个可预测的随机度量，对于任何可测量的n个负函数，f保持相等（f* u∞) = E（f* ν∞),或者，相当于f*(u -ν） 这是一个局部鞅，前提是过程| f |* ut局部可积。适应的c ` adl\'agprocess的跳跃度量总是有一个补偿量，该补偿量与P[10，§II.1]不可区分，因此在我们的模型中，对ν进行了很好的定义。由于过程X和V没有减少，不等式（| X |∧ 1+v）* νt<∞持有a.s。

关于所有t，见[13，§4.1]。根据一般理论，已知存在一个可预测的c ` adl ` ag非递减局部可积标量过程G（一个操作时间过程），其中u p p-不可区分性，Xct=b·Gt，ν（ω，dt，dx，dv）=Kω，t（dx，dv）dGt（ω），（8）其中bt是一个值为RN+，Kω，t（dx，dv）的可预测过程(Ohm ×R+，P）到（RN+1+，B（RN+1+），对于所有ω，t表示性质kω，t（{0}）=0，ZRN+1+（| x |∧ 1+v）Kω，t（dx，dv）<∞.例如，可以使用processGt=| Xct |+（| x |）∧ 1+v）* νt.（9）这个过程的表示（8）的可能性可以类似于命题II来证明。2.9英寸【10】。对于满足（8）的b、K、G，用公式（ω）=ZRN+1+xn1确定可预测的p过程At，其值为RN+- v+| x |/重量-（ω） Kω，t（dx，dv），（10）并定义策略bλbybλt=at+bt | at+bt |，（11），其中当| at+bt |=0时，我们对所有N计算bλnt=1/N。这一战略将成为生存战略的候选。请注意，过程V的连续部分不参与其构造。注意，策略bλ在本质上并不取决于以下意义上的操作时间过程的选择。让过程G由（9）定义。确定测量值Q=PG开启(Ohm×R+，P），即对于A∈ PQ（A）=EZ∞I（（ω，t）∈ A） dGt（ω）.提案2。假设G′是另一个满足（8）的操作时间过程，而bλ，bλ′是如上所述关于G，G′构造的策略。然后bλ=bλ′（Q-a.s.）。此外，对于任何初始大写字母Ym>0，m=1，M，且策略文件∧=（bλ，λ，…，λM），∧′=（bλ′，λ，…，λM）具有任意策略λM，M=2，M，相应的财富过程相等，i。e、 Y（Y，λ）=Y（Y，λ′）。备注1。显然，第2.1节的离散时间模型是一般模型的特例。

在离散时间内，Xt=在，Vt=δt，可以取Gt=[t]（整数部分）。那么Xct=0，Kω，t（dx，dv）是这对（At，δt）的正则条件分布，r相对于Ft-1、通过向前追踪计算，we findant=Wt-1E级AntWt公司英尺-1., bt=0，bλt=at | at |。（12） 4主要结果4.1陈述在本节中，我们假设给定并固定了表示法（8）适用的操作时间过程Gfor，以及前一节中描述的由G构成的a、b、K、bλ。为了表述结果，让我们还介绍可预测的标量过程HT=| a+b | W-· 燃气轮机。提案3。过程H是有限的：Ht<∞ a、 s.适用于所有t≥ 对于自适应标量过程Lt，我们将使用符号M（L）={τL（L），L∈ R+}对于L第一次超过LF水平时的停车时间类别：τL（L）=inf{t≥ 0：Lt≥ l} ，其中inf = +∞ .我们在下面的定理中得出的第一个主要结果表明，ifa策略λ在某种意义上接近于λ，那么它就是生存。特别是，bλ本身就是生存。定理1。假设策略λ满足以下条件：（a）P(t：λnt=0，bλnt6=0）=0，对于所有n，（b）过程Ut=bλt（lnbλt-lnλt）满足U·H∞< ∞,（c） E（UτHτI（τ<∞)) < ∞ 对于任意τ∈ M（U·H）。然后，如果投资者m使用策略λ，则限制极限→∞rmt>0存在，其他投资者的任何策略λkof的概率为1。特别是，策略λ是生存。策略λtobλ的接近度基本上由条件（b）确定，而（a）和（c）是技术假设。让我们澄清一下，在集合{λnt=0}和{bλnt=0}上的条件（b），（c），Utis定义中标量积中的对应项假设为零。还可以观察到过程U是非负的，正如吉布斯不等式所示（另见下面的引理1）。

因此，积分U·H∞条件（c）中的期望值总是很明确的，因为它们可能具有价值+∞.下一个简单命题可用于验证特定模型中定理1的条件（a）、（b）。关于（c），其有效性的一个简单有效条件是过程G的连续性（以及H的连续性）。例如，当X和V是非减量L'evy过程时，G是连续的。提案4。假设过程X，V是这样的，策略bλ满足不等式inf≥0bλnt>0表示所有n。在这种情况下，如果策略λ满足≥对于所有n和kbλ，0λnt>0-λk·H∞< ∞, 然后满足定理1的条件（a），（b）。下一个结果表明，在某种意义上，所有生存策略都渐近接近策略bλ。定理2。如果策略λ是生存策略，那么kbλ-λk·H∞< ∞.下面阐述的第三个定理表明，生存策略在市场中占主导地位，即使用该策略的投资者的相对财富倾向于1作为→ ∞, 如果其他投资者的代表性策略在某种意义上与bλ本质上不同。根据投资者的代表性策略k 6=m，我们称可预测过程eλ为这些投资者策略的加权和，以他们的相对财富为权重：eλnt=1-rmt公司-Xk6=mλk，ntrkt-.请注意| eλt |=1。定理3。假设投资者m使用满足定理1条件的策略λ。Leteλ是其他投资者的代表策略。然后限制→∞rmt=集合{kbλ上的1 a.s-eλk·H∞= ∞}.最后一个结果将我们模型中的生存策略与具有外生资产价格的资产市场模型中的增长最优（或对数最优）策略进行了比较（见下一节的讨论）。

为了说明这一点，让我们定义投资者m的财富Ymtaslim supt的渐进增长率→∞tln Ymt（类似于具有外生价格的资产市场模型中的渐近增长率的定义，参见，例如，[12，Ch ap ter 3.10]），并定义财富增长率Ymt在时间间隔s<t ast-东南方字母YFs公司.定理4。1） 如果投资者m使用生存策略，那么该投资者将实现市场财富的最大渐进增长率：对于任何klim supt→∞tln Ymt公司≥ lim支持→∞tln Ykt。2） 相反的投资者m使用策略Bλ和leteYt=Pk6=MYK表示其他投资者的总财富。然后，在任何时刻s<t之间，Ymtgrows比eytbrows快，因此E（| ln Wt | Fs）<∞, i、 e.e字母YFs公司≥ ElneYteYs公司Fs公司.注意，在定理4的第二个权利要求中，通常不可能说E（ln（Ymt/Yms）| Fs）≥ E（ln（Ykt/Yks）| Fs）对于任何k，如果投资者数量为M≥ 3、备注2。如上所述，本论文中考虑的所有投资策略都是基本的，因为它们的组成部分只是tandω的函数。我们还可以通过允许一般策略来扩展模型，其中λtmay以适当的非预期方式取决于过程Y的路径，λ直到时间t。然而，上述大多数结果在这种扩展设置中也将保持有效。让我们在不涉及技术细节的情况下对此进行启发式论证。例如，假设策略λmt（ω，Yt-（ω） ）也可以依赖于当前的财富，从而财富方程可以接受唯一的解Y。然后我们可以考虑策略的实现|λmt（ω）=λmt（ω，Yt-（ω） （假设它们是可预测的过程），通过检查证明，可以看出定理1、3和4以及命题4将是有效的，前提是附加要求它们的语句中的策略λ是基本的。

尤其是，Theorem 1意味着在具有一般战略的模型中存在生存战略，并且可以在基本战略中找到生存战略（bλ就是这样一种战略）。然而，只有基本生存策略w将渐近接近bλ，即如果允许λ为一般生存策略，则定理2不成立。文[2]中提供了一个不同模型的反例，但它也可以应用到我们的环境中。4.2与文献中的其他结果相比，一般而言，基于投资策略自然选择思想研究资产市场长期动态的工作可归因于进化金融领域，该领域自1990年2月以来发展起来。最近的评论（主要是离散时间模型）可以在[7，9]中找到。让我们首先提到与定理1、2和3的结果相关的其他工作。本文研究了一个离散时间的相似模型。其主要区别在于，在每一时刻，全部财富都被重新投资，即财富方程，而不是（1），是以下方程：Ymt=Xnλm，ntYmt-1Pkλk，ntYkt-1试剂。（13） 注意，它可以通过取δt=1从（1）中正式获得。论文[2]的主要结果还包括找到一个明确形式的生存策略，并证明所有生存策略都是渐近循环的。在该模型中，生存策略由与（12）相同的公式定义，δt=1（应将v≡ 1英寸（10））。由于论文[6]考虑了该模型的扩展，投资者还可以决定将其财富的哪一部分分配给资产投资，以及在无风险账户中保留哪一部分。

这表示为Pnλm，Nt可能小于1。论文[1]中也获得了类似的结果，即离散时间（更困难）模型，该模型假设投资者可以在随后的时刻以市场确定的价格（通过供需平衡）出售资产——这种假设对于股票市场模型来说是自然的。值得注意的是，在基本策略中也存在一种生存策略，这种生存策略依赖于股息序列的结构，而不依赖于投资者的行为。我们还要提到论文【3】（另见后续论文【4】）——这是该方向的第一篇论文之一，其中得到了与定理1类似的结果（以及其他结果）。该文件中考虑的模型是（13）的一个简单特例，在每个时刻只有一项资产产生收益，如果支付，其金额是事先知道的。请注意，模型（13）不能直接推广到连续时间的情况，因为连续时间模型应该允许在“非常短”的时间内，支付可能“非常小”，但方程式（13）没有意义。

由于假设δt<1，我们的模型中不存在这样的问题。在连续时间情况下的（少数）其他结果中，让我们提及论文【14】，其中研究了离散时间模型到连续时间模型的收敛性，以及论文【15】，其中研究了在亨帕伊夫由绝对连续非递减过程确定的情况下，投资策略的生存和优势问题。最后，关于定理4，我们可以看到，在没有竞争的数学金融模型中，生存策略，尤其是RBλ，与增长最优策略（也称为logoptimal策略、基准策略、num'eraire投资组合）相似，因为它们会导致财富的最快增长。例如，在[5，第5章]，[8]中可以找到关于增长最优策略的说明，在[11，16]中可以找到关于离散时间模型的说明，在[11，16]中可以找到关于一般连续s时间模型的说明。然而，请注意，生存策略和增长最优策略之间有着本质的区别：后者是作为财富过程的单代理优化问题的解决方案获得的，而前者不能以这种方式获得，因为投资者不知道竞争对手的策略。5校样在进行校样之前，为了方便读者，让我们简要回顾一下随机指数的概念，它将在下面的几个地方使用。如果Z是标量半鞅，则Z的随机指数E（Z）是解随机微分方程的半鞅（s总是有唯一的强解，请参见[10，§I.4f]）dE（Z）t=E（Z）t-dZt，E（Z）=1。在我们将要考虑的所有情况下，只有具有有限变化的自适应c’adl’ag过程将被用作Z，因此该方程应在路径Lebesgue–Stieltjes积分的意义上得到理解。

Dolean–Dadeformula表示在这种情况下，e（Z）t=eZtYs≤t（1+Zs）e-Zs。（14） 特别是，如果Z>-1，然后E（Z）>0和E（Z）-> 命题1的证明。介绍乐趣：RMN+M+→ RMN+规定了方程式（6）中的支付分布：【F（λ，y）】m，n=λm，nymPkλk，nyk。当一些n的分母等于0时，我们定义[F（λ，y）]m，n=1/m。很容易检查|[F（λ，y）]m，n/yk |≤ 1年/月。因此，在任意集{y:ym上，y上的Fis-Lip-schitz连续≥ a表示所有m}，其中a为正常数。设l（a）为函数，定义为∈ (0, ∞), s uchthe | F（λ，y）- F（λ，ey）|≤ l（a）| y- ey |对于任何λ∈ RMN+和y，ey∈ RM+带YM、eym≥ a代表所有m。我们可以假设l（a）≥ 对于任意a和l（a），在R+\\{0}中的任意紧集上都有1。让y*= 明明。定义τ=0的停止时间g乘以τi的顺序，对于i≥ 1，τi=inft型≥ τi-1： | Xt |≥ |Xτi-1 |+4l（y*E类(-V）τi-1/2）或VT≥ Vτi-1+∧y*E类(-V）τi-12（y*+ |Xτi-1| + 1/4)∧ （τi-1+1），其中inf = ∞. 不难看出τi≤ i和τi→ ∞ 作为我→ ∞.我们将在区间[0，τi]上通过归纳构造（6）的解。也就是说，我们将定义一个在任何区间[0，t]上具有有限变化且满足[0，τi]上的方程（6）且性质yy（i）t=Y（i）的自适应c\'adl\'ag过程序列Y（i-1） t对于t≤ τi-对于i=0，对于所有t，设Y（0）t=Y≥ 0、假设过程Y（i-1） 已构建。观察等式（6）意味着对于每个mYmE(-V）t≤ Y（i-1） ，公吨≤ Ym+| Xt |表示t≤ τi-1.（15）这里，右不等式是明确的，左不等式是从过程Y（i）得出的-1） ，机电一体化(-V）是非递减的，这可以通过计算其随机差异来看出。现在让我们构造Y（i）。考虑b+d+c\'adl\'agfunctions的Banach空间f:R+→ Rm，标准kf k=支持≥0 | ft |表示为D，由f组成的封闭s ubset，其值以RM+表示。

对于每个ω，考虑映射f的操作符H∈ D toH（ω，f）t=Y（i-1） t型∧τi-1+I（t>τI-1） Z（τi-1，t]I（u<τI）（F（λu，fu-)dXu- 傅-dVu），（16），其中右侧ide中的随机变量针对给定ω进行评估。注意，H保持了过程的适应性，如果yi是适应性过程，那么H（Y）也是适应性过程。对于每个ω，引入setD（i）（ω）=nf∈ D：YmE(-V）τi-1(ω) ≤ fmt公司≤ Ym+| Xτi-1（ω）|+对于所有m和t≥ τi-1（ω）o。让我们证明H（ω）将D（i）（ω）映射到自身中。实际上，函数H（f）isc\'adl\'ag。定义D（i）时，H（f）的上界如下所示：≥ τi-1） H（f）mt≤ Ymτi-1+| Xτi-| -|Xτi-1| ≤ Ym+| Xτi-| +,其中，第一个不等式h er e从（16）中得出，其界为| F（λ，y）|≤1，第二个等式来自（15）中的右不等式和估计值| Xτi-| - |Xτi-1| ≤ 1/4，由τi的值决定。H（f）的下界与t的下界一致≥ τi-1H（f）mt≥ Ymτi-1.-Z（τi-1，τi）fu-dVu≥ YmE公司(-V）τi-1.-Ym+| Xτi-1(ω)| +（Vτi-- Vτi-1)≥YmE公司(-V）τi-1，其中第二个不等式因（15）和上界f而成立∈ D（i），而根据τi的选择，第三个不等式是有效的。因此，H将D（i）映射到自身中。此外，对于任何f，ef，它都是收缩映射∈ D（i）kH（f）- H（ef）k≤Z（τi-1，τi）（| F（λt，ft-) -F（λt，eft-)|dXt+|英尺--eft公司-|dVt）≤kf公司-efk。这里，为了限制积分相对于dXt，我们使用thatft-,eft公司-≥ y*E类(-V）τi-根据D（i）的定义，1/2，因此被积函数可以由| ft--eft公司-|l（y*E类(-V）τi-1/2），因此积分的值不超过kf-efk/4，因为| Xτi-|-|Xτi-1| ≤ 1/（4l（y*E类(-V）τi-1/2)).以类似的方式，关于dVtis的积分也不是更大的thankf-efk/4，因为Vτi-- Vτi-1.≤ 1/4.因此，H有一个固定的点EY，它在半区间[0，τi]上满足方程（6）。