连续时间市场模型中的生存投资策略

过程Y是自适应的，因为它可以作为自适应过程Hn（Y（i））的极限（对于每个ω和t-1） ）作为n→ ∞ ,式中，n表示n次应用H.definey（i）t=eYtI（t<τi）+heYτi-+ F（λτi，eYτi-)Xτi-eYτi-VtiI（t≥ τi）。那么，Y（i）是在w孔间距[0，τi]上满足（6）的寻求过程。Y（i）和Y（i）的严格正性-遵循（15）中的左不等式。（6）的解的唯一性来自于归纳的每个步骤上算子H的固定点的唯一性。命题2的证明。假设G′是一个满足（8）的可预测过程，具有一些过程b′和转移核K′。然后，由G在R+上生成的随机测量相对于由G′生成的测量是绝对连续的，并且根据[10，命题I.3.13]，存在一个非负的可预测过程ρ，使得G=ρ·G′。HenceXc=b·G=（ρb）·G′，而同时，Xc=b′·G′，所以我们有ρb=b′（PG′-a.s.和h-ence，Q-a.s.）。以类似的方式，ρK=K′（Q-a.s.），这意味着ρa=a′（Q-a.s.），其中a，a′是（10）定义的关于K和K′的过程。然后，通过（11），我们得到bλ=bλ′（Q-a.s.），这证明了该命题的第一个主张。为了证明第二种说法，请注意，如果ft，f′tar是可预测的非负过程，使得f=f′（Q-a.s.），那么f·X=f′·X。因此，如果在财富方程（5）中，我们将策略λ=bλ替换为bλ′，那么财富过程Yt（Y，λ）将保持其解（直到P-不可分辨性）。命题3的证明。

确定停车时间τi，i的顺序≥ 0，τ=0，τi=inf{t≥ τi-1： Wt公司≤ 1/i或Wt≥ i}∧ （τi-1+1），i≥ 1、我们有hτi-≤ i（| a |+| b |）·Gτi-≤ 我我∧|x | 1- γV* ντi-+ i | Xcτi-| < ∞,其中，在第二个不等式中，我们使用了| at |的界≤RRN+1+（i∧ |x |/（1-γV）Kt（dx，dv），对于t<τi，从（10）中得出，在最后的不等式中，使用了性质（| x |∧ 1) * νt<∞. 因为W>0和W-> 0，我们有τi→ ∞ 作为我→ ∞, 因此，Ht<∞ 对于所有t≥ 在下面的引理中，我们建立了一个辅助不等式，将在随后的证明中使用。为了说明这一点，让我们介绍函数ln x=（ln x，如果x>0，-1，如果x≤ 引理1。假设向量α，β∈ RN+是这样的|α|=|β|=1，对于每个n，如果βn=0，我们有αn=0。然后α（lnα- lnβ）≥kα- βk.（17）证明。对于具有严格正坐标的向量，该不等式遵循Kullback–Leibler和Hellinger–Kakutanidistance的不等式（例如，在[2]引理2中可以找到直接的p屋顶）：将α、β视为一组N元素上的概率分布是很有必要的。对于可能具有零坐标的向量，可以取cα+（1），而不是α-c） u，cβ+（1- c） u，其中c∈ （0，1）和u是严格正坐标的向量，且| u |=1。然后让c→ 1，并使用函数xln x的连续性和范数k·k获得（17）。定理1的证明。假设投资者m使用满足条件（a）–（c）的策略λ。首先，我们要证明，过程St=ln rmt+U·ht是一个局部子鞅。将财富过程y和财富总量W的过程表示为随机指数将很方便。

为简洁起见，将θt=Wt-,并将投资者m的策略λm=λ与N维可预测过程Ft相关联，其中分量Fnt=λm，ntθtPkλk，ntrkt-,其中，在不确定性0/0的情况下，我们定义Fnt=（MWt-rmt公司-)-1、然后过程Ymt和WT满足方程Ymt=Ymt-（FtdXt- dVt），dWt=d | Xt |-Wt公司-dVt。因此，它们可以用公式ymt=YmE（F·X）表示- V）t，Wt=WE（θ·| X |- V）t.Let Zt=ln rmt=ln E（F·X- V）t- ln E（θ·| X |- V）t+Z.如下（14），Zt=（F- θ） ·Xct+Xs≤tln公司1.-Vs+FsXs1- Vs+θs|Xs型|+ Z（在第一项中，从F的每个坐标中减去θ）。定义可预测函数f：Ohm ×R+×RN+1+→ R byf（ω，t，x，v）=ln1.- v+Ft（ω）x1- v+θt（ω）| x|.使用此函数，可以写zt=（F-θ） ·Xct+f* ut+Z。让我们证明代表性zt=g·Gt+f*(u - ν） t+Z（18），功能gt=（Ft- θt）bt+ZRN+1+ft（x，v）Kt（dx，dv）。为了证明（18），有必要证明f*νt<+∞ 和g·Gt>-∞ 对于所有t（然后我们还有| f |* νt<∞).考虑停止时间τi=inf{t≥ 0：rmt≤ 1/i或Wt≤ 1/i}带INF = +∞. 不难看出Fnt≤ θt（rmt-)-1对于所有n.Thenf≤i | x | 1-集{t<τi（ω）}上的γV+i | x |。自（| x |）∧ 1) * νt<∞ 对于所有t，我们有f*ντi-< +∞. 因为τi→ ∞ 作为我→ ∞ （由于W的严格积极性，W-, rm和rm-), 通过极限i→ ∞, 我们获得f*νt<+∞对于所有t，让我们证明g·Gt>-∞ 对于所有t.定义集合X（ω，t）={（X，v）∈RN+1+\\{0}：如果Fnt（ω）=0，n=1，…，则xn=0，N} 。利用Jensen不等式和对数的凹度，我们发现任何（x，v）的∈ X（ω，t）ft（X，v）=ln1.- v1- v+θt | x |+θt | x | 1- v+θt | x | Ftxθt | x|≥θt | x | 1- v+θt | x | lnFtxθt | x|≥θtxln（Ft/θt）1- v+θt | x |。这意味着对于每个tZRN+1+ft（x，v）Kt（dx，dv）=ZXtft（x，v）Kt（dx，dv）≥ θtatln（Ft/θt），其中我们使用Kt（RN+1+\\Xt）=0。

实际上，集合RN+1+\\X（ω，t）由（X，v）组成，其中Fnt（ω）=0，但对于某些n，xn>0。在集合{Fnt=0}上，我们有λm，nt=0，因此，根据定理的条件（a），bλnt=0 a.s.在该集合上，因此Kt（{xn>0}）=0。然后我们可以写≥ （英尺- θt）bt+θtatln（Ft/θt）≥ θt（at+bt）ln（Ft/θt）≥bλt（lnλt- lnπt）| at+bt |θt（19）（在第二个不等式中，我们使用了Fnt/θt- 1.≥ln（Fnt/θt）），其中πnt=Xkλk，ntrkt-. （20） 注意|πt |=1。将引理1应用于向量α=bλ和β=πt，从公式（19）中我们发现gt≥bλt（lnλt- lnbλt）| at+bt |θt=-Ut | at+bt |θt，其中，为了获得等式，我们将gedln更改为ln，这是由于条件（a）而可能的。然后，根据条件（b），g·Gt≥ -U·Ht>-∞, 这证明了代表性（18）。在p关节，| f|*νt<∞ 对于任何t。由于可预测的非递减有限值过程是局部可积的[13，引理1.6.1]，因此过程| f |* ν是逻辑可积的，因此f* (u - ν） 这是局部鞅。因此，St=Zt+U·hts是一个局部子鞅。按照标准技术，让我们证明这一事实和条件（c）意味着ZT有一个a.s.-fine极限，即t→ ∞.考虑停止时间的顺序τi=inf{t≥ 0：U·Ht≥ i} ，我∈ N、 （21）其中inf = +∞. 根据条件（b），对于a.a.ω，我们得到τi（ω）=∞ 从一些i开始。对于每个i，过程S（i）t=St∧τi，t≥ 0是一个localsubmartingale，而且，对于所有t≥ 0S（i）t≤ U·Hτi≤ i+UτiHτiI（τi<∞). （22）从条件（c）可以看出，上述不等式右侧的随机变量是可积的。因此，S（i）通常是次鞅，存在a.S-有限极限→∞S（i）t=Sτi（byDoob的鞅收敛定理，见[10]中的定理i.1.39）。Lettingi公司→ ∞, 我们得到了a.s-有限极限s的存在性∞= 限制→∞斯坦兹∞= S∞-U·H∞. 这意味着限制→∞rmt=exp（Z∞) > 0，这证明了定理。命题4的证明。

很明显，如果命题的条件满足策略λ满足条件（a）。表示bξ=inft，nbλnt和ξ=inft，nλnt。然后我们有不等式（λnt-bλnt）（lnλnt- lnbλnt）≤（λnt-bλnt）bλntifλnt≥bλnt，（λnt-bλnt）（lnλnt- lnbλnt）≤ln（ξ）（λnt）-bλnt）（ξ-1） bλntifλnt<bλnt，其中我们使用了不等式ln（1+x）≤ x如果x≥ 0和ln（1+x）≥xε-1ln（1+ε）如果x∈ [ε, 0], ε > -1，适用于x=（λnt-bλnt）/bλnt和ε=ξ- 1、自λt（lnλt- lnbλt）≥ 0（引理1），我们发现≤ln（ξ）kλt-bλtk（ξ-1） bξ。因此，U·H∞< ∞, 所以λ满足条件（b）。为了证明定理2和3，我们需要以下辅助结果。引理2。假设投资者m使用满足定理1的条件（a）–（c）的策略λ，并让πt为（20）定义的过程。然后kbλ-πk·H∞< ∞.证据在定理1的证明过程中，我们建立了不等式（19）。加上（17），它等于kbλ- πk·H∞≤ 4bλ（lnbλ- lnπ）·H∞≤ 4（克·克∞+ U·H∞).还有待证明g·g∞+U·H∞< ∞. 考虑（21）中定义的停车时间τ。对于任何t≥ 0E（g·Gt∧τi+U·Ht∧τi）=ES（i）t+S≤ i+E（UτiHτiI（τi<∞)),其中等式成立，因为g·Gt∧τi+U·Ht∧τiis是定理1证明中定义的子鞅S（i）的补偿器，且不等式适用于（22）且S=Z≤ 0、通过极限t→ ∞ ,利用单调收敛定理E（g·gτi+U·Hτi）<∞, 和henceg·Gτi+U·Hτi<∞. 通过极限i→ ∞, 我们获得g·g∞+U·H∞<∞, 因为τi（ω）=∞ 从a.a.ω的一些i开始。定理2的证明。考虑投资者1使用策略λ=λ，其他投资者使用策略bλ的市场，即λm=bλ，m=2，M、 在这种情况下，πt=λtrt-+bλt（1-rt公司-) 和kbλ-πtk=rt-kbλt-λtk。然后从引理2得到（r-kbλ-λk）·H∞< ∞. 由于λ是一种生存策略，我们的影响大于0。

因此，kbλ-λk·H∞< ∞.定理3的证明。我们有πt=λtrmt-+ (1 - rmt公司-)通过引理2的virtueof，我们得到了kbλ-λ + (1 -rm-)(λ -eλ）k·H∞= kbλ- πk·H∞< ∞.因为策略λ是生存，所以kbλ- λk·H∞< ∞ 根据定理2。从这些不等式可以得出（1- rm-)kλ-eλk·H∞< ∞. 根据定理1，存在a.s.-有限极限rm∞= 限制→∞rmt。则必须为rm∞= 集{kλ上的1 a.s-eλk·H∞= ∞}, a.s.与集合{kbλ）重合-eλk·H∞= ∞} 如定理2所示。定理4的证明。1） 如果投资者m使用生存策略，那么对于其他投资者的任何策略，不平等inftrmt>0的概率为1。然后suptWt/Ymt<∞ 因此s uptYkt/Ymt<∞对于任何k，我们得到不等式lim supt→∞tlnYktYmt公司≤ 0，这很容易暗示定理的第一个主张。2） 从定理1的证明可以看出，如果投资者m使用策略ybλ，那么ln rmtis是一个子鞅，对于任何≤ tE（ln rmt | Fs）≥ ln rms。（23）根据定理的假设，使用E（ln Wt | Fs）是有限值，并将上述不等式E（ln（Wt/Yms）| Fs）的两边相加，我们得到字母YFs公司≥ ElnWtWs公司Fs公司. （24）让ert=eYt/Wt=1- rmt。从（23）开始，根据Jensen的不等式，我们得出（ln ert | Fs）≤ 在ers中，条件期望可以假定值-∞. 然后，类似于（24），我们有lneYteYs公司Fs公司≤ ElnWtWs公司Fs公司,与（24）一起证明了定理的第二个主张。参考文献【1】R.Am ir、I.V.Evstigneev、T.Hens和L.Xu。进化金融和动态博弈。《数学与金融经济学》，5（3）：161–1842011。[2] R.Amir、I.V.Evstigneev和K.R.Schenk Hopp'e.《生存的资产市场游戏：进化和动态游戏的综合》。《金融年鉴》，9（2）：121–144，2013年。[3] L.Blume和D.Easley。进化和市场行为。《经济理论杂志》，58（1）：1992年9月至40日。[4] L。

布鲁姆和D.伊斯利。如果你这么聪明，为什么不富有？完全和不完全市场中的信念选择。《计量经济学》，74（4）：929–9662006。[5] T.M.Cover和J.A.Thomas。信息论要素。约翰·威利父子出版社，第二版，2012年。[6] 是的。Drokin和M.Zhitlukhin。竞争市场模型中的相对增长最优投资策略。arXiv:1908.011712019年。[7] I.Evstigneev、T.Hens和K.R。Schenk Hopp\'e.进化行为金融。E.Haven等人，《危机后金融建模手册》，第214-234页。Palgrave Macmillan英国，2016年。[8] N·H·哈坎松和W·T·齐姆巴。资本增长理论。《金融学》，运筹学和管理科学手册第9卷，第65-86页。Elsevier，1995年。[9] T.Holtfort。从标准金融到演化金融：一项文献调查。《管理评审季刊》，69（2）：207–232，2019年。[10] J.Jacod和A.S hiryaev。Stoc-hastic过程的极限定理。施普林格，柏林，第二版，2002年。[11] I.Karatzas和C.Kardaras。半鞅金融模型中的投资组合数量。《金融与随机》，11（4）：447–4932007。[12] I.K aratzas和S.E.Shreve。数学金融方法。斯普林格，1998年。[13] R.S.Liptser和A.N.Shiryaev。鞅理论。KluwerAcademic出版社，1989年。[14] J.Palczewski和K.R.Schenk-Hopp'e.从离散到连续的演化金融模型。《经济动力与控制杂志》，34（5）：913-9312010。[15] J.Palczewski和K.R.Schenk-Hopp'e.《连续时间内恒常比例投资策略的市场选择》。《数理经济学杂志》，46（2）：248–2662010年。[16] E.Platen和D.Heath。量化金融的一种典型方法。Springer Verlag，柏林，2006年。