基于彩票机制的网络资源优化分配

玩家1的高分配将与玩家2的高分配对齐。然而，我们可以直接从系统问题中看到，一个最佳π*应该按照相反的顺序调整两个玩家的分配。下面的例子建立在这一观察结果的基础上，并表明系统问题不需要具有强对偶性。示例4.3。考虑以下示例，其中有两个玩家{1，2}和一个容量为2.9的单链接。设k=2。假设两个参与者对应的CPT特征如下：h（1）=，h（2）=，h（1）=，h（2）=，v（x）=log（x+0.05）+3，v（x）=2 log（x+0.05）+3（x+0.05）+3。对于这个问题，很容易看出π=（1，2）和π=（2，1）是最佳置换。通过求解固定置换系统的置换问题，我们得到的最优值为7.5621。相应的变量值为z（1）=y（1）=1.95，z（2）=y（2）=0.95，z（1）=y（2）=1.95，z（2）=y（1）=0.95，对于i=1，2，l=1，2，双变量值为λ（1）=，λ（2）=，和αi（l）=0。可以检查这些是否满足KKT条件。现在让我们来评估双重问题（II）的价值。根据对称性，我们可以假设λ（1），而不失一般性≤ λ(2). 结果，对偶问题的最优置换由π=π=（1，2）给出。对于固定的λ（1）和λ（2），我们解决以下优化问题：maxz（1）≥z（2）≥0z（1）≥z（2）≥0对数（z（1）+0.05）+对数（z（2）+0.05）+2对数（z（1）+0.05）+3对数（z（1）+0.05）+2对数（z（2）+0.05）+3对数（z（2）+0.05）- λ（1）[z（1）+z（1）]- λ（2）[z（2）+z（2）]+2.9[λ（1）+λ（2）]+6。（七） 如果λ（1）≤ 0.5，则问题（VII）的值等于∞ （letz（1）→ ∞). 如果λ（1）>0.5（因此λ（2）>0.5，因为λ（2）≥ λ（2）），然后我们观察到问题（VII）中最大化的有效域是紧的，并且问题（VII）有一个有限值。因此，没有必要考虑λ（1）>0.5。

在最佳情况下，存在α（1）、α（2）、α（1）、α（2）≥0使得λ（1）=z（1）+0.05+α（1），λ（2）=z（2）+0.05- α（1）+α（2），λ（1）=z（1）+0.05++α（1），λ（2）=z（2）+0.05+- α（1）+α（2）和α（1）[z（1）- z（2）]=0，α（2）z（2）=0，α（1）[z（1）- z（2）]=0，α（2）z（2）=0。现在，我们考虑十六个（4×4）案例中的每一个，基于它们的内在品质zi（l）≥ zi（l+1）对于i=1，2和l=1，2，是否严格保持。情况A1（z（1）=0，z（2）=0）。然后λ（1）≥ 1/0.15.情况B1（z（1）>0，z（2）=0）。然后λ（1）<1/0.15，λ（2）≥ 2/0.15，α（1）=0，z（1）=3λ（1）- 0.05.情况C1（z（1）=z（2）>0）。然后λ（2）/2≤ λ(1) ≤ λ（2），λ（1）+λ（2）<1/0.05，α（1）=2λ（1）- λ（2），α（2）=0，z（1）=z（2）=λ（1）+λ（2）- 0.05.案例D1（z（1）>z（2）>0）。然后λ（1）<λ（2）/2，0<λ（1）<1/0.15，0<λ（2）<2/0.15，α（1）=0，α（2）=0，z（1）=3λ（1）- 0.05，z（2）=3λ（2）- 0.05.情况A2（z（1）=0，z（2）=0）。然后λ（1）≥ (1/0.15) + 0.5.情况B2（z（1）>0，z（2）=0）。然后0.5<λ（1）<2.15/0.3，λ（2）≥（1/0.75）+0.1，α（1）=0，z（1）=6λ（1）- 3.- 0.05.情况C2（z（1）=z（2）>0）。这是不可能的，因为λ（1）≤ λ(2).案例D2（z（1）>z（2）>0）。然后0.5<λ（1）<2.15/0.3，0.1<λ（2）<2.15/1.5，α（1）=0，α（2）=0，z（1）=6λ（1）- 3.- 0.05，z（2）=30λ（2）- 3.- 0.05.如果情况A1或情况A2成立，则λ（1）≥ 1/0.15. 对于任何固定的λ（1），λ（2），通过选择足够小的zi（l），i=1，2，l=1，2（考虑相应情况所构成的条件），我们得出问题（VII）的值大于或等于2.9*(1/0.15) = 19.3333 > 7.5621. 类似地，如果caseB1成立，则λ（2）≥ 2/0.15，我们得到问题（VII）的值大于或等于2.9*(2/0.15) = 38.6667 > 7.5621.

对于剩下的4种情况，将目标函数（VII）中的zi（l），i=1，2，l=1，2替换相应的表达式，并对每对c类{C1，D1}×{B2，D2}的最优可行对（λ（1），λ（2））进行评估，情况（C1，D2）的最小值为8.2757。对每种情况进行数值计算，得出表2所示的最小值。因此，最佳对偶值为8.2757，这严格大于原始值。定理4。原始问题（I）是NP难问题。B2 D2C1 10.2284 8.2757D1 10.1814 9.5006图2：单元格中的数字表示相应情况下目标函数（VII）的最佳值。证据我们描述了一个多项式时间过程，该过程将整数划分问题的一个实例简化为原始问题的一个特例。给定一组正整数{c，c，…，cn}，整数划分问题是找到一个子集S [n] ，以便XI∈Sci=Xi/∈Sci。如果这样一个集合S存在，那么我们就说存在一个整数分区。考虑一个由Yi给出的有n个参与者和n+1个链接约束的网络≤ ci，我∈ [n] ，andnXi=1yi≤Pni=1ci。利用这些链路约束很容易实现网络。设k=2。让所有玩家的Cpt特征如下：hi（1）=1- ，hi（2）=，vi（xi）=xi，我∈ [n] ，其中=1/10。让WPS记录系统问题的最佳值。Weshow那个Wps≥ T：=（1）-）Pi∈[n] ciif且仅当存在整数分区时。假设一个整数分区由集合S给出，如果i∈ S和πi=[2，1]否则，对于所有i，zi（1）=ci，zi（2）=0∈ [n] 。此分配的聚合实用程序等于T和henceWps≥ T假设Wps≥ T然后有一个分配，比如z*和π*聚合效用至少为T。

因为k=2，π*实际上定义了[n]的一个分区，由S={i]给出∈ [n] ：πi（1）=1}。我们有，总效用W（1）+W（2）≥ T、 其中w（1）：=Xi∈S（1- ）子（1）+Xi/∈Szi（2），W（2）：=Xi/∈S（1- ）子（1）+Xi∈Szi（2）。所以W（1）和W（2）中至少有一个至少和T/2一样大≥ T/2。因此，Xi∈Szi（1）+1- Xi/∈Szi（2）≥圆周率∈[n] ci。但是，由于z*是可行的，链接约束给定xi∈Szi（1）+Xi/∈Szi（2）≤圆周率∈[n] ci。既然<1/2，我们应该有PI/∈Szi（2）=0和pi∈Szi（1）=（Pi∈[n] ci）/2，表示S形成一个整数分区。这就完成了证明。5平均系统问题和最优彩票结构假设它足以确保链接约束在预期中得到满足，就像在平均系统问题中一样。考虑由以下优化问题的值给出的R+上的函数Vavgi（(R)zi）：MaximizekXl=1hi（l）vi（zi（l））subject TokXL=1zi（l）=zi，zi（l）≥ zi（l+1），l∈ [k] 。（八） Le t Zi（(R)Zi）表示可行（Zi（l））l的集合∈[k] 在上述问题中，对于任何固定的“zi”≥ 我们观察到Zi（\'Zi）是一个封闭且有界的多面体，因此Vavgi（\'Zi）定义良好。引理5.1。对于任何连续的、可微分的、凹的和严格递增的值函数vi（·），函数Vavgi（·）是连续的、可微分的、凹的和严格递增的。我们在附录A中证明了这个引理。平均系统问题SYS\\u AVG[z；h，v，A，c]可以写成Maximizenxi=1Vavgi（\'zi）subject toXi∈Rj’zi≤ cj，j、 \'\'子≥ 0, i、 Kelly【13】表明，这个问题可以分解为用户问题，每个用户一个问题，最大化Vavgi（(R)zi）- ρi zi服从于zi≥ 0，以及一个网络问题，MaximizenXi=1？ρi？zisubject toXi∈Rj’zi≤ cj，j、 \'\'子≥ 0, i、 在这个意义上，存在ρi≥ 0, 我∈ [n] ，这样，对于每个i，用户问题的最佳解决方案可以解决网络问题和平均系统问题。

请注意，这种分解不同于第3节中所述的分解。在这里，网络问题旨在最大化其总收入ni=1'ρi'zi，而不是最大化加权聚合效用，其中效用被替换为代理对数函数。为了开发收敛到平衡的迭代方案，上述分解不如第3节中的分解有用。然而，上述分解会引发以下用户问题：user\\u AVG[zi；(R)ρi，hi，vi]MaximizekXl=1hi（l）vi（zi（l））-(R)ρikkXl=1zi（l）受zi（l）约束≥ zi（l+1），l∈ [k] ，其中，如前所述，zi（k+1）=0。我们在命题4.2中观察到，在平均系统问题中存在强对偶性。让z*是解决这个问题的最佳彩票方案。然后，首先，z*满意度z*i（l）≥ z*i（l+1）i、 l和是不可预测的，即“z”*:= （(R)z）*i） 我∈[n]∈ F、 其中“z”*i： =（1/k）Plz*i（l）。此外，z*优化平均系统问题的目标函数。此外，还存在∧*j≥ 0表示所有j，这样原始平均问题（V）和双重平均问题（VI）都在z处达到最优*, (λ*j、 j∈ [m] ）。对于玩家i，考虑价格\'ρ*i： =Pj∈Ji？λ*j、 通过对价格|λ求和得到*J对应于玩家i路线上的链接。从双平均pr问题（VI）中，确定|λj=|λ*jj、 我们得到了最优彩票分配z*对于玩家，我应该优化问题用户的平均值*i、 嗨，vi]。现在，我们对概率加权函数施加了一些附加条件，这些条件通常是基于经验证据和某些心理论点假设的[12]。我们假设概率加权函数wi（pi）对于其余的概率规划和约束x的小值是凹的。

形式上，存在一个概率π∈ [0，1]使得wi（pi）在间隔pi上是凹的∈ [0，~pi]和区间上的凸[~pi，1]。通常，反射点pi约为1/3。Le t w公司*i： [0，1]→ [0，1]是支配wi（·）的最小凹函数，即w*i（pi）≥ 所有pi的wi（pi）∈ [0, 1]. 让p*我∈ [0，1]是w*i（pi）在区间[p]上是线性的*i、 1）。引理5.2。根据wi（·）的假设，我们有p*我≤ 计划w*i（pi）=pi的wi（pi）∈ [0，p*i] 。如果p*i<1，则对于任何pi∈ [p*i、 1），我们有WI（pi）≤ wi（pi）+（pi- pi）1- wi（pi）1- 圆周率。（5.1）对于所有pi∈ [pi，1]。这个引理的证明包含在附录A中。我们现在表明，在一定条件下，最优彩票分配z*isatis Fiesz公司*i（l*) = z*i（l*+ 1） =···=z*i（k），（5.2），其中l*:= 最小{l∈ [k] ：（l- 1） /千≥ p*i} ，提供p*我≤ （k）- 1） /k.因此，对于典型的最优彩票分配，最低分配发生的概率很大，大约等于1-p*i、 还有一些我们认为是奖金的高级场所。提议5.3。对于任何平均用户问题，user\\u AVG[zi；\'ρ*i、 hi，vi]具有严格递增、连续、可微分和严格凹值函数vi（·），以及严格递增的连续概率加权函数wi（·）（满足wi（0）=0和wi（1）=1），使得p*我≤ （k）- 1） /k，最佳彩票分配时间z*isatis fies方程（5.2）。证据平均用户问题user\\u AVG的拉格朗日函数*i、 hi，vi]isL（zi；αi）=kXl=1hi（l）vi（zi（l））-ρ*ikkXl=1zi（l）+kXl=1αi（l）[zi（l）- zi（l+1）]，其中αi（l）≥ 0是对应于订单约束Zi（l）的双变量≥ zi（l+1），αi（0）=0。

对于zi（l），我们得到，L（zi；αi）zi（l）=hi（l）v′i（zi（l））-ρ*ik+αi（l）- αi（l- 1).自出现问题以来，用户平均*i、 hi，vi]具有凹目标函数和线性约束，存在α*i（l）≥ 0，使hi（l）v′i（z*i（l））=ρ*ik- α*i（l）+α*i（l- 1), l∈ [k] ，（5.3）和α*i（l）[z*i（l）- z*i（l+1）]=0，l∈ [k] 。（5.4）如果z*iconsists of the same allocations then it littley satifies equality（5.2）等式。如果没有，则存在l∈ {2，…，k}这样z*i（l- 1） >z*i（l）=z*i（l+1）=···=z*i（k），即z*i（l）是最低分配，以概率（k）出现- l+1）/k，下一个最低分配等于z*i（l- 1). 总结方程式响应l≤ l≤ 从（5.3）中，我们得到“kXs=lhi（s）#v′i（z*i（l））=k- l+1kρ*我- α*i（k）+α*i（l- 1). （5.5）对应于l=l的方程式- 1英寸（5.3）表示，hi（l- 1） v′i（z*i（l- 1)) =ρ*ik- α*i（l- 1) + α*i（l- 2). （5.6）自z*i（l- 1） >z*i（l），从（5.4），我们有α*i（l- 1) = 0. 因此，从（5.5）和（5.6）中，我们得到了- 1） v′i（z*i（l- 1)) ≥ρ*ik≥k- l+1“kXs=lhi（s）#v′i（z*i（l））。此外，由于vi（·）是严格凹的且严格递增，z*i（l- 1） >z*i（l）表示0<v′i（z*i（l- 1） <v′i（z*i（l））。因此，hi（l- 1） >k- l+1“kXs=lhi（s）#（5.7）如果（l- 2） /千≥ p*i、 thenhi（左- 1） =wil- 1公里- wi公司l- 2公里≤k- l+1wi（1）- wi公司l- 1公里=k- l+1“kXs=lhi（s）#.（5.8），其中不等式从（5.1）得出，pi=（l- 2） /k和pi=（l-1） /k.然而，（5.8）与（5.7）相矛盾，因此（l-2） /k<p*i、 这证明了引理。6结论和未来工作我们发现，如果我们考虑到玩家的概率敏感性，那么彩票分配会提高玩家的事前聚集效用。我们考虑了RDU模型（CPT效用的特例）来建模概率敏感性。

然而，该模型仅限于奖励分配，将其扩展到具有参考点和损失厌恶的一般CPT模型是很有意思的。这将使我们能够研究惩罚或负担分配中的损失分配，例如刑事司法、军事起草等。对于任何固定的排列文件，我们证明了在基于市场的机制中存在均衡价格，以实现最佳彩票。Wealso还发现，找到最佳置换文件是一个NP难问题。我们注意到，在无线网络【16】和多路由网络【30】中，系统问题在跨层优化方面具有相似性。一些启发式方法有助于在跨层优化中获得近似最优解。需要为我们的系统问题开发类似的方法。我们把这个留给以后的工作。系统问题的困难来自硬链接约束。因此，通过仅将这些条件放宽到期望值，我们导出了RDUmodel中每个代理的概率权重函数的典型假设下最优彩票结构的一些定性特征。正如所观察到的，玩家通常以高概率确保他们的最小分配，以低概率赌更高的回报。引理4.1的一个证明。假设问题（I）及其对偶（II）具有相同的值。（I）的值与系统问题SYS的值相同【z，π；h，v，A，c】。Le t us用Θ（π，z，λ）表示目标函数：=nXi=1kXl=1hi（l）vi（zi（l））+mXj=1kXl=1λj（l）cj公司-xi∈Rjzi（πi（l））.由于F是一个多面体，对于任何固定的置换文件π，可行Zi集都是闭合且有界的。函数Θ（π，z，λ）在z上是连续的，因此固定置换系统问题SYS\\u FIX[z；π，h，v，A，c]有一个有界值。我们还注意到该值是非负的。

因为有很多置换结果π∈QiSk，m最大化这些，我们得到系统问题有一个有界的非负值，比如W，在z处达到sayat*和π*. ThusnXi=1kXl=1hi（l）vi（z*i（l））=W，（A.1）和彩票z*对于置换函数π是可行的*, i、 e.z*i（l）≥ z*i（l+1）表示所有i∈ [n] ，l∈ [k] andXi公司∈Rjz公司*i（π*i（l））≤ CJ适用于所有j∈ [m] ，l∈ [k] 。（A.2）如果这不是真的，那么目标函数Θ（π）的最小值*, z*, λ） 关于λ-∞ 而不是W≥ 对偶问题（II）的值等于W。考虑函数Θd:Rm×k+→ R、 通过最大化问题（II）中的目标函数，给出n，关于固定λ的π和d z≥ 0，Θd（λ）：=最大πi∈Sk公司i、 z:zi（l）≥zi（l+1）i、 lΘ（π，z，λ）。我们注意到函数Θd（λ）是下半连续的，因为函数Θ（π，z，λ）在λ中是连续的。自（vi（·）起，i） 如果是凹严格递增函数，则存在一个足够大的有限λ，使得0≤ M：=Θd（λ）<∞. 因此，在λj（l）定义的域上，实现了Θd（λ）的最小值∈ [0，M/（minjcj）]对于所有j，l。由于这是一个有界区域，且函数Θd（λ）是下半连续的，因此存在λ*使得Θd（λ*) = 最小λ≥0Θd（λ）=W。自Θd（λ）起*) = W，我们有Θ（π*, z*, λ*) ≤ W然而，根据（A.1）、（A.2）和f，λ*j（l）≥ 对于所有j，l，我们得到Θ（π*, z*, λ*) ≥ W因此Θ（π*, z*, λ*) = W因此，定义Θd（λ）的最大值*) 在z实现*, π*. 这意味着π*isatis fies（4.1）for all i.引理的证明5.1。Let'zi≥ 0和τ>0。让z*我∈ Zi（\'Zi）应确保Vavgi（\'Zi）=Pkl=1hi（l）vi（z*i（l））。我们有，（z*i（l）+τ）l∈[k]∈ Zi（\'Zi+τ）和Vavgi（\'Zi+τ）≥kXl=1hi（l）vi（z*i（l）+τ）>kXl=1hi（l）vi（z*i（l））=Vavgi（(R)zi），其中严格不等式来自于vi（·）严格递增的因子。

这表明Vavgi（(R)zi）的功能正在严格增加。Le t’zi，’zi≥ 0和σ∈ [0, 1]. 让子∈ Zi（“Zi”）和Zi∈ Zi（\'Zi）是指Vavgi（\'Zi）=Pkl=1hi（l）vi（Zi（l））和Vavgi（\'Zi）=Pkl=1hi（l）vi（Zi（l））。Letzσi：=σzi（l）+（1- σ） zi（l）和'zσi：=σ'zi（l）+（1- σ） \'\'zi（左）。那么zσi∈ Zi（\'zσi）和vi的凹度（·），我们有Vavgi（\'zσi）≥kXl=1hi（l）vi（zσi（l））≥kXl=1hi（l）σvi（zi（l））+（1- σ） 六（字（l））= σVavgi（(R)zi）+（1- σ） Vavgi（(R)zi）。这就确定了函数Vavgi（(R)zi）是凹的。这意味着Vavgi（\'zi）是连续的，并且在每个\'zi>0时方向上是不同的，我们在其左右方向导数之间有以下关系（例如，参见[24]）：dd\'ziVavgi（\'zi-) ≥dd“ziVavgi”（“zi+”），对于所有“zi>0”。（A.3）此外，如果（(R)zti）t≥1是这样的序列→ 0和zti∈ Zi（zti）表示所有t≥ 1，然后zti（l）→ 0表示所有l∈ [k] 。通过函数vi（·）的连续性，我们得到了函数Vavgi（(R)zi）在？zi=0时是连续的。Le t’zi>0，且τt：=1/t，对于t≥ 1、如前所述，让z*我∈ Zi（\'Zi）是指Vavgi（\'Zi）=Pkl=1hi（l）vi（z*i（l））。因为zi>0且（1/k）Pkl=1z*i（l）=zi，我们有z*i（l）>z*至少一个l的i（l+1）∈ [k] 。Let^l∈ [k] 是最小的，比如l代表t≥ 1，设zt+ibe由zt+i（l）给出：=（z*i（l）+k^lτt，对于1≤ l≤^l，z*i（l），对于^l<l≤ k、 请注意，zt+i∈ Zi（\'Zi+τt）。我们有，Vavgi（\'zi+τt）- Vavgi（(R)zi）-kτt^l^lXl=1hi（l）v′i（z*i（l））≥kXl=1hi（l）vi（zt+i（l））-kXl=1hi（l）vi（z*i（l））-kτt^l^lXl=1hi（l）v′i（z*i（l））=^lXl=1hi（l）六（z*i（l）+kτt/^l）- 六（z*i（l））-kτt^lv′i（z*i（l））.Le tγ*:=k^lP^ll=1hi（l）v′i（z*i（l））。我们有，dd'ziVavgi（'zi+'）≥ lim信息→∞Vavgi（(R)zi+τt）- Vavgi（(R)zi）τt≥ γ*.