PT对称性、非高斯路径积分和量子Black-Scholes

在这种情况下，由价差水平提供的额外市场信息是不相关的。非零价差的影响仅在考虑到一般情况下不能在中间价对冲时才会影响模型（例如，见[20]）。[18]表明，在非交换量子情况下，存在影响价格和模型动态的出价-出价干扰，即使可以在任何时候以中间价格进行交易。希尔伯特空间现在是H=L（R）。进一步定义：Xf（x，) = xf（x，), Ef（x，) = f（x，), 和Sφf（x，) = f（cos（φ）x-sin（φ）, cos（φ） + sin（φ）x）。在这种情况下，我们得到：λxf（x，) = S*φXSφf（x，) - Xf（x，) =（cos（φ）- 1） x+sin（φ）f（x，)λf（x，) = S*φESφf（x，) - Ef（x，) =（cos（φ）- 1) - sin（φ）xf（x，)将其插入方程（5），并假设随机变量x和 不相关，导致以下量子Black-Scholes（详情参见【18】：V（t，x，)t+rxV（t，x，)x+rV（t，x，)- V（t，x，)r+σxx∞Xk=2（（cos（φ））- 1） x+sin（φ）)k-2k！kV（t，x，)xk+σ∞Xl=2（（cos（φ））- 1) - sin（φ）x）l-2l！lV（t，x，)l=0（8）在φ=0的情况下，k，l的术语≥ 3退学。此外，如果衍生品支出仅取决于x，而不是, 边界条件将定义为x的函数，这将导致一个解决方案，即五/ = 因此，φ=0的情况导致经典的Black-Scholes。对于φ6=0，即使两个变量之间的相关性为0，也会有复杂的动力学。例如，φ=π/2的选择导致方程（9），其中x部分导数的乘法器，千伏/xkare取决于出价差价. 这将导致依赖,即使边界条件只是x的函数。

虽然φ接近于零的值可能更符合实际市场，但它确实突出了量子随机方法的可能性。V（t，x，)t+rxV（t，x，)x+rV（t，x，)- V（t，x，)r+σxx∞Xk=2k-2k！kV（t，x，)xk+σ∞Xl=2(-x） l-2l！lV（t，x，)l=0（9）3非局部扩散和量子随机过程3.1 Kolmogorov前向方程利率为零时，量子Black-Scholes方程（例如方程（7）和方程（8））成为标准的Kolmogorov后向方程。这些方程在两个变量中的一般形式如下所示：u（t，x，)t=g（x，)∞Xk=2f（x，, ε） k级-2k！ku（t，x，)xk+g（x，)∞Xl=2f（x，, ε） l-2l！lu（t，x，)l（10）【18】命题3.1给出了关联的Kolmogorov正演方程和方程（10）：p（x，, t）t型=∞Xk=2(-1） kk！kg（x，)1/2层（x，, ε） k级-2p（x，, t）xk公司+∞Xl=2(-1） ll！lg（x，)1/2层（x，, ε） l-2p（x，, t）l（11）在【18】第3节中，通过矩匹配技术，可以将方程（11）与非局部扩散过程的正向方程相关联。例如，在一个简单的翻译案例中，我们设置：g（x，) = σ、 f（x，, ε） =ε和g（x，) =f（x，, ε) = 0. 方程式（11）变为：p（x，t）t=σ∞Xk=2(-1） kεk-2k！k（p（x，t））xk（12）非局部扩散过程的正向方程可以写成：p（x，t）t=σx个Z∞-∞H（y）p（x- y、 t）dy（13） 函数H（y）具有“模糊”扩散算子影响的影响。如果H（y）替换为狄拉克函数δ（y），则该方程简化为标准的Kolmogorov前向方程。接下来，我们使用Kramers-Moyal技术展开y=0:p（x- y、 t）=Pk≥0(-1） kykk！kp（x，t）xk。将其插入方程（13），我们得到：p（x，t）t=σXk公司≥0(-1） kk！k（p（x，t））xkZ公司∞-∞ykH（y）dy（14） 现在方程（12）和（14）之间的方程系数我们得到（[18]，命题3.2）：引理3.1。

Kolmogorov正演方程（12）与第2.2.3小节中应用的平移相关，可以写成非局部扩散方程：（13）。让hire表示函数H（y）的第i个时刻。然后Hi由：Hi=2（ε）i（i+1）（i+2）证明给出。证明是通过将每个kth部分导数的系数相等得到的。有关详细信息，请参考[18]提案3.2。量子随机过程和非局部差异之间的联系提供了一个有用的工具，可以可视化解决方案，并使用蒙特卡罗方法进行模拟。文献[18]表明，通过将溶液写成McKean-Vlasov过程（见文献[22]），我们可以应用粒子方法（[11]，第10、11章）来模拟溶液。例如，方程式（13）中描述的非局部扩散可以写成（见第4节[18]）：dx=σp（x，t）Ep（y，t）H（x- y | x）1/2dW（15）因此，鉴于在这方面的有用性，很自然地会问，非局部差异与哈德逊和Parthasarathy所描述的量子随机过程之间是否存在更深层的联系。第一步是逆转[18]中解决的问题。给定一个特殊的非局部微分，我们能把解写成量子随机过程吗？3.2黎曼manifold的非局部差异在本节中，我们将类似于Henry Labord\'ere在第4章和第5章中概述的方法应用于非局部差异。度量为g（x）的一维黎曼流形上的一般拉普拉斯算子如下所示：g=g-1/2x+Axg级-1/2x+Ax+ Q（x）（16），其中Ax表示阿贝尔连接的分量，Q（x）表示流形M上实向量丛的一部分。现在的目标是选择Ax和Q（x），以简化由此产生的偏微分方程。

如果我们从Ax=Q（x）=0的假设开始，那么方程（13）中的二阶导数变成拉普拉斯-贝尔特拉米算子：p（t，x）t=σpg（x）x个pg（x）x个Z∞-∞H（y）p（t，x- y） dy公司（17） 下一步是将Kramers-Moyal展开式应用于方程（17），就像我们对方程（14）所做的那样：p（t，x）t=σpg（x）x个pg（x）x个Xk公司≥0Z∞-∞ykk！H（y）dy(-1） kk！kp（t，x）xk公司（18） 写入：Hi=R∞-∞yiH（y）dy，展开方程（18）中的偏导数，我们得到：pt=σ（g）-1)xH公司px+σXk≥2.(-1） （k）-2） （g）-1） 香港-2（k- 2)!+(-1） （k）-1)（g）-1)xHk公司-12（k- 1)!kp公司xk（19）为了找到等效的量子随机过程，我们从相关的量子Kolmogorovbackward方程开始，其中方程（7）是一种特殊类型，并试图将系数u（x）、f（x）和ε定义为方程（19）：ut+u（x）ux+f（x）Xk≥2εk-2k！库xk=0（20）相关的正演方程由（见[18]命题3.1）给出：pt=u（x）px+f（x）Xk≥2(-ε） k级-2k！kp公司xk（21）第一次偏导数的等效系数我们发现量子随机过程必须具有漂移系数：u（x）=σ（g）-1)xHg。将高阶偏导数的系数相等，我们得到一系列需要求解的一阶偏微分方程：k（k- 1） （g）-1） 香港-2.-k（g）-1)xHk公司-1=2f（x）εk-2/σ（22）通过插入力矩Hi，我们得到了有限个方程，其中只有函数f（x）、g（x）和常数ε可以改变。为了取得进展，我们必须要么简化方程（22），要么简化原始拉普拉斯方程。因此，我们研究以下实现方法：o设置（g）-1)/x到零。o设置g（x）-1为方程式（21）中波动率函数f（x）的固定倍数引入非零连接：Ax和线束截面：Q（x），以简化方程（19）。我们在下面依次研究其中的每一项。1) （g）-1)/x=0：在这种情况下，我们设置f（x）=σ，g（x）=1。

我们回到了欧几里德空间中的标准非局部微分。方程式（22）变为：k（k- 1） Hgk公司-2=2εk-H（y）的力矩必须是引理3.1.2）g（x）给出的力矩-1=f（x）/σ：这种情况现在表示弯曲流形上的非局部扩散。然而，我们通过限制g（x）的函数形式来简化方程（22），而不是允许一般黎曼度量。Ifg（x）-1=f（x）/σ，方程式（22）变为：（g）-1)x个-2k（k- 1） 香港-2.- 4ε（k-2） kHk公司-1.（g）-1） =0（24），如果力矩hk遵循递推关系，则对于所有k：α=2k（k- 1） 香港-2.- 4ε（k-2） kHk公司-1.（25）我们得到了g（x）的一个方程-1:（g）-1)x个- αg-1=0（26）该方程可解为g（x）-1=exp（αx），或者：g（x）=exp(-αx）。在不丧失一般性的情况下，假设H=1，则H（y）的剩余力矩如下。事实上，我们已经证明了引理3.1的以下推广，该引理给出了弯曲黎曼流形上的一个单参数非局部微分族，其具有量子随机过程的自然表示：引理3.2。给定由以下Kolmogorov正向方程定义的量子随机过程：pt=-ασexp(-αx）px+σexp(-αx）Xk≥2(-ε） k级-2k！kp公司xk（27）解可以写成黎曼流形上的非局部微分，度量为：g（x）=exp(-αx）。α6=0时，“模糊”函数H（y）的力矩由关系式Hk给出-1=2k（k- 1） 香港-2.- 4ε（k-2） kα（28），其中我们可以自由假设H=1。α=0的情况下的力矩减少到引理3.1中给出的H（y）的力矩。在上面的引理中，我们又回到了寻找H（y）来确定一类特殊的量子随机过程。

在下一节中，我们将通过指定非零连接Ax和Q（x）节，说明如果给定概率密度函数H（y），我们如何编写相关的量子随机过程，从而使矩存在。3） 解决一般情况：展开一般拉普拉斯函数的系数：（16），我们得到：g（x）x个+g（x）-1/2（g（x）-1/2)x+轴（x）x个+Axg（x）+g（x）（Ax）x+Q（x）（29）因此，通过选择：Ax=-g1/2（g（x）-1/2)xQ（f）=-Axg（x）-g（x）（Ax）x（30）拉普拉斯算子简化为：g（x）x（31）对于无漂移的一般非局部扩散，在具有度量g（x）的黎曼流形上，Kolmogorov正演方程可以写成：p（x，t）t=g（x）x个Z∞-∞H（y）p（x- y、 t）dy（32）通过将坐标更改为：s=Rxx√g（y）dy，此Kolmogorov正演方程简化为：p（s，t）t型=sZ∞-∞H（y）p（s）- y、 t）dypg（y）（33）其中p（s，t）表示新坐标系中的概率定律p（x，t）。通过匹配伊曼尼度量，使新坐标系中的矩与3.1中的矩相匹配，我们可以写出一个相关的量子随机过程。换句话说，给定一个特定的H（y），其中存在H（y）的矩，我们匹配非局部微分发生的流形的几何结构。我们有以下内容：提案3.3。给定概率分布H（y），使得H（y）的矩存在，然后H（y）用Kolmogorov正演方程（33）定义黎曼流形上的非局部微分。如果黎曼度量满足积分方程组（对于i=0到∞):Z∞-∞yiH（y）dypg（y）=2（ε）i（i+1）（i+2）（34）那么解可以表示为以下量子随机过程：jt（X）=U*t（X 一） Ut=σ（X）dA+t+σ（X）dAt+εd∧t（35）证明。

将Hudson Parthasarathy随机演算的乘法规则应用于方程（35），我们得到以下Kolmogorov向后方程：u（x，t）t+σ（x）∞Xk=2εk-2k！k（u（x，t））xk=0（36）根据【18】命题3.1，相关正向方程如下所示：p（x，t）t=Xk≥2(-1） kεk-2k！k（σ（x）（p（x，t））xk（37）我们现在可以将Kramers-Moyal展开式应用于方程（33），得到：p（x，t）t型=Xk公司≥2Z∞-∞y（k-2） H（y）dypg（y）(-1） （k）-2） （k）- 2)!k（σ（x）p（x，t））xk公司（38）得出的结果是将每个偏导数的系数相等。在经典的融资方法中，Henry Labord\'ere（见[16]）展示了杜皮尔的局部波动率模型（见[9]）如何等效于在高斯过程中引入非欧几里德距离度量g（x）。方程（34）表示非局部扩散，方程（35）表示量子扩散。4路径积分法在本节中，我们试图将[2]-[5]和[21]中概述的路径积分法适用于AccardiBoukas期权定价框架。这种方法有很多好处。在某些方面，这种方法比在解决相关的Kolmogorov后序方程之前，找到一个可以填充历史数据的经典Ito过程的传统策略更为基本。路径积分法提供了一种通过相关哈密顿函数从控制系统的底层物理定律建立模型的方法。解决方案可以使用维纳过程建模，高斯核函数是模型的输出，而不是输入假设。此外，通过引入不同的势函数，任何模型中都可以包含许多不同的效应。

Baaquie在[3]中提供了这一思想在商品价格建模方面的有趣应用。第二个关键好处是，它提出了模拟量子随机过程和非局部差异的替代方法。使用高斯核生成的随机数可以很容易地模拟经典的随机过程。每个Monte Carlopat所需的所有信息通常都包含在路径本身中。然而，为了应用标准的Gaussiankernel函数来模拟量子随机过程/非局部微分，必须将解写成McKean随机过程（见方程（15））。为了进行下一步，每条路径都需要来自所有其他路径位置的信息，因此这需要particlemethod（有关方法的描述，请参见[11]，有关量子随机过程的应用，请参见[18]）。通过推导非高斯核函数，可以将量子过程/非局部扩散模拟为常规随机过程，而无需使用粒子方法。4.1首先，我们从量子Kolmogorov后向方程开始：ut+σXk≥2ε（k-2） k！库xk=0（39）标准方法（如第20章【13】中所述）包括应用Wickrotation:t→ iτ，对于薛定谔方程：iψt=^Hψ，^H=^P2m，和^P=-我XT获得标准热方程式：ψτ=-1200万ψx、 将此技术应用于方程（39），我们在哈密顿量形式上使用此变换：^H=mXk≥2εk-2^Pkk！，^P=-我x（40）这导致以下偏微分方程：-ψτ=Xk≥2(-ik）εk-2k！kψxk（41）除了这个方程与方程（39）不匹配外，哈密顿量（40）是非厄米的。接下来的问题是，这种情况是否可以纠正。

在量子力学中，要求：^H=^H+首先保证任何哈密顿量的谱是真实的，其次是时间演化算子：ei^Htis酉。非厄米哈密顿量经常存在概率质量不守恒的问题。事实上，Bender在[6]中表明，虽然HermitityCondition足以确保满足这两个要求，但这并不是必要的。Bender指出另一个有效条件是PT对称。根据[6]的分析，我们将在下一小节中说明这在当前情况下的适用情况。Bender所讨论的PT对称量子力学的大多数例子都涉及违反通常的厄米性要求但仍满足PT对称性要求的势项。哈密顿量（40）有一个非厄米动能项。这将导致物理方面的困难，例如在满足实验观察到的相对论不变性方面。然而，对于概率建模来说，它是一个可行的模型。4.2 PT对称量子力学ε=0 in（40），我们有H=H+，其中+表示狄拉克-厄米共轭，我们可以使用基于内积定义的常规量子力学：Hψ|φi=Rψ（x）*φ（x）dx。设P表示空间反射，T表示时间反射，并设hptre表示组合空间和时间反射下的哈密顿量。由于对于ε6=0，我们不再有：H=H+，因此出现了一个问题，即我们是否可以使用条件H=HPTinstead。在此条件下建立可行量子力学的基本要求是：o实对称哈密顿量（H=HPT）。o定义正范数的内积：| |ψ| |=hψ|ψi.o一个统一的时间发展算子[6]中概述的分析显示了如何做到这一点。对于（i），足以证明哈密顿算符^H和PT共享一组共同的本征函数（见第二节[6]）。

对于线性算子：^a，如果^a与^H通勤：[^a，^H]=0，则满足此条件。然而，在这种情况下，PT是非线性的。因此，我们需要找到一个线性算子：C与^H和PT通勤。然后我们可以写：hψ|φiCPT=ZψCPT（x）φ（x）dx=ZCψ*(-x） φ（x）dx（42）为了找到C，在[6]之后，我们写下：C=等式（^x，^p）p，并使用满足以下条件的任何Q（^x，^p）将满足我们的要求：o[C，PT]=0o[C，H]=0oHψ|ψiCPT>0在我们的情况下，任何函数：Q（^x，^p）=f（^p），将与（40）和PT给出的^H进行换算。此外，在这种情况下，对于第三个要求，C=1是有效的。因此，我们可以选择C=P，（42）变成：hψ|φiCPT=ZψCPT（x）φ（x）dx=Zψ*（x） φ（x）dx（43）此时应注意，在哈密顿量中存在非零势函数的地方：^H=mXk≥2εk-2^Pkk！+V（^X）（44）然后，PT对称性要求将限制函数V（^X），并导致运算符C的不同选择。例如，如果V（^X）是^X的实函数，则它必须是一个偶数函数，以保持PT对称性。有关更多详细信息，请参阅[6]。4.3第二种尝试既然我们确信等式（40）给出的非厄米哈密顿量确实导致了基于PT对称性的可飞行量子力学，那么我们就回到如何构造路径积分的问题上来。哈密顿量在组合时空反射下是对称的，而不是单独的时间或空间，这一事实表明，我们的Wick旋转必须扩展到空间维度，以及时间维度。因此，我们尝试：（s，τ）=（ix，it）。