PT对称性、非高斯路径积分和量子Black-Scholes

在这种新的旋转下，薛定谔方程：ψt=Xk≥2(-ik）ε（k-2） k！kψ根据需要将xk（45）转换为原始量子Kolmogorov后向方程：ψτ+Xk≥2ε（k-2） k！kψsk=0（46）我们现在可以继续构造路径积分，并计算所需的核函数。在这一点上值得强调的是，在上述分析中，我们假设~=1，从物理学中转换通常的观测值。在量子物理学中，这个参数定义了量子力学的非交换性对真实观测的影响程度。代数峰值，当使用哈密顿量（40）进行概率建模时，该参数将被吸收到波动率σ和参数ε中。在我们的例子中，量子非交换性的相对影响是通过比率εσδt来测量的。这将在下面进一步讨论。4.4傅里叶变换方法按照通常的步骤（例如第20章【13】中所述），我们首先假设薛定谔方程的解：ψ（x，t）=exp（i（px- ω（p）t），并将其插入：iψt=Xk≥2(-i） kεk-2k！m级kψxk（47）我们得到：ω（p）=iXk≥2εk-2pkk！m（48）插入归一化常数，我们可以将t处的波函数写成：ψ（x，t）=√2πZRfψ（p）exp我二甲苯-Xk公司≥2εk-2tk！mpk公司dp（49）采用傅立叶逆变换，使我们能够为路径积分法定义一个非高斯积分：Kεt（x）=F-1exp-itmXk公司≥2εk-2pkk！!（50）式中，ε=0，Kt（x）=qm2πit经验值imx2t. 由于我们一直在动量空间中工作，核函数是在任意输入x上通过傅立叶逆变换定义的。然而，我们仍在跟踪输入的“参数”时间：t。

在ε=0的情况下，替换τ=it，得到通常的维纳测度。4.5勒让德变换方法在本节中，我们将展示如何使用标准勒让德变换方法推导所需的积分核（例如，请参见第8章【10】。除了提供更深入的见解外，这还有一个好处，即它可以生成幂级数解，而无需进行傅立叶逆变换。我们假设位置为x的粒子存在“广义”态| xi，波函数由ψ（x）=δ（x）给出- x） 。此外，我们假设存在一个广义动量态：| pi，波函数由ψ（x）=eipx给出。如【10】所述，可以应用分配理论使这一论点变得严格，尽管在本节中我们是在正式的基础上进行的。对于具有哈密顿量^H且处于广义状态| xi的系统，在时间δt后完成广义状态| xi的概率由以下公式给出：hx | exp(-iδt^H）| xi。现在我们继续插入哈密顿量（40），然后在动量状态上展开，如下所示：hx | exp(-iδt^H）|xi=ZRdp经验值- iδtXk≥2ε（k-2） pkk！m级hx | pihp | xi（51）我们有：hx | pi=√2πRRδ（x- x） eipxdx和hp | xi=√2πRRe-ipxδ（x- x） dx，so hx | pihp | xi=√2πeip（x-x） 。将其反馈到（51），我们得到：hx | exp(-iδt^H）| xi=2πZRdp经验值我p（x- x）- δtXk≥2ε（k-2） pkk！m级（52）假设我们有一个如上所述的N步随机过程，每一步都有时间步长δt，我们得到：hxN，tN | x，ti=ZRNN-1Yj=1dxjhxN | e-i^Hδt | xN-1ihxN-1 | e-i^Hδt | xN-2i。。。hx | e-i^Hδt | xi（53）我们现在取极限N→ ∞, 和δt→ 为此，我们需要：Dx=limN→∞QNj=1dxj，dp=limN→∞QNj=1dpj，其中积分覆盖从初始状态到最终状态的所有路径。可以（例如，见[12]）对该积分进行严格定义，并证明其收敛性。然而，如上所述，我们是在纯粹正式的基础上进行的。

将（52）插入（53），并取我们得到的极限：hxN，tN | x，ti=2πZDxDp经验值iZtNtdt公司p（t）˙x（t）-^H（x，p）（54）我们引入了符号：˙x=dxdt。为了进行动量积分，我们使用了固定相方法（参见示例【7】第6.5节）。这使我们能够发展这一部分的中心结果——方程（39）给出的量子Kolmogorov后向方程的Feynman-Kac公式。提案4.1。如果u（x，t）是量子Kolmogorov后向方程的解，由（39）给出，那么我们有：Eu（x，T）| u（x，0）]=Z∞-∞u（x，0）KεT（x）dx（55），其中KεT（x）由以下公式得出：KεT（x）=Z∞-∞经验值- A（˙x）DxA（˙x）=ZTXk≥0(-ε） k（˙x）（k+2）σ2（k+1）（k+1）（k+2）dt（56）Dx由：Dx=ClimN给出→∞NYj=1dxjI（σδt，ε，˙x）（57）I（σδt，ε，˙x））表示积分：I（σδt，ε，˙x）=Z∞-∞数据处理经验值- σδteεp（˙x）Xk≥2εk-2（p- p（˙x））kk！（58）其中Cre表示归一化常数。对于εσδt小，我们有：Dx~ ClimN公司→∞NYj=1dxjqσδt（1+ε˙xσ）（59）证明。我们从积分（54）开始，在N个离散步骤中：2πZ∞-∞NYi=1dxiNYi=1dpj经验值iXδth（p）（60）式中，h（p）=p˙x- σPk≥2ε（k-2） pkk！。我们现在需要勒让德变换，首先确定h（p）=0的固定点psuch。h（p）=δxiδt- σXk≥2ε（k-2） p（k-1） （k）- 1)!（61）因此，我们得到：p=ln（ε˙xσ+1）ε（62）因此H（p）的勒让德变换可以写成：L（˙x）=p（˙x）˙x- σXk≥2ε（k-2） p（˙x）kk！p（˙x）=ln（ε˙xσ+1）ε（63）我们现在展开关于驻点的h（p），in（60）：2πZ∞-∞NYi=1dxiNYi=1dpj经验值iδth（p）+Xk（p- p） kk！kh公司主键p=p（64）从上方，对于k≥ 2.kh公司pk=εk-2eεp，eεp=1+ε˙xσ。将其插入积分（64），并进行通常的Wick旋转，得到：2πZ∞-∞NYi=1dxiI（σδt，ε，˙x）经验值- δth（p）（65）式中：I（σδt，ε，˙x）=Z∞-∞数据处理经验值- σδteεp（˙x）Xk≥2εk-2（p- p（˙x））kk！（66）按要求。

对于ε<σδt，我们可以使用标准高斯积分来近似I（σδt，ε，˙x）：I（σδt，ε，˙x）~rπσδteεp（67）拉格朗日式为：L（˙x）=p˙x- σXk≥2ε（k-2） pkk！（68）我们可以这样写：L（˙x）=εln（ε˙xσ+1）˙x-σε（eεp- εp- 1） （69）扩大ε的递增幂：L（˙x）=Xk≥0(-ε） k（˙x）（k+2）σ2（k+1）（k+1）（k+2）（70）将所有因素综合在一起，并取最小限值（在[12]中确定），我们得到：hxN，tN | x，ti=ZDx经验值iZtNtdt公司L（˙x）L（˙x）=Xk≥0(-ε） k（˙x）（k+2）σ2（k+1）（k+1）（k+2）Dx~ 画→∞NYj=1dxjC2πσδt（1+ε˙x）1/2（71）在应用通常的Wick旋转后，方程式（71）给出了x的概率密度，可用于推导解：需要u（x，t）（其中Cis是归一化常数）。命题4.1中的拉格朗日形式说明了量子相互作用的强度由比率εσδt驱动的事实。在这种情况下，拉格朗日包括通常的二次项（δx）σδt。高阶项具有乘数：(-ε） k（σδt）k+1，随k的增加而增加εσδt。因此，当该比值<<1时，量子相互作用的影响预计很小，并且该过程将很好地近似于经典过程。5数值结果和未来工作5.1数值结果由于控制其行为的部分微分方程的奇异性，量子随机过程的数值模拟具有挑战性。在[18]中，作者概述了如何使用Particlemethod来模拟他们的解决方案。在本文中，我们展示了如何开发一个可用于数值积分解的核函数，尽管核函数的精确计算本身具有挑战性。

在本节中，我们简要说明了所服务的一些关键行为。下面的第一个图表显示了命题4.1给出的核函数，用于σ=0.2的过程的1天模拟。绿色曲线表示标准高斯过程（ε=0）。我们给出了ε=+/-0.005和+/-0.01. 引入非零平移会对分布引入偏斜，并增加峰度（所谓的“厚尾”）。黄色/橙色曲线显示平移ε=+/- 0.01，影响最大。这些结果与[18]中使用粒子方法获得的结果一致。有很多方法可以将这种影响引入交易市场价格的模拟中。例如，通过经典的局部波动率（参见示例[9]）或随机波动率（参见示例[17]）模型。这种情况下的关键区别在于，市场中实际观察到的下行倾斜和“厚尾”等影响，简单物理假设的区域输出，而不是外来引入的。市场行为反映在哈密顿函数和由此产生的积分核中，而不是通过选择波动性参数来应用。下一个图表显示了在一年的时间段后，相同的内核是如何变化的。如上所述，比率εσδ是量子效应观察程度的量度。随着时间参数趋于精确，核函数将渐近趋于高斯核。事实上，这再现了对真实金融市场行为的另一个有问题的观察，即远期偏斜的波动。本地波动率模型显示了如何将全概率分布拟合到当前BlackScholes期权微笑（不同行使和到期日的普通看跌期权和看涨期权的价格）。

渐近分析（例如，见【16】第5章）可以用来表明，随着时间的推移，从普通期权的实际市场价格得出的这些概率分布显示出短期到期偏差的持续衰减。事实上，对于[25]第5节中所述的长期到期债券，理论上没有任何套利论据可以解释为什么短期债券必须渐近接近零。尽管如此，事实上并没有观察到这种偏差-期权的短期到期偏差不会出现。这个问题在路径依赖型期权的定价中引起了问题，有时通过在局部波动率中引入随机成分来解决。量子随机过程不仅有一个自然的偏差，这是由控制系统的哈密顿量造成的，而且当每次重置为零时，大的短期成熟度偏差自然会持续，并且对于更长的成熟度，会出现偏差。由参数ε描述的衰减率。5.2未来发展5.2.1非局部差异第3节和[18]中的结果表明，哈德逊部分量子随机过程与卷积函数规定的非局部差异之间存在联系：当H（y）的所有矩都存在时，H（y）。然而，所建立的联系纯粹是“巧合”，因为两种不同类型的差异之间没有物理联系。非本地差异纯粹通过其Kramers-Moyal扩展进入画面。未来理论工作的一个途径是从物理原理发展量子Kolmogorov方程的积分版本，并将其与量子随机过程理论联系起来。

要问的一个自然问题是，是否存在所有非局部扩散过程的量子表示（包括H（y）矩未定义的过程），如果没有，是否有物理（或财务）解释。5.2.2多维量子随机过程在一维中，概述的方法提供了一种有趣而自然的方式，将市场效应包括在内，例如观察到的隐含波动率中的“偏斜”，以及用于定价衍生品的核函数中的“厚尾”现象。事实上，参数ε对市场“恐惧因素”有着天然的理解。然而，正是在多个层面上，quantumapproach的真正好处变得显而易见。交易价格并不是一个真正的一维变量，而是由交易所中的多个出价和出价者组成。使用基于伊藤演算的经典模型，包含这些附加信息不一定会影响衍生品的价格。然而，在量子情况下，增加的维度不仅增加了可用的不同量子模型的多样性，而且不同维度之间相互作用，存在无法用经典模型复制的量子效应。将路径积分方法扩展到这些多维模型是重要的下一步。5.2.3迭代量子随机过程从零漂移量子随机过程开始，其中时间发展算子由：dUt=-陆上通信线*dt+L*SdAt公司- LdA+t+1.- Sd∧t！Ut（72）当L=σ，S表示Lebesgue不变平移：Tε时，我们已经证明可以使用：^H=σXk给出的哈密顿函数对系统进行建模≥2εk-2^Pkk！，^P=-我x（73）在该哈密顿量下确定性演化的量子态预计将显示第5.1节中讨论的随机行为。

下一个自然步骤是将这个哈密顿量作为漂移不等式（72）来生成一个新的量子随机过程。从理论上讲，这一周期可以重复：1。选择一个量子随机过程。2、识别相关的哈密顿函数，通过该函数可以应用路径积分方法。3、将哈密顿量作为量子漂移反馈到一个新的量子随机过程中。4、返回步骤1。这是未来可能研究的一个有趣领域。6结论在本文中，我们已经证明，使用黎曼几何，量子随机过程作为非局部微分的表示，对于定义非定域性（H（y））的卷积函数有定义的矩的情况，可以反转：EH（y）[yn]对于所有n。我们继续展示如何使用PT对称量子力学来开发CCARDI Boukas量子Black-Scholes框架的路径积分公式。参考文献【1】Luigi Accardi，Andreas Boukas：《量子Black-Scholes方程》，全球纯粹与应用数学杂志，（2006）第2卷，第2期，第155-170页。[2] 巴基，量子力学，路径积分和期权定价：降低融资的复杂性。非线性物理学：理论与实验，II Gallipoli 2002，33-39，世界科学。出版物。，River Edge，NJ，2003，MR20028802[3]B.E Baakie，《统计微观经济学与商品价格：理论与实证结果》。菲尔。变速箱。R、 Soc A 37420105104。http://dx.doi.org/10.1098/rsta.2015.0104[4] B.E Baaquie，《加速度作用I：欧几里德哈密顿量和路径积分》，网址：arXiv:1211.7168v1【量子ph】【5】B.E Baaquie，《加速度作用II：欧几里德哈密顿量和约旦块》，网址：arXiv:1211.7166v1【量子ph】【6】Carl，M Bender，《PT对称量子理论导论》，网址：arXiv:quantph/0501052v1【7】Carl M.Bender，Steven A。

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