PT对称性、非高斯路径积分和量子Black-Scholes

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英文标题：
《PT Symmetry, Non-Gaussian Path Integrals, and the Quantum Black-Scholes
  Equation》
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作者：
Will Hicks
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The Accardi-Boukas quantum Black-Scholes framework, provides a means by which one can apply the Hudson-Parthasarathy quantum stochastic calculus to problems in finance. Solutions to these equations can be modelled using nonlocal diffusion processes, via a Kramers-Moyal expansion, and this provides useful tools to understand their behaviour. In this paper we develop further links between quantum stochastic processes, and nonlocal diffusions, by inverting the question, and showing how certain nonlocal diffusions can be written as quantum stochastic processes. We then go on to show how one can use path integral formalism, and PT symmetric quantum mechanics, to build a non-Gaussian kernel function for the Accardi-Boukas quantum Black-Scholes. Behaviours observed in the real market are a natural model output, rather than something that must be deliberately included.
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中文摘要：
Accardi-Boukas量子Black-Scholes框架提供了一种方法，可以将Hudson Parthasarathy量子随机微积分应用于金融问题。通过Kramers-Moyal展开，可以使用非局部扩散过程对这些方程的解进行建模，这为理解它们的行为提供了有用的工具。在本文中，我们通过反转问题，进一步发展了量子随机过程与非局部扩散之间的联系，并展示了某些非局部扩散如何可以写成量子随机过程。然后，我们继续展示如何使用路径积分形式和PT对称量子力学为Accardi-Boukas量子Black-Scholes构建非高斯核函数。在真实市场中观察到的行为是一种自然的模型输出，而不是必须故意包含在内的东西。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> PT_Symmetry,_Non-Gaussian_Path_Integrals,_and_the_Quantum_Black-Scholes_Equation.pdf (632.14 KB)

2022-6-11 05:44:36 上传

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关键词：SCHOLES choles Holes Black lack

PT对称性、非高斯路径积分和量子Black-Scholes方程将Hicks：whicks7940@googlemail.comJanuary2019年2月21日摘要Accardi-Boukas量子Black-Scholes框架提供了一种方法，可以将哈德逊部分量子随机微积分应用于金融问题。这些方程的解可以通过Kramers-Moyal展开，使用非局部扩散过程建模，这为理解它们的行为提供了有用的工具。在本文中，我们通过颠倒问题，进一步发展了量子随机过程与非局部微分之间的联系，并展示了某些非局部微分如何可以写成量子随机过程。Wethen继续展示如何使用路径积分形式和P T对称量子力学，为Accardi-Boukas量子Black-Scholes构建非高斯核函数。在真实市场中观察到的行为是一种自然的模型输出，而不是必须故意包含在内的东西。关键词-量子Black-Scholes；非高斯核；量子随机微积分；PTSymmetric Quantum Mechanics1简介有许多不同的方法来模拟金融市场的随机性。金融业实践者最常用的传统方法是应用布朗运动和伊藤微积分（例如，见[23]）。这导致了抛物线偏微分方程，如Black-Scholes方程，可以通过求解该方程来推导衍生合同的价格。量子形式主义在数学金融中的应用已被多个来源研究过。

例如，在[14]和[15]中，哈文讨论了将衍生证券的价格建模为薛定谔方程中的状态函数的含义。此外，在[2]Baaquie和[21]Linetsky中，将路径积分公式应用于金融建模，并说明如何从简单的拉格朗日方程推导出标准的Black-Scholes方程。在【3】、【4】和【5】中，Baaquie继续讨论了不同势项的含义，以及在相关哈密顿量中包含加速度项的含义。在[24]中，西格尔和西格尔讨论了将衍生证券的价格视为可观察的而非状态的双重方法。在[1]中，Accardi和Boukas使用了[19]中描述的哈德逊-帕塔萨拉蒂（Hudson-Parthasarathy）算法来发展这一想法，并推导出相关的Black-Scholes方程。尽管借鉴了量子形式主义，但Accardi-Boukas方法在某些方面在哲学上接近于经典的融资方法。经典方法和AccardiBoukas方法都使用无套利和自我融资假设来推导相关的偏微分方程。在经典情况下，随机性通过Ito随机过程引入，而在AccardiBoukas情况下，使用Hudson Parthasarathy量子随机过程。事实上，正如第2节所讨论的，Accardi-Boukas框架结合了经典方法和量子方法。当前市场的内在不确定性可纳入初始市场量子状态，而未来的动态则纳入可观测的量子随机过程（例如可交易的FTSE价格）。在[18]中，可以将Accardi Boukas的量子Black-Scholes方程建模为非局部扩散过程，并且可以使用McKean-Vlasov随机微分方程找到解（[22]）。

然后将粒子方法（例如，请参见[11]）应用于解决方案的模拟。在本文中，我们从第2节开始介绍Accardi-Boukas量子BlackScholes方程。本文旨在介绍量子随机微积分的技术，重点是关键原理和应用。有关技术细节，请参阅[1]&[19]。已经熟悉的读者可以跳到第3节。考虑到[18]中概述的结果，很自然会问，非局部差异与量子随机过程之间是否存在更深层的联系。在第3节中，我们旨在通过颠倒所考虑的问题，迈出回答该问题的第一步。我们没有从一个特定的量子随机过程开始，将解写成一个非局部扩散，而是证明了在给定一个非局部扩散的情况下，在某些情况下，有可能关联一个等效的量子随机过程。在[16]中，亨利·劳德雷（HenryLabord\'ere）指出，最初由杜皮尔（Dupire）在[9]中开发的局部波动率定价模型可以使用黎曼流形上的微分来建模。我们通过将这一思想推广到黎曼流形上的非局部微分来解决手头的问题。在第4节中，我们寻求发展与Accardi-Boukasquantum-Black-Scholes方程相关的路径积分方法。使用这种方法，我们可以使用最小作用原理，以与量子物理学基本原理一致的方式推导出部分微分方程。除了提供另一种理解系统的理论观点外，这还产生了可以应用的数值技术。试图将量子Kolmogorov后向方程写为Schr¨odinger方程会导致非厄米哈密顿函数，即动量变量中的有限幂级数。

在第4.2节中，我们展示了Bender在[6]中讨论的PT对称条件如何应用于这种情况。[6]中的分析表明，PT对称性足以确保这仍然会导致有效的量子理论。然后，我们展示了如何将通常的Wick旋转扩展到时间和空间变量，使我们能够根据需要将量子Kolmogorov向后方程写成aSchr¨odinger方程。在第4.4节中，我们按照标准步骤使用Fourier变换推导相关的非高斯核（参见第20章示例【13】。在第4.5节中，我们再次使用替代Legendretransform方法，遵循之前用于推导维纳测度和高斯核的标准步骤（例如，请参见[10]）。除了提供更多的物理见解外，该方法还提供了一个积分核表达式，可用于蒙特卡罗模拟。常见的市场行为，如波动率偏斜和厚尾，完全是哈密顿函数的结果，在对更常用于金融建模的维纳测度进行等效推导时，无法观察到这种情况。在经典情况下，此类行为需要添加额外的模型特征，例如随机波动性。2量子随机过程&Accardi Boukas Quantum Black-ScholesA经典k维随机变量可定义为概率空间的映射，Ohm toa Rk中的实向量。映射域由西格玛代数F控制。经典随机过程是一个随机变量，由实线（时间）的间隔索引。X：Ohm ×T→ Rk。现在该域由过滤：Ft控制，其中：Fs Ftif s<t。参见示例[23]。事实上，概率论的全部技术细节（虽然很重要）对于大多数金融实践目的来说都可以忽略。

关键的构建模块是维纳过程：W（t）（可以认为是实数线上的实数函数）、伊藤积分（可以根据给定条件判断其存在性）和伊藤引理。在本节中，我们采用了相同的方法：量子场论背后的完整数学机制以及路径积分的构造，对于实际金融目的来说是不必要的。熟悉Hudson Parthasarathy量子随机微积分（[19]）和Accardi BoukasQuantum Black-Scholes（[1]）的读者可以跳到第3.2.1节市场状态空间我们试图建模的市场可以通过位于初始空间H和玻色子Fock空间的张量积中的状态函数来描述：Γ（L（R+，H））。下文对此进行了描述。2.1.1初始空间初始空间：H是一个希尔伯特空间，它承载当前市场的价格信息。如果我们想知道富时指数的当前价格，那么这是由操作符X表示的，其中X通过逐点乘法作用于状态函数φ（X）：Xφ=Xφ（X）。为了获得目前可以交易富时指数的预期价格，我们进行以下计算：E十、= hφ，Xφi=RRx |φ（X）| dx，对于φ（X）∈ H、 如果我确信富时指数为7000，那么初始状态函数将是Diracstate：|φ（x）|=δ（7000- x） 。2.1.2玻色子Fock空间为了定义量子随机过程，我们需要一种随着时间推移逐步修正初始量子态的机制，主要是通过增加漂移和随机扩散。这是利用玻色子Fock空间实现的。我们从时间轴的函数开始，用Hilbert空间中携带PricinInformation（H）的值。该空格写为：K=L（R+，H）。接下来我们取指数向量ψ（f）。对于f∈ K我们有：ψ（f）=（1，f，ff√, ....,fnn1/2，…），所以：hψ（f），ψ（g）i=ehf，gi，对于f，g∈ K

玻色子Fock空间定义为这些指数向量的Hilbert空间完成，现在提供了我们需要的机制。我们的市场状态空间是张量积空间：H Γ（K）。最初，在t=0时，玻色子聚焦空间可以被认为是空的（尽管结果证明这并不重要）。返回预期FTSE价格的operatorX变为X 一、 式中，I表示空玻色子Fock空间上的恒等式运算符，此时FTSE指数价格的计算保持不变。2.1.3量子漂移在由哈密顿函数H（x，p）控制的系统中，初始波函数φ（x）=RRφ（p）eipxdp的粒子，其中p表示动量，具有酉时间展开算子：Ut=eiHt。因此，如果操作符X在时间0返回位置，那么在时间t（我们假设普朗克常数~=1）：Xt=jt（X）=U*tXUt（1）哈密顿函数H（x，p）是时间发展算子的微型生成器，我们可以写出以下量子SDE:dUt=(-iHdt）Ut（2）FTSE建模的情况完全相同。为了定义具有漂移的量子SDE，我们需要一个自伴算子H，它通过方程（1）和（2）控制漂移。对于具有漂移的经典粒子，位置是时间的确定函数。现在粒子的位置不再是确定的。正是波函数以确定性的方式发展。2.1.4量子差异我们现在添加了允许市场状态函数随机演变的操作符。这是哈德逊和Parthasarathy在[19]中描述的。

我们需要的算符作用于玻色子Fock空间中的指数向量，如下所示：Atψ（g）=Rtg（s）dsψ（g），A+tψ（g）=dd=0ψ（g+χ（0，t）），λtψ（g）=dd=0ψ（eχ（0，t）g）进一步，我们可以将随机差异定义为：=At+dt- 在, dA+t=A+t+dt- A+t, d∧t=∧t+dt- ∧t这些操作符的重要性源自时间发展操作符的函数形式。为了使Utto是单一的，它必须具有以下形式（见【19】第7节）：dUt=-iH+L*Ldt+L*SdAt公司- LdA+t+1.- Sd∧t！Ut（3），其中H、L和S是H上的有界线性算子，具有H自伴和S酉。当L=0，S=1时，这将减少到方程（2）中给出的漂移量子SDE。2.2量子Ito公式和量子Black-Scholes经典Black-Scholes方程是通过首先使用Ito引理展开导数估值函数V（X，t）推导出来的。然后构造一个复制投资组合，消除风险条款，将2相等，并假设原始投资的回报V（X，t）由所选计价资产的回报给出。量子Black-Scholes的推导遵循类似的步骤。Accardi&Boukas在[1]中概述了完整的推导过程。在本节中，我们将进行概述。第一步是Ito公式2.2.1量子Ito公式的量子版本。量子随机微分可以使用以下乘法表组合（见引理1，[19]定理4.5）：-dA+td∧tdAtdtdA+t0 0 0 d∧tdA+td∧t0 datdt dAt0 dt 0 0 0 0 0 0 0 0我们可以从上表中看到：ERtdAs+dA+s）= ERtdAsdAs+dA+sdA+s+dAsdA+s+dA+sdAs）=Rtds=t=EW（t）.事实上，当方程（3）中的S=1时，d∧tdisappear中的项。得到的算子是交换的，得到的偏微分方程与经典的Black-Scholes偏微分方程相同（[1]命题2）。

对于S 6=1，我们有一个非交换系统，Black-Scholes方程有更复杂的动力学。这将在下一小节中讨论。关于Xk的时间发展的关键结果可以通过应用上述乘法规则获得，并由引理1给出：djt（Xk）=jt（λk-1α+）dA+t+jt（αλk-1） dAt+jt（λk）d∧t+jt（αλk-2α+）dtα=[L*, 十] S，α+=S*[X，L]，λ=S*XS型- X（4）2.2.2非交换量子Black-Scholes在这一小节中，我们遵循[1]引理2中给出的量子Black-Scholes的推导。首先，假设导数价格由：Vt=F（t，jt（X）），并可展开为幂级数：F（t，X）=Pn，k≥0an，k（t- t） n（x- x） k，其中：an，k（t，x）=Fn，k（t，x）n！k和：Fn，k（t，x）=n+kF田纳西州xk公司t=t，x=x。接下来，与经典案例一样，我们假设我们可以通过投资于风险资产，将投资组合的剩余部分投资于计价资产来形成复制策略。因此，我们可以将以下内容等同起来：复制策略：dVt=atdjt（X）+（Vt- atjt（X））rdtPower系列扩展（忽略（dtn）中n的术语≥ 2） ：dVt=a1,0（t，jt（X））+峰值≥2a0，k（t，jt（X））jt（Xk）可使用等式（4）将这2等同。dt中的项产生量子Black-Scholesequation:a1,0（t，jt（X））+a0,1（t，jt（X））jt（θ）+∞Xk=2a0，k（t，jt（X））jt（αλk-2α+）=atjt（θ）+Vtr- atjt（X）rjt（θ）=i【H，X】-（L）*LX+XL* L- 2升*四十） （5）通过应用以下边界条件，dAt、dA+t和d∧皮重中的项等于零：P∞k=1a0，k（t，jt（X））jt（λk-1α+）=atjt（α+）P∞k=1a0，k（t，jt（X））jt（αλk-1） =atjt（α）P∞k=1a0，k（t，jt（X））jt（λk）=atjt（λ）2.2.3翻译，以及经典Black-Scholes在本小节中，基于[18]中给出的分析，我们简要总结了如何将酉变换应用于经典Black-Scholes系统，获得新的量子Black-Scholesdes。

在经典情况下，S=1，因此λ=0。此外，jt（αα+）由σx给出。边界条件现在简化为单一条件：a0,1（t，jt（x））=将其插入方程（5）中，得到：a1,0（t，jt（x））+a0,1（t，jt（x））jt（x）r+a0,2σjt（x）- Vtr=0使用标准符号，我们得到：五、t+rx五、x+σx五、x个- rV=0（6），这是经典的Black-Scholes偏微分方程。我们现在寻找可以应用的不同酉变换。股票价格（如富时指数价格）的自然希尔伯特空间为：H=L（R）。在这个例子中，我们可以看看酉变换：Tεf（x）→ f（x- ε).在这种情况下，对于平移不变的Lebesgue测度u：hTεf | Tεgi=RRf（x- ε） g（x- ε） du（x）=RRf（x）g（x）du（x）=hf | gi因此，Tε是幺正的，我们得到：λf（x）=T-εXTεf（x）- Xf（x）=T-εxf（x- ε) - xf（x）=（x+ε）f（x）- xf（x）=εf（x）得到的量子Black-Scholes方程为：五、t+rx五、x+σxXk≥2εk-2k！千伏xk公司- rV=0（7）有关此偏微分方程、McKean随机过程和蒙特卡罗解模拟之间的联系的进一步讨论，请参见【18】。2.2.4旋转和Bid-O-offer干涉可应用于多个维度的替代变换涉及旋转（见【18】）。例如，如果x表示富时指数的中间价，我们可以使用一个额外的参数来表示出价价差：, 因此（x-) 代表最佳投标价格，以及（x+) 代表最优惠的价格。传统上，如果我们假设我们可以进行中间价交易（例如在电子交易所的一天结束拍卖过程中），而衍生产品合同仅取决于中间价，那么涉及出价差价的条款 将退出Black Scholes PDE。