基于信息熵的市场效率量化

然而，为了减少自由参数的数量，我引入了条件概率的限制，即玩家关于结果的信息是对称的。p（y=\'h′| x=\'h′）=p（y=\'t′| x=\'t′）（24）这假设玩家无法预测尾部的结果，而不是头部的结果。计算引号的概率：q（x=\'t\'）（25）是事件尾“t”的预期概率。根据这种概率，通过α（x=\'t′）=q（x=\'t′）导出引号。如第5节所述，在无成本的情况下，预期概率必须总计为1。与真实事件的情况类似，它如下所示：q（x=\'t′）=1- q（x=\'h′）（26）引述如下：α（x=\'h′）=α（x=\'t′）α（x=\'t′）- 1（27）根据上述参数，可以区分该系统的三种不同性质：1。结果的公平性2。可预测性3。quoteEach属性的公平性与概率有直接关系，反之亦然：1。如果p（x=\'t′）=p（x=\'h′）=0.5，那么硬币是公平的。在所有其他情况下，铸币都被认为是不公平的。2、如果p（x | y）=p（x），系统将不可预测。对于faircoin，这导致p（y）=0.5。在所有其他情况下，系统都具有某种预测性。如果q（x）=p（x），因此α=1/p（x），则报价将被称为公平报价。在公平货币的cas eof中，q（x）=0.5，因此α=2。否则，引用是不公平的。6.2公平、可预测、有公平报价的硬币首先，我考虑硬币和报价公平的情况。在这种情况下，硬币的效率仅由其可预测性p（x | y）决定。根据第6.1节的特性，硬币的效率可以通过p（y | x）独立计算。

从效率的定义开始：效率（X | Y）=H（X | Y）H（X）=-Pp（y）（Pp（x | y）logp（x | y））-Pp（x）logp（x）（28）如下所示：E ff（x | Y）=（p（Y | x）- 1） 日志[1- p（y | x）]- p（y | x）log[p（y | x）]（29）在图1中，具有公平报价的公平可预测硬币的效率曲线（x | y）取决于可预测性p（y | x）。图中显示，预测精度越高，效率越低。效率范围从零（预测的100%和0%准确度）到一（如果正确的预测是偶然的）。它还表明，即使可以用近90%的预测结果，效率仍在50%左右。此外，可以看出，与不可预测性（即p（x | y）=0.5±0.05）相比，10%的差异对效率的影响小于3%。然而，在抛硬币的情况下，3%的效率将使每次抛硬币的平均收入提高到3%，而没有破产的风险。6.3具有公平报价的不公平、不可预测性硬币第二，我认为不公平、不可预测的硬币的报价相对于概率而言是公平的。如果我们使用第6.1节中的相应关系，在公式（28）中所示的效率定义中，可以得出系统始终是一个效率（X | Y）=1（30），因此，在不可预测性和公平报价的情况下，效率独立于硬币的公平性。例如，如果10倍的硬币收益中有9倍是正面的，但这一事件的回报只有10/9，这是可以理解的，在这种情况下，硬币的不公平不会产生任何利益。如果对该事件的发生没有进一步的了解（因此p（x | y）=p（x）），则效率为100%。

这一结果表明，硬币系统的效率并不取决于硬币的公平性，而是取决于可预测性和报价。在这种情况下，有趣的是系统的信息内容H（X），因为它并不像效率那样是静态的。H（X）以以下方式取决于交易的公平性：H（X）=（p（X）- 1） 日志[1- p（x）]- p（x）logp（x）（31）H（x）对概率p（x）的依赖曲线如图2所示。很容易理解，一枚总是显示尾部p（x=\'t′）=1的硬币没有信息内容，因此H（x）=0。从这一点开始，熵上升到最大值，p（x=\'t′）=0.5。这从方程16得出，H（X）=16.4公平、不可预测的不公平报价硬币另一个有趣的情况是，硬币公平且不可预测，但报价不公平。在本案例中，效率（如图3所示）为：等式（X | Y）=-0.5对数Q（x）+0.5对数[1- q（x）]（32），对于熵（如图4所示），followsH（q）=0.5 log[1- q（x）]- 0.5 logq（x）（33）图3显示，虽然特定的抛投量没有可预测性，但效率并不总是一。如第5节所述，如果定价不正确，即使单个事件没有任何可预测性，硬币的效率也会下降。图3显示，即使与公平硬币的报价相比，错误定价约为90%，效率也约为60%，即使是99%的折扣，效率也约为30%的相对高值。7讨论在本文中，我介绍了一种效率的定义，它增强了现有概念的预见性和普遍性。新的信息效率定义通过提供市场效率的衡量标准，为解决市场是否有效这一难题迈出了实质性的一步。

我表明，基于信息熵的新定义涵盖了信息效率定义（见第4.1节）和无效率定义（见第4.2节）的本质。通过将定义扩展到更广泛的应用领域（允许非公平定价（见第5节），我证明了非效率有两个来源：可预测性和不公平定价。最后，我用一个简单的抛硬币系统证明，通过使用信息效率定义，效率可以精确量化，并且我展示了不同情况下硬币的效率。有人可能会说，新定义只会将表m从市场模型的不确定性转移到信息的不确定性。但事实并非如此，正如本文的结果所示。新定义带来了更多的优势：首先，新定义能够得出不同的效率等级，而之前使用的定义并非如此。这一新定义进一步提供了一种新的方法来实际量化衡量效率。通过这种方法，市场是否有效的问题可以从一个基本的辩论转变为一个衡量问题，从而确立相对效率的概念。因此，我的定义将有助于克服效率讨论中的二元焦点，并有助于建立一个更加渐进的观点。第二，我在第5节中指出，现在可以基于清晰的定量定义进行理论分析，得出新的见解，例如效率可能来自两个不同的来源。第三，现在可以准确量化各种玩具模型的效率。这一介绍只是解决市场效率问题的第一步，还需要采取进一步的措施。

可以研究定义的时间依赖性，以及在q（x）中纳入某种价格动态。此外，我没有考虑包括费用在内的情况。但是，所有这些扩展并没有改变新效率测量背后的基本概念。效率衡量的这一基本概念将EMH的焦点从一场根本性的辩论转移到了一个纯粹的衡量问题上。这将有效市场假说从经济理论的实际状态转变为定量科学。感谢Franziska Becker、Tobias B asse、Rike Rothenstein和Wilfried Rickels在撰写本文时给予的支持，以及Klaus Pawelzikand Mark Kirstein的有益讨论。参考文献【1】H.Allen和M.P.Taylor。伦敦交易所市场的图表、噪音和基本面。《经济杂志》，100（400）：49–591990年。[2] R.Ariel。每月对股票回报的影响。《金融经济学杂志》，18:161–1741987。[3] R.Ball和P.Brown。a c计算收入数字的实证评估。《会计研究杂志》，6（2）：159–178196 8。[4] R.Banz。共同股票的收益与市值之间的关系。《金融经济学杂志》，第9（1）：3–18页，1978年。[5] M.Beechey、D.Gruen和J.Vickery。有效市场假说：一个谨慎的假设。技术报告，澳大利亚储备银行，2000年。[6] F.Black和M.Scholes。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81:637–6541973年。[7] D.Challet和Y.-C.Zhang。在进化博弈中合作和组织的出现。Physica A，246:4071997。[8] D.Challet和Y.-C.Zhang。关于少数群体博弈：分析和数值研究。Physica A，256:5141998。[9] K.C.Chan和N.Chen。小型和大型企业的结构和回报特征。《金融杂志》，46（4）：1739-17641991。[10] A.考尔斯。

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它表明，当报价基于事件的正确概率（q（x）=p（x）=0.5）时，效率为1，如果概率q分别为1和0，则效率下降到零。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01 2 3 4 5 6q（x）H（q）图4：当引号可变时，该图显示了公平硬币的熵。它显示了确定报价的事件x的估计概率q（x）的依赖性。如果引号上升，熵也会上升。最小熵是指报价的公平概率（q（x）=p（x）=0.5）。