弱共单调性

将两个方程的左侧相加得到零，由于刚刚建立的非负性陈述，这意味着右侧也是零，这意味着独立性。用分布函数表示基于概率的质量很方便，接下来我们明确地这样做是为了检查随机变量h（X）和g（Y）是否与P×P弱共单调。为此，我们将Ohmg（X（ω））- g（X（ω′））h（Y（ω））- h（Y（ω′））P（dω）P（dω′）=E（g（X）- g（X′）（h（Y）- h（Y′）= E（g（X）- g（X′）（h*（十）- h类*（X′）=ZZR公司g（x）- g（x′）h类*（十）- h类*（x′）FX（dx）FX（dx′），（4.3），其中*（x） ：=Eh（Y）| X=X.因此，h（X）和g（Y）对于P×P是弱共单调的当且仅当函数g和h*对于FX×FX是弱共单调的，即ZZRg（x）- g（x′）h类*（十）- h类*（x′）FX（dx）FX（dx′）≥ 0。（4.4）由此，我们得出以下弱同一性对正关联的解释。提案4.3。以下两种说法是等价的：（1）随机变量X和Y正相关。（2） 对于所有非递减Borel函数g和h，函数g和h*（x） ：=E[h（Y）| x=x]对于FX×FX是弱共单调的。从命题4.3可以看出，如果我们需要函数g和h*就所有产品度量而言，是弱共单调的×, 因此，特别是对于所有x，x′的乘积δx×δx′∈ R、 那么这等于函数g和h*具有强烈的共单调性。下一个定理连接了g和h的弱共单调性的概念*正回归依赖的概念（Lehmann，1966）。提案4.4。

以下两种说法是等价的：（i）对于所有非递减Borel函数g和h，函数g和h*对于所有产品度量都是弱共单调的× .（ii）随机变量Y正回归依赖于X，即对于每个Y∈ R、 功能x 7→ FY | X（y | X）不增加。证据声明（i）表示g和h*对于所有非递减的borelfunction g和h都是强共单调的。考虑到这一点，语句（i）和（ii）的等价性后面是notingthat h*（x） 和1- FY | X（y | X）分别等于E[h（Zx）]和E[hy（Zx）]，其中Zx：=[y | X=X]和hy=I（y，∞). 现在需要回顾的是，所有非递减函数的类sh和类{hy，y∈ R} 给出两种定义随机顺序的等效方法（例如，P flug and d R¨omisch，2007；R¨uschendorf，2013；F¨ollmer and Schied，2016）。5产品度量值的最大值定义2.2基于产品度量值π×π，考虑到引起弱共名概念的示例，这是一种自然选择。然而，在某些情况下，需要更多的通用性，为此，我们引入了积分（2.4）的扩展：ZZOhm（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）πW（dω，dω′），（5.1），其中，π是(Ohm, F） ，对于任意随机变量W on(Ohm, F） ，πW（dω，dω′）=W（ω，ω′）Eπ×π[W]π（dω）π（dω′）。定义5.1。

我们认为，随机变量X和Y对于（不一定是乘积）测度π的集P是弱共单调的(Ohm, F） wheneverZZ时Ohm（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）π（dω，dω′）≥ 0表示所有π∈ P、 这种泛化提供了一种环境，在这种环境中，我们可以更好地理解乘积度量π×π的作用，它恰好具有以下极大性属性：ZZOhm（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）π（dω，dω′）≤ZZ公司Ohm（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）、π（dω）π（dω′）、5.2，前提是cπ（X，Y）：=ZZ公司OhmX（ω）Y（ω′）π（dω，dω′）-ZOhmX（ω）π（dω）ZOhmY（ω′）π（dω′）+ZZ公司OhmY（ω）X（ω′）π（dω，dω′）-ZOhmY（ω）π（dω）ZOhmX（ω′）π（dω′）≥ 0，（5.3），其中π（A）：=ROhmπ（A，dω′）和π（A′）：=ROhmπ（dω，A′）。如果度量π是对称的，即π（A，A′）=π（A′，A）对于所有A，A′∈ F、 那么π=π。还要注意的是，第一个大括号内和第二个大括号内的协方差查找量通常相对于X和Y不是对称的，但它们的和Cπ（X，Y）始终是对称的，与度量π无关。最后，我们注意到，在“对角线”情况下，X=Y，我们有cπ（X，X）=ZZOhmX（ω）X（ω′）π（dω，dω′）-ZOhmX（ω）π（dω）ZOhmX（ω′）π（dω′）。为了更深入地理解上述概念，并将其与弱共单调性和正关联联系起来，我们将重点转移到1）可测量空间（R，B），2）Borel函数G和h，以及3）由两个随机变量V和W生成的联合cdf FV，W，我们分别用FV和FW表示其边缘cdf。在这种情况下，bound（5.2）采用以下形式g（v）- g（w）h（v）- h（w）FV，W（dv，dw）≤ZZR公司g（v）- g（w）h（v）- h（w）FV（dv）FW（dw），（5.4），当且仅当ifCπ（g，h）：=Cov[g（V），h（W）]+Cov[h（V），g（W）]时，其保持（参见条件（5.3））≥ 0，（5.5），其中π=FV，W。

显然，Cπ（g，h）=Cπ（h，g），与测度π无关，我们还有方程Cπ（g，g）=Cov[g（V），g（W）]。从上述注释中，我们得出结论，在测量值π=FV的类别中，W由正相关随机变量V和W生成，乘积测度π=FV×FV在非递减Borel函数g和h的所有p airs类中的界（5.4）意义上是最大的。但1）V和W正相关，2）g和h不递减的假设相当强：它们确保了方程（5.5）右侧的两个协方差的非负性，因此，反过来，暗示Cπ（g，h）所需的非负性。由于弱共单调性的概念，我们可以在方程（5.5）右侧指定两个协方差非负的必要和充分条件。为此，我们写下cπ（g，h）=Cov[g（V），h*（V）]+冠状病毒*（V），h（V）]，（5.6），其中h*（v） =E[h（W）| v=v]和g*（v） =E[g（W）| v=v]。方程（5.6）右侧的两个协方差为非负当且仅当两对（g，h*) 和（g*, h） 对于测量值eπ=FV×FV是弱单调的。然而，请注意，协方差Cπ（g，h）可以是非负的，而不会使方程（5.6）右侧的两个协方差为非负。为了说明这一点，我们接下来构造了一个例子，当两个协方差中的一个是n负的，而Cπ（g，h）是正的。示例5.1。设g（x）=sin（x），h（x）=cos（x）。

此外，设V和W为边际分布为V的随机变量=0带3/10π/2带7/10和W=2π/3和3/10π/7/10，并让依赖结构由矩阵给出2π/3 π0 1/10 2/10π/2 2/10 5/10阿基米德常数π≈ 3.14159不得与早期使用的符号f或度量混淆。我们有cov[g（V），h（W）]=-= -0.005，Cov【h（V），g（W）】=√≈ 0.00866和thusCπ（g，h）=-+√≈ 0.00183.示例5.1.6基于分位数的风险分配的应用在本节中，我们通过研究风险分担背景下出现的优化问题来说明上述发展的理论，其中弱共单调性对可容许风险分配的依赖结构提供了自然约束。我们遵循Embrechts等人（2018、2019）的框架，他们研究了基于分位数的风险度量的风险分担问题。设X是无原子概率空间中所有随机变量的集合。随机变量X∈ X表示总随机损失，ρ，ρ经济代理人（如企业或投资者）使用的风险度量（如VaR或ES）。表示（X）=（（X，…，Xn）∈ Xn:nXi=1Xi≥ 十） ，（6.1）是所有可能的损失分配给代理人的集合，至少总结为Totaloss X。ByEmbrechts等人（2018年，命题1），风险分担问题的帕累托最优分配是以下优化问题的解决方案min（nXi=1ρi（Xi）：（X，…，Xn）∈ An（X））。（6.2）在问题（6.2）中，分配（X，…，Xn）之间的依赖结构是任意的。Embrechts等人（2018）也考虑了约束问题min（nXi=1ρi（Xi）：（X，…，Xn）∈ 安（X）、Xi↑ 十、 i=1，n） 。

（6.3）其中Xi↑ X表示xind X是强共单调的。对于实际情况，问题（6.2）m中容许分配的任意依赖性假设可能太弱，而问题（6.3）中强共单调分配的假设可能太强。因此，我们可以考虑风险分担问题中容许分配的依赖结构的中间假设，这是由弱共单调性建模的。为此，我们构造了一个以β为索引的弱共单调谱∈ [0，1]，使得β=0对应于无依赖约束，β=1对应于g共单调性上的str。为此，请记住，在上述第3节中，对于随机变量X和任何p∈ [0，1），wede finedaxp={ω∈ Ohm : X（ω）>VaRp（X）}和pxp={Δω×Δω′：ω∈ AXp，ω′∈ （AXp）c}。在下面的内容中，对于两个r an dom变量Y和Z，我们将使用符号Y↑当Y和Z是关于toSp的弱共单调时的βZ∈[1-β、 1）PZp。Y的解释↑βZ是指Y和Z是共单调的，在事件AZ1上都取较大值-β、 对（AZ1）没有依赖性假设-β） c.还应注意↑βZ随β增大而增大。特别是，假设Z是连续分布的，对于β=0，Y↑βZ没有依赖性假设，对于β=1，这意味着Y和Z是强共单调的。利用这一联系，我们将强加Xi↑βX，i=1，n作为风险分担问题中可容许分配的约束，因此β=0对应于（6.2），β=1对应于（6.3）。为了便于说明，我们将重点放在Embrechts et al.（2018）研究的一个重要特例上，当风险衡量ρ，ρnare分位数在不同水平。根据Embrechts et al.（2018）的设置∈ （0，1）和Y∈ 十、 我们定义qα（Y）=inf{X∈ R:P（Y≤ x）≥ 1.- α}.备注6.1。

注意，Qα是左边（1- α） -分位数，与第3节中定义的VaR（右分位数）不同。这里和Embrechts等人（20182019）中选择左分位数是有意的。对于最小化问题，我们需要使用左分位数来保证最优分配的存在。回想一下，在第3节中，我们研究了最大化问题，因此右分位数是自然选择。另一方面，使用（1-α） -分位数ins代替α-分位数导致结果的简洁陈述；这将从下面的陈述（6.4）–（6.5）中清楚地看到。设ρi=Qαi，i=1，n、 其中α，α是正常数，使得Pni=1α<1。对于风险度量的选择，问题（6.2）和（6.3）都允许分别在Embrechts et al.（2018）的OREM 2和命题5中给出分析解决方案。这些结果意味着（nXi=1Qαi（Xi）：（X，…，Xn）∈ An（X））=QPni=1αi（X）（6.4）和min（nXi=1Qαi（Xi）：（X，…，Xn）∈ 安（X）、Xi↑ 十、 i=1，n） =QWni=1αi（X），（6.5），相应的最优分配也可以显式构造。注意，结果（6.4）意味着qpni=1αinXi=1Xi！≤nXi=1Qαi（Xi）（6.6），对于所有X，Xn公司∈ X（Embrechts et al.，2018，推论1），这将有助于我们下面的分析。备注6.2。Embrechts等人（2018年）使用PNI=1Xi=X而非PNI=1Xi来计算（6.1）中的容许分配≥ 十、 很容易看出，在问题（6.2）和（6.3）中，这两种设置对于分位数等单调风险度量是等效的。在本文中，我们使用不等式定义（6.1），因为我们的依赖约束会使这两个公式通常不再等效，并为当前公式找到解析解。对于连续分布的X和参数β∈ [0，1]，我们考虑优化问题vβ（X）=inf（nXi=1Qαi（Xi）：（X。

，Xn）∈ 安（X）、Xi↑βX，i=1，n） 。（6.7）很明显，β=0对应问题（6.2），β=1对应问题（6.3）。因此，弱共名性的使用在Embrechts et al.（2018）考虑的两个风险分担问题（6.2）和（6.3）之间架起了一座桥梁，它提供了更大的灵活性，因为可以对可接受的分配施加部分依赖性约束。与涉及分位数（或VaR）的许多其他优化问题类似，问题（6.7）不是凸的，因为Qα通常不是凸的，因此需要对问题进行专门分析。然而，通过一些辅助技术结果，我们将在下面说明问题（6.7）采用了解析解，并将以显式形式获得最优分配。定理6.1。假设X是一个连续分布的随机变量，α，αn>0，Pni=1αi<1，β∈ [0, 1]. 我们有vβ（X）=Qγ（X），其中γ=β∧ （Wni=1αi）+Pni=1（αi- β)+.证据我们首先注意到，γ=Pni=1αiifβ=0，γ=Wni=1αiifβ=1，分别对应于陈述（6.4）和（6.5）。因此，必须考虑β∈ (0, 1). 为了继续，我们需要以下引理，其证明将在附录中给出。引理6.1。Letβ∈ （0，1）和Y↑βX.表示B=AX1-β. 我们有以下声明：（i）B {Y≥ Qβ（Y）}和Bc {Y≤ Qβ（Y）}a.s.（ii）如果α>β，则Qα（Y）=Qα-β（z1B+Y 1Bc）适用于所有z≤ Qα（Y）。（iii）如果α>β，则对于所有z，Qα（Y）=Qα（z1B+Y 1Bc）≥ Qα（Y）。（iv）如果α≤ β、 然后，对于所有z，Qα（Y）=Qα（Y 1B+z1Bc）≤ Qα（Y）。（v） 如果α+β<1，则Qα（Z）≥ 所有Z的Qα+β（z1B+Z1Bc）∈ X和z∈ R、 我们现在可以继续证明定理6.1。Letβ∈ （0，1）并采取任意可采分配（X，…，Xn）∈ An（X）这样Xi↑βX，i=1，n、 我们需要额外的旋转：B=AX1-β、 J={i∈ {1，…，n}：αi>β}，K={1，…，n}\\J.此外，设xi=Qαi（xi），yi=Qβ（xi），i=1。

. , n、 yJ=Pi∈Jyi，yK=π∈Kyi，XJ=π∈JXi和XK=Pi∈KXi。根据emma6.1（i），我们有（所有声明都是a.s.）B {Xi≥ 彝语}和Bc {Xi≤ yi}对于每个i=1，n、 （6.8）使用语句（6.8），我们可以看到随机向量（XiB+yiBc）i∈Kis是强共单调的，因为（X，…，Xn）在事件B上是强共单调的。因此，使用彝语≤ xifor一∈ K、 L emma6.1（iv）和声明（6.5），我们获得XI∈KQαi（Xi）=Xi∈KQαi（XiB+yiBc）≥ QWi∈KαiXi∈KXiB+Xi∈KyiBc！=QWi∈Kαi（XKB+yKBc）。（6.9）此外，声明（6.8）也暗示 {XK≥ yK}，B {XJ≥ yJ}，Bc {XK≤ yK}和Bc {XJ≤ yJ}。（6.10）我们将以下考虑分为两种情况。案例1。假设β≥Wni=1αi，表示K={1，…，n}，γ=Wni=1αi。注意，语句（6.10）表示XKB+yKBc≥ XK公司≥ 十、 利用界（6.9）和Qγ（Y）处的th在Y中增加的事实，我们得到nxi=1Qαi（Xi）≥ QWni=1αi（XKB+yKBc）≥ Qγ（XK）≥ Qγ（X）。因此，Vβ（X）≥ Qγ（X）。另一方面，根据语句（6.5），我们有vβ（X）≤ QWni=1αi（X）=Qγ（X）。将上述观察结果加在一起，我们得到Vβ（X）=Qγ（X）。案例2。总β<Wni=1αi，这意味着γ=β+Pni=1（αi- β） +>β，J 6=. 使用单独的MMA 6.1（ii）和（v）以及绑定（6.6），我们得到xi∈JQαi（Xi）=Xi∈JQαi-β（xiB+XiBc）≥ QPi∈J（αi-β） Xi∈JxiB+Xi∈JXiBc！≥ Qβ+Pi∈J（αi-β） （yJB+XJBc）=Qγ（yJB+XJBc）。（6.11）因此，yJB+XJBcand和XKB+ykb是强共单调的。将不等式（6.9）和（6.11）放在一起，使用语句（6.5）和（6.10），我们得到nxi=1Qαi（Xi）=Xi∈JQαi（Xi）+Xi∈KQαi（Xi）≥ Qγ（yJB+XJBc）+Qγ（XKB+yKBc）≥ Qγ（（XK+yJ）1B+（XJ+yK）1Bc）≥ Qγ（（yK+yJ）1B+（XJ+XK）1Bc）≥ Qγ（（yK+yJ）1B+X1Bc）。（6.12）注意，X是连续分布的，意味着Qγ（X）<Qβ（X）。此外，yK+yJ≥ XJ+XK≥ Bc上的X，由L emma6.1（i）得到的d，我们有{X≤ Qγ（X）} {X<Qβ（X）} 卑诗省 {X≤ yK+yJ}。这显示yK+yJ≥ Qγ（X）。

利用引理6.1（iii）和d界（6.12），我们得到nxi=1Qαi（Xi）≥ Qγ（（yK+yJ）1B+X1Bc）=Qγ（X）。这证明了Vβ（X）≥ Qγ（X）。接下来，我们显示Vβ（X）≤ Qγ（X）通过最优分配的显式构造。Lety=Qβ（X），z=Qγ（X）。在不丧失一般性的情况下，假设1∈ J、 重新调用thatP（AX1-γ\\AX1-β) = γ - β=Xi∈J（αi- β） ，因此我们可以找到分区（Ai）i∈Jof AX1-γ\\AX1-β使得P（Ai）=αi-每个i的βi∈ J、 定义=（十）- z）B+1A+1（AX1-γ） c类+ z如果i=1，y+B+（X- z） 1Aiif i∈ J \\{1}，如果i∈ K、 （6.13）如果y thatPni=1Xi=（#J- 1） y+B+X≥ X和Xi↑βX，i=1，n、 因此，（X，…，Xn）是问题（6.7）的可容许分配。此外，对于i 6=1，我们检查Qα（X）=zan和Qαi（Xi）=0。因此，nXi=1Qαi（Xi）=z=Qγ（X），表明Vβ（X）≤ Qγ（X）。据此，我们完成了定理6.1的证明。在定理6.1的前提下，得到了问题（6.7）最优分配的显式构造。具体而言，在不丧失一般性的情况下，设α=Wni=1αi。如果β<Wni=1αi，则通过等式（6.13）给出最佳分配。另一方面，如果β≥Wni=1αi，则对于i 6=1，非最优分配由X=X和Xi=0给出。最佳分配通常不是唯一的，类似于Embrechts等人（2018）中的问题（6.2）和（6.3）。最后，我们讨论了problem（6.7）中参数β值的含义。重申Vβ（X）代表风险再分配后的最小总风险度量。在定理6.1中，γ=γ（β）是β的分段线性递减函数，其中γ（0）=Pni=1α，γ（β）=Wni=1αiifβ≥Wni=1αi。因此，如果没有依赖约束，我们得出（6.4），Embrechts等人获得的最小可能总风险度量。（2018，定理2）。