弱共单调性

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英文标题：
《Weak comonotonicity》
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作者：
Ruodu Wang, Ricardas Zitikis
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The classical notion of comonotonicity has played a pivotal role when solving diverse problems in economics, finance, and insurance. In various practical problems, however, this notion of extreme positive dependence structure is overly restrictive and sometimes unrealistic. In the present paper, we put forward a notion of weak comonotonicity, which contains the classical notion of comonotonicity as a special case, and gives rise to necessary and sufficient conditions for a number of optimization problems, such as those arising in portfolio diversification, risk aggregation, and premium calculation. In particular, we show that a combination of weak comonotonicity and weak antimonotonicity with respect to some choices of measures is sufficient for the maximization of Value-at-Risk aggregation, and weak comonotonicity is necessary and sufficient for the Expected Shortfall aggregation. Finally, with the help of weak comonotonicity acting as an intermediate notion of dependence between the extreme cases of no dependence and strong comonotonicity, we give a natural solution to a risk-sharing problem.
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中文摘要：
在解决经济、金融和保险领域的各种问题时，共名的经典概念发挥了关键作用。然而，在各种实际问题中，这种极端正依赖结构的概念过于严格，有时甚至不切实际。在本文中，我们提出了弱共单调性的概念，其中包含了经典的共单调性概念作为特例，并给出了一些优化问题的充要条件，如投资组合多样化、风险聚合和溢价计算中出现的问题。特别是，我们表明，对于某些度量选择，弱共单调性和弱反单调性的组合足以实现风险价值加总的最大化，而弱共单调性对于预期短缺加总是必要和充分的。最后，借助于弱共单调性作为无依赖和强共单调性极端情况之间依赖的中间概念，我们给出了一个风险分担问题的自然解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-6-11 06:22:59 上传

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关键词：单调性 maximization Quantitative Applications Optimization

加拿大安大略省滑铁卢市滑铁卢大学统计和精算科学系，N2L5A7。电子邮件：wang@uwaterloo.caRiˇcardas ZitikisSchool of Mathematic and Statistic Sciences，University of Western Ontario，London，OntarioN6A 5B7，Canada。电子邮件：rzitikis@uwo.caThis版本：2019年7月摘要。在解决经济、金融和保险领域的各种问题时，共名的经典概念发挥了关键作用。然而，在各种实际问题中，这种极端正依赖结构的概念过于严格，有时甚至不切实际。在本文中，我们提出了弱共单调性的概念，其中包含了经典的共单调性概念作为特例，并给出了一些优化问题的必要和充分条件，例如投资组合分散、风险聚合和溢价计算中产生的问题。特别是，我们表明，对于某些度量选择，弱共单调性和弱反单调性的组合对于风险价值聚集的最大化是有效的，而弱共单调性对于预期的短缺聚集是必要的和有效的。最后，借助弱共单调性actingas这一介于无相依性和强共单调性的极端情况之间的依赖性的中间概念，我们给出了一个风险分担问题的自然解。关键词和短语：金融；共名性；风险汇总；有条件测试版。1引言如果一个函数的起伏遵循另一个函数的起伏，则两个函数称为共单调函数。因此，虽然在本质上是几何的，但共单调性也是函数之间的一种依赖关系。

因此，在解决经济、银行业和保险业的各种问题时，尤其是那些涉及投资组合变动、风险加总和保费计算原则的问题时，共名性已经产生了足够的条件，这并不奇怪。我们对必要条件和有效条件的研究表明，通过适当的构造措施，对经典（和固有的逐点）共单调性概念进行一定程度的增强，可以实现比有效条件相关的目标更高级的目标。作为一种副产品，我们称之为弱共单调性的共单调性的增强概念，在上述应用领域的一系列概念和统计领域（包括关联度量）之间架起了天然的桥梁。在下文中，我们从第一原则出发，系统地发展了弱共名性的概念，建立了它的各种性质，并展示了它的多种用途。严格地说，无论性质如何，两个函数g和h都是共单调的g（x）- g（x′）h（x）- h（x′）≥ 0（1.1）适用于所有x，x′∈ R、 这种共名性的概念（Schmeidler，1986）在众多应用和发展新理论方面发挥了关键作用（例如，Yaari，1987；Denneberg，1994）。自那时以来，这些进步一直是定量金融和经济学文献的主流（例如，Dhaene等人，2002a，b；F¨ollmer和Schied，2016）。在本文中，我们将关注一维函数（和dom变量）之间的依赖性概念；关于多变量扩展和共单调性的进一步参考，我们参考了toPuccetti和Scarsini（2010）、Carlier等人（2012）、Ekland等人（2012）和R¨uschendorf（2013）。

请注意，如果属性（1.1）中的非负性替换为非正性，则函数g和h称为反单调函数。（Borel）函数g和h的共单调性是卵巢Cov[g（X），h（X）]非负性的充分条件，其中X是一个随机变量，使得g（X）和h（X）具有微秒矩。从方程2 Cov[g（X），h（X）]=E可以立即看出这一点（g（X）- g（X′）（h（X）- h（X′）=ZZR公司g（x）- g（x′）h（x）- h（x′）FX（dx）FX（dx′），（1.2），其中X′是X的独立副本，FX表示X的累积分布函数（cdf）。确定上述协方差符号的问题在经济学、保险、银行业、可靠性工程和统计学中有着广泛的兴趣。这种类型的研究产生了几种效果，包括四元依赖性（Lehmann，1966）、关联度量（Esary et al.，1967）、单调性（Kimeldorf and Sampson，1978）和d上确界（Gebelein，1941）相关系数。以下示例说明了对此类结果的需要。示例1.1。设X为风险的严重程度，例如，它可能是盈亏变量。设g（X）为与风险X相关的成本，设fhxb为原始随机变量X的所谓（基于知识的）加权cdf（如Rao，1997，以及其中的参考文献）。也就是说，FhXis由微分方程Fhx（dx）=h（x）E[h（x）]FX（dx），（1.3）定义，其中h是一个非负函数，如E[h（x）]∈ (0, ∞). 函数h的作用是修改原始随机变量X的概率。

例如，在保险业中，它通常被设计为降低X pdf的左尾，并提升其右尾，从而使较大的保险风险/损失更加明显，并增加保费；例如，我们参考Deprez和Gerber（1985）的Esscher保险费计算原理，其中h（x）=etx，对于某些常数t>0。在加权cdf FhX下，平均成本isEh[g（X）]=Zg（X）FhX（dx）=E[g（X）h（X）]E[h（X）]，这不小于真实cdf FXif下的平均成本E[g（X）]，且仅当Cov[g（X），h（X）]为非负时。在这种情况下出现了几个自然问题：在什么条件下，代价函数g和概率加权函数h的协方差为非负？正如我们前面的论证所表明的那样，这些函数真的应该是共单调的吗？在这一点上需要注意的是，由于经济主体行为的复杂性，实际和理论考虑可能支持或不支持后一种假设（例如，Markowitz，1952；Pennings和Smidts，2003；Gillen和Markowitz，2009）。我们将论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们定义、说明并讨论了弱共单调性的概念，首先针对Borel函数，然后针对随机变量（即一般可测函数）。在第3节中，我们阐明了弱共单调性在风险聚集中的作用。特别是，我们表明，对于某些度量集，弱共单调性和弱反单调性的组合对于风险价值（VaR）聚集的最大化是有效的，而弱共单调性对于预期短缺（ES）聚集是必要的和有效的。VaR和ES聚合问题在最近的风险管理文献中都很普遍（例如，R¨uschendorf，2013；McNeil等人，2015；Embrechts等人，2015）。

在第四节中，我们探讨了弱共单调性的一些性质及其与其他依赖结构和关联测度的关系。由于本文的大部分内容涉及生产测度的弱共单调性，因此在第5节中，我们将在联合测度的一般背景下说明这些测度的特殊作用。在发展理论的帮助下，在第6节中，我们提出了一个风险分担问题的详细解决方案，通过调用弱共名性约束，其自然性在注意到允许分配之间的任意依赖性假设有时太弱，强共名性假设可能太强时变得明显，因此，基于弱共单调性的中间依赖假设最自然地出现了。第7节总结了本文的主要贡献。2弱共单调性您在解决上一节中所述问题，尤其是与风险聚集（第3节）相关的问题时所做的努力，自然使我们产生了弱共单调性的概念（稍后确定），它以以下方式自然地弥合了（1.1）和（1.2）中有关数量的争论：首先，注意等式g（x）- g（x′）h（x）- h（x′）=ZZR公司g（z）- g（z′）h（z）- h（z′）δx（dz）δx′（dz′），（2.1），其中δx和δx′分别是点x和x′处的点质量。现在很明显，通过选择不同的乘积度量来代替δx×δx′，我们可以无缝地从经典共单调性（1.1）转移到协方差非负性（1.2）。

将这种灵活性形式化会产生弱共单调性的一般定义，这是第2.1.2.1节Borel函数的弱共单调性的主题。在下文中，我们使用（R，B）表示Borel可测空间，其中B:=B（R）是Borelσ-代数，我们也使用可测空间（R，B），这里B：=B B、 定义2.1。设R是乘积测度的任意子集× on（R，B）。我们说两个函数g和h对于R wheneverZZR是弱共单调的g（x）- g（x′）h（x）- h（x′）（dx）（dx′）≥ 0（2.2）× ∈ R、 在R是单态的情况下，如果（2.2）成立，我们还说g和d h与R是弱共单调的，与ρ×ρ有关。如果（2.2）中的非负性被非正性所取代，我们也谈到弱反单调性。性质（2.2）产生了一系列共单调性，其中一端是共单调性的经典概念（即性质（1.1）），可以认为g和h是弱共单调的，相对于R={δx×δx′：x，x′∈ R} 。换句话说，共单调性的经典概念可以被认为是点态或强共单调性。另一方面，定义2.1和方程（1.2）意味着协方差Cov[g（X），h（X）]是非负的，当且仅当函数g和h对于{FX×FX}是弱共单调的，其中FX是X的thecdf。通过选择各种乘积度量，我们得到了大量的共单调通知。下面的例子旨在说明，尤其是增强我们对弱共单调性概念的直觉理解。例2.1。L et g（x）=sin（x），h（x）=cos（x）。在经典意义上，这两个函数在区间[0，π]上既不是共单调函数也不是反单调函数，但它们在[0，π/2]上是反单调函数，在[π/2，π]上是共单调函数。

至于它们的弱共单调性，考虑积分（a） ：=ZZRg（x）- g（x′）h（x）- h（x′）F（dx）F（dx′），关于以下三个均匀分布F=F[0，a]，F[（π-a） /2，（π+a）/2]，和d F[π-a、 π]在记录的间隔上，其中a∈ [0，π]在任何情况下。我们有（a）=sin（a）a-2 sin（a）（1）- cos（a））a当F=F[0，a]时，0当F=F[（π-a） /2，（π+a）/2]，2 sin（a）（1- cos（a））a-当F=F[π]时，sin（a）aw-a、 π]。当F=F[π]-a、 π]，我们描述（a） 作为∈ 图2.1中的[0，π]。它是非负forevery a∈ [0，π]，这意味着（x）和cos（x）中的函数s在经典意义下既不是[0，π]上的共单调函数，也不是反单调函数，但相对于{F[π]而言，它们是弱共单调函数-a、 π]×F[π-a、 π]：a∈ [0, π]}. 另一方面，当F=F[0，a]时，函数（a） 每a为非正∈ [0，π]，因此sin（x）和cos（x）相对于{F[0，a]×F[0，a]：a是弱反单调的∈ [0, π]}. 最后，在分布F[（π-a） /2，（π+a）/2），这两个函数都是弱共单调函数和弱反单调函数。示例2.1到此结束。从一般角度反思示例2.1是有用的，为此我们采用贝叶斯终止论。即，我们首先施加（不适当的）一致先验π（x）∝ 1在整个实线上。然后，我们使用指示符函数I[x，x]（x）对先验值进行加权，其中[x，x]可以是任何紧的0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0a0.050.100.150.200.25图2.1：当F在[π]上均匀时，sin（x）和cos（x）的弱共单调性- a、 π]d分布，表示为函数 （a） 对于所有a∈ [0, π].间隔这就产生了由微分方程F[x，x]（dx）=I[x，x]（x）Eπ[I[x，x]]π（dx）（2.3）定义的均匀分布F[x，x]（与方程（1.3）进行比较）。

这种均匀分布，其密度（pd f）的形式为f[x，x]（x）=I[x，x]（x）/（x-x） ，可以被视为窗口上的放大镜[x，x]：通过将其滑动到函数定义域上，我们探索函数的弱共单调性，正如我们在示例2.1.2.2随机变量的弱共单调性中所做的那样，无论我们从非递减函数转移到共单调函数的那一刻，我们失去了在底层可测量空间中建立秩序关系的需要。因此，我们可以使用抽象的可测空间(Ohm, F） ，在这种情况下，F-可测函数，如ex，Y：Ohm → R被称为随机变量，这是我们下一步工作的一般框架。也就是说，无论何时（X（ω），X和Y都是共单调的- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）≥ 0表示所有ω，ω′∈ Ohm. 定义独立于任何计量选择。定义2.2。设P为上概率乘积测度π×π的任意子集(Ohm, F） 。我们说，两个随机变量X和Y对于P wheneverZZ是弱共单调的Ohm（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）π（dω）π（dω′）≥ 每π×π取0（2.4）∈ P、 同样，如果（2.4）中的非负性被非正性代替，我们也谈到弱反单调性。这一定义不仅概括了定义2.1，还为条件相关性的定义铺平了道路，进而为条件贝塔铺平了道路，条件贝塔在动态资产定价和非同步价格风险估计等问题中具有显著特征（Engle，2016，另见其中的参考文献）。下一个示例说明了这种连接。示例2.2。让(Ohm, F、 P）是财务情景的概率空间ω∈ Ohm, 让X，Y：Ohm → 例如，两种金融工具的风险严重程度。

通常，测量两种工具在特定事件中的关联度是有意义的∈ F的阳性概率。在这种情况下，原始概率P被重新加权dp（dω| A）=IA（ω）P（A）P（dω），从而通过π（dω）=π（dω）=P（dω| A）toZAZA（X（ω）得到性质（2.4）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）P（dω）P（dω′）≥ 0.（2.5）属性（2.5）可以依次重写为Corr[X，Y | A]≥ 0，可以等效地解释为事件A的条件β（Engle，2016）的非负性要求∈ Fof兴趣，例如，可以构成历史事件的σ场（参见Box et al.（2015），了解时间序列背景；以及P flug和R¨omisch（2007）、F¨ollmer和Schied（2016）的风险度量和管理背景）。现在回到定义2.2，我们检查以下四种说法是否等效：（i）X和Y（强或点）是共单调的；（ii）X和Y对于上的每个概率积测度π×π是弱共单调的(Ohm, F） ；（iii）X和d Y对于P={Δω×Δω′：ω，ω′是弱共单调的∈ Ohm};（iv）存在非递减函数fand和一个随机变量Z，使得X=f（Z），Y=f（Z）；根据Denneberg引理（Denneberg，1994，命题4.5），我们可以设置Z：=X+Y。我们现在准备阐明弱共名性在风险聚集相关问题中的基本作用。3风险聚合和弱协同效应银行和保险实践中最常用的两类风险度量是风险价值（VaR）和预期缺口（ES，也称为TVaR、CTE、CVaR、AVaR）。我们定义了一个无原子概率空间(Ohm, F、 P）。