弱共单调性

对于随机变量X，p级的VaR∈ （0，1）定义为VARP（X）=inf{X∈ R:P（X≤ x） >p}，并且在p级∈ （0，1）定义为SP（X）=1- pZpVaRq（X）dq。风险管理领域的一个经典问题是给定边际分布的风险聚合（例如，McNeil等人，2015年，第8.4节）。设X和Y是两个可积随机变量。对于p∈ （0，1），我们说（X，Y）最大化了VaRpaggregation，ifVaRp（X+Y）=max{VaRp（X′+Y′）：X′d=X，Y′d=Y}，类似于ES聚合，其中“d=”表示分布相等。众所周知（例如，McNeil等人，2015年，第8.4.4节），e S聚集的最大化是通过（强）共单调性实现的，即，（X，Y）m最大化ESpaggregation，如果它们是强共单调的。类似的陈述包含f或所有凸序一致性风险度量，或可变性度量，如方差、标准差、凸序和一致性风险度量以及基尼差额（Furman et al.，2017），这是因为众所周知的事实（如Puccetti和Wang，2015），即共单调性最大化了和的凸序。请注意∈ （0，1），（强）共单调性是（X，Y）最大化聚集的一个有效条件，但它不是必需的。另一个众所周知的现象（例如，McNeil等人，2015年，命题8.31）与上述情况形成鲜明对比，即VaR聚合的最大化不是通过共单调性实现的。这是因为VaRpis通常不是次加的。最坏情况下VaR聚合的计算在技术上非常具有挑战性，相应的依赖结构相当复杂。有关最近的分析和数值结果，我们参考toWang等人（2013）和Embrechts等人（2013、2014、2015）。

自然地，n=2的情况承认了一个解析解，这最初是托马卡洛夫（1981）和R¨us chendorf（1982）提出的。综上所述，强共单调性对于ES聚合的最大化是有效的，但不是必要的，对于VaR聚合的最大化也是无效的，也不是必要的。与强共名性相比，这需要较弱的替代依赖性概念。Weshall在定理3.1的后面提到，弱共单调性的概念很好地实现了这一目的，因为它为最大变分提供了一个有效条件，也为最大聚集提供了一个必要和有效的条件。为了准备定理3.1，我们需要一些转动和引理。对于随机变量x和f或任意p∈ （0，1），我们写的是xp={ω∈ Ohm : X（ω）>VaRp（X）}。请注意，P（AXp）=1-p如果X连续分布。在这种情况下，AXpis是概率事件，其中X取其最大可能值。此外，letPXp={Δω×Δω′：ω∈ AXp，ω′∈ （AXp）c}，其中Ac表示Ohm , Leqxp={Δω×Δω′：ω，ω′∈ AXp}。在下面的内容中，我们将P-a.s.相等的随机变量视为相同的，所以像“X和Y相对于PXp是弱共单调的”这样的语句应该被解释为它们适用于随机变量X和Y的代表对。引理3.1。设X和Y是两个连续分布的随机变量，设p∈ (0, 1).以下三个陈述是等价的：（i）X和Y对于PXp是弱共单调的；（ii）X和Y对于PYp是弱共单调的；（iii）AXp=AYpa。s、 关于P.Proof。我们仅显示（i）<=>（iii）自（ii）起<=>（iii）对称保持。首先，我们假设陈述（i）成立。对于ω∈ AXpandω′∈ （AXp）c，我们有X（ω）- X（ω′）>0。根据弱同源性的定义，这意味着Y（ω）-Y（ω′）≥ 因此，Y在AXp上取其最大值。

当p（AXp）=p时，我们得到了AYp={Y>VaRp（Y）}=AXpa。s、 接下来，我们假设语句（iii）成立。那么，对于a.s.ω∈ AYpandω′∈ （AYp）c，我们有X（ω）-X（ω′）>0和Y（ω）-Y（ω′）>0。这给出了X和Y的弱共单调性；更准确地说，是（X，Y）的代表性版本。我们现在准备陈述我们关于风险聚集与弱共名性之间关系的主要结果。定理3.1。设X和Y是两个连续分布的可积随机变量，设p∈ (0, 1). 我们有以下两种说法：（i）如果X和Y对于PXp是弱共单调的，并且X和Y对于QXp是弱反单调的，那么（X，Y）最大化了varpagggregation；（ii）X和Y对于PXpif是弱共单调的，并且仅当（X，Y）使ESpaggregation最大化时。证据首先，我们证明了陈述式（i）。根据Lemm a3.1，AXp=AYpa。s、 还要注意的是，X和Yare（强）在集合AXp上是反单调的。设U=FX（X），它均匀分布在[0，1]上，我们知道X和U是强共单调的。作为条件，X=VaRU（X）a.s.，集合AXp，AYpand{U>p}是a.s.相等的。因为Y和U在集合{U>p}上是反单调的，如果U取值U∈ （p，1），则Y取值VaR1+p-u（Y）a.s.，henceY=VaR1+p-U（Y）a.s.{U>p}。Further，注意如果你≤ p、 然后X+Y≤ VaRp（X）+VaRp（Y）a.s.如果U>p，则X+Y≥ VaRp（X）+VaRp（Y）a.s.因此，根据P分位数（VaRp）的定义，VaRp（X+Y）是最小的值（P-a.s.），X+Y采用集{U>P}，这是VaRU（X）+VaR1+P的最小值-U（Y）表示U∈ （第1页）。前面，VaRp（X+Y）=inf{VaRp+t（X）+VaR1-t（Y）：t∈ (0, 1 - p） }。根据Makarov（1981，方程式（2））或McNeil等人，这给出了VaRpaggregation的最大值。

（2015年，第8.31号提案），从而得出陈述证明（i）的结论。为了证明陈述（ii），我们需要一些准备工作。也就是说，我们使用esp的双重表示形式esp（Z）=max{E[Z | B]：B∈ F、 P（B）=1- p} （3.1）对于任何随机变量Z，如果Z是连续分布的（例如Embrechts和Wang，2015，引理3.1），B=AZpattains为（3.1）中的最大值。由于ESp的亚可加性，wehaveESp（X）+ESp（Y）=max{VaRp（X′+Y′）：X′d=X，Y′d=Y}。因此，当且仅当ESp（X+Y）=ESp（X）+ESp（Y）时，（X，Y）最大化ESpaggregation。注意ESp（X+Y）≤ E Sp（X）+ESp（Y）始终有效。现在我们可以建立“if和onlyif”语句（ii）。(=>) 假设X和Y相对于PXp是弱共单调的。这意味着AXp=AYpa。s、 引理3.1。因此，根据方程式（3.1），ESp（X+Y）≥ EX+Y | AXp= EX | AXp+ EY | AYp= ESp（X）+ESp（Y）。因此，（X，Y）使ESpaggregation最大化。(<=) 假设（X，Y）使ESpaggregation最大化。然后，使用方程（3.1），我们得到，对于一些B∈ F、 E[X+Y | B]=ESp（X+Y）=ESp（X）+E Sp（Y）=EX | AXp+ EY | AYp≥ E[X | B]+E[Y | B]。因此，E[X | AXp]=E[X | B]。因为X是连续分布的，在AXp上取其最大值，且P（AXp）=1- p=p（B），我们得出AXp=B a.s.同样，我们得出AYp=B a.s.再次使用引理3.1，我们得出X和Y对于pxp是弱同调的。这完成了定理3.1的证明。请注意，PXpin定理3.1上的弱共单调性条件确实比强共单调性弱，因为它没有指定X和Y的copula。正如Embrechts等人（2014年，第3节）所讨论的那样，VaR聚合的典型最坏情况是某种非严格意义上的正相关性和负相关性的组合。

定理3.1（i）准确地回答了这些非严格正相关和负相关结构的含义：关于px的弱共单调性和关于QXp的弱反单调性。此外，定理3.1（ii）给出了依赖结构最大化ESpaggregation的必要和充分条件。作为定理3.1的一个直接结论，存在一个依赖结构，可以同时最大化变量和ESpaggregations，如定理3.1（i）所述。注意，X和d Y相对于pxpc的弱同调性可以解释为正相关性，其中X和Y的大值同时出现；但它们并没有像在强烈的共名性中那样完全一致。然而，显而易见的是，尽管这种依赖结构对于ESpaggregation是必要和有效的，但对于VaRpaggregation则不是必需的。例如，如果Y为正，X（ω）足够大，比如X（ω）>VaRp（X+Y），那么Y（ω）取什么值并不重要，因为它不会影响VaRp（X+Y）的计算。备注3.1。定理3.1（ii）是针对特定p∈ (0, 1). 如果一个人喜欢（X，Y）最大化所有p的聚合∈ （0，1）或等价地，最大化和的凸阶，则强共单调性是唯一的依赖结构（例如，Cheung，2010，定理3）。这尤其突出了共名性的经典概念缺乏实际吸引力，因为至少从ESpaggregation的角度来看，它不必要地过于强大。实际上，实际考虑因素强调p的特殊值，通常由监管机构指定，例如，在银行和保险业中接近1（如巴塞尔协议IV和偿付能力II；见McNeil et al.（2015））。

更一般地说，我们可以考虑一些例子，当我们关注p在（0，1）的某个子区间中，而不是在整个区间（0，1）中。这为弱共名概念的引入和探索提供了另一个理由。备注3.2。对于给定的X，VaR聚合问题等价于最大化或最小化P（X+Y>X）的问题∈ R和给定的X和Y的边际分布。事实上，这就是马卡洛夫（1981）和鲁申多夫（1982）最初研究的问题。众所周知，共单调性不会使概率P（X+Y>X）最大化或最小化，因此描述相应的依赖结构并不是正确的概念。4弱共单调性的一些性质在这一节中，我们探讨了弱共单调性的一些性质，以及它和依赖结构和关联度量概念的关系。4.1点质量和共单调性我们已经注意到，点质量将弱共单调性降低为强共单调性，但类别RG，h=ρ×ρ：h和g相对于ρ×ρ是弱共单调的自然地，依赖于函数g和h。在某种意义上，我们可以通过引入某些类的点质量来避免这种依赖。系数={δx×δx′：x，x′∈ R} andRa={δx×δx:x∈ R} 。注意，Rg是g和h弱共单调的乘积测度ρ×ρ的最大集合。设置Rg，他的从不为空，因为Ra 最后，我们注意到对于任何两个函数g和h，包含Ra Rg，手动Ra R始终保持不变。定理4.1。我们有以下两种说法：（i）Rg，h Rcif且仅当g和h是强共单调的。（ii）Rg，h=Raif，且仅当g和h在R.Proof上是强反单调和内射的。陈述（一）微不足道。

为了证明陈述（ii），我们首先注意到，如果Rg，h=Ra，那么对于任意两个x，x′∈ R不相同，我们有δx×δx′6∈ Rg，h.因此，（g（x）- g（x′）（h（x）-h（x′）<0，然后是期望的内射性和反单调性。接下来，假设内射性和反单调性。然后，（g（x）-g（x′）（h（x）-对于所有x，x′，h（x′）<0∈ R不相同。对于任何乘积测度ρ×ρ，如果条件（2.2）成立，则ρ×ρ必须在点（x，x′）上得到支撑，其中g（x）=g（x′）或h（x）=h（x′），因此x=x′。由于ρ×ρ是一个乘积度量，我们知道它的形式必须是δx×δxf或x∈ R、 这是对上述4.1的证明。现在我们将注意力转向随机变量X和Y。与Rg、h、letPX、Y类似=π×π：X和Y相对于π×π是弱共单调的.换句话说，PX，Y是最大的乘积测度集，X和Y是弱共单调的。这是一个关于X和Y的对称集，也就是说，我们有PX，Y=PY，X。这种对称性的有效性很容易从方程zz得到Ohm（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）π（dω）π（dω′）=Eπ[XY]+Eπ[XY]- Eπ[X]Eπ[Y]- Eπ[X]Eπ[Y]。（4.1）从后一个方程也可以得出，如果π=π=：π，则条件（2.4）m表示在测量π下X和Y的相关性为非负。最后，我们注意到PX，Yis在所有递增线性边缘变换下都是不变量，即方程PλX+a，λY+a=PX，yholdsf对于所有λ，λ>0和a，a∈ R、 定理4.2。设Pa={Δω×Δω：ω∈ Ohm} Pc={Δω×Δω′：ω，ω′∈ Ohm}. 我们有以下两种说法：（i）PX，Y Pcif且仅当X和Y是强共单调的。（ii）PX，Y=Paif，且仅当X和Y是强反单调且内射的Ohm.请注意，Pa PX、Yand Pa Pc。

定理4.2的证明是定理4.1的证明，因此省略。4.2设置质量和独立性我们现在回到概率空间的积分(Ohm, F、 P），ZZOhm（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）、P（dω）P（dω′）和扭曲，或者更确切地说是加权，其概率。这就产生了积分ZZOhm（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）PW（dω）PW（dω′），（4.2），其中，对于两个随机变量W≥ 0和W≥ 0时，概率测度pw通过方程pw（dω）=W（ω）EP[W]P（dω）定义，pwd定义类似。接下来，我们将探讨权重分别为指示器Ia和IB的情况，其中A和B是σ场F的元素。让σ（X）表示X生成的σ场，让σ+（X）={A∈ σ（X）：P（A）>0}。对于任何事件A∈ σ+（X），设P在A上的条件概率。我们称这些条件概率集为质量，它是早期探索的点质量的自然扩展。接下来，我们将弱共单调性与随机变量X andY的依赖性联系起来。从二元高斯情况开始是有指导意义的，下面的命题与经典结果相似，经典结果认为不相关和独立的等价性表征高斯随机变量。提案4.1。设（X，Y）与标准边距和相关性c共同为高斯分布∈ [-1, 1].那么以下三种说法是等价的：（i）c≥ 0;（二）PA×PB：A、B∈ σ+（X） PX，Y；（三）PA×PA:A∈ σ+（X） PX，Y.证明。我们首先写入Y=cX+√1.- 一些标准高斯Z的cZ与X无关。对于任何A∈ σ+（X），我们有E[XY | A]=E[cX | A]和E[Y | A]=E[cX | A]。

因此，如果c≥ 0：E[XY | A]=cE[X | A]≥ c（E[X | A]）=E[X | A]E[Y | A]。此外，我们检查c≥ 0，E[XY | A]+E[XY | B]- E[X | A]E[Y | B]- E[Y | A]E[X | B]=cE[X | A]+cE[X | B]- 2cE[X | A]E[X | B]≥ cE[X | A]+E[X | B]- （E[X | A]）- （E[X | B]）≥ 这确立了命题。通常，{PA×PB:A，B∈ σ+（X）} PX，Yand{PA×PA:A∈ σ+（X）} PX是不等价的条件，尽管它们是高斯情况，正如我们刚才在命题4.1中看到的那样。提案4.2。我们有以下陈述：（i）如果X和Y是独立的，那么{PA×PB:A，B∈ σ+（X）} PX，Yand，对称，{PA×PB:A，B∈ σ+（Y）} PX，Y.（ii）如果{PA×PB:A，B∈ σ+（X）} PX，Y，然后，对于A，B∈ σ+（X），我们有y[XY | A]+E[XY | B]- E[X | A]E[Y | B]- E[Y | A]E[X | B]≥ 0，在“对角线”情况下，对于每个事件A，A=B的条件相关性corr[X，Y | A]降低为非负性∈ σ+（X）。证据为了证明第（i）部分，我们使用方程（4.1）和haveZZOhm（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）PA（dω）PB（dω′）=E[XY | A]+E[XY | B]- E[X | A]E[Y | B]- E[Y | A]E[X | B]=E[X | A]E[Y]+E[X | B]E[Y]- E[X | A]E[Y]- E[Y]E[X | B]=0。因此{PA×PB:A，B∈ σ+（X）} PX，Y.（i）的另一半是对称的。陈述证明（ii）是一种简单的验证。4.3弱共单调性和关联度量弱共单调性的概念使我们能够建立一整套共单调性运动，从所有点质量对下的经典（强）共单调性到更精细度量对下的更具共单调性的概念。

正如我们接下来将看到的，这种灵活性使我们能够捕捉到一系列重要的关联度量。（S1）Pearson相关性Corr（X，Y）是非负的，当且仅当X和Y对于P×P是弱共单调的。（S2）两个随机变量X和Y是正相关的（也称为正函数依赖的；详细信息请参见Joe（1997）），当且仅当对于所有非递减函数h和d g，随机变量h（X）和g（Y）相对于P×P弱共单调。（S3）假设X和Y分别具有连续的cdf的FX和FY，当且仅当FX（X）和FY（Y）相对于乘积P×P弱共单调时，Spearman相关性为非负。（S4）两个随机dom变量X和Y独立当且仅当，对于所有A，B∈ B、 指示器{X∈A} 和I{Y∈对于P×P，B}是弱共单调的。如果我们用弱反单调性代替弱共单调性，同样的说法成立。所有上述陈述都是直接的，并且遵循弱共单调性（关于P×P）和负的协方差n的等价性。然而，第四个正确性需要一个简单的注释式证明。证明（S4）。显然，独立性意味着I{X的弱共单调性和弱反单调性∈A} 和I{Y∈B}。对于另一个方向，设（X′，Y′）为（X，Y）的独立副本。对于所有A、B∈ B、 我们有[（I{X∈A}- I{X′∈A} ）（I{Y∈B}- I{Y′∈B} ）]=2P（X∈ A、 Y型∈ （B）- 2P（X∈ A） P（Y∈ B） ，这是非负的。我想，我们有[（I{X∈A}- I{X′∈A} ）（I{Y∈Bc}- I{Y′∈Bc}）]=2P（X∈ A、 Y型∈ 卑诗省）- 2P（X∈ A） P（Y∈ Bc），这也是非负的。