具有递归偏好的动态规划：最优性和

上述不等式的左侧等于β1/ρ1-β1/ρMβ1.-ρ-M1级- βρ!1.-ρ- l=hβρ- 1iM1- βρ!1.-ρ- l<0。这反过来意味着，对于上述wde，（58）是自然满足的，这就是我们需要显示的条件（U）。我们对wand w的选择满足了w<w。要看到这一点，请观察w≡（d）*)1.-γ<（d）1-γ≡ [米/（1）- β1/ρ)]θ. 此外，从θ>1和m 6 Mthat[m/（1- β1/ρ）]θ6【M/（1）- β1/ρ)]θ≡ w、 由此我们得出结论，w<w，应显示。5.5. 第4节中的证明。回顾权重函数的定义l 在第4节中，定义l-norm将实赋范向量空间blmX：={f∈ mX：f为l-有界}到实Banach空间。回顾H的定义和括号函数的构造以及win第4节，我们得到了以下结果。引理5.12。如果假设4.1成立，那么在V上的第三个参数中，状态动作聚合器H定义为等同形和凹形。证据该证明与第3.2.3节中提供的等渗性和值凹度论证基本相同。引理5.13。如果假设4.1成立，那么状态动作聚合器H定义在（14）中具有严格的下解，并且上解的意义是（SL）存在ε>0，使得H（（s，z），y，w）>w（s，z）+εκ（s，z）θ（对于所有（（s，z），y）∈G、 （U）H（（s，z），y，w）6 w（s，z），所有（（s，z），y）∈G、 引理5.13的证明。Ob服务，固定（（s，z），y）∈G、 我们有h（（s，z），y，w）=（r（s，y，z）+βZ（L- δ） θ·κ（y，z′）P（z，dz′）1/θ）θ>（Lκ（s，z）+βZ（L- δ） θ·κ（y，z′）P（z，dz′）1/θ）θ>nLκ（s，z）+β（L- δ） [dκ（s，z）]1/θoθ（59）>nhL+β（L- δ） d1/θi·κ（s，z）1/θoθ，其中第一个和第二个不等式分别紧随假设4.1中的（43）和（45），而f中的最后一个不等式表示κ1/θ6κ。

此外，通过一些重新排列，我们得到了h（（s，z），y，w）>hL- δ+βLd1/θ+δ（1- βd1/θ）iθκ（s，z）>（L- δ） θκ（s，z），即l-f的标准由kf k定义l:= sup（s，z）∈S×Z{| f（S，Z）|/l（s，z）}。值得注意的是，当权重函数l 是有界的，则l- 标准k·kl上确界范数k·k是等价的。因此，当l 是无限的。最后一项等于w（s，z）。同样，我们有h（（S，z），y，w）=（r（S，y，z）+βM1级- βc1/θZκ（y，Z′）θP（Z，dz′）1/θ)θMκ（s，z）+βM1级- βc1/θhcκ（s，z）θi1/θθ=M1级- βc1/θθκ（s，z）θ=w（s，z），其中不等式来自假设4.1中的（42）和（44）。因此引理5.13的条件（U）是满足的。到目前为止，我们只给出了H的一个下解。它仍然需要证明它是一个严格的下解。从（59）中观察到，为了显示条件（SL），有必要显示ε>0，使得NLκ（s，z）+β（L- δ） [dκ（s，z）]1/θoθ>w（s，z）+εκ（s，z）θ（60）表示所有（s，z）∈ S×Z。为此，固定（S，Z）∈ S×Z，考虑NLκ（S，Z）+β（L- δ） [dκ（s，z）]1/θoθ- w（s，z）κ（s，z）θ=nL+β（L- δ） d1/θ·κ（s，z）1/θ-1oθ- （L）- δ） θκ（s，z）1-θ> Lθ- （L）- δ） θκ（s，z）1-θ> Lθ- （L）- δ） θ>0，其中第一个和第二个不等式来自κ1/θ-1> 0和κ1-θ6 1。因此，当我们取ε：=Lθ时，条件（60）成立- （L）- δ） θ，这是我们需要显示的条件（SL）。引理5.14。如果假设4.1成立，则映射（（s，z），y）7→ H（（s，z），y，^v）在^v时是连续的∈ C引理5.14的证明。要了解这一点，请选择任意^v∈ C根据假设4.1和引理12.2.20 inStachurski（2009），我们知道（y，z）7→R^v（y，z′）P（z，dz′）在S×z上是连续的。然后根据R的连续性，映射（（S，z，y）7→H（（s，z），y，^v）是连续的onG，如图所示。

回想一下，V上的σ-值运算符Tσ由Tσ^V（s，z）=H（（s，z），σ（s，z），^V）=（rσ（s，z）+β定义Z^v（σ（s，Z），Z′）P（Z，dz′）1/θ）θ表示所有（s，z）∈ S×Z和^v∈ 其中rσ（s，z）：=r（s，σ（s，z），z）。引理5.15。如果假设4.1成立，则对于每个σ∈ ∑，算子Tσ在V上渐近稳定。引理证明5.15。首先，我们证明了Tσ是V上的自映射。在v中固定^v。结合r的连续性，^v和σ的可测性意味着Tσ^v是Borel可测的onS×Z。此外，由于w6^v，利用H的等渗性（如引理5.12所示），我们有w（s，Z）6 H（（s，Z），σ（s，Z），w）6 H（（s，Z），σ（s，Z），^v）（s，Z）∈ S×Z，whichin tur n意味着w6 Tσ^v。类似的论证给出了Tσ^v 6 w。因此，Tσ^v∈ V，如图所示。现在，引用引理5.12和5.13，Du（1990）的定理3.1适用并暗示了陈述的结果。命题证明4.1。这紧跟引理5.15。给定^v∈ 如果σ（s，z），∑中的策略σ称为^V-贪婪∈ 阿格米尼∈Γ（s，z）H（（s，z），y，^v）表示所有（s，z）∈ S×Z引理5.16。如果^v∈ 那么至少存在一个^v-贪婪策略。证据这个证明本质上与引理5.2的证明相同，因此省略了。引理5.17。如果假设4.1成立，则S在C上渐近稳定。引理5.17的证明。

根据引理5.14的virtu e，从Berge最小定理可以看出，当^v在C中时，我们将^v（s，z）=miny∈Γ（s，z）H（（s，z），y，^v）=miny∈Γ（s，z）（r（s，y，z）+βZ^v（y，Z′）P（Z，dz′）1/θ）θ和S^v是C的一个元素。为了将杜氏定理应用于Bellman算子s，必须证明（i）s在C上是等距凹的，以及（ii）Sw>> 魔杖Sw6 w.符号>> 表示S×Z上所有κθ有界连续函数在Banach空间bκθc（S×Z）中的强偏序，即w>> v表示w- v位于bκθc（S×Z）+的内部。更多详情请参考t oZhang（2012）。关于引理5.12的结果的第（i）部分，证明与引理5.3的对偶证明基本相同。此外，利用引理5.13的结果，第（ii）部分的证明也与引理5.3的对偶证明基本相同。理论证明4.2。通过引理5.15到5.17，应用定理5.4的对偶证明得到定理4.2中所述的结果。参考Saliprantis，C.D.和K.C.Border（2006）：有限维分析，柏林斯普林格，第三版巴科斯，D.K.，B.R.Routledge和S.E.Zin（2004）：“宏观经济学家的奇异偏好”，NBER宏观经济年报，19319–390。Balbus，L.（2016）：“关于非线性聚合器和CES动态规划中的非负递归实用程序”，SSRN工作文件2703975。Bansal，R.和A.Yaron（2004）：“长期运行的风险：资产定价难题的潜在解决方案”，《金融杂志》，591481-1509。Barberis，N.和M.Huang（2009）：“框架偏好：允许风险框架的新效用规范”，《经济动力与控制杂志》，331555-1576。Barberis，N.，M.Huang，and d.R.H。

泰勒（2006）：“个人偏好、货币赌博和股市参与：狭义框架的案例”，《美国经济评论》，961069-1090。Basu，S.and d B.Bundick（2017）：“有效需求模型中的不确定性冲击”，《计量经济学》，85，937–958。B–auerle，N.和A.Ja'skiewicz（2018）：“具有风险敏感偏好的随机最优增长模型”，《经济理论杂志》，173181–200。Becker，R.A.和J.P.Rinc'on Zapatero（2017）：“递归效用和汤普森聚合器”，技术代表，SSRN WP 3007788。Bertsekas，D.P.（2013）：抽象动态规划，Athen a Scientic.Bloise，G.和Y.Valakis（2018）：“具有（有界）递归效用的凸动态规划”，《经济理论杂志》，173118–141。Boroviˇcka，J.和J。Stachurski（2017）：“递归实用程序存在和唯一性的必要和充分条件”，技术代表，sSRN工作文件3054241。Datta，M.、L.J.Mirman和K.L.Reffett（2002）：“有资本和劳动力的扭曲动态经济中均衡的存在和不均衡”，《经济理论杂志》，103，377–410。DiBenedetto，E.（2002）：真实分析，Birkhauser Boston。Du，Y.（1990）：“有序Banach空间中增算子的不动点及其应用”，适用分析，38，1–20。Epstein，L.G.和M.Schneider（2008）：“模糊性、信息质量和资产定价”，《金融杂志》，63197-228。Epstein，L.G.和S.E.Zin（1989）：“风险规避与消费和资产回报的时间行为：理论框架”，《计量经济学》，57937–969。Farhi，E.和I.Werning（2008）：“递归偏好下的最优储蓄扭曲”，《货币经济学杂志》，55，21–42。郭，J.和X.D.何（2019）：“具有投资收益和损失的递归效用：存在性、唯一性和收敛性”，技术代表，SSRN。汉森、L.P.和T.J。

萨尔根（2008）：稳健性，普林斯顿大学出版社。Hansen，L.P.和J.A.Scheinkman（2012）：“随机增长的马尔可夫环境中的递归效用”，《美国国家科学院学报》，109，11967–11972。Hardy，G.H.、J.E.Littlewood和G.P'olya（1934）：不平等，剑桥大学出版社。Hayashi，T.和J.Miao（2011）：“跨期替代和重复平滑模糊偏好”，理论经济学，6423-472。Ju，N.a和J.Miao（2012）：“模糊性、学习和资产回报”，计量经济学，80559-591。Kamihigashi，T.（2014）：“动态规划Bellman方程解的基本结果：存在性、唯一性和收敛性”，《经济理论》，56251-273。Kaplan，G.和G.L.Violan te（2014）：“消费对规模刺激付款的反应模型”，《计量经济学》，821199–1239。Klibanoff，P.、M.Marinacci和S.Mukerji（2009）：“递归平滑模糊偏好”，《经济理论杂志》，144930-976。Le Van，C.、L.Morhaim和Y.Valakis（2008）：“单调凹算子：Bellman方程解的存在性和唯一性的应用”，HAL工作文件00294828。Le Van，C.和Y.Valakis（2005）：“递归效用和有界或无界回报的最优增长”，《经济理论杂志》，123187-209。Marinacci，M.和L.Montrucchio（2010）：“随机执行效用的唯一解”，《经济理论杂志》，1451776-1804年（2019）：“独特的塔尔斯基固定点”，运筹学数学。Martins da Rocha，V.F.和Y.Valakis（2010）：“局部收缩固定点的存在性和唯一性”，《经济计量学》，78，1127–1141（2013）：“局部收缩的不动点f：递归效用的应用”，《国际经济理论杂志》，9，23–33。Morand，O.F.和K.L。

Reffett（2003）：“有限期经济中非最优无界均衡的存在性和唯一性”，《货币经济学杂志》，第50期，第1351-1373页。Ozaki，H.和P.A.Streuffert（1996）：“非加性随机目标的动态规划”，《数理经济学杂志》，25391-442。Pavoni，N.、C.Sleet和M.Mes sner（2018）：“递归优化的双重方法：理论和实例”，《计量经济学》，86133-172。Pohl，W.、K.Schmedders和O.Wilms（2018）：“长期风险资产定价模型中的高阶效应”，《金融杂志》，731061-1111。Rinc'on Zapatero，J.P.和C.Rodr'guez Palmero（2003）：“无界情况下Bellman方程解的存在性和唯一性”，《计量经济学》，711519-1555（2007）：“无约束聚合器的递归效用”，《经济理论》，33381-391。Schorfeide，F.，D.Song，和D.A。Yaron（2018）：“识别长期风险：ABayesian混合频率法”，《计量经济学》，86617–654。Siniscalchi，M.（2011）：“歧义下的动态选择”，理论经济学，6379-421。Stachurski，J.（2009）：经济动力学：理论与计算，麻省理工学院出版社。Stokey，N.、R.Lucas和E.Prescott（1989）：经济动力学中的递归方法，哈佛大学出版社。Zhang，Z.（2012）：变分、拓扑和偏序方法及其应用，第29卷，Springer Science&Business Media。