从两组相互依存的

假设以下条件成立：（i）F（x；λ）对于任何x都是递增的且在λ中是凹的∈ R+；（ii）CRis-Schur凹面。那么，我们有nyi=1pi！δCR\'F（x；λ1:n）≤\'GY1:n（x）≤nYi=1pi！δCR\'F（x；\'λ）.证据（λ，…，λ）w（λ，…，λn）w（λ1:n，…，λ1:n）和定理3.3暗示了所需的结果。通常，公司不知道关联的copula，而依赖的符号是众所周知的。当然，人们可能会想知道，是否有可能给出“GY1:n（x）”的上下限？下面的定理对这个问题有一个肯定的答案。定理3.7。在定理3.6的设置下，假设以下条件成立：（i）F（x；λ）对于任何x是递增的且在λ中凹的∈ R+；（ii）CRis PUOD。那么，我们有nyi=1pi！(R)Fn（x；λ1:n）≤\'GY1:n（x）≤nYi=1pi！\'F（x；λ1:n）。（3） 证明。让C*R（u）=Qni=1独立copula。自C起*Ris是阿基米德copula，soLemma 2.3保证了C*R、 因此，使用（λ，…，λn）w（λ1:n，…，λ1:n），定理3.3和定义2.5，我们得到了“GY1:n（x）=nYi=1pi！CR公司\'F（x，λ），\'F（x，λn）≥nYi=1pi！C*R\'F（x，λ1:n），\'F（x，λ1:n）=nYi=1pi！\'Fn（x；λ1:n），证明了（3）中的第一个不等式。另一方面，表2.4中的Fr'echet-Hoe ffing上界和λ中的'F（x；λ）的缓和性质，立即验证了（3）中的第二个不等式。至此，证明完成。Gupta等人（1998）提出的比例反向风险率（PRHR）模型是可靠性理论中存在的一个灵活的分布族，可用于精算科学和其他领域。

如果其分布函数可以表示为F（X；λ）=Fλ（X），则称Xλ遵循PRHR模型，其中F（X）是基线分布函数，λ>0。以下推论为风险组合中最小索赔额的生存函数提供了上下界，而不是属于PRHR模型的严重程度的边际分布。推论3.1。设F（x；λi）=Fλi（x），对于i=1，n、 在定理3.6的设置下，假设CRis-Schur凹。那么，我们有nyi=1pi！δCR1.- Fλ1:n（x）≤\'GY1:n（x）≤nYi=1pi！δCR1.- F？λ（x）.证据显然，\'F（x；λ）=1- Fλ（x）和c分别满足定理3.6的条件（i）和（ii）。因此，定理3.6完成了证明。推论3.2。设F（x；λi）=Fλi（x），对于i=1，n、 在定理3.6的设置下，假设CRis-PUOD。那么，我们有nyi=1pi！1.- Fλ1:n（x）n≤\'GY1:n（x）≤nYi=1pi！1.- Fλ1:n（x）.证据很明显，满足定理3.7的条件（i）和（ii）。因此，定理3.7暗示了所需的结果。以下示例提供了一个数值示例来说明推论3.1和3.2的有效性。示例3.1。设Xλi~ F（x；λi）=（1- e-x） λi，对于i=1，2，3，以及相关的Frank copula，由Frank（1979）引入，公式为（u，u，u）=-θ对数1+（e-θu- 1） （e）-θu- 1） （e）-θu- 1） （e）-θ- 1),式中θ∈ (0, ∞). 此外，假设Ip，Ip，Ipi是一组独立的Bernoulli随机变量，独立于Xλi，对于i=1，2，3，E[Ipi]=pi。我们取（λ，λ，λ）=（3，6，2），（p，p，p）=（0.5，0.6，0.1）和θ=5。根据Ne-lsen（2007），CRis是阿基米德copula，根据引理2.3，CRis是Schur凹的。它也是一个PUOD copula。因此，定理3.1和3.2的条件满足。

图1重新显示了最小索赔额的生存函数图和推论3.1和3.2.0 1 2 3 4 5 60.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.0300 1 2 3 4 5 60.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030中的建议界限图1：s最小索赔额的生存函数图和推论3.1（左）和推论3.2（右）中的建议界限图示例3.1。最近，Barmalzan et al.（2018）将Marshall Olkin Extended ed指数分布视为风险投资组合中的索赔额分布，并比较了两个异质投资组合中的总索赔额。Marshall-Olkin分布是由Marshall-andOlkin（1997）介绍的一个广泛分布族的空间案例，称为Harris族。Alyand Benkherouf（2011）使用了哈里斯（1948）引入的哈里斯分布，并生成了哈里斯家族。如果生存函数由'F（X；λ，θ）给出，则称Xλ遵循哈里斯族=λ′Fθ（x）1- (1 - λ） \'Fθ（x）1/θ，λ>0，θ>0，其中，’F（x）是基线生存函数。以下推论为风险组合中最小索赔额的生存函数提供了一个上下界，而不是哈里斯家族的严重程度的边际分布。推论3.3。设F（x；λi，θ）=λi'Fθ（x）1-(1-λi）(R)Fθ（x）1/θ，表示θ≥ 1且i=1，n、 在定理3.6的设置下，假设CRis-Schur凹。那么，我们有nyi=1pi！δCRλ1:n'Fθ（x）1- (1 - λ1:n）(R)Fθ（x）1/θ!≤\'GY1:n（x）≤nYi=1pi！δCR？λ？Fθ（x）1- (1 -(R)λ）(R)Fθ（x）1/θ!.证据

通过简化，F（x；λ，θ）的第一和第二偏导数=λ′Fθ（x）1-(1-λ） \'Fθ（x）1/θ的计算如下：\'F（x；λ，θ）λ=(R)F（x；λ，θ）λ1.- (1 - λ） \'Fθ（x）≥ 0,\'F（x；λ，θ）λ=1 -\'Fθ（x）θ\'F（x；λ，θ）λ1.- (1 - λ） \'Fθ（x）1.-\'Fθ（x）θ- 1.- 2λ′Fθ（x）≤ 0，其中，第一个不等式是明确的，第二个不等式是由于假设θ≥ 因此，(R)F（x；λ，θ）在λ中增加且凹。因此，从定理3.6的观点来看，得到了期望的结果。推论3.4。设F（x；λi，θ）=λi'Fθ（x）1-(1-λi）(R)Fθ（x）1/θ，表示θ≥ 1且i=1，n、 根据定理3.6的设置，假设CRis PUOD。那么，我们有nyi=1pi！λ1:n'Fθ（x）1- (1 - λ1:n）(R)Fθ（x）n/θ≤\'GY1:n（x）≤nYi=1pi！λ1:n'Fθ（x）1- (1 - λ1:n）(R)Fθ（x）1/θ.证据显然，定理3.7的条件（i）和（ii）是满足的。因此，定理3.7完成了证明。以下示例提供了一个数值示例来说明推论3.3和3.4的有效性。示例3.2。设Xλi~\'F（x；λi）=λie-3x1个-(1-λi）e-3倍1/3，对于i=1，2，3，以及相关的Claytoncopula，由Clayton（1978）引入，公式cr（u，u，u）=（u-θ+u-θ+u-θ- 2)-1/θ，其中θ∈ (0, ∞). 此外，假设Ip，Ip，Ipi是一组独立的Bernoulli随机变量，独立于Xλi，对于i=1，2，3，E[Ipi]=pi。我们取（λ，λ，λ）=（3，5，1），（p，p，p）=（0.2，0.3，0.2）和θ=3。根据Ne-lsen（2007），CRis是阿基米德copula，根据引理2.3，CRis是Schur凹的。它也是一个PUOD copula。因此，定理3.3和3.4的条件得到满足。图2重新给出了最小索赔额的生存函数图以及推论3.3和3.4中的拟议界限。Hami Golzar et al.（2017）提出了Lomax指数分布，这是右偏、近似对称或倒转J形种群的合适模型。

由于简单性和0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.0120.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012图2：s最小索赔额的生存函数图，以及例如3.2的推论3.3（左）和推论3.4（右）中的建议界限。灵活性，对于阳性人群，尤其是风险组合中的索赔金额，这是一个很好的选择。最近，Nadeb和Torabi（2018）讨论了具有独立非均质Lomax指数分量的s er ies系统的一些随机比较。X具有Lomax指数分布，正参数α、β和λ由X表示~ LE（α，β，λ），如果其生存函数由F（x；α，β，λ）给出=λeβx+λ- 1.α、 x个∈ R+。当严重性的边际分布为Lomax指数时，以下推论为风险组合中最小索赔人的生存函数提供了一些界限。推论3.5。Le t Xλi~ LE（α，β，λi），f或α≤ 1，β>0且i=1，n、 在3.6的设置下，假设CRis-Schur凹。那么，我们有nyi=1pi！δCRλ1:neβx+λ1:n- 1.α≤\'GY1:n（x）≤nYi=1pi！δCR\'\'λeβx+\'\'λ- 1.α.证据F（x；α，β，λ）的第一和第二部分导数=λeβx+λ-1.α由下式给出\'F（x；α，β，λ）λ=α（eβx- 1） λ（eβx+λ- 1） \'F（x；α，β，λ）≥ 0,\'F（x；α，β，λ）λ=α（eβx- 1） λ（eβx+λ- 1） \'F（x；α，β，λ）(α - 1） （eβx- 1) - 2λ≤ 0，其中，第一个不等式是明确的，第二个不等式是由于假设α≤ 因此，(R)F（x；λ，θ）在λ中增加且凹。因此，从定理3.3的观点来看，得到了期望的结果。推论3.6。Le t Xλi~ LE（α，β，λi），f或α≤ 1，β>0且i=1，n、 在3.6的设置下，假设CRis PUOD。那么，我们有nyi=1pi！λ1:neβx+λ1:n- 1.nα≤\'GY1:n（x）≤λ1:neβx+λ1:n- 1.α.证据

应用定理3.7，可立即获得所需的结果。下面的示例提供了一个数值示例来说明推论3.5和3.6的有效性。示例3.3。设Xλi~ L E（0.1，3，λi），对于i=1，2，3，以及相关的Gumbel-Hougaardcopula，公式cr（u，u，u）=exp-h类(- 对数u）θ+(- 对数u）θ+(- 对数u）θi1/θ,式中θ∈ [1, ∞). 此外，假设Ip，Ip，Ipi是一组独立的伯努利随机变量，独立于Xλi，E[Ipi]=π，对于i=1，2，3。我们取（λ，λ，λ）=（0.7，5，0.4），（p，p，p）=（0.1，0.2，0.8）和θ=2。根据Ne-lsen（2007），CRis是阿基米德copula，根据引理2.3，CRis是Schur凹的。它也是一个PUOD copula。因此满足第3.5条和第3.6条的条件。图3表示最小索赔额的生存函数图以及推论3.5和3.6.0 2 4 6 8 100.000 0.005 0.010 0.0150 2 4 6 8 100.000 0.005 0.010 0.015图3：最小索赔额的生存函数图以及推论3.5（左）和推论中的拟议界限3.6（右）例如3.3。结论在本文中，在某些特定条件下，我们首先讨论了在一些一般模型中，在通常意义下的严重性假设依赖和似然比阶下，最小索赔额之间的随机比较。接下来，我们给出了相互依存的异质投资组合中最小索赔额的生存函数的一些有用的界限。此外，还提供了一些示例来说明所建立的结果。参考SALY，E.E.A.A和Benkherouf，L.（2011）。一种新的基于概率母函数的分布族。Sankhya B，73（1），70-82。Balakrishnan，N.、Zhang，Y.和Zhao，P.（2018年）。从两组不同的投资组合中排序最大的索赔金额和范围。

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