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英文标题：
《Ordering the smallest claim amounts from two sets of interdependent
  heterogeneous portfolios》
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作者：
Hossein Nadeb, Hamzeh Torabi, Ali Dolati
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Let $ X_{\\lambda_1},\\ldots,X_{\\lambda_n}$ be a set of dependent and non-negative random variables share a survival copula and let $Y_i= I_{p_i}X_{\\lambda_i}$, $i=1,\\ldots,n$, where $I_{p_1},\\ldots,I_{p_n}$ be independent Bernoulli random variables independent of $X_{\\lambda_i}$\'s, with ${\\rm E}[I_{p_i}]=p_i$, $i=1,\\ldots,n$. In actuarial sciences, $Y_i$ corresponds to the claim amount in a portfolio of risks. This paper considers comparing the smallest claim amounts from two sets of interdependent portfolios, in the sense of usual and likelihood ratio orders, when the variables in one set have the parameters $\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_n$ and $p_1,\\ldots,p_n$ and the variables in the other set have the parameters $\\lambda^{*}_1,\\ldots,\\lambda^{*}_n$ and $p^*_1,\\ldots,p^*_n$. Also, we present some bounds for survival function of the smallest claim amount in a portfolio. To illustrate validity of the results, we serve some applicable models.
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中文摘要：
设$X{\\lambda\\u 1}、\\ldots，X{\\lambda\\u n}$是一组相依和非负随机变量共享一个生存copula，并设$Y\\u i=i{p\\u i}X{\\lambda\\u i}$，$i=1、\\ldots，n$，其中$i{p\\u 1}、\\ldots，i{p\\n}$是独立于$X{\\lambda\\u i}的伯努利随机变量。$\'s，其中${\\rm E}[i\\uu{p\\u i}]=p\\u i$，$i=1，\\ldots，n$。在精算学中，Y\\u i$对应于风险组合中的索赔金额。本文考虑在通常和似然比顺序的意义下，当一组变量的参数为$\\ lambda\\u 1、\\ldots、\\lambda\\u n$和$p\\u 1、\\ldots、p\\u n$时，比较两组相互依存投资组合的最小索赔额，另一组变量的参数为$\\ lambda ^{*}u 1、\\ldots、\\lambda ^{*}n$和$p ^*\\u 1、\\ldots、p ^*\\u n$。同时，我们给出了投资组合中最小索赔额的生存函数的一些界。为了说明结果的有效性，我们提供了一些适用的模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
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关键词：Applications Quantitative epidemiology Application Independent

从两组相互依存的异质Portfolioshsein-Nadeb、Hamzeh Torabi、Ali DolatiDepartment of Statistics、Yazd University、Yazd、Iran、AbstractLet Xλ，…，排序最小索赔金额，Xλnbe一组相依和非负随机变量共享一个生存集，并设Yi=IpiXλi，i=1，n、 其中Ip，Ipnbe独立Bernoulli随机变量独立于Xλi，E[Ipi]=pi，i=1，n、 在精算学中，yi对应于风险组合中的索赔金额。本文考虑比较两组相互依存的投资组合的最小索赔额，在通常和似然比顺序的意义上，当一组变量中的参数λ，λnand p，Pn和另一组中的变量s具有参数λ*, . . . , λ*nand p*, . . . , p*n、 同时，我们给出了投资组合中最小索赔额的生存函数的一些界。为了说明结果的可靠性，我们提供了一些适用的模型。关键词Copula，优化，最小索赔额，随机序。1简介假设Xλ，Xλn，假设Xλih为生存函数F（X；λi），是非负随机变量，表示一个保险期内n个投保人的总随机严重性。此外，让Ip，Ipnbe一组独立的伯努利随机变量，Ipi对应于Xλi，因此，每当第i个投保人提出随机索赔金额Xλi时，Ipi=1，每当未提出索赔时，Ipi=0。在此符号中，Yi=IpiXλiis与ITH保单持有人相关的索赔金额和（Y，…，Yn）被称为风险组合。此外，考虑另一种风险组合（Y*, . . . , Y*n） 参数向量（λ*, . . . , λ*n） 和（p*, . . . , p*n） 。年保费是保险人收到的金额，是承担风险的主要成本。

年保费的确定是保险公司面临的一个重要问题。因此，对精算师来说，在随机未来收益或损失之间选择偏好是一个很有吸引力的话题。为此，随机顺序非常有用。随机订单在管理科学、金融经济学、保险、精算学、运筹学、可靠性理论、排队论和生存分析等领域得到了广泛的应用。关于随机顺序的全面讨论，可以参考M¨uller和Stoyan（2002）、Shaked和Shanthikumar（2007）以及Li和Li（2013）。组合（Y，…，Yn）和（Y）中某些统计量的排序问题*, . . . , Y*n） ，如索赔数量，Pni=1Ipi，总索赔额，Pni=1Yi，最小，Y1:n=min（Y，…，Yn），最大索赔额，Yn:n=m ax（Y，…，Yn），已在许多研究中进行了讨论；例如，见K arlin和Noviko ff（1963年）、Ma（2000年）、Frostig（2001年）、Huand Ruan（2004年）、Denuit和d Frostig（2006年）、Khaledi和Ahmadi（2008年）、Zhang和Zhao（2015年）、Barmalzan等人（2015年）、Li和Li（2016年）、Barmalzan等人（2018年）、Barmalzan和Naj afabadi（2015年）、Barmalzan等人（2016年）、Barmalzan等人（2017年）、Balakrishnan等人（2018年）以及Li和Li（2018年）。大多数已发表的文章都认为严重程度是独立的，但有时这一假设并不令人满意，许多政策同时面临风险，例如地震或流行病发生时。在这里，严重程度具有正相关性。本文假设Xλ，Xλn是非负连续随机变量，具有联合生存函数H（X，…，xn），边际生存函数F（X；λ），\'F（x；λn），通过关系式\'H（x，…，xn）=CR（\'F（x；λ），…）的生存copula CR。

，F（xn；λn）），根据Sklar定理；见Nelsen（2007）。在这里，我们比较了两组相互依存的异质投资组合中产生的最小索赔额，然后重点介绍了一组相互依存的异质投资组合中最小索赔额的sur-v-ival函数的一些界。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了一些将在续集中使用的定义和引理。第3.1小节提供了通常随机顺序意义下一般模型的两个相互依存的异质风险组合中最小索赔额的顺序。同时，考虑了比例风险率模型，并在一定条件下给出了最小索赔额的似然比阶的一些刻画。第3.2小节给出了最小索赔额生存函数的一些有用的上下限，并建立了一些数值示例来说明所示结果的有效性。2基本定义和一些先决条件在这一节中，我们陈述了随机序、优序、弱优序的一些概念以及证明我们主要结果所需的一些引理。在本文中，我们使用符号R=(-∞, +∞), R+=[0+∞) 和“x=nPni=1xi”。此外，我们对函数g使用递增的概念：a→ R、 A Rn，如果它在每个参数中都是非递减的。同样，当g在每个参数中都是非递增时，使用递减的概念。设X和Y是两个非负随机变量，其分布函数为F和G，生存函数为F=1- F和G=1- G、 密度函数f和G以及危险率函数rX=f/’f和rY=G/’G。定义2.1。

在（i）通常的随机顺序中，X被称为小于Y，用X表示≤stY，如果F（x）≤所有x的G（x）∈ R（ii）危险率顺序，用X表示≤hrY，如果rY（x）≤ 所有x的rX（x）∈ R（iii）似然比顺序，用X表示≤lrY，ifg（x）f（x）在x中增加∈ R+。关于各种随机顺序的全面讨论，我们参考了M¨uller and Stoyan（2002）、Li and Li（2013）以及Shaked and Shanthikumar（2007）。还需要向量优化和函数的Schur凸性和Schur凹性的概念。有关这些主题的全面讨论，请参阅Marshall et al.（2011）。我们使用符号x1:n≤ x2：n≤ . . . ≤ xn：nO表示向量x=（x，…，xn）的分量的递增排列。定义2.2。向量x被向量y（用x表示）弱次主化wy）ifPni=jxi：n≤Pni=jyi：对于所有j=1，n、 （ii）由向量y（由xw表示）弱超主要化 y） ifPji=1xi：n≥Pji=1yi：对于所有j=1，n、 （iii）以向量y为主（以xm表示 y） 如果Pni=1xi=Pni=1yi和Pji=1xi：n≥Pji=1yi：对于所有j=1，n- 定义2.3。定义在集合A上的实v值函数φ Rnis在ifxm上称为Schur凸（Schur凹） A上的y==> φ（x）≤ (≥)φ（y）。引理2.1（Marshall et al.（2011），定理3。A、 8）。集上定义的实值函数φ rnsatiesφ（x）≤ φ（y）xw时 A上的y，当且仅当φ减小且A上的Schur凸。引理2.2（Marshall et al.（2011），3。B、 2）。Letφ：Rn→ R是递减的Schur凸函数和g:R→ R是一个增函数和凹函数。那么，函数ψ（x）=φ（g（x），g（xn））是递减的，Schur是凸的。本文需要的概念之一是阿基米德copula。阿基米德copulas的一类，具有广泛的依赖结构，包括独立copula。

在下文中，我们陈述了一些与copulas相关的有用定义和引理。定义2.4。如果copula C的形式为C（u，…，un）=φ，则称为阿基米德-1.nPi=1φ（ui）,对于（u，…，un）∈ [0，1]n，其中φ：[0，1]→ [0, ∞] 是严格递减函数，φ（0）=∞,φ（1）=0和(-1） kdkφ（x）dxk≥ 0，代表k≥ 0，其中φ-1是函数φ的倒数。函数φ被称为copula C的g生成子。我们陈述了Durante（2006）和Dolati及Dehghan Nezhad（2014）中与阿基米德copula的Schur凹性相关的引理。引理2.3。每个阿基米德copula都是Schur凹的。定义2.5。如果是ALU，则存活的copula CRis正上正相关（PUOD）∈ [0，1]n，CR（u）≥Qni=1ui。定义2.6。让CRand Dr是两个生存连接符。CRis的PUOD小于DR，用CR表示 DR，如果所有u∈ [0，1]n，CR（u）≤ DR（u）。定义2.7。设C是copula。C的主对角线部分是函数δC:[0，1]→[0，1]定义为δC（u）=C（u，…，u）。引理2.4。对于任何copula C和所有u∈ [0，1]n，maxnXi=1ui- n+1，0！≤ C（u）≤ min（u，…，un），其界限称为Fr'echet-hoeffing界限。关于copula和不同类型的依赖关系的全面讨论，可以参考Nelsen（2007）。3主要结果本节包括两个小节。在第3.1小节中，我们比较了两个相互依存的异质风险组合的最小索赔额，即通常和似然比顺序。

在3.2小节中，给出了最小索赔额生存函数的一些界，并通过一些例子说明了结果的有效性。3.1最小索赔额的随机比较以下定理提供了两个具有公共参数向量λ和p以及不同关联copula的异质风险组合中最小索赔额之间的常见随机顺序。定理3.1。设Xλ，具有Xλi的Xλnbe非负随机变量~\'F（x；λi），i=1，n、 以及相关联的copula CR。进一步假设Ip，Ipnis是一组独立的伯努利随机变量，与Xλi无关，E[Ipi]=π，i=1，n、 LetYi=IpiXλi，i=1，n、 那么我们有C*R CR公司==> Y*1： n个≤stY1:n，其中Y1:nand Y*1： （Y，…，Yn）在copula结构下的最小阶统计量*R、 分别为。证据首先，对于任何x≥ 0，Y1:nis的生存函数如下所示：(R)GY1:n（x）=P（Y1:n>x）=P（IpiXλi>x， 1.≤ 我≤ n） =P（Ipi=1， 1.≤ 我≤ n） P（IpiXλi>x， 1.≤ 我≤ n | Ipi=1， 1.≤ 我≤ n） =nYi=1pi！P（Xλi>X， 1.≤ 我≤ n） =nYi=1pi！CR公司\'F（x；λ），\'F（x；λn）. （1） 同样，Y的生存函数*1： nis由“GY”给出*1： n（x）=nYi=1pi！C*\'F（x，λ），\'F（x，λn）.因此，通过定义2.6并比较Y1:nand和Y的生存函数*1： 证明已完成。以下定理提供了两个具有公共关联copula的异质风险组合中最小索赔额之间的常见随机顺序。定理3.2。设Xλ，Xλn（Xλ*, . . . , Xλ*n） 是Xλi的非负随机变量~\'F（x；λi）（xλ*我~\'F（x；λ）*i） ），i=1，n、 和关联的copula CR。进一步假设IP，Ipn（Ip*, . . .

，Ip*n） i是一组独立的伯努利随机变量，独立于Xλi（Xλ*i’s），其中E【Ipi】=pi（E【Ip*i] =p*i） ，i=1，n、 假设以下条件成立：（i）F（x；λ）对于任何x都是递增的且在λ中是凹的∈ R+；（ii）CRis-Schur凹面。那么，我们有nyi=1p*我≤nYi=1pi，（λ，…，λn）w(λ*, . . . , λ*n）==> Y*1： n个≤stY1：不适用。定义ψ（λ）=-CR公司\'F（x；λ），\'F（x；λn）. 根据条件（ii）和人口的性质，-CRis递减和Schur凸。因此，条件（i）和引理2.2重要的是ψ是递减的，并且在λ中是Schur凸的。因此，使用引理2.1，λw λ*表示ψ（λ）≤ Ψ(λ*).因此，条件qni=1p*我≤Qni=1，并用关系式（1）完成证明。以下定理提供了两个具有不同参数向量和不同关联连接函数的异质风险组合中最小索赔额的排序。定理3.3。设Xλ，Xλn（Xλ*, . . . , Xλ*n） 是Xλi的非负随机变量~\'F（x；λi）（xλ*我~\'F（x；λ）*i） ），i=1，n、 和关联的连接词CR（C*R） 。进一步假设IP，Ipn（Ip*, . . . , Ip*n） i是一组独立的伯努利随机变量，独立于xλi，E[Ipi]=pi（E[Ip*i] =p*i） ，i=1，n、 假设以下条件成立：（i）F（x；λ）在λ中增加且凹于任何x∈ R+；（ii）C*Ris Schur凹面。那么，我们有nyi=1p*我≤nYi=1pi，（λ，…，λn）w(λ*, . . . , λ*n） ，C*R CR公司==> Y*1： n个≤stY1：不适用。假设VCRλ，pdenotes是变量Yi=IpiXλi，i=1，…，中的最小值，n、 其中（Xλ，…，Xλn）有生存copula CR。很容易看出Y*1： nst=VC*Rλ*,p*和Y1:nst=VCRλ，p。另一方面，定理3.1和定理3.2意味着*Rλ，p≤stVCRλ，pand VC*Rλ*,p*≤stVC公司*Rλ，p分别为。

因此，获得了所需的结果。一般来说，定理3.3考虑了在通常的随机顺序意义下，两个投资组合产生的最小索赔额的比较。但在某些特殊情况下，其结果可以在强序意义下得到。比例风险率（PHR）模型是可靠性理论、精算学等领域的重要模型；例如，见Cox（1992）、Finkelstein（2008）、Kumar和Klefsj¨o（1994）和Balakrishnan等人（2018）。如果生存函数可以表示为“F（X；λ）=[“F（X）]λ，其中“F（X）”是基线生存函数，λ>0，则称Xλ遵循PHR模型。最近，Li和Li（2018）比较了Y1:nand Y*1： 在危险率顺序的意义上，当xλi~\'F（x；λi）=\'Fλi（x）（xλ*我~\'F（x；λ）*i） =(R)Fλ*i（x）），对于i=1，n、 它们是一种常见的Gumbel-Hougaard生存copula，由Gumbel（1960）首次引入，其形式为CR（u）=exp-nXi=1(- log ui）θ！1/θ,对于θ∈ [1, ∞). 他们提出了危险率顺序为Y1:nas的特征，如下引理。引理3.1（Li和L i（2018））。设Xλ，Xλn（Xλ*, . . . , Xλ*n） 为Xλi的非负随机变量~\'F（x；λi）=\'Fλi（x）（xλ*我~\'F（x；λ）*i） =(R)Fλ*i（x）），i=1，n、 和相关的GumbelHougaard copula。进一步假设Ip，Ipn（Ip*, . . . , Ip*n） 是一组独立的伯努利随机变量，独立于Xλi，E[Ipi]=pi（E[Ip*i] =p*i） ，i=1，n、 那么，wehavenYi=1p*我≤nYi=1pi，nXi=1λθi≤nXi=1λ*θi<==> Y*1： n个≤在一些附加假设下，也可以表征Y1:nCa的似然比顺序。以下定理代表了这一事实。定理3.4。在引理3.1的设置下，假设Qni=1pi=Qni=1p*i、 那么，我们有nXi=1λθi=nXi=1λ*θi<==> Y*1： n个≤lrY1：不适用。

可以很容易地验证密度函数的比率可以写为：gY1:n（x）gY*1： n（x）=1-Qni=1pi1-Qni=1p*iI【x=0】+Qni=1piQni=1p*iPni=1λθiPni=1λ*θi！1/θ[(R)F（x）]（Pni=1λθi）1/θ-（Pni=1λ*θi）1/θi[x>0]，（2）其中，IAdenotes指示函数。假设Qni=1pi=Qni=1p*i、 我们有1:n（x）gY*1： n（x）=I[x=0]+Pni=1λθiPni=1λ*θi！1/θ[(R)F（x）]（Pni=1λθi）1/θ-（Pni=1λ*θi）1/θi[x>0]。显然，gY1:n（x）gY*1： n（x）在x中增加≥ 0，当且仅当Pni=1λθiPni=1λ*θi1/θ[(R)F（0）]（Pni=1λθi）1/θ-（Pni=1λ*θi）1/θ≥gY1:n（0）gY*1： n（0）=1和d[(R)F（x）]（Pni=1λθi）1/θ-（Pni=1λ*θi）1/θ在x中增加≥ 前者相当于toPni=1λθi≥Pni=1λ*θi和后者等价于toPni=1λθi≤Pni=1λ*θi.定理3.5。在引理3.1的设置下，假设Pni=1λθi=Pni=1λ*θi.那么，我们有nyi=1p*我≤nYi=1pi<==> Y*1： n个≤lrY1：不适用。假设Pni=1λθi=Pni=1λ*θi，关系式（2）可以重写为Gy1:n（x）gY*1： n（x）=1-Qni=1pi1-Qni=1p*iI【x=0】+Qni=1piQni=1p*iI[x>0]。因此，gY1:n（x）gY*1： n（x）在x中增加≥ 0，当且仅当qni=1piQni=1p*我≥1.-Qni=1pi1-Qni=1p*i、 相当于qni=1pi≥Qni=1p*i、 3.2最小索赔额生存函数的界限获得'GY1:n（x）的一些界限可以包括保险公司的重要信息。当保险公司确切地知道相关联的copula时，以下定理给出了“GY1:n（x）”的有用上下界。定理3.6。设Xλ，具有Xλi的Xλnbe非负随机变量~\'F（x；λi），i=1，n、 以及相关联的copula CR。进一步假设Ip，Ipnis是一组独立的伯努利随机变量，与Xλi无关，E[Ipi]=π，i=1，n