一般Kyle-Back模型的定价规则与最优策略

更准确地说，该模型中资产的最终值为f（Z），其中f是一个递增函数，Z是均值为0、方差为1的高斯随机变量。价格定义为：St=H（t，Yt）。（2.13）在我们的设置中，它转换为定价规则（H，1，0，0）。观察Kw（t，x）=x，因此Jt=Yt表示形式为（2.10）：dXt=dYct+Yt=dYt，即，对于所有t，Xt=Yt∈ [0, 1]. 在此情况下，我们对交易策略和定价规则的可接受性的定义也与[1]中的定义一致。注意，在这个模型中，平衡库存过程的另一种表示是可能的。下面的表述表明，在[1]中，市场庄家已经使用不同的权重对内部策略的绝对连续、鞅和跳跃部分进行定价。要查看此定义w（t，x）：=Hy（t，H-1（t，x）），其中对空间变量x求逆。那么平衡定价规则可以表示为（H，w，0，0），其中H（t，x）=x+H（0，0）。实际上，将半鞅的伊藤公式应用于（2.13）得到：dSt=w（t，St-)dYct+wx（t，St-)w（t，St-)（d[Y]ct- dt）+H（t，Yt）- H（t，Yt-)由于[1]中的均衡定价规则满足（t，y）+Hy y（t，y）=0。该偏微分方程还可以得出以下结论：Kw（t，x）=H-1（t，x）- H-1（0，0），从而得到thatH（t，Yt）- H（t，Yt-) = K-1w（t，Kw（t，St-) + Yt）- St公司-,详见备注2.2。关于一般KYLE-BACK模型7中的定价规则和最优策略，该模型认为均衡定价规则确实可以表示为（2.10）wi th定价规则（~H，w，0，0）（其中f ore Xt=St- H（0，0））。此表示适用于任何可接受的交易策略。

事实上，这为[1]中的等式（16）提供了一般可接受定价规则的推广（而不仅仅是第3条中考虑的均衡定价规则）。观察H（t，Yt）-H（t，Yt-) 6=Hy（t，Yt-)年初至今。如果其中一个相反，则跳过Hy（t，Yt-)截至目前，内幕人士获得了我们在Theo rem 3中所示的固定资产。1补充脚注6中【1】给出的说明。示例2.2。在Baruch[4]中，交易是在连续时间内进行的，风险投资者从一开始就观察到了正态分布的资产价值。也就是说，f（Z）=aZ+具有已知均值和方差的双高斯随机变量。使用上述n-o stationst=Xt，w-herdext=λ（t）dYt，λ是确定性的。在我们的设置中，它转化为定价规则（H，λ，0，0），H（t，x）=x。事实上，由于λ不依赖于x，并且[4]中x的演化不明确依赖于Y的鞅部分的二次变量，我们应该有0=λx（t，Xt-)+ c（t，Xt-)λ（t，Xt-) = c（t，Xt-)λ（t，Xt-)屈服c≡ 此外，在这种情况下，Kw（t，x）=xλ（t），因此我们应该有λ（t）Yt=λ（t）（j（t，Xt-, Yt）+Yt）屈服j≡ 0.示例2.3。Bac k和Baruch[2]研究了凯尔模式l的一个版本，其中交易是连续发生的；然而，f（Z）的公共神经网络发生在指数时间τ上，速率为r。此外，f是实体映射，是一个伯努利随机变量，取值范围为{0，1}，τ与其他所有变量无关。对于某些函数λ，假设St=XtanddXt=λ（Xs）dYs，（2.14）。在这个模型中，订单的合理交易策略是绝对连续的。

如果我们允许带有鞅部分的交易策略，并且保持相同的动态稳定，那么[2]中假设的价格将转化为H、 λ，-λx·在此设置中，H（t，x）=x。实际上，由于（2.14）中X的演化并不明显依赖于Y的鞅部分的二次变化，我们应该有0=λx（Xt）+c（t，Xt）λ（Xt）产生规定形式的c。由于不允许内部人员的策略跳跃，此处不定义j项。为了实现跳跃，我们需要为不连续的过程Y定义X的演化。8关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略示例2.4。在凯尔模型的Campi、C,etin和Danilova[6]扩展中，内部接受由微分过程dzt=σ（s）a（V（s），Zs）dWs给出的动态信号，其中V是一个递增且绝对连续的确定性函数，是一个满足mi l d正则性假设的效率差。做市商选择定价规则H并设定市场价格St=H（t，Xt），其中dxt=w（t，Xt）dYt，其中w是平滑加权函数。在该模型中，假设内部人的可容许交易策略是绝对连续的。如果我们通过假设dxt=w（t，Xt），将该模型推广到允许跳跃和鞅部分的交易策略-)dYt，（2.15）该定价规则将转化为本文的设定值，即（H，w，c，j），其中c（t，x）=-wx（t，x）和J（t，x，) = 千瓦（t，x+w（t，x）) - 千瓦（t，x）- 使用（2.8）中定义的Kw。实际上，由于X在（2.15）中的演化不依赖于Y exp l i的鞅部分的二次变化，我们应该有0=wx（t，Xt-)+ c（t，Xt-)w（t，Xt-)产生c的规定形式。

要获得j，我们应该有w（t，Xt-)Yt=K-1w（t，j（t，Xt-, Yt）+Kw（t，Xt-) + Yt）- Xt公司-.正如这些例子所示，定义2.3中的过程C为内幕人士策略产生的总需求的额外鞅部分定价，而J惩罚Y的跳跃。此外，Doss-Lamperti转换Kw确保跳跃的价格由总需求过程的单位给出，并且与比例因子w无关。也就是说，定义2.3中假设的价格形式允许对内部策略的鞅和跳跃分量进行一般处罚，因此涵盖特定情况，文献中考虑的绝大多数定价规则。如果我们将（2.10）重写为（注意，由于w上的条件，这是等效的表示）：dXt=w（t，Xt-)dYct+~c（t，Xt-)（d[Y，Y]ct- dt）+j（t，Xt-, Yt），X=0，对于某些情况，j满足（2.7）*和▄c为局部Lipschitz。如果θ是绝对连续的，则dXt=w（t，Xt）dy和市场价格与标准文献中设定的价格相同。也就是说，如果内幕人士的交易策略被限制为绝对连续，那么所有选择的市场价格过程都是相同的，实际上，选择c=~cw-wxandj（t，x，) = 千瓦（t，~j（t，x，) + x）-千瓦（t，x）- ,以（2.10）-（2.12）的形式给出表示。此外，鉴于中值定理以及w>0的事实，定义2.1中的相关条件得到满足。关于c和j的一般KYLE-BACK模型9中的定价规则和最优策略。这意味着（2.10）定义了一组与文献中使用的定价规则一致的一般策略的定价规则，前提是假设投资者只允许遵循绝对连续的策略。

因此，如果可以识别出函数c和j，对于这两个函数，内部人员的最优策略是绝对连续的，通过修改c和j给出的优先级，我们可以恢复先前研究中获得的平衡。c和j的cho-sen参数化的原因是，在我们的参数化下，这些函数相同为0。更准确地说，除非c=j=0（如定理3.1所示），否则内幕人士将获得最终利益。在接下来的几句话中，我们将讨论我们对可接受的交易策略和做市商设定的价格的定义是否恰当，以及它们的直接影响。备注2.1。请注意，定义2.1中的条件2相当于内幕人士不允许交易。因此，A（H，w，c，j）6= 适用于任何可接受的定价规则。此外，H在空间变量中的严格一致性意味着H在时间1之前是可逆的，因此，内部过滤是由b y X和Z生成的。请注意，Yc的跳跃可以从X via（2.10）的跳跃和J的形式推断出来。此外，sin ce Kw∈ C1,2在w假设下，伊藤公式yieldsdKw（t，Xt）=dYct的一个应用-wx（t，Xt-)dt+Kw（t，Xt）- 千瓦（t，Xt-) +tKw（t，Xt-)dt。因此，我们也可以通过观察X来获得yc的动力学。因此，X和Y的自然滤波是一致的。这反过来又意味着（FS，Zt）=（FB，Zt），即信息披露者拥有关于市场的完整信息。这正是我们对θ在定义2.2中所适用的过滤的看法。备注2.2。注意，在定义2.3中，假设si nceθ是可容许的，它是一个具有可和跳跃的半鞅。这又意味着Y是一个具有可和跳跃的半鞅。因此，方程（2.10）-（2.12）是很好的。

特别地，p处理C和（Ps≤tJs）t∈[0,1]适用于做市商的过滤模式，且变化有限。因此，由于X是强解，Y是半鞅，它们都是左极限右连续的。因此，它们的路径在紧a.s.上有界。。这很容易表明，随着函数C、w和WX连续，C的变化是有限的。此外，由于中值定理和K-1作为连续导数，我们有| Jt |≤ γ（ω）| j（t，Xt-, Yt）+Yt |，其中γ有界。因为只有无数的Y跳跃*, 上述约束意味着≤1 | Jt |<∞ 鉴于（2.7）。备注2.3。在标准模型中，s Z被假定为由aBrownian运动驱动的SDE的解。这意味着FB，Zis包含在布朗层中。因此，只要假设θ是半鞅，θ的跳跃就可求和。因此，上述定义的第一个条件简化为θ是半鞅的要求。现在，我们可以正式定义市场均衡，如下所示。这尤其意味着，在示例2.3和示例2.4中，内幕人士可以通过使用带有鞅部分和/或跳跃的交易策略获得最终利润。10关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略定义2.4。一对夫妇（（H*, w*, c*, j*), θ*) 如果（H），则称为形成平衡*, w*, c*, j*)是许可证定价规则，θ*∈ A（H*, w*, c*, j*)), 满足以下条件：（1）市场效率条件：给定θ*, （H）*, w*, c*, j*) 是一个合理的定价规则，即满足（2.6）。（2） 内部最优性条件：giv en（H*, w*, c*, j*), θ*解决了所有z:E0，z[Wθ]的内部优化问题*] = supθ∈A（H*,w*,c*,j*)E0，z【Wθ】<∞.为了方便读者，我们总结了我们的现有假设，以此结束本节。假设2.1。

（1） Z是一个连续的G适应过程。（2） f：R→ R是一个可测量且递增的函数。（3） 定价规则（H，w，c，j）满足t（t，x）+w（t，x）Hxx（t，x）=0。（2.16）在以下内容中，我们将使用函数g定义的asg（t，x）：=wt（t，x）+w（t，x）wxx（t，x）w（t，x）（2.17），用于给定的容许定价规则（H，w，c，j）。注意，由于w.备注2.4中的条件，它是连续的。在[6]和[10]中内幕符号al为马尔可夫的情况下，与内幕优化问题相关的HJB方程的形式推导将导致（2.16）和≡ 此外，我们将证明g≡ 0是平衡存在的必要条件。上述设置使用了后面[1]中的平衡标准定义。可接受的定价规则集在推广方面的差异，尤其包括当前照明时代使用的定价规则（参见，例如，【2】、【11】、【12】、【6】、【9】、【14】、【13】和【19】）。此外，内部人员的信号不被假设为马尔可夫信号，即我们的设置没有当前文献中假设Z为马尔可夫的设置那么严格。3、主要结果本文有三个主要结果：o我们的第一个主要结果，定理3.1，表明内幕人士在没有定价规则的情况下实现了有限的利润，即定价规则正确地惩罚了跳跃和鞅部分，即。

c=j=0。回想一下，这意味着（Xs，Zs；s）的正则条件分布≤ 1） 根据[5]中的定理44.3，给定X=0和z=z存在。如果平衡像大多数文献中一样不明显，则H的规定PDE将遵循标准过滤理论。观察示例2.3和2.4中未满足此条件。关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略11o我们的第二个主要结果定理3.2表明，在大范围的模型中，为了使定价规则与均衡一致，其权重函数必须满足（2.17），g=0我们的第三个主要结果，即定理3.3表明，如果做市商选择了一个对内部人策略的鞅部分/跳跃进行正确惩罚的定价，并且该定价也符合定理3.2意义上的均衡（即g=0 in（2.17）），则存在一系列绝对连续的内部人交易策略，以最大化内部人的目标。这意味着，只要正确选择了优先级，就可以将可接受的交易策略限制为绝对连续的交易策略，而不丧失通用性。为方便读者阅读，主要结果以及讨论其假设的备注如下所述。定理3.1。设（H，w，c，j）为可接受的定价规则，使得H满足假设2.1。考虑（2.17）定义的g，并假设每个z∈ 存在一个n x∈ Rsuch thatE0，z“Z1-Zx（z）ξ（t，f（z））（H（t，u）- f（Z））| g（t，u）| dudt#<∞.

（3.1）进一步假设随机变量f（Z）为：oE0，Zf（Z）+ E0，z千瓦（1，小时-1（1，f（Z）））< ∞, z∈ R、 （3.2）o林茨→-∞E0，z[-f（Z）]=limz→∞E0，z[f（z）]=∞,o 和lim supz→-∞E0，z[f（z）1[f（z）>k]]<∞, lim infz公司→∞E0，z[f（z）1[f（z）<k]]>-∞.然后存在一个集合E，使得Q（Z∈ E） >0，对于任何z∈ 我们有SUPθ∈A（H，w，c，j）E0，z[wθ]=∞除非c和j等于0。备注3.1。条件（3.1）确保当ins指令被限制使用绝对连续策略时，其值函数是有界的。如果内幕人士拥有静态信息，即Z=Z，则始终满足此条件。关于随机变量f（Z）的假设非常普遍，并且在可用文献中得到满足。特别是，他们对一大类差异模型感到满意。定理3.2。假设存在一个平衡（（H*, w*), θ*), 其中H*满足假设2。考虑（2.17）定义的g，并假设Z=Z，limz→∞f（z）=-林茨→-∞f（z）=∞, andgHyas是[0，1]×R上的一个函数，R中的值是连续的。进一步假设存在一个集合E，使得Q（Z∈ E） =1，对于所有z∈ E存在一个有限变化的连续函数sf（z），使得sf（z）（t）：=arg maxx-Zxξ（t，f（z））（H*（t，y）-f（z））g（t，y）dy=arg minxZxξ（t，f（z））（H*（t，y）-f（z））g（t，y）dy（3.3）对于所有t∈ [0, ν]. 然后g≡ 0表示所有t∈ [0，ν）.12关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略Theorem 3.3.假设e0，zf（Z）< ∞, z∈ R、 （3.4）即f（Z）对于Z的任何初始条件都是平方可积的。设（H，w）是满足（2.17）和（2.16）且g=0的可容许定价规则。

然后θ∈ A（H，w）i为最优策略ifi）θ连续且变化有限，ii）和H（1-, X1-) = f（Z），P0，Z-a.s.，其中xt=Ztw（s，Xs）{dBs+dθs}。此外，如果我们进一步假设e0，z千瓦（1，小时-1（1，f（Z）））< ∞, z∈ R、 （3.5）和M由MT定义：=E0，z千瓦（1，小时-1（1，f（Z）））| FZt（3.6）对于一些可测量的过程|σ，满足度[M，M]t=|σtdt（3.7），以便LIM支持→1σt（1- t） α-对于某些α，1=0（3.8）∈ （1，2），然后对于任何θ∈ A（H，w），存在一系列可容许的绝对连续策略，（θn）n≥1，使E0，zWθ≤ 画→∞E0，zWθn.备注3.2。要了解条件（3.6）-（3.8），请注意Kw（1，H-1（1，f（Z）））isP0，Z-可积，因此M是良好定义的，并且独立于B。内幕人士将使用此过程s M将市场价格推至其基本价值。在Kw（1，H）以上定理的最优性条件s下-1（1，f（Z））=Y。因此，M仅使用自己的私人信息对应于调查者对最终总需求的预期。不使用公共信息可确保M与B无关。条件（3.8）实际上是对信号二次变化的假设，并在早期Kyle-Back模型中采用的马尔可夫框架中得到满足（见其他[15]、[3]、[6]、[24]和[7]）。4、行动中的惩罚在本节中，我们使用Back和Baruch[2]中考虑的模型以及示例2.3中讨论的模型来说明我们的结果。