一般Kyle-Back模型的定价规则与最优策略

我们将证明，其中采用的定价规则允许在一般KYLE-BACK模型中使用定价规则和最优策略，对于使用带有鞅成分的交易策略的内幕人士来说是有限的，并描述了鞅成分的正确实现，以防止此类机会，并确保绝对连续的策略是最优的。虽然该模型一开始并不直接符合上述框架，但τ的经验统一特征使我们能够将Back和Baruch的设置（以及C,etin[9]中研究的更一般版本）视为凯尔模型的最终hor-izon版本。更准确地说，给定内幕人士的连续半鞅交易策略θ，时间τ的关联最终财富由wτ=Zθτ给出-ZτStdθt-[θ，S]t.Back和Baruch假设，对于由方程隐式定义且边界条件λ（0）=λ（1）=0的函数λ，St=Xt，其中dxt=λ（Xs）dYs。C,etin[9]后来表明λ（x）=s′（s-1（x）），其中（x）=Zx-∞rrπexp(-ry）dy。现在假设θ是仅由B驱动的局部鞅分量，并设γt：=ddt[θ，B]t。因此，利用τ的独立性，我们可以在给定Z=zasE0，Z[Wτ]=E0，Z的情况下，找到内部人的预期利润Z∞e-rt（z-Xt）dθt-Z∞e-rtλ（Xt）（1+γt）γtdt. （4.1）根据【9】定义ψ（x）=Zxzy- zλ（y）Dy，观察λψ′\'-rψ=0，（4.2），ψ′（x）=λ（x）+2rx- zλ（x）s-1（x）。（4.3）我们还可以证明，使用跳跃的内幕人士在直接概括[2]的定价规则时达到了有限的收益，其中dXt=λ（Xt-)dYt公司。还可以确定一种正确的处罚方法，使跳伞对内幕人士来说不太理想。要做到这一点，需要使用繁琐的计算，如定理5.2的证明。

因此，为了简化表达式，我们将只演示鞅部分使用连续策略的结果。14关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略-rtψ（Xt）=ψ（x）+中兴通讯-rsψ′（Xs）dXs+中兴通讯-rsλ（Xs）γs（2+γs）ψ′（Xs）ds，依次屈服于se0，z[Wτ]=ψ（x）- 限制→∞E0，ze-rtψ（Xt）+ E0，zZ∞e-卢比卢比-1（Xs）（Xs- z） γs（2+γs）- λ（Xs）γsds公司.我们现在将表明，根据这一定价规则，内幕人士将通过适当选择γ获得有限利润。为此，必须考虑z=0的情况。注tγ7→ 卢比-1（Xs）Xsγ（2+γ）- 如果2rs，λ（Xs）γ是严格凸的-1（Xs）Xs- λ（Xs）>0。自s起-1(1) = ∞ a ndλ（x）=s′（s-1（x），很容易显示某些p*这样2rs-1（x）x- 对于x>p，λ（x）>1*. 还观察到ψ（1- ε) < ∞ 对于ε>0。因此，内部人士的最佳策略是将定价过程保持在*和1-ε，通过使用常数γ过程提供rs-1（Xs）Xsγ（2+γ）- λ（Xs）γ始终大于1。这可以通过使用h（x）=（s（x）的循环变换来实现- s（p*))（s（1- ε) - s（x））（参见[8]中的定理3.1）或本文中定理3.1证明第3阶段中所用方法的有限水平版本。缩放该γ将导致极限内的最终结果。为了正确惩罚给定连续策略的鞅分量，做市商应选择X，使dxt=λ（Xt）dYt+λ′（Xt）λ（Xt）（d[Y，Y]t- dt）。（4.4）上述选择将导致内部人员使用无鞅成分的连续策略。

事实上，在这种情况下-rtψ（Xt）=ψ（x）-中兴通讯-rsψ（Xs）ds+中兴通讯-rsψ′（Xs）dXs+中兴通讯-rsλ（Xs）ψ′′（Xs）d[Y，Y]s（4.2）=ψ（x）+中兴通讯-rsψ′（Xs）dXs+中兴通讯-rsλ（Xs）ψ′（Xs）（d[Y，Y]s- ds）（4.4）=ψ（x）+中兴通讯-rsψ′（Xs）λ（Xs）dYt+中兴通讯-卢比ψ′（Xs）λ′（Xs）λ（Xs）+λ（Xs）ψ′（Xs）（d[Y，Y]s-ds）（4.3）=ψ（x）+中兴通讯-rsψ′（Xs）λ（Xs）dYt+中兴通讯-卢比（Xs-z）λ′（Xs）+2rs-1（Xs）+ λ（Xs）（d[Y，Y]s-ds）=ψ（x）+中兴通讯-rs（Xs- z） dYs+中兴通讯-rsλ（Xs）（d[Y，Y]s- ds）。关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略15，还应注意，类似于（4.1）的计算将yield0，z[Wτ]=E0，zZ∞e-rt（z- Xt）dθt-Z∞e-rtλ（Xt）（d[Y，Y]t-d[B，Y]t）.因此e0，z【Wτ】=ψ（x）- 限制→∞E0，ze-rtψ（Xt）+ E0，zZ∞e-rtλ（Xt）（d[Y，Y]t- dt）-Z∞e-rtλ（Xt）（d[Y，Y]t- d[B，Y]t）=ψ（x）- 限制→∞E0，ze-rtψ（Xt）-E0，zZ∞e-rtλ（Xt）d[Y- B、 Y型- B] t型.这表明，额外的martinga-le分量是严格次优的。关于均衡定价规则和最优策略，在本节中，我们将证明定理3.1–3.3。特别是，我们将在陈述（2.10）中说明，c=j=0，w满足（2.17）g=0是定价规则与均衡兼容的必要条件，因为任何其他选择做市商的信号权重都将导致内部人士的最终利益和/或使均衡不可能。我们还将表明，当定价规则满足这些必要条件时，内幕人士的交易策略可以限制为绝对连续的策略。我们的第一个定理计算了一般情况下内部人员的预期最终财富。我们将使用此表示来解决内部人员的优化问题。在具体情况下，当g消失且交易策略连续时，这种表示将提供价值函数的上界。定理5.1。设（H，w，c，j）为可接受的定价规则，使得H满足假设2.1。

假设θ∈ A（H、w、c、j）。然后0，zWθ= E0，zψf（Z）（0，0）- ψf（Z）（1-, X1-) -Z1级-w（t，Xt-)Hx（t，Xt-)d[θ，θ]ct+Z1-（H（t，Xt-) - a） c（t，Xt-)（d[Y，Y]ct- dt）-Z1级-ZXt公司-ξ（t，a）（H（t，u）- a） g（t，u）dudt+X0<t<1ψf（Z）（t，Xt）- ψf（Z）（t，Xt-) - （H（t，Xt）- f（Z））θt#,式中ψa（t，x）：=Zxξ（t，a）H（t，u）- aw（t，u）du+ZtHx（s，ξ（s，a））w（s，ξ（s，a））ds，（5.1）函数g由（2.17）给出，ξ（t，a）是H（t，ξ（t，a））=a的唯一解，ψa（t，Xt）- （H（t，Xt）- （a）θt≤ （H（t，Xt）- a） j（t，Xt-, Yt）ψa（t，Xt）- （H（t，Xt）- （a）θt≥ （H（t，Xt-) - a） j（t，Xt-, Yt）- H（t，Xt）θt.（5.2）16关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略。使用Ito关于一般半鞅的公式（例如，参见[20]中的定理II.32），weobtaindH（t，Xt）=Hx（t，Xt-)w（t，Xt-)dYct+dF Vt，其中F V为有限变量，见备注2.2。因此，[θ，S]ct=ZtHx（S，Xs-)w（s，Xs）-) {d[B，θ]s+d[θ，θ]cs}。（5.3）此外，通过部分积分（2.3）（参见[20]中定理II.22的推论2），我们得到wθ=f（Z）θ1--Z1级-H（t，Xt-))dθt- [θ，H（·，X）]1-（5.4）因为θ的跳跃是可加的。此外，直接计算得出ψat+w（t，x）ψaxx=-Zxξ（t，a）（H（t，u）- a） g（t，u）du。

（5.5）伊藤公式结合上述公式得出ψa（1-, X1-) = ψa（0，0）+Z1-H（t，Xt-)（dBt+dθt）- a（B+θ1-)+Z1级-w（t，Xt-)Hx（t，Xt-)（d[Y，Y]ct-dt）+X0<t<1{ψa（t，Xt）- ψa（t，Xt-) - （H（t，Xt-) - （a）θt}+Z1-（H（t，Xt-) - a） c（t，Xt-)（d[Y，Y]ct-dt）-Z1级-ZXt公司-ξ（t，a）（H（t，u）- a） g（t，u）dudt结合上述和（5.4），并注意到关于B的随机积分是真鞅，我们推导出0，zWθ= E0，zψf（Z）（0，0）- ψf（Z）（1-, X1-) -Z1级-w（t，Xt-)Hx（t，Xt-)d[θ，θ]ct+Z1-（H（t，Xt-) - a） c（t，Xt-)（d[Y，Y]ct- dt）-Z1级-ZXt公司-ξ（t，a）（H（t，u）- a） g（t，u）dudt+X0<t<1ψf（Z）（t，Xt）- ψf（Z）（t，Xt-) - （H（t，Xt）- f（Z））θt#.注意，由于w是正的，H是增加的，我们有ψa（t，Xt）- ψa（t，Xt-) - （H（t，Xt）- （a）θt=ZXtXt-H（t，u）- aw（t，u）du- （H（t，Xt）- （a）θt≤ （H（t，Xt）- a） ZXtXt公司-w（t，u）du- （H（t，Xt）- （a）θt=（H（t，Xt）- a） j（t，Xt-, Yt）。关于一般KYLE-BACK模型17的定价规则和最优策略类似地，ψa（t，Xt）-ψa（t，Xt-) -（H（t，Xt）-（a）θt≥ （H（t，Xt-) -a） j（t，Xt-, Yt）-H（t，Xt）θt。备注5.1。上述定理给出的预期收益表示表明，当g≡ 类似地，如果优化问题infxe0，zZ1级-ZXtξ（t，f（Z））（H（t，u）- f（Z））| g（t，u）| dudt有一个有限值，当内部人员使用ab溶质连续策略受到限制时，其值函数也是有界的。定理3。1我们将证明，下一步将为这一点施加条件f。定理3.1的证明。对于某些t<1和x，假设c（t，x）6=0。

由于c是连续的，因此存在ν<ν<1和x<x，对于[ν，ν]×[x，x]上的一些ε>0，存在| c（t，x）|>ε。此外，通过K的连续性-存在t<t<1和y<y，因此K-1w（t，y）∈[x，x]表示所有（t，y）∈ [t，t]×[y，y]。我们将构建一个连续的交易策略，以实现任意大的利润，从而实现Z。这一构建将分三个阶段完成。第一阶段将利用引理A.1将X引入[K-1w（t，y），[K-1w（t，y）]。第二阶段将使Kw（t，Xt）保持在区间[y，y]内，具有任意大的二次变化。最后阶段将使X在时间1之前保持有界。观察任意连续半鞅θ和G（t，x）：=Rxg（t，y）dydKw（t，Xt）=dYt+c（t，Xt）（d[y，y]t- dt）- G（t，Xt）dt。第1阶段：获得满足Kw（t，Xεt）的有界Xε∈ （y，y）应用引理A.1 tox（t）=（K-1w（t，y）+K-1w（t，y））t2tandε=（K-1w（t，y）- K-1w（t，y））。将X=Xε设置为[0，t]。第2阶段：修复y∈ （y，y）。考虑区间[t，t]a和dt=（b+1）dBt+（b+1）的解Rt公司- y【Rt】≤y]-y- Rt[Rt>y]dt+（b+2b）c（t，K-1w（t，Rt））dt。观察到路径唯一性一直保持到（y，y）的退出时间，因为c是locallyLipschitz和K-1WI持续可区分。因此，如果我们能证明一个永远不存在（y，y）的aweak解的存在性，我们将得到一个它保持在（y，y）中的强解。实际上，因为c（t，K-1w（t，x））对所有（t，x）有界∈ （t，t）×（y，y），通过Girsanovtransformation，上述弱解与ut=qdβt+q的t软管相同美国犹他州- y[Ut≤y]-y-Ut[Ut>y]dt，（5.6）18关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略，该模型在法律上是唯一的，根据[8]中的命题3.1，永远不会退出（y，y）。定义文本：=K-1w（t，Rt）和o观察到dθt=bdBt+（b+1）Rt公司- y[Rt≤y]-y- Rt[Rt>y]dt+G（t，K-1w（t，Rt））dt。阶段3：最后考虑时间间隔（t，1）。

将引理A.1应用于x（t）=x和εasbefore，得到| xε|，并设置x=xε。观察上面构造的X由一个确定性常数限定，这反过来又意味着H（t，Xt）的有界性。因此，θ∈ A（H、w、c、j）。回想定理5.1中的e0，zWθ≥ E0，z-ψf（Z）（1-, X1-) -bZttw（t，Xt-)Hx（t，Xt-)dt+（b+2b）Ztt（H（t，Xt-) - f（Z））c（t，Xt-)dt公司-Z1级-ZXt公司-ξ（t，f（Z））（H（t，u）- f（Z））g（t，u）dudt自ψf（Z）（0，0）≥ 0和d[θ，θ]t=0表示t∈ [0，1]\\[t，t]。此外，当dKw（1，u）=w（1，u），ψf（Z）（1-, X1-) ≤ （H（1，X1-) - f（Z））（Kw（1，X1-) - Kw（1，ξ（1，f（Z））），因为H和Kware是递增函数。由于X有界且（3.2）成立，我们推导出e0，z[ψf（z）（1-, X1-)] < l（z） <∞. （5.7）还要注意Z1-ZXt公司-ξ（t，f（Z））（H（t，u）- f（Z））| g（t，u）| dudt=Z1-Zx（z）ξ（t，f（z））（H（t，u）- f（Z））| g（t，u）| dudt+Z1-ZXt公司-x（z）（H（t，u）- f（Z））| g（t，u）| dudt。因此，f或某个常数l（z） 由于假设3.1和X取有界区间E0和z中的值，与b无关Z1级-ZXt公司-ξ（t，f（Z））（H（t，u）- f（Z））| g（t，u）| dudt≤ l（z） <∞. （5.8）因此，E0，zWθ≥ l（z） +E0，zZtt公司（b+2b）（H（t，Xt-) - f（Z））c（t，Xt）-bw（t，Xt-)Hx（t，Xt-)dt公司≥ l（z） +b（m+mE0，z[f（z）]+（m- m） E0，z[f（z）1[f（z）<0]]）+b（m+2mE0，z[f（z）]+2（m- m） E0，z【f（z）1【f（z）<0】】）=l（z） +b（m+ME0，z[f（z）]+（m- M） E0，z[f（z）1[f（z）≥0]]）+b（m+2ME0，z[f（z）]+2（m- M） E0，z[f（z）1[f（z）≥0]]），关于一般KYLE-BACK模型19中的定价规则和最优策略，其中常数m和m使得mM>0和m≥ -Rttc（t，Xt）dt≥ m的存在是由于c的连续性、X的有界性以及c（t，Xt）在[t，t]上通过构造远离0。观察到，由于我们对随机变量f（z）的假设，如果m>0（如果m<0），则对于足够大的z（或足够小的z），上述bin的系数可以为正。这意味着内幕人士的财富可以通过使B任意大而使z任意大。

这就产生了这样一种说法，即c必须为0，内幕人士的利益才是有限的。接下来，假设c≡ 0，但对于某些t<1和x，κ，j（t，x，κ）6=0。在不丧失一般性的情况下，假设j（t，x，κ）>0（j（t，x，κ）<0的情况下的证明类似）。由于j是连续的，因此存在t<t<1，x<x，和κ<κ，使得j（t，x，κ）>δ，对于[t，t]×[x，x]×[κ，κ]上的某些δ>0。我们将构建一个策略，为Z的某些实现实现实现任意大的利润。这将再次分三个阶段完成：首先，我们将在时间tvia引理a.1的区间[X，X]内引入X。在区间[t，t]上，我们将构造一个跳跃次数任意的过程，每个跳跃都将对最终效用做出积极贡献。最后，在时间t之后，我们将X保持在间隔[X，X]内。固定0<ε<X-第1阶段：在区间l[0，t]上，设x（t）=x+x2tt，并应用引理A.1和ε作为上边，以获得有界过程x，从而-∈ （x，x）。关联的θε将在[0，t]上使用s insider的策略。第2阶段：接下来，我们迭代构造[t，t]上的跳跃过程。为此，考虑si=t+it-tn，对于i=0，n，设置θt=θs=θs-+ κ.观察j（s，Xs-, κ） >δ，且Xs=K-1w（s，j（s，Xs-, κ） +千瓦（s，Xs-) +κ).假设我们已经在[0，si]和i<n上构造了过程θ（和X），那么在区间（si，si+1）上考虑X（t）=Xsi+X+X-Xsisi+1-si（t- si）并应用Lemma。1，ε如上所述。与第1阶段类似，相关θε将用作交易策略和X满意度Xsi+1-∈ [x，x]。

最后，对于i<n-1，设置θsi+1=θsi+1-+κ.我们再次得到j（si+1，Xsi+1-, κ） >δ，且Xsi+1=K-1w（si+1，j（si+1，Xsi+1-, κ） +千瓦（si+1，Xsi+1-) + κ).如果i=n- 1，定义θsi+1=θsi+1-和Xsi+1=Xsi+1-.因此，我们构造了一个具有n个跳跃的过程θ，使得[θ，θ]c≡ 0.第3阶段：在区间[t，1]上，使用引理A.1构造X，通过使用具有相同ε的X（t）=X+X来保持在区间[X，X]中。因此，我们构造了一个具有n个跳跃的过程θ和X，使得[θ，θ]c≡ 0和X为（m，m）中一些m<m的值。由于X有界，H（t，Xt）也有界，因此θ∈ A（H、w、c、j）。此外，根据定理5.1，（5.2）和ψf（Z）（0，0）≥ 0我们有20个关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略SE0，zWθ≥ E0，z-ψf（Z）（1-, X1-) -Z1级-ZXt公司-ξ（t，f（Z））（H（t，u）- f（Z））g（t，u）dudt+X0<t<1{（H（t，Xt-) - f（Z））j（t，Xt-, Yt）- H（t，Xt）θt}#。使用导致（5.7）和（5.8）的计算，我们得到0，zψf（Z）（1-, X1-) +Z1级-ZXt公司-ξ（t，f（Z））（H（t，u）- f（Z））| g（t，u）| dudt≤ l（z） <∞, z、 注意，该常数l与n无关。此外，由于θ的跳跃大小为κ，因此X的跳跃是一致的，并且跳跃只发生在si处，我们有H（t，Xt）θt≤ l< ∞.将上述估计与财富表达式相结合，我们得到0，zWθ≥ E0，z“n-1Xi=0{（H（si，Xsi-) - f（Z））j（t，Xsi-, κ) - l}#- l（z） ，Lb独立于z。设jm=min（t，x）∈[t，t]×[x，x]j（t，x，κ）>δ，∞ > jM=最大值（t，x）∈[t，t]×[x，x]j（t，x，κ），hm=min（t，x）∈[t，t]×[x，x]H（t，x）>-∞, hM=最大值（t，x）∈[t，t]×[x，x]H（t，x）<∞.

我们有e0，z[（H（si，Xsi-) - f（Z））j（t，Xsi-, κ)] ≥ E0，z[（hm- f（Z））j（t，Xsi-, κ） ]=E0，z（hm- f（Z））j（t，Xsi-, κ） 1【hm<f（Z）】+E0，z（hm- f（Z））j（t，Xsi-, κ） 1[公顷≥f（Z）]≥ （jM- jm）最小值{0，hm}- E0，zf（Z）1[hm<f（Z）]+jm公司百米-E0，z【f（z）】.自limz以来→-∞E0，z[f（z）]=-∞ 和lim supz→-∞E0，z[f（z）1[f（z）>k]]<∞, 存在一个常数zsuch t，对于任何z<zwe将有e0，z[（H（si，Xsi-) - f（Z））j（t，Xsi-, κ)] - l> 1对于所有i，我们将得到E0，zWθ≥ n- l（z） ，并让n→ ∞ 将完成屋顶。下面的定理可以让我们一瞥内幕人士的最佳策略。这表明，如果定价规则满足c=j=0，则内部人士使用跳跃并非最佳选择。定理5.2。假设存在一个平衡（（H*, w*), θ*) 使H满足假设2。考虑（2.17）定义的g，并假设Z=Z，limz→∞f（z）=-林茨→-∞f（z）=∞, andgHyas是[0，1]×(R)R上的一个函数，R中的值是连续的。然后P0，z（ω：θ*t（ω）∈ C（[0，1）)) = 1.此定理的证明推迟到附录中。它依赖于下面的lemmathat，它在定理3.2的证明中也很有用。这个引理表明，在一般KYLE-BACK模型中，只有满足g上进一步条件的加权函数中的一类非定价规则和最优策略才能在均衡中得到支持。因此，允许我们进一步限制可接受的定价规则集。引理5.1。假设Z=Z，limz→∞f（z）=-林茨→-∞f（z）=∞, 存在非平衡（（H，w），θ），使得H满足假设2.1。考虑（2.17）定义的g，并假设g是[0，1]×’R上的函数，R中的值是连续的。在[0，1]×R.Proof上，从下方开始定义。L et us首先表明平衡的存在意味着H（t，∞) = -H（t，-∞) = ∞对于所有t∈ [0, 1]. 确实，如果存在^t，使得H（^t，x）≥ h代表所有x∈ R、 那么对于所有s≤^we have H（s，x）≥ h代表所有x∈ R