两组最大索赔额的随机比较

我们取h（p）=p，（λ，λ）=（0.26，0.74），（p，p）=（0.03，0.02），（λ*, λ*) = （0.4，0.6），（p*, p*) = （0.026，0.024）和θ=0.5。使用引理2.3和引理2.5，我们得到了定理3.4的条件（iii），并且可以明显地验证其他条件也同样满足。因此，我们得到了*2:2≤stY2:2。图1表示Y2:2和Y的生存函数*2： 2，与预期结果一致。0 2 4 6 8 100.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Y2:2的生存函数Y2:2的生存函数*图1:Y2:2和Y的生存函数图*2： 2在例3.1中。以下示例说明了条件（λ，h（p））∈ S和（λ*, h（p*)) ∈ S是一个重要的条件，不能丢弃。示例3.2。在示例3.1中的相同设置下，我们取（p，p）=（0.02，0.03）和（p*, p*) =（0.028，0.022），其他值不变。很明显，（λ，h（p））/∈ S、 但可以很容易地证明定理3.4的其他条件是满足的。图2表示Y2:2和Y的生存函数*2： 2，相互交叉。0 1 2 3 40.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Y2:2的生存函数Y2:2的生存函数*图2:Y2:2和Y的生存函数图*2： 2在例3.2中。比例风险率（PHR）模型是一个灵活的分布族，在可靠性理论、精算学和其他领域具有重要意义；例如，见Cox（1992）、Finkelstein（2008）、Kumar和Klefsj¨o（1994）、Balakrishnan等人（2018）和Li和Li（2018）。如果其生存函数可以表示为'F（X；λ）=['F（X）]λ，其中'F（X）是基线生存函数，λ>0，则称Xλ为PHR模型。当边际分布属于PHR模型时，以下定理提供了两种异质风险组合中最大索赔额之间的比较。定理3.5。设'F（x；λi）=['F（x）]λi和'F（x；λ）*i） =[(R)F（x）]λ*i、 对于i=1，2。

在第3.3条的设置下，假设以下条件成立：（i）h：（0，1）→ 我 R++是一个可微且严格递增的凹函数，具有对数凹逆；（ii）C i s PQD和C（v，v）v≥C（v，v）v、 对于所有0≤ v≤ v≤ 1、那么，对于（λ，h（p））∈ S和（λ*, h（p*)) ∈ S、 我们有（h（p*), h（p*))m级（h（p），h（p））和（λ*, λ*)w(λ, λ) ==> Y*2:2≤stY2:2。证据注意，\'F（x；λ）=[\'F（x）]λ在λ中是递减的和凸的，这满足定理3.3的条件（ii）。因此，应用定理3.3完成了证明。帕累托分布是PHR模型的一个特例，通常用作保险业投保人索赔严重程度的分布。X具有参数β和λ的帕累托分布，用X表示~ 帕累托（β，λ），如果其生存函数由F（x；β，λ）=（βx）λ，x给出≥ β.下面的例子提供了一个数值例子来说明定理3.5的有效性。示例3.3。设Xλi~ 帕累托（1，λi）（Xλ*我~ 帕累托（1，λ*i） ，对于i=1，2，与AliMikhail Haq copula相关，由Ali et al.（1978）引入，形式为Cθ（v，v）=vv1-θ(1-v） （1）-v） ，其中θ∈ [-1, 1]. 根据Nelsen（2007），这个copula是阿基米德的，显然是PQDifθ∈ [0, 1] . 进一步，假设Ip，Ip（Ip*, Ip*) 是一组独立的伯努利随机变量，独立于Xλi（Xλ*i’s），其中E【Ipi】=pi（E【Ip*i] =p*i） ，对于i=1，2。Wetake h（p）=对数（p+2），（λ，λ）=（4，2），（p，p）=（0.02，0.06），（λ*, λ*) = （4，6），（p*, p*) =（0.0479，0.0319）和θ=0.3。引理2.3和引理2.4暗示了定理3.5的条件（ii），可以很容易地证明其他条件也满足。

所以，我们有Y*2:2≤stY2:2。图3表示Y2:2和Y的生存函数*2： 2，与预期结果一致。2 4 6 8 100.00 0.02 0.04 0.06 0.08 Y2:2的生存函数Y2:2的生存函数*图3:Y2:2和Y的生存函数图*2： 2在例3.3中。Mirhossaini和Dolati（2008）以及Shawand Buckley（2009）引入的transmuted-G（TG）模型是通过添加新参数构建新的柔性分布的一个有吸引力的模型。如果其生存函数可以表示为'F（X；λ）=F（X）（1），则称随机变量Xλ属于具有基线分布函数F（X）和生存'F（X）的TG模型- λF（x）），其中λ∈ [-1, 1].当边际分布属于TG模型时，以下定理提供了两种异质风险组合中最大索赔额之间的比较。定理3.6。设F（x；λi）=F（x）（1- λiF（x））和'F（x；λ*i） =(R)F（x）（1- λ*如果（x）），对于i=1，2。在定理3.3的设置下，假设以下条件成立：（i）h：（0，1）→ 我 R++是一个可微且严格递增的凹函数，具有对数凹逆；（ii）C i s PQD和C（v，v）v≥C（v，v）v、 对于所有0≤ v≤ v≤ 1、那么，对于（λ，h（p））∈ S和（λ*, h（p*)) ∈ S、 我们有（h（p*), h（p*))m级（h（p），h（p））和（λ*, λ*)w(λ, λ) ==> Y*2:2≤stY2:2。证据注意，F（x；λ）=F（x）（1- λF（x））在λ中递减且凸，满足定理3.3的条件（ii）。因此，应用定理3.3完成了证明。Mirhossaini和Dolati（2008）引入的变形指数分布具有非负支持，可用于模拟保险投保人的索赔严重性。

X具有参数u和λ的指数分布，用X表示~ T E（u，λ），如果其生存函数由F（x，u，λ）=E给出-x/u[1- λ(1 - e-x/u）]，x≥ 0, u > 0, -1.≤ λ ≤ 下面的例子提供了一个数值例子来说明定理3.6的有效性。示例3.4。设Xλi~ TE（3，λi）（Xλ*我~ TE（3，λ*i） ，对于i=1，2，与相关的GumbelHougaard copula，由Gumbel（1960b）首次引入，其形式为cθ（v，v）=exp-h类(-对数v）θ+(-对数v）θi1/θ,式中θ∈ [1, ∞). 根据Nelsen（2007），这个copula是阿基米德的，是PQD。进一步，假设Ip，Ip（Ip*, Ip*) 是一组独立的伯努利随机变量，独立于Xλi（Xλ*i’s），其中E【Ipi】=pi（E【Ip*i] =p*i） ，对于i=1，2。我们取h（p）=√p、 （λ，λ）=（0.6，- 0.2），（p，p）=（0.04，0.09），（λ*, λ*) = （0.1，0.4），（p*, p*) = （0.0676，0.0576）和θ=10。引理2.3和引理2.4暗示了定理3.6的条件（ii），并且可以很容易地验证其他条件也满足。因此，我们有*2:2≤stY2:2。图4显示了Y2:2和Y的生存功能*2： 2，与预期结果一致。接下来，我们考虑发生概率也是相互依赖的情况。这里，wedenote I=（I，I）和P（I=u）=P（u）。下面的引理考虑了通过左尾概率（LWSAI）增加的弱系统弹性排列的概念，其中ich是Cai和Wei（2015）引理5.3的特例。引理3.1。

二元伯努利随机向量I为LWSAI，当且仅当p（1，0）≤ p（0，1）。0 2 4 6 8 100.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Y2:2的存活函数图4:Y2:2和Y的存活函数图*2： 2在例3.4中。以下定理给出了两种异质风险组合中，当发生概率相互依赖时，最大索赔额之间的比较。定理3.7。设Xλ和Xλ（Xλ*和Xλ*) 是Xλi的非负随机变量~\'F（x；λi）（xλ*我~\'F（x；λ）*i） ，i=1，2，以及相关联的copula C。进一步，假设i是LWSAI，与Xλi（Xλ）无关*我的）。假设以下条件成立：（i）(R)F（x；λ）对于任何x是递减的且在λ中是凸的∈ R+；（ii）（λ*, λ*)m级（λ，λ），使得λ≥ λ和λ*≥ λ*;（iii）C为Schur凹形。那么，我们有Y*2:2≤stY2:2。证据设X2:2=最大值（Xλ，Xλ）和X*2： 2=最大值（Xλ*, Xλ*). 首先，我们证明X*2:2≤stX2:2。这足以说明函数fx2:2（x）=C（F（x；λ），F（x；λ）），在λ中是Schur凹的。根据Marshal et al.（2011），第91页，表2，C的Schur凹度和F（x；λ）在λ中的增加和凹度特性，意味着FX2:2（x）在λ中增加和Schur凹。因此，条件（ii）意味着X*2:2≤stX2:2。（9） 此外，根据Marshal et al.（2011），λi中F（x；λi）的凸性意味着λ中F（x；λ）+F（x；λ）的Schur凸性。因此，条件（ii）意味着'F（x；λ*) +\'F（x；λ）*) ≤\'F（x；λ）+\'F（x；λ）。

（10） 注意gy2:2（x）=p（0，0）+p（1，1）FX2:2（x）+p（0，1）F（x；λ）+p（1，0）F（x；λ），类似地，GY*2： 2（x）=p（0，0）+p（1，1）FX*2： 2（x）+p（0，1）F（x；λ）*) + p（1，0）F（x；λ）*).因此，我们有gy2:2（x）- 戈瑞*2： 2（x）=p（1，1）[FX2:2（x）- 外汇*2： 2（x）]+p（0，1）[F（x；λ）- F（x；λ）*)]+p（1，0）[F（x；λ）- F（x；λ）*)]= p（1，1）[外汇*2:2（x）-\'FX2:2（x）]+p（0，1）[\'F（x；λ*) -\'F（x；λ）]+p（1，0）[\'F（x；λ*) -\'F（x；λ）]≤ p（0，1）[F（x；λ*) -\'F（x；λ）]+p（1，0）[\'F（x；λ*) -\'F（x；λ）]≤ p（0，1）[F（x；λ*) -\'F（x；λ）]+p（0，1）[\'F（x；λ*) -\'F（x；λ）]=p（0，1）[\'F（x；λ*) +\'F（x；λ）*) -\'F（x；λ）-\'F（x；λ）]≤ 0，其中第一个不等式是由于（9），第二个不等式是根据艾玛3.1得出的，最后一个不等式是基于（10）。因此，证明了GY2:2（x）≤ 戈瑞*2： 2（x），完成了屋顶。下面介绍了定理3.7中关于比例尺的三种特殊情况，即PHR和TGmodels。定理3.8。设F（x；λi）=F（λix）和F（x；λ*i） =(R)F（λ*ix），对于i=1，2。在第3.7条的设置下，假设以下条件成立：（i）f（x）正在减小i n x∈ R+；（ii）（λ*, λ*)m级（λ，λ），使得λ≥ λ和λ*≥ λ*;（iii）C为Schur凹形。那么，我们有Y*2:2≤stY2:2。证据显然，定理3.8的条件（i）意味着完成证明的定理3.7的条件（i）。定理3.9。设'F（x；λi）=['F（x）]λi和'F（x；λ）*i） =[(R)F（x）]λ*i、 对于i=1，2。在第3.7条的设置下，假设以下条件成立：（i）（λ*, λ*)m级（λ，λ），使得λ≥ λ和λ*≥ λ*;（ii）C i s Schur凹面。那么，我们有Y*2:2≤stY2:2。证据显然，\'F（x；λ）=[\'F（x）]λ满足定理3.7中的条件（i），从而完成了预防。定理3.10。

设F（x；λi）=F（x）（1- λiF（x））和'F（x；λ*i） =(R)F（x）（1- λ*如果（x）），对于i=1，2。在定理3.7的设置下，假设以下条件成立：（i）（λ*, λ*)m级（λ，λ），使得λ≥ λ和λ*≥ λ*;（ii）C i s Schur凹面。那么，我们有Y*2:2≤stY2:2。证据显然，\'F（x；λ）=\'F（x）（1- λF（x）满足定理3.7的条件（i），从而完成了证明。下面的例子提供了一个数值例子来说明定理3.9的有效性。示例3.5。设Xλi~ 帕累托（1，λi）（Xλ*我~ 帕累托（1，λ*i） ，对于i=1，2，使用关联FGM copula，θ=0.7。Let（λ，λ）=（7，2），（λ*, λ*) = （5.5，3.5），p（0，0）=0.89，p（0，1）=0.06，p（1，0）=0.04和p（1，1）=0.01。利用引理2.5，我们得到了定理3.9的条件（ii），并且显然可以证明其他条件也满足。因此，我们得到了*2:2≤stY2:2。图5表示Y2:2和Y的生存函数*2： 2，以预期结果批准。下面的例子说明了定理3.7的条件（ii）不能被放弃。示例3.6。在实施例3.5中的相同设置下，我们取（λ，λ）=（2，7），其他值不变。很明显λ λ、 但可以很容易地验证，第3.7项的其他条件都得到了满足。图6表示Y2:2和Y的生存函数*2： 2，相互交叉。以下定理提供了两种异质风险组合中最大索赔额之间的比较，以λ为单位。定理3.11。设Xλ，Xλn（Xλ*, . . . , Xλ*n） 是Xλi的非负随机变量~\'F（x；λi）（xλ*我~\'F（x；λ）*i） ），i=1，n、 和相关联的copula C。进一步，假设Ip，Ipnis是一组独立的伯努利随机变量，独立于Xλi（Xλ*i’s），其中E【Ipi】=π，i=1，n、 假设任意x的'F（x；λ）在λ中递减∈ R+。那么，我们有λi≤ λ*我， i=1。

. , n个==> Y*n： n个≤stYn:n.1 2 3 4 5 6 7 80.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Y2:2的生存函数图5:Y2:2和Y的生存函数图*2： 2在例3.5.1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.04 0.06 0.08 0.10中，Y2:2的生存函数Y2:2的生存函数*图6：Y2:2和Y的生存函数曲线图*2： 2在例3.6中。证据表示p（u）=p（Ip=u，…，Ipn=un）。Yn:nCa的分布函数如下：GYn:n（x）=PY≤ x、 ，Yn公司≤ x个= PIpXλ≤ x、 ，IpnXλn≤ x个=Xu∈{0,1}np（u）PIpXλ≤ x、 ，IpnXλn≤ x | Ip=u，Ipn=un=Xu∈{0,1}np（u）PuXλ≤ x、 ，unXλn≤ x | Ip=u，Ipn=un=Xu∈{0,1}np（u）PuXλ≤ x、 ，unXλn≤ x个=Xu∈{0,1}np（u）C[F（x；λ）]u，[F（x；λn）]un. （11） 根据λ中F（x；λ）的递减性质和copula的性质，我们立即得出结论，当i=1，…，时，GYn:n（x）在λi中增加，n、 因此，期望的结果成立。下面的定理说明了在比较两种异质风险组合中的最大索赔额时，依赖程度的影响。定理3.12。设Xλ，具有Xλi的Xλnbe非负随机变量~\'F（x；λi），i=1，n、 和相关联的copula C（C*). 此外，假设Ip，Ipnis是一组独立的伯努利随机变量，独立于Xλi，E[Ipi]=π，i=1，n那么，我们有 C*==> Y*n： n个≤stYn：不可靠。根据（11）和定义2.6，p屋顶立即完工。以下定理提供了两种异质风险组合中最大索赔额之间的比较，即λ和依赖程度。定理3.13。设Xλ，Xλn（Xλ*, . . . , Xλ*n） 是Xλi的非负随机变量~\'F（x；λi）（xλ*我~\'F（x；λ）*i） ），i=1，n、 和相关联的copula C（C*). 此外，假设IP。

，Ipnis是一组独立的伯努利随机变量，独立于Xλi（Xλ*i’s），其中E【Ipi】=π，i=1，n、 假设任意x的'F（x；λ）在λ中递减∈ R+。那么，wehaveC C*和λi≤ λ*我， i=1，n个==> Y*n： n个≤stYn：不可靠。让Vn:n、Zn:nand和Wn:nbe为投资组合中的最大索赔额（IpXλ*, . . . , IpnXλ*n） 与相关联的copula C*, （IpXλ，…，IpnXλn）与关联的copula C*, 和（IpXλ，…，IpnXλn）分别与相关联的copula C。很容易看出，Y*n： nst=Vn:nand Yn:nst=Wn:n。另一方面，定理3.12和定理3.13暗示Vn:n≤stZn:nand锌：n≤stWn：分别为n。至此，证明完成。以下三个EOREM将scale、PHR和TG模型视为第3.13条的特例。定理3.14。设F（x；λi）=F（λix）和F（x；λ*i） =(R)F（λ*ix），对于i=1，n、 在定理3.13的设置下，我们有Y*n： n个≤stYn：n.定理3.15。设'F（x；λi）=['F（x）]λi和'F（x；λ）*i） =[(R)F（x）]λ*i、 对于i=1，n、 在定理3.13的集合下，我们有Y*n： n个≤stYn：n.定理3.16。设F（x；λi）=F（x）（1-λiF（x））和'F（x；λ*i） =(R)F（x）（1-λ*如果（x）），对于i=1，n、 在定理3.13的设置下，我们有Y*n： n个≤stYn：n.作为投保人索赔严重性的d分布的另一个重要分布是威布尔分布，这是比例模型的特例。X具有参数α和λ的威布尔分布，用X表示~ Wei（α，λ），如果其生存函数由F（x；α，λ）=e给出-（λx）α，x>0。下面的例子提供了一个数值例子来说明定理3.14的有效性。示例3.7。设Xλi~ Wei（3，λi）（Xλ*我~ Wei（3，λ*i） ，对于i=1，2，3，由Frank（1979）引入的相关Frankcopula，其形式为Cθ（v，v，v）=-θ对数1+（e-θv- 1） （e）-θv- 1） （e）-θv-1） （e）-θ- 1),式中θ∈ (0, ∞).

Fur，假设Ip，Ip，Ip是一组独立的Bernoulli随机变量，独立于Xλi（Xλ*i’s），其中E【Ipi】=π，对于i=1，2，3。我们取（λ，λ，λ）=（0.5，0.7，0.3），（λ*, λ*, λ*) = （0.51，0.7，0.33），（p，p，p）=（0.01，0.02，0.07）和θ=0.6。显然，定理3.14的条件是满足的。因此，我们有Y*3:3≤stY3:3。图7显示了Y3:3和Y的存活功能*3： 3，与预期结果一致。结论本文讨论了在一定条件下，在一般模型中，在通常的随机排序意义下，在严重程度依赖下，最大索赔额之间的随机比较，其中特别包括一些重要模型，如scale、PHR和TG模型。然而，我们应用了一些分布来说明结果。0 2 4 6 80.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Y3:3的生存函数Y3:3的生存函数*图7:Y3:3和Y的生存函数图*3： 3在例3.7中。参考Sali，M.M.，Mikhail，N.N.，和Haq，M.S。(1978). 一类二元分布，包括二元logistic分布。多元分析杂志，8（3），405-412。Balakrishnan，N.、Zhang，Y.和Zhao，P.（2018年）。从两组不同的投资组合中排序最大的索赔金额和范围。《斯堪的纳维亚精算杂志》，2018（1），23-41。Barmalzan，G.和Najafabadi，A.T.P.（2015年）。关于sm-allest索赔额的凸变换和右s序。保险：数学与经济学，64380-384。Barmalzan，G.、Najafabadi，A.T.P.和Balakrishnan，N.（2015）。两种异质投资组合总索赔额的随机比较及其应用。保险：数学与经济学，61235-241。Barmalzan，G.、Najafabadi，A.T.P.和Balakrishnan，N.（2016）。