仿射粗糙模型

导数xis移位半群{Tt}t的极小生成元≥0，因此，根据定义，（4.1）实际上是SPDE的温和公式（4.2）；见（Da Prato和Zabczyk，2014年，第6.1节）。4.1傅里叶-拉普拉斯变换和Riccati方程SPDE（4.2）表明≥0是一个无限长的马尔科夫过程。因此，在一种情况下（2.2），我们期望得到一个傅里叶-拉普拉斯变换公式经验值Z∞h（x）uT（x）dx英尺= 经验值φ（T- t） +Z∞ψ（T- t、 x）ut（x）dx, （4.3）其中φ（τ）和ψ（τ，x）是适当Riccati方程的解。这些等式应该是tφ（t）=RφR∞ψ（t，y）K（y）dy（4.4）ψ（t，x）=h（x- t） 1{x≥t} +RψR∞ψ（t- x、 y）K（y）dy{x<t}（4.5），其中φ（0）=0，其中我们定义φ（y）=βy+αy，Rψ（y）=-λy+ay。（4.6）备注4.2。乍一看，（4.5）不像ψ（t，x）的微分方程。但是，沿着命题证明4.1的思路，（4.5）实际上可以被视为形式偏微分方程的一个近似公式tψ（t，x）=-xψ（t，x）+RψZ∞ψ（t，y）K（y）dx初始条件ψ（0，x）=h（x）时的δ（x）。让我们推导Riccati方程（4.4）–（4.5）。

我们假设V=0；这并不影响Riccati方程的有效性，但简化了计算。假设ψ（t，x）满足（4.5），定义dZt=b（Vt）dt+σ（Vt）dWt，半鞅。使用（4.1）、（4.5）和随机Fubini定理；然后是变量的变化；最后（4.5），我们再次得到∞ψ（T- t、 x）ut（x）dx=ZtZ∞T-th（x- T+T）K（T- s+x）dx dZs+ZtZT-tRψR∞ψ（T- t型- x、 z）K（z）dzK（t- s+x）dx dZs=ZtZ∞T-sh（y- T+s）K（y）dy dZs+ZtZT-st公司-sRψR∞ψ（T- s- y、 z）K（z）dzK（y）dy dZs=ZtZ∞ψ（T- s、 x）K（x）dx dZs-ZtZt公司-sRψR∞ψ（T-s- y、 z）K（z）dzK（y）dZs。将其与V y ieldsdZ满足的随机Volterra方程（2.1）相结合∞ψ（T- t、 x）ut（x）dx=Z∞ψ（T- t、 x）K（x）dx dZt-ZtRψR∞ψ（T- t、 y）K（y）dyK（t- s） dZsdt=Z∞ψ（T- t、 x）K（x）dx dZt- RψR∞ψ（T-t、 y）K（y）dyVtdt。让mt表示（4.3）的右侧。使用前面的公式和（4.4）获得dmtmt=Z∞ψ（T-t、 x）K（x）dxσ（Vt）dWt。（4.7）Thu s M是局部鞅，MT=exp（R∞h（x）uT（x）dx）s inceψ（0，x）=h（x）。如果m是真鞅，我们推导出指数公式（4.3）。这可以用来推导定理3.4的特例，其中u=w=0（注意该定理中的α=0，a=σ）。用v正式设置h=vδ∈ C给定[exp（vVT）| Ft]=expφ（T- t） +Z∞ψ（T- t、 x）ut（x）dx.定理3.4中的Riccati方程（4.5）和Riccati–Volterra方程（3.5）之间存在联系。也就是说，假设ψ（t，x）解（4.5）并定义ψ（t）=Z∞ψ（t，x）K（x）dx。（4.8）利用Rψ的定义（4.6）、ψ的定义（4.8）（4.5）和变量的变化，我们得到*-λψ+aψ（t） =Z∞K（x）Rψ（ψ（t- x） ）1{x<t}dx=Z∞K（x）（ψ（t，x）- h（x- t） 1{x≥t} ）dx=ψ（t）-Z∞h（x）K（t+x）dx。如果h=vδ，我们推导出u=w=0时的Riccati–Volterra方程（3.5）。

鉴于（4.8），（4.7）同意（3.7）。5拉普拉斯表示我们对（2.1）的最终预期是均值回复过程的混合。从数学上讲，这类似于第4节中的SPDE表示。事实上，这里的SPDE代表和发展可以被视为一个抽象的整体维度提升的两个实例。这一统一观点由Cuchiero和Teichmann（2018）提出，但远远超出了本章的范围。尽管如此，为了强调类比，我们将在本节中使用符号ut（x）和ψ（t，x），尽管其含义与第4节中的不同。读者会注意到与第4节中的推导有很大的相似之处。假设核K是某个度量u的拉普拉斯变换，即K（t）=Z∞e-xtu（dx），t>0。（5.1）如果u是正度量，则K在（0，∞). 相反，任何suchK的形式都是（5.1），这是伯恩斯坦-维德定理的结果。这显然符合定理2.2（ii）。另一方面，u也可以是一个有符号的度量，只要K保持在Llo c（R+）中。这就产生了一大类与Theorem2.2（i）兼容的内核，不一定是完全的monotone。示例5.1。如果我们在经典情况下K（t）=1，那么u=δ。在粗糙的Hestoncase中，K（t）=tα-1/Γ（α）与α∈ （，1），然后u（dx）=x-αΓ(α)Γ(1-α） dx。为了了解（5.1）如何导致均值回复过程的混合（可能是有限的），为了简化表述，我们假设V=0。

一般情况可通过考虑过程V=V得出- 五、读者被邀请找出这种一般情况下会发生什么。用V=0将（5.1）代入（2.1），并交换时间积分和u积分（由随机Fubini定理调整）得到表示vt=Z∞ut（x）u（dx），（5.2），其中我们定义了≥ 0，ut（x）=中兴通讯-x（t-s） b（Vs）ds+中兴通讯-x（t-s） σ（Vs）dWs。至关重要的是，每个进程{ut（x）}t≥0是半鞅，即使V不是。查找其动态Move e-XT在时间积分之外，并将乘积规则应用于getdut（x）=(-xut（x）+b（Vt））dt+σ（Vt）dWt。在表达式中插入（2.2）和（5.2），给出（x）=β - xut（x）- λZ∞ut（y）u（dy）dt+sα+aZ∞ut（y）u（dy）dWt。（5.3）当x在u的支持下运行时，（5.3）定义了一个（可能是有限的）耦合系统均值回复过程，（5.2）将V表示为这些过程的混合物。Carmona等人（2000）的结果涵盖了高斯情况a=0；Harms和Stefanovits（2018年）。除了其理论意义外，这种表示法还可以用于数值计算。其想法是将u替换为一个近似值un，该近似值在许多点x上都得到支持，xn。然后，系统（5.3）成为n维马尔可夫过程{ut（x），…，ut（xn）}t的SDE≥这可用于近似a ffene Volterra过程V。Abi J aber和El Euch（2018a）以及Cuchiero和Teichmann（2018）提供了有关该施工的更多详细信息。5.1傅里叶-拉普拉斯变换和Riccati方程（5.3）中的漂移和波动率在某种程度上取决于曲线ut（·）。这表明过程{ut（·）}t≥0是一个完整的马尔可夫过程，可能在有限维内。

特别是，我们期望得到一个类似于（4.3）的变换公式：E经验值Z∞h（x）uT（x）u（dx）英尺= 经验值φ（T- t） +Z∞ψ（T- t、 x）ut（x）u（dx）,（5.4）其中φ（τ）和ψ（τ，x）是初始条件φ（0）=0，ψ（0，x）=h（x）的适当Riccati方程的解。（5.5）在这种马尔可夫情况下，可以使用标准方法推导Riccatilequations。让mt表示（5.4）的右侧。It^o公式和（5.3）经过一些计算，给出了dMtMt=h-tφ（t- t） +RφR∞ψ（T- t、 y）u（dy）+Z∞- tψ（t- t、 x）- xψ（T- t、 x）+RψR∞ψ（T- t、 y）u（dy）ut（x）u（dx）idt+局部鞅，（5.6），Rφ，Rψ如（4.6）所示。值得注意的是，这里也出现了与PDE表示相同的函数Rφ和Rψ。这是Cuchiero和Teichmann（2018）提出的基本抽象观点的一种表现。假设φ和ψ解可能的有限维Riccati方程tφ（t）=RφR∞ψ（t，y）u（dy）,tψ（t，x）=-xψ（t，x）+RψR∞ψ（t，y）u（dy）, （5.7）初始条件（5.5）。那么，由于（5.6），M是一个局部鞅，其MT=exp（R∞h（x）uT（x）u（dx））。如果M实际上是真鞅，我们得到了变换公式（5.4），它只不过是鞅性质E[MT | Ft]=MT。特别是，如果h（x）≡ v是常数，结合（5.2）和（5.4）给出[exp（vVT）| Ft]=expφ（T- t） +Z∞ψ（T- t、 x）ut（x）u（dx）.正如第4节所述，溶液ψ（t，x）与RiccatieEquation（5.7）之间存在联系，其中h（x）≡ v常数，以及Riccati–Volterra方程（3.5）的解ψ（t），其中u=w=0。链接由公式ψ（t）=Z给出∞ψ（t，x）u（dx），可通过类似计算进行验证，见第4节。这为推导傅里叶-拉普拉斯变换公式提供了另一种方法。参考Eduardo Abi Jaber和O mar El Euch。粗挥发模型的多因子近似。arXiv:1801.103592018a。Eduardo Abi Jaber和Omar El-Euch。

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